Some Repeated-Root Constacyclic Codes over Galois Rings
Galois环上的码在过去的三十年里得到了广泛的研究。对$GR(2^a,m)$上长度为$2^s$的负循环码进行了刻划：环$\mathcal{R}_2(a,m,-1)= \frac{GR(2^a,m)[x]}{\langle x^{2^s}+1\rangle}$是链环.进一步地，这些结果被推广到$λ$ -常循环码，对于任何形式为$4z-1$，$z\in GR(2^a, m)$的单元$λ$。在本文中，我们研究更一般的情况下，并调查所有的情况下，$\mathcal{R}_p(a,m,γ)= \frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{p^s}-γ\rangle}$是一个链环。特别地，得到了环$\mathcal{R}_p(a,m,γ)$为链环的充分必要条件.此外，当$\mathcal{R}_p(a,m,γ)$为链环时，利用此结构我们研究了$GR(p^a,m)$上所有的$γ$ -常循环码.给出了自正交和自对偶$γ$ -常循环码存在的充要条件。其中，对于任何素数$p$，$\mathcal{R}_p(a,m,γ)=\frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{p^s}-γ\rangle}$的结构被用于建立$γ$ -常循环码的汉明距离和齐次距离。
2017-08-15 cs.IT math.IT
A Galois Connection Approach to Wei-Type Duality Theorems
在$1991$中，魏证明了一个对偶定理，建立了一个有趣的线性码和其对偶码的广义汉明重量之间的联系。魏的对偶定理从此被广泛地从不同的角度研究，并扩展到其他设置。在本文中，我们重新检查魏的对偶定理及其各种扩展，以下简称为魏型对偶定理，从一个新的伽罗瓦连接的角度。我们的方法是基于观察到的广义汉明重量和尺寸/长度配置文件的线性码形成伽罗瓦连接。本文的中心结果是$\mathbb{Z}$的有限子集之间的两个Galois联络的一般Wei型对偶定理，由此可恢复所有已知的Wei型对偶定理.作为中心结果的推论，我们证明了有限集上定义的$w$ -半拟阵和模上定义的$w$ -半-多拟阵的新的Wei型对偶定理，从而统一和推广了所有已知的赋不同度量码的Wei型对偶定理.
2021-07-23 cs.IT math.IT
Quaternions over Galois rings and their codes
本文证明了：若$R$是Frobenius环，则四元数环$\mathcal{H}_{a,b}(R)$对所有单位元$a,b \in R$都是Frobenius环.特别地，如果$q$是奇素数幂，则$\mathcal{H}_{a,b}(\mathbb{F}_q)$是半单非交换矩阵环$M_2(\mathbb{F}_q)$。因此，获得取决于场大小$q$的均匀权重。另一方面，给出了具有唯一极小理想的有限Frobenius环的齐次权与理想大小的关系。伽罗瓦环上的四元数$GR(2^r,m)$说明了这一点。最后，构造了Galois环上四元数上的单边线性分组码，并证明了这些码的象的齐次距离的某些界。这些界限是基于四元数码的汉明距离和伽罗瓦环的参数。给出了单边率为2/6，3-准循环四元数码及其图像的实例。其中一个码满足Singleton界，因此是最大距离可分码。
2021-09-02 cs.IT math.IT math.RA
Skew Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
有限域上的斜多项式环（[7]和[10]）和Galois环（[8]）已经被用来研究码。在本文中，我们将这一概念推广到有限链环。研究了由$x^n-λ$（其中$λ$为单位元）的幺右因子生成的斜常循环码的性质.当$λ^2=1$时，确定了这类码的欧几里德和厄米特对偶码的生成元，以及它们是欧几里德和厄米特自对偶码的充要条件.更感兴趣的是环$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$上的码。完全确定了所有斜常循环码的结构。这使我们能够表示生成元的欧几里德和厄米特对偶码的斜循环和斜双循环码的原始代码的生成元。给出了$\mathbb{F}_{3}+u\mathbb{F}_{3}$上所有长度为~2的斜循环码及其欧几里德和厄米特对偶码的一个例子。
2010-10-01 cs.IT math.IT math.RA
Linear Codes over $\mathbb{F}_{q}[x]/(x^2)$ and $GR(p^2,m)$ Reaching the Griesmer Bound
