Construction of MRD Codes Based on Circular-Shift Operations
University of Science and Technology Beijing（北京科技大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文提出了一种基于循环移位操作的MRD码构造方法，该方法在$\mathbb{F}_q$上进行，避免了更高阶域的运算，并展示了其在不同参数设置下的等价性与效率优势。
2026-02-13 cs.IT math.IT
Generalized Twisted Gabidulin Codes
令$\mathcal{C}$是$\mathbb{F}_q$上的$m$乘$n$矩阵的集合，使得对于所有不同的$A,B\in \mathcal{C}$，$A-B$的秩至少为$d$。假设$m\leqslant n$.如果$\#\mathcal{C}= q^{n(m-d+1)}$，则$\mathcal{C}$是最大秩距离（简称MRD）码。直到2016年，对于任意$1<d<m-1$，只有两种已知的MRD码构造。一个是由Delsarte（1978）和Gabidulin（1985）独立发现的，后来由Kshevetskiy和Gabidulin（2005）推广。我们通常称之为（广义）Gabidulin码。Sheekey（2016）最近获得了另一个族，其元素被称为扭曲Gabidulin码。在同一篇论文中，Sheekey还提出了扭曲Gabidulin码的推广。然而，它的等价性问题没有考虑，因此，它不清楚是否存在新的MRD码在此推广。我们称这个假定的大家族的成员为广义扭曲Gabidulin码。本文首先计算了它们的Delsarte码和伴随码，然后完全确定了不同广义扭Gabidulin码之间的等价性。特别地，在等价条件下，可以证明广义Gabidulin码和扭Gabidulin码都是这类码的真子集.
2018-05-27 cs.IT math.CO math.IT
Hermitian hull-variation of vector rank-metric codes and self-orthogonal generalized Gabidulin codes
UAE University（阿联酋大学）
本文研究了矢量秩度量码的Hermite护套变化问题，证明了除了一个参数对外，此类码的Hermite护套维度可以降至其等价类中的任意更小值，并且特别地，每种此类码都等价于Hermite LCD码。接着，本文探讨了具有预设Hermite护套维度的最大秩距离码的存在性。为此，引入了有限域扩展的缩放迹自反基的概念，并利用该概念为每个素数幂构造Hermite自正交广义Gabidulin码，结合护套变化定理，这将产生达到所有可接受Hermite护套维度的最大秩距离码。
2026-05-19 cs.IT math.IT
Gabidulin Codes with Support Constrained Generator Matrices
Gabidulin码是最大秩距离（MRD）线性码的第一个一般构造。他们已经在线性网络编码中找到了应用，例如，当发送器和接收器不注意网络的内部工作和拓扑时（所谓的非相干状态）。原因是Gabidulin码可以用于将信息映射到线性子空间，在没有错误的情况下，线性子空间不能被线性运算改变，并且在存在错误的情况下，如果子空间被小秩扰动，则可以被校正。此外，在分布式编码和分布式系统中，导致纠错码的生成矩阵必须满足给定的支持约束的设计。本文给出了Gabidulin码和一般MRD码存在的生成矩阵支撑的充分必要条件。当码的速率不是很高时，这是用没有支持约束的Gabidulin码所需的相同字段大小来实现的。当这些条件不满足时，我们描述了支持约束下的最大可能秩距离，并表明它们可以通过Gabidulin码的子码来实现。必要和充分条件是相同的，出现的MDS码，最近证明了Yildiz等人。和Lovett在解决的GM-MDS猜想的上下文中。
2019-11-19 cs.IT math.IT
A remark on ${\mathbb F}_{q^n}$-Linear MRD codes
本文给出了广义Gabidulin码的最小秩元素的Grassmann坐标描述。因此，线性多项式的秩最多$n-k$的表征，以及距离$d=n-k+1$的MRD码的参数方程。
2022-03-14 cs.IT math.CO math.IT
Scattered subspaces and related codes
在Shekeey（2016）的开创性论文之后，在$h=1$和$h=r-1$的极端情况下，建立了$V(r,q^n)$的最大$h$ -分散$\mathbb{F}_q$ -子空间与最大秩距离（MRD）码之间的联系。在本文中，我们提出了一个连接任何$h\in\{1,\ldots,r-1\}$，扩展和统一所有以前已知的。因此，我们得到的例子，非方MRD码是不等价于广义Gabidulin或扭曲Gabidulin码。在等价性的前提下，我们对与我们的连接中的MRD码具有相同参数的MRD码进行分类。此外，我们确定的权重分布的代码有关的几何对应的最大$h$ -分散子空间。
2020-07-09 cs.IT math.CO math.IT
Random Gabidulin Codes Achieve List Decoding Capacity in the Rank Metric
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究加比杜林码在秩度量中的列表可译码性这一长期开放问题，通过证明足够大字母表上的随机加比杜林码以高概率达到秩度量列表译码最优广义Singleton界，解决该问题，并给出高阶MRD码理论及GM - MRD定理等技术贡献。
2026-07-28 cs.IT math.CO math.IT
Rank-metric LCD codes
本文研究Delsarte和Gabidulin提出的秩度量码是互补对偶码。指出了Delsarte互补对偶码与Gabidulin互补对偶码之间的关系。在有限域$\mathbb{F}_{q}^{m}$上，利用$\mathbb{F}_{q}$上$\mathbb{F}_{q}^{m}$的自对偶基（或几乎自对偶基）构造了两类Gabidulin LCD MRD码.在适当的条件下，给出了$\mathbb{F}_{q}$上Delsarte最优反码为LCD码的一个充分条件.
