Quantum Locally Repairable Codes from Negacyclic and Repeated-Root Cyclic Codes over Small Fields
Air Force Engineering University（空军工程大学）
本文研究小域上经典常循环码经CSS构造的量子局部可修复码，证明仅负循环和重根循环码可用于该构造，给出局部性与纯度判据，得到无限纯qLRCs族及首批二元重根qLRCs等新参数。
2026-08-25 cs.IT math.IT
Two families of negacyclic BCH codes
负循环BCH码是负循环码的一个子类，在许多情况下是最好的线性码。然而，关于非循环BCH码的研究成果很少。设$q$为奇素数幂，$m$为正整数.研究了有限域$\mathbf(q)$上长度为$\frac{q^m-1}{2}$和$\frac{q^m+1}{2}$的无环BCH码，并分析了它们的参数.本文提出的双循环BCH码具有良好的参数，并且包含了许多最优线性码。对于一定的$q$和$m$，与相同维数和长度的循环码相比，本文提出的双循环BCH码在某些情况下具有更大的最小距离。
2022-07-05 cs.IT math.IT
The dual codes of two classes of LCD BCH codes
本文针对两类BCH码对偶码研究不足的问题，推导了特定长度狭义循环与负循环BCH码对偶码的最小距离下界，给出了循环BCH码偶象子码及负循环BCH码为对偶BCH码的充要条件。
2024-01-26 cs.IT math.IT
Algebraic Resolutions of Seven Open Problems on Cyclic and Negacyclic Codes Supporting Designs
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文通过代数方法统一解决了关于循环码、负循环码和常循环码支持设计的七个未解决问题，利用Cayley参数化、商传输和射影几何构造了互补设计和椭圆二次曲面截面。
2026-05-27 cs.IT math.IT
Negacyclic codes of odd length over the ring $\mathbb{F}_p[u,v]/\langle u^2,v^2,uv-vu\rangle$
讨论了环$\mathbb{F}_p[u, v]/ \langle u^2, v^2, uv-vu \rangle$上奇长非循环码的结构.我们找到了这些非循环码的唯一生成集、秩和最小距离。
2015-01-29 cs.IT math.IT
On the codes over the Z_3+vZ_3+v^2Z_3
本文研究了有限环R=Z_3+ vZ_3 +v^2Z_3，v^3= v上循环、拟循环、常循环码及其斜码的结构，得到了环R上循环、拟循环、斜循环、斜拟循环和斜常循环码的Gray象。给出了环R上循环（非循环）码包含其对偶的一个充要条件。从环R上的循环码和非循环码出发，得到了量子纠错码的参数。并给出了一些实例。首先介绍了拟常循环码和斜拟常循环码。通过给出两个乘积，研究了它们的对偶性。给出了1-生成元斜拟常循环码是自由码的一个充分条件。
2015-09-04 cs.IT math.IT quant-ph
Skew Constacyclic and LCD Codes over $ \mathbb{F}_{q}+v \mathbb{F}_{q} $
本文的目的是给出半局部环上的斜常循环码、斜循环码和斜双循环码等价的条件。此外，我们提供的建设和计数的欧几里德和厄米特斜LCD循环码在$ \mathbb{F}_{p^{t}}+ v \mathbb{F}_{p^{t}} $。利用半局部环上的LCD斜交码的Gray像，得到了几种最优LCD码。
2019-02-22 cs.IT math.IT
Self-Dual Skew Cyclic Codes over $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$
本文给出了有限链环$\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$上Hermitian自对偶$Θ-$循环码和$Θ-$非循环码存在的条件.通过定义一个从$R=\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$到$\mathbb{F}_{q}^{2}$的Gray映射，证明了$R$上具有偶特征的奇长斜循环码$n$的Gray象等价于指数为$2$的$\mathbb{F}_q$上长为$2n$的斜准扭码.我们还扩展了Boucher和Ulmer的\cite{BF3}算法，利用$\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$上非交换多项式的最小左公倍数构造自对偶斜循环码.
