Quotients of skew polynomial rings: new constructions of division algebras and MRD codes
本文研究斜多项式环及其商，利用非极值次数比的新例子构造有限与无限除环上的非结合除代数、半域及 MRD 码。
2025-02-19 cs.IT math.CO math.IT
New Criteria for MRD and Gabidulin Codes and some Rank-Metric Code Constructions
在这项工作中，我们提出了一个新的标准来检查如果一个给定的秩度量码是一个最大秩距离（MRD）码。此外，我们推导出一个标准，以检查如果一个给定的MRD码是广义Gabidulin码。然后，我们使用这些结果来与建设的线性MRD码的2维，而不是广义Gabidulin码。
2016-03-08 cs.IT math.IT
An infinite family of non-extendable MRD codes
Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）；Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
本文研究了不可扩展的MRD码，发现了一类无限族[4,2,3]_{q^5/q}码，并证明其自对偶性。
2026-04-01 cs.IT math.CO math.IT
MRD-codes arising from the trinomial $x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}\in\mathbb{F}_{q^6}[x]$
在[10]中，证明了当$q$为奇数且$q\equiv 0,\pm 1\pmod 5$为奇数时，具有维数$12$、最小距离$5$和同构于$\mathbb{F}_{q^6}$的左理想化子的$\mathbb{F}_{q^6}[x]$的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码的存在性.在本文中，我们表明，这个家庭产生的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD码的$\mathbb{F}_q^{6\times 6}$，具有相同的属性，也在剩余的$q$奇数情况下，但不是在$q$偶数情况下。这些MRD代码不等同于先前已知的MRD代码。我们还证明了相应的最大分散$\mathbb{F}_q$ -线性集的$\mathrm{PG}(1,q^6)$是不$\mathrm{P}Γ\mathrm{L}(2,q^6)$ -等价于任何以前已知的分散线性集。
2019-12-16 cs.IT math.CO math.IT
A new family of MRD codes in $\mathbb F_q^{2n\times2n}$ with right and middle nuclei $\mathbb F_{q^n}$
本文在最小距离$2\leq d\leq 2n$的$\mathbb F_{q}^{2n\times 2n}$中提出了一类新的最大秩距离（MRD）码.特别地，当$d=2n$时，我们可以证明相应的半域恰好是Hughes-Kleinfeld半域。这些MRD代码的中间和右边的核都等于$\mathbb F_{q^n}$。我们还证明了这类最小距离MRD码$2<d<2n$与已知的MRD码是不等价的。这个新的家庭之间的任何两个成员的等价性也被确定。
2019-02-27 cs.IT math.CO math.IT
Evasive subspaces, generalized rank weights and near MRD codes
我们重新审视并扩展了$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性秩度量码和$\mathbb{F}_{q^m}^k$的回避$\mathbb{F}_q$ -子空间之间的联系。我们给出了一个统一的框架中，我们证明了一个基本的方式如何秩度量码的参数相关的特殊几何性质的相关规避子空间，特别关注广义秩权重。通过这种方式，我们也可以提供分散子空间上已知结果的替代和非常简短的证明。然后，我们使用这个简化的角度来看，以获得近MRD码的几何特征和明确的界限，其最大长度。最后，我们将准MRD码理论与最大维数的$h$ -散布子空间联系起来，将MRD码的已知结果推广到所有参数集。
2022-04-25 cs.IT math.CO math.IT
A lower bound for constant dimension codes from multi-component lifted MRD codes
在这项工作中，我们调查工会解除MRD码的一个固定的尺寸和最小的距离，并推导出一个明确的公式，这种代码的基数。这将意味着常数维码的基数的下限。
2013-01-09 cs.IT math.IT
On dually almost MRD codes
本文定义并研究了一类近似MRD码，称之为AMRD码（几乎MRD码）。AMRD码是秩亏等于1的码。AMRD码的符号是AMRD，称为对偶AMRD。对偶AMRD码最接近MRD码，因为它们和它们的对偶码几乎都是最优的。给出了这类码是对偶AMRD码的充要条件。进一步证明了当矩阵的大小除维数时，对偶AMRD码与秩亏1码和最大2-广义重量码是一致的。
2016-12-13 cs.IT math.IT
On self-dual MRD codes
本文确定了当Gabidulin码与自对偶码等价时，其全长码和双曲码的自同构群。
2015-09-24 cs.IT math.IT
Construction of Const Dimension Codes from Serval Parallel Lift MRD Code
本文推广了文献[1]中提出的使用两个并行版本的提升MRD码的方法。MRD码的秩分布的Delsarte定理是我们构造MRD码的码字计数的重要部分。我们给出了如下界的一个新的推广构造：若n>=k>=d，则$Aq(n + k,k,d)>=q^{n(k-\frac{d}{2}+1)}+\sum_{r=\frac{d}{2}}^{k-\frac{d}{2}} A_r(Q_q(n,k,\frac{d}{2})).$在此基础上，我们还给出了由几种平行的提升MRD码构造常维子空间码的方法.这种构造有助于Aq（（s+1）k+n，d，k）的一个新的下界.