在有限环$\mathbb{F}_{q}[x]/(x^2)$和Galois环$GR(p^2,m)$上构造了两类分别达到Griesmer界的线性码.利用Gray映射导出了有限域$\mathbb{F}_{q}$上的两类码.由$\mathbb{F}_{q}[x]/(x^2)$导出的$\mathbb{F}_{q}$上的第一系列码是线性的，并且在某些情况下也达到Griesmer界。我们构造的许多有限域上的线性码都有两个Hamming（非零）权。
2016-12-04 cs.IT math.IT
Constacyclic codes of length $4p^s$ over the Galois ring $GR(p^a,m)$
对于素数$p$，$GR(p^a,m)$表示阶为$p^{am}$和$p$的伽罗瓦环，其中$a$是任何正整数。本文研究环$GR(p^a,m)$上长度为$4p^s$的（1）型$λ$ -常循环码，其中$λ=ξ_0+pξ_1+p^2z$，$ξ_0,ξ_1\in T(p,m)$是非零元素，$z\in GR(p^a,m)$ .在第一种情况下，当$λ$是正方形时，我们证明了$\mathcal{R}_p(a,m,λ)=\frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{4p^s}-λ\rangle}$的任何理想都是$\frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{2p^s}-δ\rangle}$与$\frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{2p^s}+δ\rangle}$的理想的直和。第二，当$λ$不是正方形时，我们证明了$\mathcal{R}_p(a,m,λ)$是一个链环，其理想是$\langle (x^4-α)^i\rangle\subseteq \mathcal{R}_p(a,m,λ)$，对于$0\leq i\leq ap^s$，其中$α^{p^s}=ξ_0$。证明了上述码的对偶是$\langle (x^4-α^{-1})^{ap^s-i}\rangle\subseteq \mathcal{R}_p(a,m,λ^{-1})$，并分别给出了这些码是自…
2023-01-15 cs.IT math.IT
Quaternary Preparata codes are quasi-perfect covering codes in the Hamming metric
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那传教士维韦卡南达教育研究机构）
该论文证明四元Preparata码在汉明度量下对奇数长度参数为准完全覆盖码，覆盖半径为2、最小距离为4，并改进覆盖数上界，如$K_4(8,2)\le 256$。
2026-10-06 cs.IT math.IT
Grassmannian Codes as Lifts of Matrix Codes Derived as Images of Linear Block Codes over Finite Fields
设$p$是素数，使得$p \equiv 2$或$3$ mod $5$。在赋Bachoc权的素域$GF(p)$上的$2 \times 2$矩阵的非交换矩阵环上的线性分组码被导出为赋Hamming度量的Galois域$GF(p^2)$上的线性分组码的等距像.当被视为秩度量码时，这类矩阵码满足Singleton界，因此是最大秩距离码，然后将其提升以形成一类特殊的子空间码，格拉斯曼码，满足反码界。这些所谓的反码最优格拉斯曼码以某种方式与完全图相关联。给出了这些最大秩距离码和反码最优格拉斯曼码的新例子。
2015-02-14 cs.IT math.IT
Computer classification of linear codes based on lattice point enumeration and integer linear programming
针对有限域上受限权重集线性码的分类问题，提出基于格点枚举和整数线性规划的算法框架，给出射影双权重码等三类码的新枚举及不存在性结果。
2024-03-26 cs.IT math.CO math.IT
Two-weight codes over the integers modulo a prime power