2019-03-02 cs.IT math.IT
Several classes of BCH codes of length $n=\frac{q^{m}-1}{2}$
本文研究长度为 $\frac{q^m-1}{2}$ 的负循环与循环 BCH 码，确定多类负循环 BCH 码的维数，并给出循环 BCH 码扩展码的重量分布及对偶码参数。
2024-06-29 cs.IT math.IT
Two generalizations on the minimum Hamming distance of repeated-root constacyclic codes
本文研究了由多项式$(x^n + γ)^{\ell}$和$(x^n - ξ)^i(x^n + ξ)^j$ \分别生成的长度为$np^s$和$2np^s$的常循环码，其中$x^n + γ$，$x^n - ξ$和$x^n + ξ$在字母表$\F_{p^a}$上是不可约的.通过计算这些码的最小汉明距离，推广了文[5]，[6]和[7]的结果.作为一种特殊情况，我们确定了特征为$p$的有限域上长度为$2p^s$的循环码和负循环码的最小海明距离。
2009-06-22 cs.IT math.IT
Polycyclic codes over Galois rings with applications to repeated-root constacyclic codes
循环码、双循环码和常循环码是称为多环码的更大类码的一部分;即，可以被视为多项式环的因子环的理想的那些码。研究了GR（p^a，m）上多环码的环境环的结构及其理想的生成集。结合环境环的一些结构细节，证明了理想的某类生成集的存在性。
2012-09-29 cs.IT math.IT math.RA
Rank equivalent and rank degenerate skew cyclic codes
两个斜循环码只有当它们具有相同的长度时才能等价于汉明度量，并且只有零码是退化的。对于秩度量，情况完全不同，其中当在网络上应用代码时，代码的长度对应于来自源的传出链路的数量。我们研究不同长度的斜循环码之间的秩等价关系，为了找到最小长度的斜循环码，即秩等价于给定的斜循环码，我们定义了给定斜循环码的不同类型的长度，将它们联系起来，并在大多数情况下计算它们。利用常规多项式和线性化多项式给出了秩退化斜循环码的不同刻画。作为特例，得到了某些长度循环码的秩-权族的一些已知结果，并推广到所有长度和所有斜循环码。最后，我们证明了与给定的斜循环码秩等价的线性码的最小长度可以由伪斜循环码得到。在本文中，我们发现了线性斜循环码和它们的Galois闭包之间的新关系。
2016-01-26 cs.IT math.IT
Rank weight hierarchy of some classes of cyclic codes
本文研究有限域$\mathbb F_{q^m}$上循环码的秩权等级，特别是秩度量，$q$是一个素数幂，$m \geq 2$ .本文建立了$[n,n-1]$循环码的秩权体系，并在（1）$k=1$，（2）$n$和$q$互质，（3）特征$char(\mathbb F_q)$整除$n$的情况下，刻画了秩度量为1的$[n,k]$循环码.最后，对于$n$和$q$互质，刻画了循环码的最小$r$ -秩，并给出了秩权的Singleton界的一个改进.
2014-07-15 cs.IT math.IT
On the roots and minimum rank distance of skew cyclic codes
在秩度量的纠错码理论中，斜循环码与循环码具有相同的作用。本文利用根空间、分圆空间和幂等元生成元给出了这类码的刻画。我们证明了斜循环码格与根空间格是反同构的，研究了这两个格，并将它们的最小秩距离的秩BCH界推广到vanLint-Wilson移位和Hartmann-Tzeng界的秩度量版本.最后，研究了基域上线性的斜循环码，证明了这类码包含所有的Hamming度量循环码，并给出了这类码与秩度量斜循环码之间的一个新的关系.