2019-11-01 cs.IT math.IT
New Constructions of Subspace Codes Using Subsets of MRD codes in Several Blocks
常维子空间编码的一个基本问题是确定Fnq中一组k维子空间的最大可能大小A_q（n，d，k），使得对于该组中任意两个不同的子空间U和V，子空间距离满足d（U，V）≥ d。本文利用最大秩距离（MRD）码的子集在几个块中构造了两种新的常维子空间码。该方法首先应用于链接构造，然后应用于任意块的提升MRD码。在这两种构造中，秩有界的MRD码子集起着至关重要的作用。MRD码的秩分布的Delsarte定理是我们构造的等维子空间码中码字计数的重要组成部分。给出了A_q（n，d，k）的许多新的下界.构造了110多个新的常维子空间码，其性能优于已知的常维子空间码。
2020-01-03 cs.IT math.IT
Decoder Error Probability of MRD Codes
本文首先引入了初等线性子空间的概念，它具有与坐标集相似的性质。使用这个新的概念，我们推导出的最大秩距离（MRD）码，平行的最大距离可分离（MDS）码的属性。利用这些性质，我们证明了具有纠错能力t的MRD码的解码器错误概率随t^2呈指数下降，基于相同秩的所有错误的可能性相等的假设。我们认为，基于这个假设的信道是一个近似的信道交叉错误损坏。
2006-10-26 cs.IT math.IT
On the existence of MRD self-dual codes
该文研究任意域扩张下自对偶MRD码的存在性，并将结果应用于有限域，证明了当m=n且基域为有限域F_q时，自对偶MRD码存在的充要条件是q与n模4均同余于3。
2024-01-30 cs.IT math.IT
Codes and Designs Related to Lifted MRD Codes
提升最大秩距离（MRD）码，这是常数尺寸的代码，被认为是。它表明，一个解除MRD码可以表示在这样一种方式，它形成了一个块设计称为横向设计。该设计的略微不同的表示使其类似于横向设计的$q-$类似物。这些设计的结构是用来获得上界的大小的恒定尺寸的代码，其中包含一个解除MRD码。达到这些界限的代码构造。这些代码是给定参数的最大已知代码。这些横截设计也可以用来在Hamming空间中导出一类新的线性码。给出了这类码的最小距离和维数的界。
2012-08-17 cs.DM cs.IT math.IT
A new family of $2$-scattered subspaces and related MRD codes
针对$h\geq2$的$h$-散布子空间构造不足的问题，本文构造并证明了特定条件下$V(r,q^6)$中极大$2$-散布$\F_q$-子空间的存在性，并探讨其对应MRD码。
2024-03-03 cs.IT math.CO math.IT
Common Complements of Linear Subspaces and the Sparseness of MRD Codes
受秩度量码理论应用的启发，我们研究了利用有限域上的子空间族的基数及其交结构来估计该子空间族的公共补数的问题.我们推导出这个数的上界和下界，以及它们的渐近版本，因为字段大小趋于无穷大。然后，我们使用这些界限来描述的一般行为的共同补充相对于稀疏性和密度，显示的决定性属性是是否要补充的空间的数量是可以忽略不计的字段大小。通过将我们的结果专门化到矩阵空间，我们得到了MRD码在秩度量上的个数的上界和下界。特别是，我们回答了一个悬而未决的问题，在编码理论，证明MRD码是稀疏的所有参数集的字段大小的增长，只有很少的例外。我们还研究了MRD码的密度，因为它们的列数趋于无穷大，获得一个新的渐近界。然后，利用数论中欧拉函数的性质，我们证明了对于大多数参数集，我们的界比已知结果有所改进。最后，我们通过建立秩度量码的密度函数的一般结构性质来总结本文。
2022-01-17 cs.DM cs.IT math.CO
On the number of inequivalent Gabidulin codes
最大秩距离（MRD）码是有限域上的$m\times n$矩阵空间中的极值码，具有秩度量.直到一般化，这种码的经典例子是在20世纪70年代构造的，今天被称为Gabidulin码。受最近几种构造MRD码的方法的启发，我们研究了Gabidulin码本身的等价性问题。这特别表明，加比杜林码族已经包含了大量成对不等价的MRD码子集，前提是$2\le m\le n-2$。
2018-02-13 cs.IT math.CO math.IT
Properties of Codes with the Rank Metric
