Circulant Arrays on Cyclic Subgroups of Finite Fields: Rank Analysis and Construction of Quasi-Cyclic LDPC Codes
本文共分三个部分。第一部分提出了一大类新的二元准循环（QC）-LDPC码，其围长至少为6，其校验矩阵是基于有限域的循环子群构造的。实验结果表明，所构造的码在二进制输入的AWGN信道下，采用和积算法（SPA）进行迭代译码，性能良好。第二部分分析了特征为2的有限域上构造的码的校验矩阵的秩，并给出了这些秩的组合表达式。第三部分确定了一个子类的构造QC-LDPC码，具有大的最小距离。使用SPA对该子类中的代码进行解码收敛得非常快。
2010-04-07 cs.IT math.IT
Roos bound for skew cyclic codes in Hamming and rank metric
本文给出了一般域上斜循环码最小距离的Roos似界。结果在汉明度量和秩度量中成立。证明涉及到斜多项式的算术性质和奇偶校验矩阵的秩的分析。对于秩度量的情况，给出了一种利用斜Roos界构造具有指定最小秩距离的码的方法。此外，利用斜Roos界，给出了有限域上MDS码和MRD码的一些例子。
2020-02-06 cs.IT math.IT
Structure and Rank of Cyclic codes over a class of non-chain rings
根据环$ν^{2} \in Z_{4}+νZ_{4}.$的值，将环$Z_{4}+νZ_{4}$分为链环和非链环。本文建立了环$Z_{4}+νZ_{4}$上任意长度循环码的结构，对于环$ν^{2}$的值，它们是非链环。还获得了这些码的生成器的独特形式。此外，这些代码的秩和基数已被建立通过找到这些代码的最小生成集。
2023-03-14 cs.IT math.IT
Z2Z4-Additive Cyclic Codes: Kernel and Rank
Z_2 ^alpha x Z_4 ^beta的Z2 Z4-加性码C子集称为循环的，如果坐标集可以被划分为两个子集，Z_2坐标集和Z_4坐标集，使得两个子集的坐标的任何循环移位都保持码不变。设Phi（C）为C的二值Gray像。本文研究了Z ~ 2 Z ~ 4-可加循环码C的核的秩和维数，即二元线性码<Phi（C）>和ker（Phi（C））的维数。我们给出了这些参数的上界和下界。已知码<Phi（C）>和ker（Phi（C））分别是Z2 Z4-加法码R（C）和K（C）的二进制图像。证明了R（C）和K（C）也是循环码，并利用C的生成多项式确定了这两个码的生成多项式。
2018-01-16 cs.IT math.IT
Sum-rank product codes and bounds on the minimum distance
分析了一个赋汉明度量的码和一个赋秩度量的码的张量积。这给出了自然继承秩和度量的代码。专门的产品的循环码和斜循环码，由此产生的代码原来属于最近推出的家庭循环-斜循环。在研究了秩和度量下的半线性等距后，给出了这类码的群论描述。最后，推广的Roos和Hartmann-Tzeng界的和秩度量，以及一个新的下界的最小距离的两个代码之一构成的产品代码。
2021-05-31 cs.IT math.IT
$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$-additive cyclic codes: kernel and rank
如果码$C = Φ(\mathcal{C})$是$\mathcal{C}$-加性码$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$的格雷像，则称之为$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -线性码。本文研究了$\mathcal{C}$核的秩和维数。证明了码$\langle Φ(\mathcal{C}) \rangle$和$\ker(Φ(\mathcal{C}))$都是$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -加性循环码，并确定了它们的生成多项式.最后，我们研究了几类$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -可加循环码的秩和核维数的精确值。
2022-06-28 cs.CR cs.IT math.IT
Low-Density Arrays of Circulant Matrices: Rank and Row-Redundancy Analysis, and Quasi-Cyclic LDPC Codes
本文对零空间为QC-LDPC码的循环数阵列的秩冗余和行冗余进行了一般性分析。基于Fourier变换和矩阵共轭类及Hadamard积的性质，给出了一般循环数组的秩和行冗余度的严格上界，使得在构造QC-LDPC码时考虑行冗余度以获得更好的性能成为可能.进一步研究了基于Vandermonde矩阵和基于拉丁方的QC-LDPC码的秩，并给出了在某些特定情况下的秩的组合表达式，证明了所得到的界的紧性.此外，本文还分析了几种新的大行冗余准循环LDPC码的构造方法。