2016-07-22 cs.IT math.IT
Sum-Rank BCH Codes and Cyclic-Skew-Cyclic Codes
本文介绍了循环-斜循环码和和秩BCH码。循环-斜循环码的特征在于一个合适的非交换有限环的左理想，使用多项式上的斜多项式构造（反之亦然）。单生成这样的左理想被发现，他们被用来构建相应的代码的生成矩阵。利用多项式上斜多项式的根对，引入定义集的概念。对于定义集包含某些连续码对的循环-斜循环码，给出了最小秩和距离的一个下界（称为秩和BCH界）。然后定义具有最小秩和距离的秩和BCH码为最大循环-斜循环码，其定义集包含这样的连续码对。给出了和秩BCH码的定义集，并给出了其维数的一个下界。由于它，提供了表，其示出了对于二进制$ 2 \times 2 $矩阵（即，其码字是$ 2 \times 2 $二进制矩阵列表的代码，列表长度的范围很广，对应于代码长度）。最后，得到了一个和秩BCH码的译码器，译码距离可达其规定距离的一半。
2021-06-08 cs.IT math.IT
Circulant Arrays on Cyclic Subgroups of Finite Fields: Rank Analysis and Construction of Quasi-Cyclic LDPC Codes
本文共分三个部分。第一部分提出了一大类新的二元准循环（QC）-LDPC码，其围长至少为6，其校验矩阵是基于有限域的循环子群构造的。实验结果表明，所构造的码在二进制输入的AWGN信道下，采用和积算法（SPA）进行迭代译码，性能良好。第二部分分析了特征为2的有限域上构造的码的校验矩阵的秩，并给出了这些秩的组合表达式。第三部分确定了一个子类的构造QC-LDPC码，具有大的最小距离。使用SPA对该子类中的代码进行解码收敛得非常快。
2010-04-07 cs.IT math.IT
Roos bound for skew cyclic codes in Hamming and rank metric
本文给出了一般域上斜循环码最小距离的Roos似界。结果在汉明度量和秩度量中成立。证明涉及到斜多项式的算术性质和奇偶校验矩阵的秩的分析。对于秩度量的情况，给出了一种利用斜Roos界构造具有指定最小秩距离的码的方法。此外，利用斜Roos界，给出了有限域上MDS码和MRD码的一些例子。
2020-02-06 cs.IT math.IT
Skew-constacyclic codes over $\frac{\mathbb{F}_q[v]}{\langle\,v^q-v\,\rangle}$
本文通过对环$\frac{\mathbb{F}_q[v]}{\langle\,v^q-v\,\rangle}$的代数结构的研究及其自同构群的刻画，研究了环上码及其对偶的代数结构。我们利用线性Gray映射研究了斜常循环码的代数结构，并确定了它们的生成多项式。给出了$\frac{\mathbb{F}_q[v]}{\langle\,v^q-v\,\rangle}$上自对偶斜循环码和自对偶斜非循环码存在的充要条件。
2019-02-27 cs.IT math.AC math.IT
Skew Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
有限域上的斜多项式环（[7]和[10]）和Galois环（[8]）已经被用来研究码。在本文中，我们将这一概念推广到有限链环。研究了由$x^n-λ$（其中$λ$为单位元）的幺右因子生成的斜常循环码的性质.当$λ^2=1$时，确定了这类码的欧几里德和厄米特对偶码的生成元，以及它们是欧几里德和厄米特自对偶码的充要条件.更感兴趣的是环$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$上的码。完全确定了所有斜常循环码的结构。这使我们能够表示生成元的欧几里德和厄米特对偶码的斜循环和斜双循环码的原始代码的生成元。给出了$\mathbb{F}_{3}+u\mathbb{F}_{3}$上所有长度为~2的斜循环码及其欧几里德和厄米特对偶码的一个例子。
2010-10-01 cs.IT math.IT math.RA
Structure and Rank of Cyclic codes over a class of non-chain rings
根据环$ν^{2} \in Z_{4}+νZ_{4}.$的值，将环$Z_{4}+νZ_{4}$分为链环和非链环。本文建立了环$Z_{4}+νZ_{4}$上任意长度循环码的结构，对于环$ν^{2}$的值，它们是非链环。还获得了这些码的生成器的独特形式。此外，这些代码的秩和基数已被建立通过找到这些代码的最小生成集。
2023-03-14 cs.IT math.IT
Z2Z4-Additive Cyclic Codes: Kernel and Rank
Z_2 ^alpha x Z_4 ^beta的Z2 Z4-加性码C子集称为循环的，如果坐标集可以被划分为两个子集，Z_2坐标集和Z_4坐标集，使得两个子集的坐标的任何循环移位都保持码不变。设Phi（C）为C的二值Gray像。本文研究了Z ~ 2 Z ~ 4-可加循环码C的核的秩和维数，即二元线性码<Phi（C）>和ker（Phi（C））的维数。我们给出了这些参数的上界和下界。已知码<Phi（C）>和ker（Phi（C））分别是Z2 Z4-加法码R（C）和K（C）的二进制图像。证明了R（C）和K（C）也是循环码，并利用C的生成多项式确定了这两个码的生成多项式。