本文研究了秩度量码的一般性质，特别是最大秩距离码的性质。对于具有秩度量的码，我们首先建立Gilbert界和球填充界，然后得到这两个界和Singleton界的渐近形式。基于渐近界，我们观察到渐近Gilbert-Varsharmov界被MRD码超过，球填充界不能达到。我们还建立了极大码的秩覆盖半径的界，证明了所有的MRD码都是极大码，并且所有已知的MRD码都达到了最大秩覆盖半径。
2006-10-25 cs.IT math.IT
Vulnerability of MRD-Code-based Universal Secure Network Coding against Stronger Eavesdroppers
Silva等人提出了一种基于MRD码的通用安全网络编码方案，该方案可应用于任何底层网络编码。本文考虑了一个更强的窃听模型，窃听者有能力重新选择窃听链路在传输过程中。我们给出了一个证明，不可能实现普遍的安全对这样的对手使用席尔瓦等人。的代码的所有选择的代码参数，甚至与有限数量的点击链接。我们还考虑了有限的窃听时间的情况下，并得出一些条件，这个代码是安全的。
2010-11-02 cs.IT math.IT
$\mathbb{F}_{q^n}$-linear rank distance codes and their distinguishers
对于任何容许的参数值，存在最大秩距离（简称MRD）$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性码的$\mathbb{F}_q^{n\times n}$。在\cite{H-TNRR}（也见\cite{ByrneRavagnani}）中已经表明，如果考虑足够大的字段扩展，则\emph{almost all}（矩形）秩距离码是MRD。另一方面，目前已知的$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性码族很少达到等价。MRD码的一个可能的应用是McEliece-类公钥密码系统，如Gabidulin，Paramonov和Tretjakov在\cite{GPT}中提出的。在这个框架中，它是非常重要的，以获得新的家庭的MRD码赋予快速解码算法。如\cite{Gabidulin}中所示，存在用于加比杜林码的几种解码算法，也参见\cite{Loi06,PWZ,WT}。在这项工作中，我们将调查的$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性MRD-码的已知的家庭，研究MRD-码的一些不变量和评估其价值的已知的家庭，提供了一个广义扭曲Gabidulin码的特性，在\cite{GiuZ}。
2019-04-05 cs.IT math.IT
On $3$-dimensional MRD codes of type $\langle x^{q^t},x+δx^{q^{2t}},G(x) \rangle$
本文研究三维 $\mathbb{F}_{q^n}$-线性 MRD 码的分类，借助有限域上代数簇证明一类例外型 MRD 码不存在，部分解决了 2023 年的相关猜想。
2024-03-04 cs.IT math.AG math.IT
Scattered subspaces and related codes
在Shekeey（2016）的开创性论文之后，在$h=1$和$h=r-1$的极端情况下，建立了$V(r,q^n)$的最大$h$ -分散$\mathbb{F}_q$ -子空间与最大秩距离（MRD）码之间的联系。在本文中，我们提出了一个连接任何$h\in\{1,\ldots,r-1\}$，扩展和统一所有以前已知的。因此，我们得到的例子，非方MRD码是不等价于广义Gabidulin或扭曲Gabidulin码。在等价性的前提下，我们对与我们的连接中的MRD码具有相同参数的MRD码进行分类。此外，我们确定的权重分布的代码有关的几何对应的最大$h$ -分散子空间。
2020-07-09 cs.IT math.CO math.IT
Rank-Metric Codes, Semifields, and the Average Critical Problem
我们调查两个基本问题交叉编码理论和组合几何，强调它们的连接。这些问题的计算MRD码的渐近密度的秩度量，和Crapo和Rota的组合几何的关键问题。利用半域理论的方法，我们得到了满秩平方MRD码的密度函数的两个下界。当矩阵大小是素数并且基础域足够大时，第一个界限是尖锐的，而第二个界限适用于二进制域。然后，我们重新审视组合几何的临界问题，从定性的，往往是渐近的观点来接近它。我们说明了这个非常经典的问题和计算MRD码的渐近密度之间的联系。最后，我们研究了一些特殊码族在秩度量下的渐近密度，包括对称码族、交错码族和厄米特码族。特别是，我们表明，在这三个上下文中的最佳代码是稀疏的。