2012-02-03 cs.IT math.IT
Constant-Weight Gray Codes for Local Rank Modulation
我们考虑局部秩调制方案，其中滑动窗口经过一个序列的实值变量诱导一个序列的排列。作为秩调制方案的推广，最近已经提出了局部秩调制作为在闪存中存储信息的方式。我们研究了本地秩调制方案的恒定权重格雷码，以模拟传统的多级闪存单元，同时保留秩调制的好处。我们提供了循环和循环最佳格雷码存在的必要条件。然后，我们专门研究码的重量2和上限的效率，从而证明没有这样的渐近最优循环码。相比之下，我们研究代码的重量3和有效地构建代码是渐近最优的。
2010-02-07 cs.IT math.IT
Quantum synchronizable codes from finite geometries
量子同步纠错码是一种特殊的量子纠错码，它可以同时纠正量子噪声对量子比特的影响和块同步中的失准。已知的是，原则上这样的码可以通过经典线性码及其子码的组合来构造，如果这两者都是循环的和对偶包含的。然而，找到这样的经典代码，导致有前途的量子同步纠错码是不是一个微不足道的任务。事实上，虽然有两类经典码被证明可以产生具有良好的最小距离和最高可能的失调容忍度的量子同步码，但它们的码长被限制为素数和梅森数。本文通过研究特征$2$的有限域上的射影空间的关联向量，给出了长度不是素数或梅森数的循环码的量子同步码.这些投影几何码在量子纠错中获得了良好的性能，并具有最好的恢复同步的能力，从而丰富了良好的量子同步码的种类。我们还扩展了经典编码理论中循环码的现有知识，明确给出了有限几何码的生成多项式，并完全刻画了最小重量非零码字。除了基于射影空间的代码，我们进行了类似的分析，著名的循环码从欧几里得空间，已知是多数逻辑解码，并确定其确切的最小距离。
2014-09-06 cs.IT math.IT quant-ph
On Geometric Connections of Embedded and Quotient Geometries in Riemannian Fixed-rank Matrix Optimization
Data Science Institute, University of Chicago（芝加哥大学数据科学研究所）；School of Data Science, Fudan University（复旦大学数据科学学院）；Duke University（杜克大学）
本文提出一般性程序建立固定秩矩阵优化中嵌入几何与商几何的几何景观联系，证明两类几何下黎曼一阶、二阶稳定点及严格鞍点集合等价，并揭示特定黎曼度量下梯度流的算法等价性。
2023-04-11 cs.IT cs.LG eess.SP
MDS and MHDR cyclic codes over finite chain rings
本文建立了有限链环上循环码的唯一生成元集。确定了码的最小生成集和秩。此外，已经获得了循环码是MDS码和循环码是MHDR码的充分必要条件。最佳循环码的一些例子也被提出。
2023-03-28 cs.IT math.IT
Efficient Encryption from Random Quasi-Cyclic Codes
我们提出了一个框架，构建有效的基于代码的加密方案的代码，不隐藏任何结构在其公共矩阵。该框架是在精神的计划首先提出的Alekhnovich在2003年和基于解码随机线性码的困难，从随机错误的低权重。我们离开有点从Aleknovich的方法，并提出了一个加密方案的基础上解码随机准循环码的难度。我们提出了两个新的密码系统实例化在我们的框架：汉明准循环密码系统（HQC），基于汉明度量，和秩准循环密码系统（RQC），基于秩度量。我们给出了一个安全性证明，这减少了我们的系统的IND-CPA安全性的一个决定性的版本的著名的问题解码随机家庭的准循环码的汉明和秩度量（相应的QCSD和RQCSD问题）。我们还提供了一个分析我们的计划在汉明度量的情况下的解密失败概率：对于秩度量没有解密失败。我们的计划受益于一个非常快的解密算法，连同小的密钥大小只有几千位。该密码系统对于低加密速率是非常有效的，并且非常适合于密钥交换和认证。渐近地，对于安全参数λ，公钥大小分别为HQC的$O(λ^{2})$和RQC的$O(λ^{4/3})$。实际参数比较以及基于环LPN或最近的MDPC系统的系统。
2016-12-16 cs.CR cs.IT math.IT
Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v] / \langle u^k,v^2,uv-vu\rangle$
设$p$为素数。本文讨论了环$ \mathbb{F}_p[u, v] / \langle u^k, v^2, uv-vu\rangle$上循环码的结构。我们发现这些代码的一组唯一的生成器。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。
2015-08-27 cs.IT math.IT
