Majority-logic Decoding with Subspace Designs
Rudolph（1967）为从组合设计得到的线性码引入了一步多数逻辑译码。该译码器易于硬件实现，并且要求对偶码必须包含所谓的几何设计块作为码字。Peterson和Weldon（1972）将Rudolphs算法扩展为两步多数逻辑解码器，其纠正的错误数量与Reed著名的多步多数逻辑解码器相同。在这里，我们研究的代码从子空间设计。事实证明，这些代码具有相同的多数逻辑译码能力的代码从几何设计，但他们的多数逻辑译码的复杂性有时显着改善。
2019-12-19 cs.IT math.CO math.IT
Row Reduction Applied to Decoding of Rank Metric and Subspace Codes
我们表明，$\ell$交织Gabidulin码的解码，以及列表$\ell$解码Mahdavifar-Vardy码可以通过行减少斜多项式矩阵。受$\F[x]$矩阵行约化的启发，我们提出了一种通用的、灵活的将斜多项式环上矩阵转化为某种约化形式的方法。我们应用这一点来解决广义移位寄存器的问题发生在解码$\ell$交错Gabidulin码的斜多项式环。我们得到了一个算法的复杂度$O(\ell μ^2)$其中$μ$措施的输入问题的大小，并成正比的代码长度$n$的情况下，解码。此外，我们展示了如何执行列表- $\ell$ -解码Mahdavifar-Vardy码的内插步骤的复杂性$O(\ell n^2)$，其中$n$是内插约束的数量。
2016-07-14 cs.IT math.IT
List-decoding of Subspace Codes and Rank-Metric Codes up to Singleton Bound
子空间码和秩度量码可以用来纠正网络中的错误和擦除，而线性网络编码可以用来纠正网络中的错误和擦除。Koetter和Kschischang引入了子空间码，用于纠正拓扑未知（非相干情况）的网络中的错误和擦除。在之前的工作中，我们基于Koetter-Kschichang构造开发了一族子空间码，它们可以高效地列表解码。使用这些代码，我们实现了一个更好的解码半径比Koetter-Kschischiang码在低速率。在这里，我们介绍了一个新的家庭的子空间代码的基础上，导致一个线性代数列表解码算法的不同的方法。所得到的纠错半径可以表示如下：对于任何整数$s$，我们的列表解码器使用$s+1$插值多项式保证成功恢复的消息子空间提供的标准化的错误的维度是最多$s(1-sR)$。相同的列表解码算法可用于纠正擦除以及错误。输出列表的大小最大为$Q^{s-1}$，其中$Q$是从其中选择消息符号的字段的大小。秩度量码适合于在网络拓扑和底层网络码已知的情况下（相干情况）进行纠错。Gabidulin码是一类著名的代数秩度量码，其满足码的最小秩度量的Singleton界。在本文中，我们介绍了一个折叠版本的Gabidulin码类似的折叠Reed-Solomon码的Guruswami和Rudra随着列表解码算法，这样的代码。我们的列表解码算法使得有可能恢复的消息提供的标准化秩的错误是最多$1-R-ε$，对于任何$ε> 0…
2012-02-04 cs.IT math.IT
Pruned Collapsed Projection-Aggregation Decoding of Reed-Muller Codes
本文提出了解码Reed-Muller（RM）码投影到只有少数几个子空间，使投影的数量显着减少。它揭示了错误对在两个不同的投影中同时被抵消的概率取决于它们的相交大小。然后，在子空间集合中引入相关系数来表示集合中两个子空间的交集大小。仿真结果表明，我们提出的方法与少量的投影到收集的子空间执行接近原来的方法。
2021-05-25 cs.IT math.IT
Decoding of Subspace Codes, a Problem of Schubert Calculus over Finite Fields
舒伯特演算提供了解决枚举问题的代数工具。在系统论、线性代数和物理学中，已有许多应用问题是用Schubert微积分来研究的。当基域是代数闭域时，该方法是最强大的。在这篇文章中，我们首先回顾了一些成功的舒伯特微积分在过去。然后，我们展示了如何使用的子空间码的随机网络编码的解码问题可以制定为舒伯特演算的问题。由于这种应用的基本领域已被假定为一个有限的领域，新的技术将不得不在未来的发展。
2012-09-13 cs.IT math.IT
An extended Krylov subspace method for decoding edge-based compressed images by homogeneous diffusion
本研究针对基于修复的有损压缩中热方程求解的需求，提出扩展Krylov子空间方法来数值求解热方程，该方法在大时间解的直接计算上高效，适用于通过均匀扩散解码边缘压缩图像。
2025-03-25 cs.IT cs.NA math.IT
Decoding Analog Subspace Codes: Algorithms for Character-Polynomial Codes
本研究针对特征多项式（CP）码这类模拟子空间码，提出可复用Reed-Solomon码经典译码方法的高效最小距离与列表译码算法，验证其多数情况可实现唯一译码，并分析了结构利用带来的译码性能提升。