2022-01-18 cs.IT math.CO math.IT
Construction of MRD Codes Based on Circular-Shift Operations
University of Science and Technology Beijing（北京科技大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文提出了一种基于循环移位操作的MRD码构造方法，该方法在$\mathbb{F}_q$上进行，避免了更高阶域的运算，并展示了其在不同参数设置下的等价性与效率优势。
2026-02-13 cs.IT math.IT
Generalized Rank Weight and Extended Generalized Poset Weight Defined For Codes Over Rings: A Galois Connection Approach
Fudan University（复旦大学）；National and Local Joint Laboratory of Cyberspace Security Technology（网络空间安全技术国家地方联合工程实验室）；Yiwu Research Institute of Fudan University（复旦大学义乌研究院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文通过Galois连接方法研究环上码的广义秩重和扩展广义偏序重，统一并推广了相关对偶定理与界。
2026-10-09 cs.IT math.IT
Exceptional scattered sequences
分散多项式的概念被推广到那些例外的分散序列被证明是自然的代数对应的$\mathbb{F}_{q^n}$ -线性MRD码。在第一个非平凡的情况下，也提供了第一个无限家庭和等价问题被认为是。作为副产品，一个新的无限族的MRD码得到。
2022-11-21 cs.IT math.CO math.IT
Further Generalisations of Twisted Gabidulin Codes
提出了一类新的最大秩距离（MRD）码。新的类包含代码，既不相当于一个广义的Gabidulin也不扭曲Gabidulin码，只有两个已知的一般结构的线性MRD码。
2017-08-04 cs.IT math.IT
Delsarte duality on subspaces and applications to rank-metric codes and q-matroids
本文建立正亏量子空间与 Delsarte 对偶的对应，统一刻画相关子空间，并用于分析对偶封闭的秩距离码及 q-拟阵表示问题。
2025-09-29 cs.IT math.CO math.IT
Three Classes of Twisted Gabidulin Codes with Different Twists
本文研究了三类具有不同扭转的扭转Gabidulin码，建立了其成为MRD码及在汉明度量下成为MDS码的充要条件，并探讨了其覆盖半径与深洞。
2025-09-16 cs.IT math.IT
Adjoint and duality for rank-metric codes in a skew polynomial framework
本文在斜多项式环商中系统研究转置与对偶运算，给出转置码和对偶码的显式描述，确定 Sheekey 等人 MRD 码族的伴随码与对偶码，并证明其在新的无限参数集上与已知构造不等价。
2025-11-07 cs.IT math.CO math.IT
Properties of subspace subcodes of optimum codes in rank metric
最大秩距离码MRD-码与MDS-码在秩度量上是等价的。给定素数的任意整数$q$幂和任意整数$n$，存在$\FF{q^n}$上长度为$n$的MRD码族，其具有多项式时间解码算法。这些码可以被看作是用于秩度量的里德-所罗门码（以下表示为RS码）的类似物。本文刻画了它们的子空间子码。它表明，他们是等价的MRD码以同样的方式构造，但具有较小的参数。设计了一种具体的多项式时间译码算法。进一步证明了子空间码的直和等价于参数较小的MRD码的直积。这意味着解码过程可以纠正比纠错能力更高秩的错误。最后，它表明，对于给定的参数，子域子码的特点是完全由一般的线性组${GL}_n(\FF{q})$的非奇异$q$元矩阵的大小$n$的元素。
2006-07-25 cs.DM cs.IT math.IT