2017-08-03 cs.IT math.IT
Systematic encoders for generalized Gabidulin codes and the $q$-analogue of Cauchy matrices
我们刻画了广义Gabidulin码的标准形式的生成矩阵。这个矩阵的非系统部分的参数化与广义柯西矩阵的$q$ -类似物一致，从而得到$q$ -柯西矩阵的定义。这些矩阵可以非常方便地表示，它们的表示允许定义新的有趣的广义Gabidulin码的子族，其生成矩阵是一个结构矩阵。特别地，作为应用，我们构造了Gabidulin码，其生成矩阵是单位块和Toeplitz/Hankel矩阵的级联。此外，我们的结果允许给一个新的有效的标准来验证是否一个秩度量码的尺寸$k$和长度$n$是广义Gabidulin码。该准则仅基于一个矩阵的秩的计算和两组元素的线性无关性的验证，并且它需要$\mathcal O(m\cdot F(k,n))$字段操作，其中$F(k,n)$是计算$k \times n$矩阵的缩减行阶梯形式的成本。此外，我们还提供了一般MRD码的标准形式的生成矩阵的特征。
2020-01-28 cs.IT math.IT
Constructions of optimal rank-metric codes from automorphisms of rational function fields
我们定义了一类有限特征的有理函数域的自同构，并利用它们来构造不同类型的最优线性秩度量码。第一种是构造有理函数域上的广义Gabidulin码。在有限域上约化这些码，得到了与广义扭Gabidulin码不等价的最大秩距离（MRD）码。我们还构造了最优的费勒斯图秩度量码，进一步解决了Etzion和Silberstein的一个猜想。
2021-08-26 cs.IT math.IT
On the list decodability of rank-metric codes containing Gabidulin codes
Wachter-Zeh在[42]中以及后来与Raviv [31]一起证明，如果$τ$足够大，则对于任何半径$τ$，Gabidulin码都不能被有效地列表解码。此外，他们还证明了Gabidulin码的参数有无穷多个选择，无法有效地进行列表解码。随后，在[41]中，这些结果被推广到广义Gabidulin码族和进一步的MRD-码族。在本文中，我们提供的范围内的秩度量码的列表大小包含广义Gabidulin码，以确定是否存在一个多项式时间的列表解码算法。我们检测几个家庭的秩度量码包含一个广义Gabidulin码作为子码，不能有效地列表解码的任何半径足够大，不能有效地列表解码的秩度量码的家庭。这些结果表明，秩度量码是$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性的或包含（幂）广义Gabidulin码不能有效地列表解码的大值的半径。
2021-03-12 cs.IT math.CO math.IT
Algebraic structures of MRD Codes
本研究基于有限几何成果，证明了(F_q)_(n,n)中存在与Gabidulin码本质不同、最小距离为n的MRD码，其构造源于与有限域密切相关的代数结构，填补了相关结果未被文献明确指出的空白。
2016-06-23 cs.IT math.CO math.IT
Constructing MRD codes by switching
本文定义了MRD码中的切换操作，并利用打孔扭曲Gabidulin码和直积码构造了基数随m双重指数增长的一大类MRD码，同时构造了不同仿射秩和非周期的MRD码。
2022-11-01 cs.DM cs.IT math.CO
Extended Gabidulin-Kronecker Product Codes and Their Application to Cryptosystems
Shandong University（山东大学）；Multimedia University（多媒体大学）；Chongqing University（重庆大学）；Nankai University（南开大学）
本文提出扩展Gabidulin-克罗内克积码及其在密码系统中的应用，改进了Rank Quasi-Cyclic密码系统，提高了安全性和效率。
2026-01-19 cs.IT math.IT
Generalized Rank Weight and Extended Generalized Poset Weight Defined For Codes Over Rings: A Galois Connection Approach
Fudan University（复旦大学）；National and Local Joint Laboratory of Cyberspace Security Technology（网络空间安全技术国家地方联合工程实验室）；Yiwu Research Institute of Fudan University（复旦大学义乌研究院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文通过Galois连接方法研究环上码的广义秩重和扩展广义偏序重，统一并推广了相关对偶定理与界。
2026-10-09 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable Codes via Rank-Metric Codes