2024-07-09 cs.IT eess.SP math.IT
Enhanced Algebraic Error Control for Random Linear Network Coding
差错控制对网络编码具有重要意义，因为如果不加以控制，差错会极大地降低网络编码的吞吐量增益，并严重破坏数据的可靠性和安全性。两个家庭的代码，子空间和秩度量码，已被用来提供随机线性网络编码的错误控制。在本文中，我们提高了这两个家庭的代码的纠错能力，通过使用一种新的双层解码方案。虽然子空间和秩度量码的解码服务于第二层解码，我们建议通过利用子空间和秩度量码的汉明距离特性在分组级上执行第一层解码。这种分组级解码也可以由中间结点实现以减少错误传播。为了支持第一层解码，我们还研究了三个重要的家庭的子空间和秩度量码，Gabidulin码，Kotter-Kschischang码，Mahdavifar-Vardy码的汉明距离性质。据我们所知，这些代码的两层解码方案和海明距离属性都是新颖的。
2012-05-03 cs.IT math.IT
RPA Decoding with Few Subspace Projections for Correcting Structured Error Patterns in RM Codes
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文针对RM码的RPA译码，提出通过选择合适子空间减少投影数量以纠正结构化错误，单突发错误时每递归层仅需3个子空间即可完成纠正。
2026-10-14 cs.IT math.IT
Combinatorial Solution of the Syndrome Decoding Problem using Copula on Grassmann graph
伴随式译码问题的计算困难性假设在设计基于码的密码系统的安全性时是有用的，这些密码系统可以抵抗量子计算。由于使用从子空间建模的高次线性化多项式方程求解的复杂性，我们提出利用由边界测量映射构造的Grassmann图中的子空间之间的依赖性，通过使用Copula函数。我们还使用Copula函数来估计这些子空间中的边缘分布。然后，使用基于最大似然的估计方法来搜索使条件分布最大化的码字，并且在该过程中近似问题的解。仿真结果表明，该方案的误比特率出错率性能优于信息集译码方法。
2021-06-29 cs.IT math.IT
On the Rank Decoding Problem Over Finite Principal Ideal Rings
在过去的十年中，秩解码问题一直是备受关注的主题。这个问题是基于秩度量码的公钥密码系统安全性的基础，传统上是在有限域上研究的。但是，最近的推广某些类的秩度量码从有限域有限环自然产生的兴趣，以解决有限环的情况下的秩译码问题。本文证明了有限主理想环上的秩译码问题的求解至少与有限域上的秩译码问题一样困难。我们还表明，计算有限主理想环上的线性码的最小秩距离是等价于相同的问题，在有限域上的线性码。最后，我们提供了解决有限链环上的秩译码问题的组合型算法及其平均复杂度。
2022-08-15 cs.IT math.IT
On interpolation-based decoding of a class of maximum rank distance codes
针对Trombetti和Zhou最近提出的一类最大秩距离码，提出了一种基于插值的译码算法。我们采用的Dickson矩阵的性质与一个给定的秩和修改的Berlekamp-Massey算法的线性化多项式的解码。当误差向量的秩达到唯一的译码半径时，问题转化为求解一个二次多项式，从而保证译码算法具有多项式时间复杂度.
2021-05-07 cs.IT math.IT
Construction of Subspace Codes through Linkage
提出了一种构造，其允许使用较短长度的子空间码结合秩度量码来产生长长度的子空间码。所得到的码的子空间距离，称为链接码，是一样好的组成码的最小子空间距离。作为一个特殊的应用，最有名的部分传播的建设是复制。最后，对于一种特殊的连接情况，提出了一种译码算法，它相当于对较小的组成码进行译码，并且可以并行化。
2015-05-08 cs.IT math.CO math.IT
A Decoding Algorithm for Rank Metric Codes
在这项工作中，我们将提出解码算法的秩度量码。首先，我们将研究一种新的Gabidulin码的译码算法，该算法利用Dickson矩阵对应于线性化多项式的性质。我们将在这个过程中使用Berlekamp-Massey算法。我们将展示我们的算法和现有算法之间的差异。除了是一种新的译码算法外，它还可以被修改为一般的扭曲Gabidulin码的译码算法。
2018-01-31 cs.IT math.IT
Encoding and Decoding of Several Optimal Rank Metric Codes
本文给出了几类最优秩度量码的编码和译码算法，它们的码是对称矩阵、交错矩阵和厄米特矩阵的限制形式。首先，我们证明了求值编码是这些代码的正确选择，然后我们为每个家族提供了简单的可逆编码方法。随后描述了用于码的唯一解码算法。解码算法是基于内插的，并且可以在多项式时间内唯一地校正具有高达$\lfloor(d-1)/2\rfloor$的秩的每个码的错误，其中$d$是码的最小距离。