Non-linear MRD codes from cones over exterior sets
本文利用有限射影空间中的外集与锥构造了一类新的非线性MRD码，并证明其与已有非线性MRD码既不等价也不伴随等价，同时统一了此前多个构造。
2024-05-02 cs.IT math.CO math.IT
Coding Theory and Projective Spaces
有限域$\F_q$上的$n$阶射影空间是向量空间$\F_q^{n}$的所有子空间的集合。在这项工作中，我们考虑纠错码在投影空间，主要集中在常数维码。我们从射影空间中子空间的不同表示开始。这些表示法涉及矩阵在减少行梯队形式，相关的二进制向量，和费勒斯图。基于这些表示，我们给出了一个计算射影空间中任意两个子空间之间距离的新公式。我们研究了提升最大秩距离（MRD）码，这是近最佳的恒定尺寸的代码。我们证明了一个解除MRD码可以表示在这样一种方式，它形成一个块设计称为横向设计。从提升的MRD码导出的横向设计的关联矩阵可以被视为汉明空间中的线性码的奇偶校验矩阵。我们发现这些代码，也可以被视为LDPC码的属性。我们提出了新的界限和结构的常维码。首先，我们提出了一个多级结构的恒定尺寸的代码，它可以被看作是一个提升的MRD码结构的推广。这种构造是基于一种新型的秩度量码，称为费勒斯图秩度量码。然后，我们推导出上界的大小的恒定尺寸的代码，其中包含解除MRD码，并提供了一个建设两个家庭的代码，达到这些上界。我们推广了著名的概念，删余码的代码在射影空间中，以获得大的代码，这是不恒定的尺寸。我们提出了有效的枚举编码和解码技术的格拉斯曼。最后，我们描述了一个搜索方法的常数维字典。
2011-09-08 cs.IT math.IT
Partition-Balanced Families of Codes and Asymptotic Enumeration in Coding Theory
我们介绍了类的分区平衡家庭的代码，并展示了如何利用其组合不变量，以获得上界和下界的代码的数量，具有规定的属性。特别是，我们得到精确的渐近估计的密度函数的几个类的代码是极端的最小距离，覆盖半径，和极大值。本文中开发的技术适用于各种距离函数，包括汉明距离和秩度量距离。结果的应用表明，与$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性MRD码不同，$\mathbb{F}_q$ -线性MRD码在相同维数的码族中不是稠密的.更准确地说，我们表明，密度的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD码在$\mathbb{F}_q^{n \times m}$在所有矩阵码的集合中的相同维度是渐近最多$1/2$，无论是作为$q \to +\infty$和作为$m \to +\infty$。我们还证明了MDS和$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性MRD码在极大码族中是稠密的。虽然不存在一个直接的模拟的覆盖半径的$\mathbb{F}_q$ -线性秩度量码的冗余界，我们证明了一个类似的界是满足一个均匀随机矩阵码的高概率。特别是，我们证明了代码满足这个界限是密集的。最后，我们计算了线性码在秩度量中的平均重量分布，以及推广线性码的总重量的其他参数。
2018-12-12 cs.IT math.IT
Generalized Twisted Gabidulin Codes
令$\mathcal{C}$是$\mathbb{F}_q$上的$m$乘$n$矩阵的集合，使得对于所有不同的$A,B\in \mathcal{C}$，$A-B$的秩至少为$d$。假设$m\leqslant n$.如果$\#\mathcal{C}= q^{n(m-d+1)}$，则$\mathcal{C}$是最大秩距离（简称MRD）码。直到2016年，对于任意$1<d<m-1$，只有两种已知的MRD码构造。一个是由Delsarte（1978）和Gabidulin（1985）独立发现的，后来由Kshevetskiy和Gabidulin（2005）推广。我们通常称之为（广义）Gabidulin码。Sheekey（2016）最近获得了另一个族，其元素被称为扭曲Gabidulin码。在同一篇论文中，Sheekey还提出了扭曲Gabidulin码的推广。然而，它的等价性问题没有考虑，因此，它不清楚是否存在新的MRD码在此推广。我们称这个假定的大家族的成员为广义扭曲Gabidulin码。本文首先计算了它们的Delsarte码和伴随码，然后完全确定了不同广义扭Gabidulin码之间的等价性。特别地，在等价条件下，可以证明广义Gabidulin码和扭Gabidulin码都是这类码的真子集.