提出了一种新的分布式存储系统局部可修码的显式构造方法，该方法具有全符号局部性和最大可能最小距离，或者等价地，可以容忍最大数量的节点故障.这种构造基于最大秩距离（MRD）Gabidulin码，提供了新的最优矢量和标量LRC。此外，本文还讨论了机制，通过这种结构获得的代码可以用来构造LRC与再生码相结合的失效节点的有效修复的LRC。
2013-01-27 cs.IT math.IT
Linear maximum rank distance codes of exceptional type
有限域上给定指数的离散多项式是数学中有许多联系的有趣的稀有对象。特别令人感兴趣的是第一作者和Zhou在2018年定义的例外，其中部分分类结果是已知的。本文提出了$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性最大秩距离码的一个统一的代数描述，引入了给定指数的例外线性最大秩距离码的概念。这样的连接自然地扩展了秩度量框架中的离散多项式的例外性的概念，并提供了在单项MRD上下文中的Moore集的泛化。我们走向例外的线性MRD码的分类，通过显示，指数为零的广义Gabidulin码，并证明在正指数的情况下，代码包含一个例外的分散多项式的相同的指数。
2021-10-15 cs.IT math.CO math.IT
Equivalence and Characterizations of Linear Rank-Metric Codes Based on Invariants
我们表明，序列的线性空间，由一个给定的秩度量码连同其本身的几个应用程序的字段自同构，是一个不变的整个等价类的代码。同样的性质证明了序列的尺寸的交叉本身的几个应用程序的领域自同构。这些不变量产生了容易计算的标准来检查两个代码是否是不等价的。我们推导出一些具体的值和界限，这些尺寸序列的一些已知的家庭的秩度量码，即Gabidulin和（广义）扭曲Gabidulin码。然后，我们推导出的条件的长度的代码相对于字段的扩展程度，这样的代码从不同的家庭不能是等价的。此外，我们推导出上界和下界的等价类的Gabidulin码和扭曲Gabidulin码的数量，改进了施密特和周的结果，为更广泛的参数范围。最后，我们使用上述序列来确定Gabidulin码的一个特征结果。
2020-09-16 cs.IT math.IT
Rank-metric codes over arbitrary fields: Bounds and constructions
University of Naples Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）；University of Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉凡维泰利大学）
本文研究了秩度量码在任意字段上的界与构造，探讨了其在有限域和更一般设置中的扩展，提出了未来研究方向。
2026-01-21 cs.IT math.CO math.IT
Rank distribution of Delsarte codes
本文为Delsarte秩度量码定义秩缺陷，刻画了秩缺陷与对偶秩缺陷均为零的码，证明其秩分布由参数决定，并推广至正缺陷情形及Gabidulin码。
2015-10-05 cs.IT math.IT
A skew polynomial framework for constructing division algebras and linear maximum rank distance codes
University of Nottingham（诺丁汉大学）
利用域上斜多项式构造除代数和线性最大秩距离码，统一并推广了Sheekey的扭曲循环预半域、Albert广义扭曲域等经典构造，并给出了除代数判据和最大秩条件。
2026-06-18 cs.IT math.IT
Rank-metric codes and their duality theory
比较了Delsarte和Gabidulin提出的秩度量码的两种对偶理论，证明了前者是后者的推广。对于一般的Delsarte秩度量码，我们给出了MacWilliams恒等式的初等证明.我们得出的身份是非常容易处理，并允许我们重新建立一个非常简洁的方式的主要成果理论的秩度量码首先证明了德尔萨特采用理论的关联计划和经常半格。我们还表明，我们的身份意味着作为一个推论，原来的麦克威廉姆斯身份建立的Delsarte。我们描述了如何最小和最大秩的秩度量码的最小和最大秩的对偶码，给出了一些界限和特征的代码实现它们。然后，我们研究最佳的反码的秩度量，描述他们的最佳代码（即，MRD码）。特别地，我们证明了一个最佳反码的对偶是一个最佳反码。最后，作为我们的结果在计数组合学中的一个经典问题的应用，我们得到了一个递归的和一个显式的公式，$k \times m$矩阵的数量在有限域上具有给定的秩和$h$ -迹。
2015-04-02 cs.IT math.CO math.IT
Linearized Reed-Solomon Codes with Support-Constrained Generator Matrix and Applications in Multi-Source Network Coding
该研究提出具有支撑约束生成矩阵的线性化Reed-Solomon码，给出其存在的充要条件，并应用于多源网络编码中的分布式码设计。
2024-07-12 cs.IT math.IT