2022-02-07 cs.IT math.IT
Improved decoding of symmetric rank metric errors
我们考虑秩度量码的译码问题，假设误差矩阵是对称的。我们证明了两个结果。首先，对于速率$<1/2$，存在一个广泛的秩度量码族，对于该秩度量码，任何对称错误模式，甚至最大秩的对称错误模式都可以被校正。此外，相应的可解码码族包括速率为$<1/2$的Gabidulin码。第二，对于速率$>1/2$，我们提出了一种Gabidulin码的解码器，纠正秩高达$n-k$的对称错误。这两个解码器是确定性的和最坏的情况。
2023-03-22 cs.IT math.IT
Generic Decoding in the Sum-Rank Metric
我们提出了第一个非平凡的通用解码算法的代码在秩和度量。新方法结合了著名的通用解码器的汉明和秩度量的想法。对于相同的码参数和错误数量，新的通用解码器具有比已知的通用解码器更大的期望复杂度，对于汉明度量，并且比已知的秩度量解码器更小。此外，我们给出了一个正式的硬度减少，提供证据表明，通用的和秩解码是计算困难的。作为上述的副产品，我们解决了一些基本的编码问题的和秩度量：我们给出了一个算法来计算一个给定的和秩半径的球体的确切大小，也给出了一个上界作为一个封闭的公式;我们研究擦除解码相对于两个不同的概念的支持。
2021-10-28 cs.IT math.IT
Layered Subspace Codes for Network Coding
子空间码是由Kötter和Kschischang引入的，用于随机线性网络编码中的错误控制。本文研究了一种分层型的子空间码，它可以看作是多个分量子空间码的叠加。利用分层结构，我们开发了两个解码算法，这些代码。第一种算法通过单独解码每个分量码来操作。第二种算法类似于用于常规叠加编码的连续干扰消除（SIC）算法，并且还允许迭代版本。我们表明，这两种算法解码不仅确定性，但也超出了整个代码的纠错能力的概率。最后，我们提出了分层子空间码在几种网络编码方案中的可能应用。
2012-09-13 cs.IT math.IT
Decoding a class of maximum Hermitian rank metric codes
Schmidt在2018年引入了最大Hermitian秩度量码，在本文中，当码的长度和最小距离都是奇数时，我们为这类码提出了基于插值的编码和解码算法。
2021-06-24 cs.IT math.IT
A new class of rank-metric codes and their list decoding beyond the unique decoding radius
与经典分组码相比，秩度量码的有效列表译码显得更加困难。虽然随机秩度量码的列表可译码性和列表可译码性的极限已经完全确定，但关于秩度量码的有效列表译码的工作还很少。秩度量码$\mC$的唯一已知的有效列表解码在$R$非常小时，即，$Θ(\Ge^2)$，其中$ρ(\mC)$表示$\mC$ \cite的行数与列数之比[STOC 2013]{Guru 2013}。通常认为，具有不小常数比$ρ(\mC)$的秩度量码$\mC$的列表译码是困难的。本文的主要目的是显式地构造一类具有不小常数比$ρ(\mC)$的秩度量码$\mC$，并在译码半径超过$(1-R)/2$的情况下对这类码进行有效的列表译码.我们的关键思想是采用双变量多项式$f(x,y)$，其中$f$在变量$x$中线性化，变量$y$用于“折叠”代码。换句话说，行用于校正秩误差，列用于“折叠”代码以扩大解码半径。除了上面的代数技巧外，我们还必须精简列表。代数思想使我们能够将消息固定到一个结构化的子空间中，该子空间的维度在列数$n$中是线性的。这种“周期性”结构允许我们对消息进行预编码，以精简列表。更准确地说，我们使用子空间设计中引入的\cite [STOC 2013]{Guru 2013}，以获得一个确定性的算法与一个较大的常数列表大小，并采用分层子空间回避集引入\cite [STOC 2012]{Guru 2012}，以获得一个随机化的算法与一…
2015-09-24 cs.IT math.IT
Decoding High-Order Interleaved Rank-Metric Codes
本文提出了一种在秩度量上交织阶数较高的齐次交织码的译码算法。新的译码器是Metzner和Kapturowski（1990）的Hamming度量译码器的一个改进，保证纠正所有的秩误差，其权值最高可达$d-2$，其在码的大基域上的秩等于误差数，其中$d$是底层码的最小秩距离。与现有的译码算法相比，新的译码器不仅适用于Gabidulin码，而且适用于任何秩度量码。它完全基于线性代数计算，并且具有明确且易于处理的成功条件。此外，一个下界上的解码成功概率的随机错误的一个给定的权重推导出来。在Gabidulin码的特殊情况下，给出了新算法与现有交织译码器的关系。
2019-04-18 cs.IT math.IT
Efficient Decoding of Interleaved Low-Rank Parity-Check Codes