2018-05-27 cs.IT math.CO math.IT
Rank-Metric Codes, Generalized Binomial Moments and their Zeta Functions
本文引入了一类新的极值码，即$i$ -BMD码.我们表明，对于这个家庭的几个不变量是由底层代码的参数。我们完善和扩展的概念，$i$ -MRD码，并表明，$i$ -BMD码形成一个适当的子类的$i$ -MRD码。然后利用$i$ -BMD码类，得到了广义秩权枚举数与其对应的广义zeta函数之间的关系.我们还建立了广义秩权分布的MacWilliams恒等式。
2019-12-06 cs.IT math.IT
On the Genericity of Maximum Rank Distance and Gabidulin Codes
我们考虑$\mathbb F_{q^m}^n$中的线性秩度量码。我们表明，MRD（最大秩距离）和非Gabidulin的属性是通用的代数封闭的基础领域，这意味着在一个大的扩展域的随机选择的生成矩阵生成MRD和非Gabidulin码的概率很高。此外，我们给出了各自的概率上界依赖于扩展度$m$。
2016-05-19 cs.IT math.IT
On the equivalence issue of a class of $2$-dimensional linear Maximum Rank Distance codes
在[A. Neri，P. Santonastaso，F.祖洛推广了两类最大秩距离码]，推广了最近在[G.隆戈巴尔迪湾马里诺河特龙贝蒂岛舟$\mathrm{PG}(1,q^n)$及其相关MRD码的最大离散线性集的一大族]。对于$t \geq 5$，他们确定了这个新族中元素的等价类，并给出了其中不等价码的确切个数。此外，我们证明的情况下，当$t=4$，线性集的投影线$\mathrm{PG}(1,q^{8})$从相关的家庭中的代码，是不等价的任何一个已知的。
2023-03-28 cs.IT math.CO math.IT
Generalized rank weights of reducible codes, optimal cases and related properties
为了密码学的目的，引入了秩度量的可约码。它们具有快速的编码和解码算法，包括最大秩距离（MRD）码，并且可以纠正超过其最小秩距离的一半的许多秩错误，这使得它们适合于网络编码中的纠错。本文研究了它们作为陪集编码方案应用时针对网络信息泄露的安全行为，给出了以下主要结果：1）给出了广义秩权的上下界，它度量了最坏情况下对窃听者的信息泄漏; 2）找到了新的参数，使得这些码是MRD码（这意味着他们的第一个GRW是最优的），并使用以前的界限来估计他们的更高的GRW，3）我们表明，所有线性（在扩展域上）其GRW对于固定分组和码大小都是最优的但长度变化的码是直到秩等价的可约码，4）我们证明了当使用可约码时，泄露给窃听者的信息往往比它们的GRW（在某些情况下是最优的）给出的最坏情况要少得多。我们得出了一些次要的相关性质：秩等价于线性码的乘积的条件，秩退化的条件，对偶性质和MRD秩。
2017-08-04 cs.IT math.IT
A skew polynomial framework for constructing division algebras and linear maximum rank distance codes
University of Nottingham（诺丁汉大学）
利用域上斜多项式构造除代数和线性最大秩距离码，统一并推广了Sheekey的扭曲循环预半域、Albert广义扭曲域等经典构造，并给出了除代数判据和最大秩条件。
2026-06-18 cs.IT math.IT
Random Gabidulin Codes Achieve List Decoding Capacity in the Rank Metric
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究加比杜林码在秩度量中的列表可译码性这一长期开放问题，通过证明足够大字母表上的随机加比杜林码以高概率达到秩度量列表译码最优广义Singleton界，解决该问题，并给出高阶MRD码理论及GM - MRD定理等技术贡献。