2018-01-16 cs.IT math.IT
Sum-rank product codes and bounds on the minimum distance
分析了一个赋汉明度量的码和一个赋秩度量的码的张量积。这给出了自然继承秩和度量的代码。专门的产品的循环码和斜循环码，由此产生的代码原来属于最近推出的家庭循环-斜循环。在研究了秩和度量下的半线性等距后，给出了这类码的群论描述。最后，推广的Roos和Hartmann-Tzeng界的和秩度量，以及一个新的下界的最小距离的两个代码之一构成的产品代码。
2021-05-31 cs.IT math.IT
Low-Density Arrays of Circulant Matrices: Rank and Row-Redundancy Analysis, and Quasi-Cyclic LDPC Codes
本文对零空间为QC-LDPC码的循环数阵列的秩冗余和行冗余进行了一般性分析。基于Fourier变换和矩阵共轭类及Hadamard积的性质，给出了一般循环数组的秩和行冗余度的严格上界，使得在构造QC-LDPC码时考虑行冗余度以获得更好的性能成为可能.进一步研究了基于Vandermonde矩阵和基于拉丁方的QC-LDPC码的秩，并给出了在某些特定情况下的秩的组合表达式，证明了所得到的界的紧性.此外，本文还分析了几种新的大行冗余准循环LDPC码的构造方法。
2012-02-03 cs.IT math.IT
Constant-Weight Gray Codes for Local Rank Modulation
我们考虑局部秩调制方案，其中滑动窗口经过一个序列的实值变量诱导一个序列的排列。作为秩调制方案的推广，最近已经提出了局部秩调制作为在闪存中存储信息的方式。我们研究了本地秩调制方案的恒定权重格雷码，以模拟传统的多级闪存单元，同时保留秩调制的好处。我们提供了循环和循环最佳格雷码存在的必要条件。然后，我们专门研究码的重量2和上限的效率，从而证明没有这样的渐近最优循环码。相比之下，我们研究代码的重量3和有效地构建代码是渐近最优的。
2010-02-07 cs.IT math.IT
Non-linear maximum rank distance codes in the cyclic model for the field reduction of finite geometries
本文利用有限向量空间的双线性型的集合构造了非线性最大秩距离码的无限族。我们还给出了这样的代码的几何描述，通过使用有限几何形状的字段减少的循环模型，我们表明，这些家庭包含非线性最大秩距离码最近提供的Cossidente，马里诺和Pavese。
2017-04-07 cs.IT math.CO math.IT
$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$-additive cyclic codes: kernel and rank
如果码$C = Φ(\mathcal{C})$是$\mathcal{C}$-加性码$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$的格雷像，则称之为$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -线性码。本文研究了$\mathcal{C}$核的秩和维数。证明了码$\langle Φ(\mathcal{C}) \rangle$和$\ker(Φ(\mathcal{C}))$都是$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -加性循环码，并确定了它们的生成多项式.最后，我们研究了几类$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -可加循环码的秩和核维数的精确值。
2022-06-28 cs.CR cs.IT math.IT
MDS and MHDR cyclic codes over finite chain rings
本文建立了有限链环上循环码的唯一生成元集。确定了码的最小生成集和秩。此外，已经获得了循环码是MDS码和循环码是MHDR码的充分必要条件。最佳循环码的一些例子也被提出。
2023-03-28 cs.IT math.IT
Decompositions of q-Matroids Using Cyclic Flats
利用q-拟阵的循环平坦性研究了q-拟阵的直和。利用q-拟阵的秩函数完全由其循环平坦及其秩决定，证明了两个q-拟阵的直和的循环平坦恰是两个q-拟阵的循环平坦的直和.这显著简化了直和的秩函数。一个q-拟阵称为不可约的，如果它不能写成（非平凡的）直和。我们给出了不可约拟阵的循环平坦的一个刻画，证明了每个q-拟阵都可以分解为不可约q-拟阵的直和，且在等价条件下它们是唯一的.