提出并分析了一种有效的水平u交织LRPC码译码算法。推导了该算法的译码失败率和计算复杂性的上界。结果表明，交织减少解码失败率指数交织顺序u，而计算复杂性线性增长。
2019-08-28 cs.CR cs.IT math.IT
Spatially-Coupled Binary MacKay-Neal Codes for Channels with Non-Binary Inputs and Affine Subspace Outputs
本文研究了在$2^m$ -ary输入$\underline{x}\in \mathbb{F}_2^m$和输出$\underline{y}=\underline{x}+\underline{z}\in \mathbb{F}_2^m$的信道下的LDPC码.接收机知道子空间$V\subset \mathbb{F}_2^m$，从该子空间中均匀地选择$\underline{z}=\underline{y}-\underline{x}$。或者等效地，接收机接收$\underline{x}$所在的仿射子空间$\underline{y}-V$。我们考虑一个联合迭代译码器，包括信道检测器和LDPC译码器。本文中考虑的解码系统可以被看作是在非二进制调制信号输入上的联合迭代解码器的简化模型，$2^m$ -QAM。我们通过密度演化来评估二进制空间耦合MacKay-Neal码的性能。通过增加$m$，迭代解码阈值严重退化。类似EXIT的函数曲线计算表明，这种退化是由摆动引起的，可以通过增加随机窗口大小来减轻。由此产生的迭代解码阈值非常接近香农极限。
2012-05-20 cs.IT math.IT
Decoding of Space-Symmetric Rank Errors
本文研究了某些Gabidulin码的解码，在信道上传输的空间对称错误。空间对称误差是具有列和行空间相等的属性的加性误差矩阵。我们表明，对于限制空间对称错误的信道，具有高概率的错误秩高达2（n-k）/3可以解码的Gabidulin码的长度为n和维度为k，使用弱自正交基作为代码定位器。
2021-02-04 cs.IT math.IT
Space-Time Codes Based on Rank-Metric Codes and Their Decoding
我们提出了一类新的空时分组码的基础上有限域秩度量码结合秩度量保持映射到爱森斯坦整数。结果表明，这些代码实现最大的多样性秩序，并改善某些现有的建设。此外，我们提出了一种新的解码算法，这些代码，利用基本的有限域秩度量码的代数结构，并采用格减少辅助均衡。这种解码器并没有达到与经典的最大似然解码方法相同的性能，但在矩阵维度上具有多项式复杂度，使其可用于大字段大小和天线数量。
2017-05-29 cs.IT math.IT
New Communication Models and Decoding of Maximum Rank Distance Codes
本文提出了一种基于内插的译码算法，用于在细受限信道中传输的Gabidulin码的译码。该算法能够解码超过一半的最小距离的一个单位的秩错误。对现有的广义扭Gabidulin码和加性广义扭Gabidulin码的译码算法进行了改进。
2021-10-11 cs.IT math.IT math.RA
Efficient Decoding of Folded Linearized Reed-Solomon Codes in the Sum-Rank Metric
最近，在和秩度量的代码引起了人们的注意，由于在多点网络编码，分布式存储和量子抗密码学的几个应用。Reed-Solomon码和Gabidulin码的秩和类似物是线性化的Reed-Solomon码。我们展示了如何构建$h$折叠线性里德所罗门（FLRS）码，并推导出一个基于插值的解码方案，能够纠正超出唯一的解码半径的秩和错误。所提出的解码器可以用于列表或概率唯一解码，并且最多需要$\mathbb{F}_{q^m}$中的$\mathcal{O}(sn^2)$操作，其中$s \leq h$是插值参数，$n$表示展开码的长度。我们推导出一个启发式上界的概率唯一解码器的失败概率，并通过蒙特卡罗模拟验证结果。
2022-09-03 cs.IT math.IT
On Decoding High-Order Interleaved Sum-Rank-Metric Codes
我们考虑具有高交织阶数$s$的垂直均匀交织秩和度量码的解码，该码是通过堆叠单个组成码的$s$码字而构造的。提出了一种Metzner-Kapturowski类译码算法，当交织阶数$s > t$和误差矩阵满足一定的秩条件时，该算法能够纠正秩和权值$t <= d-2$的错误，其中$d$是码的最小距离.所提出的解码算法在汉明度量和秩度量方面推广了Metzner-Kapturowski（类）解码器，并且在$\mathbb{F}_{q^m}$中具有$\tilde{O}(\max(n^3, n^2 s))$操作的计算复杂性，其中$n$是码的长度。该方案只执行线性代数运算，因此适用于任何交织线性秩和度量码。我们展示了如何解码器可以用来解码高阶交织码的偏斜度量。除了错误控制，建议的解码器允许确定的安全级别的代码为基础的密码系统的基础上交织和秩度量码。
2023-03-30 cs.IT math.IT