设$p$为素数。证明了长度为$p^2-1$、维数为$2$的不可约循环码在整数模$p^h$上具有两个非零汉明重量.该构造使用特征$p^h$和阶数$p^{2h}.$的伽罗瓦环。当校验多项式是本原时，代码满足（Shiromoto，Storme）（2012）的Griesmer界。通过打孔构造了一些投影码。长度为$p+1$的那些满足的类单重界（Shiromoto，2000）。一个强正则图的无限族被构造为这些投射码的子图的陪集图。所有这些图的一个共同的覆盖，为固定的$p$，通过考虑这些循环码的Hensel提升的$p$ -进数。
2019-11-15 cs.CR cs.IT math.IT
An Efficient Construction of Self-Dual Codes
通过解决$GF(q)$上有$q \equiv 3 \pmod 4$的开放情形，以及$\Z_{p^m}$和有奇素数$p$的Galois环$\GR(p^m,r)$上满足$p \equiv 3 \pmod 4$且$r$为奇的开放情形，完成了自对偶码的构造.我们还将自对偶码的构造推广到有限链环上。我们的构造产生了许多新的有趣的自对偶码。特别地，我们构造了945个新的极值自对偶三元$[32,16,9]$码，每个码都有一个平凡的自同构群。我们还得到了许多新的长度为$12, 16, 20$的$\mathbb Z_9$上的自对偶码，它们的最小汉明重量都是6，这是这些长度的$\Z_9$上的自由自对偶码所能达到的最佳可能的最小汉明重量。从$\mathbb Z_9$上构造的码出发，我们利用构造$A$重构了维数为$12, 16, 20,$和24的最优I型格，这表明我们的构造对于寻找最优I型格和自对偶码有很好的贡献.我们还找到了GF（7）上新的最优自对偶$[16,8,7]$码和GF（7）上新的具有最佳已知参数$[24,12,9]$的自对偶码。
2012-01-27 cs.IT math.CO math.IT
Rank equivalent and rank degenerate skew cyclic codes
两个斜循环码只有当它们具有相同的长度时才能等价于汉明度量，并且只有零码是退化的。对于秩度量，情况完全不同，其中当在网络上应用代码时，代码的长度对应于来自源的传出链路的数量。我们研究不同长度的斜循环码之间的秩等价关系，为了找到最小长度的斜循环码，即秩等价于给定的斜循环码，我们定义了给定斜循环码的不同类型的长度，将它们联系起来，并在大多数情况下计算它们。利用常规多项式和线性化多项式给出了秩退化斜循环码的不同刻画。作为特例，得到了某些长度循环码的秩-权族的一些已知结果，并推广到所有长度和所有斜循环码。最后，我们证明了与给定的斜循环码秩等价的线性码的最小长度可以由伪斜循环码得到。在本文中，我们发现了线性斜循环码和它们的Galois闭包之间的新关系。
2016-01-26 cs.IT math.IT
Harder-Narasimhan theory for linear codes
在本文中，我们开发了一些方面的Harder-Narasimhan理论，斜率，半稳定性和典型的过滤，在组合格的设置。值得注意的重要性是与两个格之间的伽罗瓦连接相关联的哈德-纳拉辛汉结构。它特别适用于拟阵。然后我们将其专门化为线性码。这至少可以通过三种不同的方法来实现：使用球填充类比，或几何视图，或刚刚介绍的伽罗瓦连接构造。一个值得注意的事实是，这些都导致相同的概念半稳定性和典型的过滤。关系到以前的命题对分类的代码，和魏的广义汉明重量层次，也进行了讨论。最后，我们研究的重要问题，保持半稳定性（或更一般的行为的斜坡）下的对偶，并根据张量积。前者基本上遵循魏的对偶定理更高的权重-和它的拟阵版本-我们重新在附录中，发展类似的黎曼-罗奇，塞尔对偶，克利福德，差距和角序列定理的代码。同样，后者与魏和杨提出的张量积的高权上界密切相关，并由Schaathun用几何语言证明，我们直接用代码重新表述。从这一材料，我们然后推出半稳定性的张量积。
2018-09-10 cs.IT math.AG math.CO
Nonbinary stabilizer codes over finite fields
量子通信和计算中的一个巨大困难是保护携带信息的量子态免受与环境的不期望的相互作用。在过去的几年中，许多优秀的量子纠错码都是以二元稳定子码的形式出现的。容错量子计算促进了对非二进制量子码的研究，但这种码的理论不如二进制量子码先进。本文描述了有限域上稳定子码的基本理论。稳定子码和一般量子码之间的关系，澄清了这些对象引入伽罗瓦理论。利用GF（q^2）上的经典码对GF（q）上的非二元稳定子码进行了刻画，推广了二元情况下GF（4）上的加法码的概念.本文给出了稳定子码的最小距离的上下界，给出了几种稳定子码的构造方法，并导出了稳定子码族，包括量子汉明码、二次剩余码、量子Melas码、量子BCH码和量子特征码。Rains的删余理论被推广到不一定是纯的加法码。给出了最大距离可分稳定子码的最大长度的界。开放的问题的讨论结束本文。
2005-08-17 cs.IT math.IT quant-ph