2023-02-22 cs.IT math.CO math.IT
Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v] / \langle u^k,v^2,uv-vu\rangle$
设$p$为素数。本文讨论了环$ \mathbb{F}_p[u, v] / \langle u^k, v^2, uv-vu\rangle$上循环码的结构。我们发现这些代码的一组唯一的生成器。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。
2015-08-27 cs.IT math.IT
Cyclic codes over $\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4$
本文研究了环$R=\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4$，$u^2=0$上的循环码.我们已经考虑了奇数长度的循环码。给出了$R$上循环码是$\mathbb{Z}_4$ -free模的一个充分条件.本文给出了$R$上循环码生成元的一般形式，并确定了这类码的秩的计算公式。本文主要研究了环$R$上奇长的主生成循环码。本文确定了环$R$上奇长循环码是$R$ -free的一个必要条件和一个充分条件。
2015-01-06 cs.IT math.IT
Self-dual codes and LCD codes in sum-rank metric
本文引入和秩度量下的自对偶码与LCD码概念，提出从欧几里得自对偶码和LCD码构造这两种码的方法，并证明存在渐近良好的自对偶和秩码。
2025-10-13 cs.IT math.IT
Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v,w]/\langle u^2, v^2, w^2, uv-vu, vw-wv, uw-wu \rangle$
本文研究环$ \mathbb{F}_p[u,v,w]\langle u^2,$ $v^2, w^2$，$uv-vu, vw-wv, uw-wu \rangle$上的循环码，其中$p$是素数.它是Frobenius环家族的一部分。我们找到了这些码的唯一生成元集，并刻画了自由循环码的特征。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。我们还构造了一些好的$p-ary$码作为这些循环码的Gray映象。
2015-09-29 cs.IT math.IT
Cyclic codes over the ring $ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$
设$p$为素数。本文研究环$ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$上的循环码。我们发现这些代码的一组唯一的生成器。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。我们得到了环$ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$上除一个长度为12的三元最优码外的所有循环码的Gray像。我们还刻画了这些循环码在Gray映射下的$p$元象.
2014-06-04 cs.IT math.IT
On the rank weight hierarchy of $M$-codes
Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Institut Fourier（傅里叶研究所）
本文研究了$M$-码的秩重量层级，给出了其第一秩重量等于1的充要条件及最后秩重量的显式公式。
2026-01-30 cs.IT math.IT
Efficient Encryption from Random Quasi-Cyclic Codes
我们提出了一个框架，构建有效的基于代码的加密方案的代码，不隐藏任何结构在其公共矩阵。该框架是在精神的计划首先提出的Alekhnovich在2003年和基于解码随机线性码的困难，从随机错误的低权重。我们离开有点从Aleknovich的方法，并提出了一个加密方案的基础上解码随机准循环码的难度。我们提出了两个新的密码系统实例化在我们的框架：汉明准循环密码系统（HQC），基于汉明度量，和秩准循环密码系统（RQC），基于秩度量。我们给出了一个安全性证明，这减少了我们的系统的IND-CPA安全性的一个决定性的版本的著名的问题解码随机家庭的准循环码的汉明和秩度量（相应的QCSD和RQCSD问题）。我们还提供了一个分析我们的计划在汉明度量的情况下的解密失败概率：对于秩度量没有解密失败。我们的计划受益于一个非常快的解密算法，连同小的密钥大小只有几千位。该密码系统对于低加密速率是非常有效的，并且非常适合于密钥交换和认证。渐近地，对于安全参数λ，公钥大小分别为HQC的$O(λ^{2})$和RQC的$O(λ^{4/3})$。实际参数比较以及基于环LPN或最近的MDPC系统的系统。
2016-12-16 cs.CR cs.IT math.IT
On cyclic codes over the ring $Z_p + uZ_p + ... + u^{k-1}Z_p$
本文研究环$ \Z_p + u\Z_p +...+ u^{k-1}\Z_p $上的循环码，其中$u^k =0$ .我们找到了一套生成这些代码的生成器。我们还研究了这些码的秩、对偶和汉明距离。
2012-05-18 cs.IT math.IT math.NT
Cyclic Codes from Cyclotomic Sequences of Order Four
循环码是线性码的一个有趣的子类，并且由于其高效的编码和解码算法而被用于消费电子、数据传输技术、广播系统和计算机应用中。本文利用三个四阶分圆序列构造了$\gf(q)$上的几类素数长度的循环码。在一定的条件下，最小重量的下界。得到的一些码是最优或几乎最优的。总的来说，本文构造的循环码是很好的。本文得到的一些循环码与几乎差集和差集有着密切的关系。作为副产品，计算这些（几乎）差集的$p$秩。
2012-07-11 cs.DM cs.IT math.IT