On the hardness of the decoding and the minimum distance problems for rank codes
本文给出了秩码的秩伴随式译码问题和秩最小距离问题的随机约化。我们的结果是基于嵌入从线性码配备了汉明距离线性码的扩展域配备了秩度量。我们证明了，如果前面的两个问题的秩度量是在ZPP = RP $\cap$ coRP，那么我们将有NP=ZPP。我们也给出了各自的近似问题的秩度量的复杂性结果。
2014-04-14 cs.CC cs.IT math.IT
A decoding algorithm for Twisted Gabidulin codes
本文对Koetter和Kschischang提出的子空间码译码算法进行了改进，得到了一种（广义）扭曲Gabidulin码的译码算法。我们提出的解码算法适用于码在基域$\mathbb{F}_q$上是线性的但在$\mathbb{F}_{q^n}$上不是线性的情况。
2017-05-22 cs.IT math.IT
Rank Two Bundles on Algebraic Curves and Decoding of Goppa Codes
我们研究了两个主题之间的连接：解码Goppa码所产生的代数曲线，并排名两个扩展的某些线束的曲线。
2003-01-14 alg-geom cs.IT math.AG
Bounds on List Decoding of Rank-Metric Codes
到目前为止，还没有多项式时间的列表解码算法（超过一半的最小距离）的Gabidulin码。这些码可以被看作是秩度量等效的里德-所罗门码。在本文中，我们提供的秩度量码的列表大小的界限，以了解是否多项式时间列表解码是可能的，或者它是否只适用于指数时间复杂度。证明了列表大小的三个界限。第一个是Gabidulin码的指数下界，并表明对于这些代码，没有多项式时间列表解码超出约翰逊半径存在。其次，指数上界推导出，这适用于任何秩度量码的长度$n$和最小秩距离$d$。第三个界限证明，存在一个秩度量码在$\Fqm$的长度$n \leq m$，使列表的大小是指数的长度为任何半径大于一半的最小秩距离。这意味着不存在类似于Hamming度量中Johnson界的仅依赖于$n$和$d$的多项式上界。这三种秩度量界与汉明度量下的码界都有很大的不同。
2013-07-18 cs.IT math.IT
Construction and Fast Decoding of Binary Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文基于BCH码、Goppa码和加性四元汉明度量码构造矩阵大小为2×2的二元线性秩和度量码，并给出至多O(t²)运算的快速译码算法，同时构造出渐近性能良好的二次时间可编码译码码序列。
2024-04-04 cs.IT math.IT
Decoding up to Hartmann-Tzeng and Roos bounds for rank codes
提出同时推广 Gabidulin 码与斜循环码的线性分组码类，建立秩距离的类 Hartmann-Tzeng 与 Roos 界及对应译码算法，并给出子域子码和交织码的等价构造。
2025-03-17 cs.IT math.IT
Support-Guessing Decoding Algorithms in the Sum-Rank Metric
本文研究和秩度量码的支持猜测译码算法，推导渐近最优支持猜测分布并给出精确复杂度估计，同时为LRS码提出基于错误与擦除译码器的随机化译码算法，扩展唯一译码半径之外的能力。
2024-10-21 cs.IT math.IT
Efficient List-Decoding with Constant Alphabet and List Sizes
我们提出了一个明确的和有效的代数结构的能力实现列表可解码的代码与恒定的字母表和恒定的列表大小。更具体地说，对于任何$R \in (0,1)$和$ε>0$，我们给出了一个代数结构的一个无限家庭的纠错码率$R$，在一个字母表的大小$(1/ε)^{O(1/ε^2)}$，可以列表解码从$(1-R-ε)$ -分数的错误列表大小最多$\exp(\mathrm{poly}(1/ε))$。此外，可以在时间$\mathrm{poly}(1/ε, n)$中对代码进行编码，输出列表包含在维度至多为$\mathrm{poly}(1/ε)$的线性子空间中，并且可以在时间$\mathrm{poly}(1/ε, n)$中找到该子空间的基。因此，编码和列表解码都可以在完全多项式时间的$\mathrm{poly}(1/ε, n)$中执行，除了修剪子空间和输出最终列表需要时间$\exp(\mathrm{poly}(1/ε))\cdot\mathrm{poly}(n)$。我们的代码非常自然和结构化。具体来说，我们使用代数几何（AG）代码的评价点限制在一个子域，并与消息空间限制在一个（精心选择的）线性子空间。我们的主要观察结果是，输出列表的AG代码与子域评估点包含在仿射移位的图像的块三角Toeplitz（BTT）矩阵，列表的大小可以潜在地减少到一个常数，通过限制消息空间的BTT回避子空间，这是一个大的子空间，相交的图像中…
2021-06-09 cs.CC cs.IT math.IT