On cyclic codes over the ring $Z_p + uZ_p + ... + u^{k-1}Z_p$
本文研究环$ \Z_p + u\Z_p +...+ u^{k-1}\Z_p $上的循环码，其中$u^k =0$ .我们找到了一套生成这些代码的生成器。我们还研究了这些码的秩、对偶和汉明距离。
2012-05-18 cs.IT math.IT math.NT
New Classes of Partial Geometries and Their Associated LDPC Codes
使用部分几何结构来构造LDPC码的奇偶校验矩阵已经导致了在低至$10^{-15}$的出错率下具有接近香农容量的错误概率的成功码的设计。这些考虑促使我们进行进一步的调查。给出了一类具有拟循环结构的部分几何的一种新的简单构造，并研究了它们的性质。部分几何代码的捕获集先前被认为是使用底层结构的几何方面来导出关于允许的捕获集的大小的信息。在此进一步审议这一专题。最后，部分几何和强正则图之间有一种自然的联系。这种图的邻接矩阵的特征值是众所周知的，并且确定从部分几何导出的任何Tanner图对于某些参数集是否是良好的扩展器是有意义的，因为可以认为具有良好几何和扩展特性的代码在消息传递解码下可能表现良好。
2015-03-24 cs.IT math.IT
Cyclic codes over $\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4$
本文研究了环$R=\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4$，$u^2=0$上的循环码.我们已经考虑了奇数长度的循环码。给出了$R$上循环码是$\mathbb{Z}_4$ -free模的一个充分条件.本文给出了$R$上循环码生成元的一般形式，并确定了这类码的秩的计算公式。本文主要研究了环$R$上奇长的主生成循环码。本文确定了环$R$上奇长循环码是$R$ -free的一个必要条件和一个充分条件。
2015-01-06 cs.IT math.IT
Self-dual codes and LCD codes in sum-rank metric
本文引入和秩度量下的自对偶码与LCD码概念，提出从欧几里得自对偶码和LCD码构造这两种码的方法，并证明存在渐近良好的自对偶和秩码。
2025-10-13 cs.IT math.IT
Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v,w]/\langle u^2, v^2, w^2, uv-vu, vw-wv, uw-wu \rangle$
本文研究环$ \mathbb{F}_p[u,v,w]\langle u^2,$ $v^2, w^2$，$uv-vu, vw-wv, uw-wu \rangle$上的循环码，其中$p$是素数.它是Frobenius环家族的一部分。我们找到了这些码的唯一生成元集，并刻画了自由循环码的特征。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。我们还构造了一些好的$p-ary$码作为这些循环码的Gray映象。
2015-09-29 cs.IT math.IT
Cyclic codes over the ring $ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$
设$p$为素数。本文研究环$ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$上的循环码。我们发现这些代码的一组唯一的生成器。我们还研究了这些码的秩和汉明距离。我们得到了环$ \Z_p[u, v]/\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle$上除一个长度为12的三元最优码外的所有循环码的Gray像。我们还刻画了这些循环码在Gray映射下的$p$元象.
2014-06-04 cs.IT math.IT
Cyclic Codes from Cyclotomic Sequences of Order Four
循环码是线性码的一个有趣的子类，并且由于其高效的编码和解码算法而被用于消费电子、数据传输技术、广播系统和计算机应用中。本文利用三个四阶分圆序列构造了$\gf(q)$上的几类素数长度的循环码。在一定的条件下，最小重量的下界。得到的一些码是最优或几乎最优的。总的来说，本文构造的循环码是很好的。本文得到的一些循环码与几乎差集和差集有着密切的关系。作为副产品，计算这些（几乎）差集的$p$秩。
2012-07-11 cs.DM cs.IT math.IT
Optimal Geometries of Dual-Polarized Arrays for Large Point-to-Point MIMO Channels
本文针对近场点对点MIMO信道，推导双极化均匀矩形阵列的最优天线间距以实现理想信道容量，并据此给出最小化孔径面积和孔径长度的两种阵列几何结构。
2023-05-30 cs.IT eess.SP math.IT