Explicit rank-metric codes list-decodable with optimal redundancy
我们构建了一个显式家庭的线性秩度量码在任何字段${\mathbb F}_h$，使有效的列表解码高达一个分数$ρ$的错误的秩度量与率$1-ρ-ε$，任何所需的$ρ\in (0,1)$和$ε> 0$。以前，这样的代码的蒙特卡罗构造是已知的，但这实际上是第一个明确的构造正速率秩度量代码的列表解码超出唯一的解码半径。我们的代码是著名的Gabidulin代码，编码线性化多项式的低程度通过其值在线性独立的点的集合的子码。通过将消息多项式限制到${\mathbb F}_h$ -子空间来挑选子码，该子空间避开由于Guruswami和Xing（STOC'13）而在用于Gabidulin码的线性代数列表解码器中出现的扩展字段${\mathbb F}_{h^t}$上的结构化子空间。这个子空间是通过将Guruswami和Kopparty（FOCS'13）构造的子空间设计与Dvir和Lovett（STOC'12）的子空间回避变体相结合而获得的。我们建立了一个类似的结果，子空间码，这是一个集合的子空间，其中每对低维交叉，并已受到广泛关注，最近在网络编码的上下文中。我们还给出了明确的子码折叠Reed-Solomon（RS）码的小折叠顺序，是列表解码（在汉明度量）与最佳冗余，动机的事实，列表解码RS码减少到列表解码这样的折叠RS码。然而，由于我们仅列表解码这些码的子码，因此约翰逊半径仍然是列表解码RS码的最佳已知…
2013-12-02 cs.CC cs.DM cs.IT
Conditional Correctness in List Decoding: How a Late Second Codeword Can Rescue Confidence in the First
Northeastern University（东北大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究列表解码中似然排名与解码正确性后验概率的关系，证明后续列表条目携带额外可靠性信息，并刻画了首个条目的渐近可靠性仅取决于第一、第二及最后排名。
2026-10-05 cs.IT math.IT
Decoding rank metric Reed-Muller codes
本文提出了一种多项式时间算法，用于解码秩度量Reed-Muller码，能够纠正任意秩不超过最小距离一半的误差。
2025-11-25 cs.IT math.CO math.IT
Randomized Decoding of Gabidulin Codes Beyond the Unique Decoding Radius
我们解决的问题超出其独特的纠错半径的Gabidulin码的解码。该问题的复杂性对于评估一些基于秩度量码的密码系统的安全性具有重要意义。我们提出了一种方法，引入行或列擦除，以减少错误的秩，以便使用任何适当的多项式时间Gabidulin码错误擦除解码算法。这种方法比通用等级度量解码器改进了指数因子。
2020-02-10 cs.CR cs.IT math.IT
Properties of subspace subcodes of optimum codes in rank metric
最大秩距离码MRD-码与MDS-码在秩度量上是等价的。给定素数的任意整数$q$幂和任意整数$n$，存在$\FF{q^n}$上长度为$n$的MRD码族，其具有多项式时间解码算法。这些码可以被看作是用于秩度量的里德-所罗门码（以下表示为RS码）的类似物。本文刻画了它们的子空间子码。它表明，他们是等价的MRD码以同样的方式构造，但具有较小的参数。设计了一种具体的多项式时间译码算法。进一步证明了子空间码的直和等价于参数较小的MRD码的直积。这意味着解码过程可以纠正比纠错能力更高秩的错误。最后，它表明，对于给定的参数，子域子码的特点是完全由一般的线性组${GL}_n(\FF{q})$的非奇异$q$元矩阵的大小$n$的元素。
2006-07-25 cs.DM cs.IT math.IT
Linear-algebraic list decoding of folded Reed-Solomon codes
折叠Reed-Solomon码是实现速率和纠错能力之间的最佳折衷的显式码族：具体地，对于任何$\eps > 0$，作者和Rudra（2006，08）提出了$n^{O(1/\eps)}$时间算法，以从错误的一部分$1-R-\eps$中列表解码速率为$R$的适当折叠RS码。该算法基于多元多项式插值和延拓域上的求根。Vadhan指出，如果满足于较小的解码半径，则插值线性多项式就足够了（但对于上述形式的陈述仍然足够）。在这里，我们给出了一个简单的线性代数为基础的分析这个变种，消除了计算昂贵的根查找步骤的需要，在扩展字段（实际上任何提到的扩展字段）。整个列表解码算法是线性代数的，求解一个线性系统用于插值步骤，另一个线性系统用于找到候选解的小子空间。除了修剪这个子空间的步骤，该算法可以实现在{ \em quadratic}时间内运行。折叠RS码的理论缺陷是解码复杂度和已证明的最坏情况列表大小界都是$n^{Ω(1/\eps)}$。通过将上述思想与作为消息的所有多项式的伪随机子集相结合，我们得到了实现$O(1/\eps^2)$的列表大小界的Monte Carlo构造，该列表大小界非常接近于存在的$O(1/\eps)$界（然而，解码复杂度仍然是$n^{Ω(1/\eps)}$）。我们的工作强调，构建与低维子空间具有小交集的显式{ \em子空间规避}子集可以产生具有更好列表解码保证的显式代码。
2011-06-02 cs.DS cs.IT math.IT
Recursive decoding of binary rank Reed-Muller codes and Plotkin construction for matrix codes
该研究针对二元情形下的秩度量Reed-Muller码，借鉴汉明度量Reed-Muller码的Plotkin递归结构提出递归译码算法，在特定子类上渐近复杂度优于现有基于Dickson矩阵的算法，并进一步提出通用的类Plotkin矩阵秩度量码构造及配套译码器。
2025-10-21 cs.IT math.IT
Constructions and List Decoding of Sum-Rank Metric Codes Based on Orthogonal Spaces over Finite Fields
本文基于有限域上正交空间构造Sum-rank度量码，提出两种构造方法，并利用子空间设计计算列表译码的列表大小，从而提升译码成功率。
2025-07-22 cs.IT math.IT
Optimal Weighted Low-rank Matrix Recovery with Subspace Prior Information
矩阵检测是从少量线性测量值重构低秩矩阵的问题。在协同滤波、著名的Netflix奖问题和地震数据插值等应用中，存在关于地面真实低秩矩阵的列和行空间的先验信息。在本文中，我们利用这种先验信息，提出了一个加权优化问题，其目标函数促进秩和先验子空间信息。利用圆锥积分几何中的最新结果，我们得到了唯一的最优权重，使所需的测量次数最小化。仿真结果证实，所提出的凸规划与最佳权重需要显着减少测量比常规核范数最小化。
2019-04-29 cs.IT math.IT
Subspace Evolution and Transfer (SET) for Low-Rank Matrix Completion
我们描述了一个新的算法，称为子空间演化和转移（SET），解决低秩矩阵完成问题。该算法以一个低秩矩阵的元素子集作为输入，输出一个与给定观测值一致的低秩矩阵。完成任务是通过搜索格拉斯曼流形上的一个列空间，匹配不完整的意见。SET算法由子空间演化和子空间转移两部分组成。在演化部分，我们使用了一个梯度下降方法的格拉斯曼流形上，以改善我们的估计的列空间。由于梯度下降算法不能保证收敛，由于沿搜索路径的障碍的存在，我们设计了一个新的机制，用于检测障碍和转移估计的列空间跨越障碍。该机制构成了该算法传输步骤的核心。SET算法在高采样率和低采样率两种情况下都表现出优异的经验性能。
2010-06-11 cs.IT math.IT
Subspace Polynomials and Cyclic Subspace Codes
近年来，子空间码由于在随机网络编码纠错中的应用而受到越来越多的关注。特别地，循环子空间码是具有高效编码和解码算法的大型码的可能候选者。在本文中，我们考虑这样的循环码，并提供最佳的代码，其码字没有完整的轨道的建设。我们进一步介绍了一种新的方法来表示子空间码的一类多项式称为子空间多项式。我们给出了这类循环码的一些构造，并分析了它们的参数。
2015-04-12 cs.IT math.IT
Low Rank Parity Check Codes: New Decoding Algorithms and Applications to Cryptography
介绍了一类新的秩度量码：低秩奇偶检验码（LRPC），并提出了一种有效的概率译码算法。这一系列的代码可以被看作是等价的经典LDPC码的秩度量。然后，我们使用这些代码来设计密码系统à la McEliece：更准确地说，我们提出了两个方案的密钥封装机制（KEM）和公钥加密（PKE）。与先前的加密算法中使用的秩度量码（特别是Gabidulin码）不同，LRPC码具有非常弱的代数结构。我们的密码系统可以被看作是一个等价的NTRU密码系统（也是最近的MDPC \cite{MTSB12}密码系统）在秩度量的上下文中。本文件是一个扩展版本的文章介绍LRPC代码，具有重要的新贡献。我们已经改进了解码器，这要归功于一种新的方法，该方法允许对更高秩权重的错误进行解码，即，当先前的解码算法仅解码高达$\frac{n-k}{2}$的错误时，高达$\frac{2}{3}(n-k)$的错误。因此，我们的代码优于经典的Gabidulin码解码器，处理的权重高达$\frac{n-k}{2}$。这是以概率解码为代价的，但是解码错误概率可以任意小。该方法还可以用来降低已有方案的译码错误率，特别适用于密码学领域。最后，我们引入理想秩码，它推广了双循环秩码，使我们能够避免已知的基于折叠的结构攻击。最后，我们提出了不同的参数大小为我们的计划，我们得到了一个公钥的3337位的密钥交换和5893位的公钥加密，都为128位的安全…
2019-03-31 cs.CR cs.IT math.IT
Robust Reduced-Rank Adaptive Processing Based on Parallel Subgradient Projection and Krylov Subspace Techniques
在本文中，我们提出了一种新的降秩自适应滤波算法的Krylov子空间方法的思想与集合论自适应滤波框架相结合。与现有的基于Krylov子空间的降秩方法不同，所提出的算法在最小化Krylov子空间中的\sinq{true}均方误差（MSE）的意义上跟踪最优点，即使当估计的统计量变得错误时（例如，由于环境的突然变化）。因此，与现有的方法相比，该算法更适合自适应滤波应用。该算法分析的基础上的自适应投影次梯度法（APSM）的修改版本。数值算例表明，对于码分多址（CDMA）系统中的干扰抑制问题以及简单的系统辨识问题，该算法具有比现有方法更好的跟踪性能。
2013-06-26 cs.IT math.IT
An Assmus-Mattson Theorem for Rank Metric Codes
$t$-$(n,d,λ)$ over ${\mathbb F}_q$设计，或称子空间设计，是${\mathbb F}_q^n$的$d$维子空间的集合，称为块，其性质是${\mathbb F}_q^n$的每个$t$维子空间包含在相同数目的$λ$块中.在${\mathbb F}_q$上的矩阵的集合被称为持有子空间设计，如果它的元素的列空间的集合形成子空间设计的块。我们使用穿孔和缩短秩度量码和秩度量MacWilliams身份的概念，建立条件下，在一个线性秩度量码的给定秩的字举行子空间设计。
2019-03-15 cs.IT math.CO math.IT
Decoding Algorithms for Tensor Codes
University College Dublin（都柏林大学）；Inria, Laboratoire LIX, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（法国国家信息与自动化研究所，École polytechnique，巴黎理工学院）
本文研究了张量码的广义类，探讨其性质及不同度量下的解码技术，提出了一种纤维解码方法和改进的Loidreau-Overbeck解码方法，以纠正受限于切片空间和纤维空间维度的错误。
2026-04-17 cs.IT math.IT
Evasive subspaces, generalized rank weights and near MRD codes
我们重新审视并扩展了$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性秩度量码和$\mathbb{F}_{q^m}^k$的回避$\mathbb{F}_q$ -子空间之间的联系。我们给出了一个统一的框架中，我们证明了一个基本的方式如何秩度量码的参数相关的特殊几何性质的相关规避子空间，特别关注广义秩权重。通过这种方式，我们也可以提供分散子空间上已知结果的替代和非常简短的证明。然后，我们使用这个简化的角度来看，以获得近MRD码的几何特征和明确的界限，其最大长度。最后，我们将准MRD码理论与最大维数的$h$ -散布子空间联系起来，将MRD码的已知结果推广到所有参数集。
2022-04-25 cs.IT math.CO math.IT
Some Gabidulin Codes cannot be List Decoded Efficiently at any Radius
Gabidulin码可以被看作是Reed-Solomon码的秩度量等价物。最近证明，使用子空间多项式，Gabidulin码不能被列表解码超出所谓的约翰逊半径。另一个结果是通过考察子空间与其子空间多项式之间的关系，构造出循环子空间码。在本文中，这些子空间码被用来证明两个界的列表大小在某些Gabidulin码的解码。第一个界限是存在的，表明指数大小的列表存在于具有特定参数的代码中。第二个界限显式地呈现指数大小的列表，用于不同的参数集。这两个界限排除了有效地列表解码的几个家庭的Gabidulin码的任何半径超过一半的最小距离的可能性。到目前为止，这样的结果仅针对非线性秩度量码而不是Gabidulin码。使用一个标准的操作称为提升，相同的结果也遵循一类重要的恒定维子空间码。
2016-10-14 cs.IT math.IT
Interpolation-Based Decoding of Folded Variants of Linearized and Skew Reed-Solomon Codes
和秩度量是汉明度量和秩度量的混合，适用于多点网络编码和分布式存储的纠错，也适用于抗量子密码系统的设计。在这项工作中，我们考虑折叠线性里德所罗门（FLRS）码，这是最大的秩和距离（MSRD）适当的参数选择的建设和解码。我们推导出一个有效的基于插值的FLRS码的解码算法，可以用作列表解码器或作为概率唯一解码器。所提出的解码方案可以纠正超出唯一解码半径的秩和错误，其计算复杂性与展开码的长度成二次关系。我们展示了如何纠错能力可以优化的高速率代码的替代选择的插值点。我们推导出一个启发式上界的概率唯一解码器的解码失败概率，并通过蒙特卡罗模拟验证其紧密性。进一步，我们研究了折叠斜Reed-Solomon码在斜度量下的构造和译码。据我们所知，FLRS码是第一种具有不同块大小的MSRD码，并且具有高效的解码算法。
2023-03-27 cs.IT math.IT