2026-07-28 cs.IT math.CO math.IT
Interleaving Loidreau's Rank-Metric Cryptosystem
本文提出并分析了Loidreau的基于秩乘子的秩度量密码体制的一种交织变体。我们分析和适应对系统的几种攻击，提出设计规则，并研究弱密钥。寻找安全的实例需要近MRD秩度量码，这在文献中没有研究。因此，我们提出了一个随机码的建设，利用这一事实，即短随机码在大字段MRD的概率很高。我们推导出一个上界的解密失败率，并给出示例参数为潜在的密钥大小减少。
2019-07-31 cs.CR cs.IT math.IT
Hermitian hull-variation of vector rank-metric codes and self-orthogonal generalized Gabidulin codes
UAE University（阿联酋大学）
本文研究了矢量秩度量码的Hermite护套变化问题，证明了除了一个参数对外，此类码的Hermite护套维度可以降至其等价类中的任意更小值，并且特别地，每种此类码都等价于Hermite LCD码。接着，本文探讨了具有预设Hermite护套维度的最大秩距离码的存在性。为此，引入了有限域扩展的缩放迹自反基的概念，并利用该概念为每个素数幂构造Hermite自正交广义Gabidulin码，结合护套变化定理，这将产生达到所有可接受Hermite护套维度的最大秩距离码。
2026-05-19 cs.IT math.IT
An Explicit Construction of Optimal Streaming Codes for Channels with Burst and Arbitrary Erasures
本文提出了一种新的纠错码的建设，实现了最佳恢复的流源在包擦除信道。考虑的信道模型是滑动窗口擦除模型，突发和任意损失，介绍了Badr等人。最近，Fong等人和Krishnan和Kumar的两项独立工作已经在这个框架内确定了最佳流编码。在本文中，我们引入流编码时的代码的速率至少是1/2。我们提出的构造是明确的和系统的，使用现成的最大距离可分离（MDS）码和最大秩距离（MRD）Gabidulin块码作为组成码，并实现最佳纠错。它提出了一个自然的推广到建设的Martinian和Sundberg容忍任意数量的稀疏擦除。字段大小的要求，这取决于组成MDS和MRD码进行了分析。
2019-04-22 cs.IT math.IT
Rank-metric codes over arbitrary fields: Bounds and constructions
University of Naples Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）；University of Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉凡维泰利大学）
本文研究了秩度量码在任意字段上的界与构造，探讨了其在有限域和更一般设置中的扩展，提出了未来研究方向。
2026-01-21 cs.IT math.CO math.IT
Rank-Metric Codes and $q$-Polymatroids
本文从代数和组合的角度研究秩度量码。我们引入了$q$ -多元拟阵，多元拟阵的$q$ -类似物，并研究了它们的基本性质.我们将一对q-多拟阵与秩度量码相关联，并证明了该码的几个不变量和结构性质，如广义权重、MRD或最佳反码的性质和对偶性，都被相关的组合对象捕获。
2019-09-05 cs.IT math.CO math.IT
Constructions of optimal rank-metric codes from automorphisms of rational function fields
我们定义了一类有限特征的有理函数域的自同构，并利用它们来构造不同类型的最优线性秩度量码。第一种是构造有理函数域上的广义Gabidulin码。在有限域上约化这些码，得到了与广义扭Gabidulin码不等价的最大秩距离（MRD）码。我们还构造了最优的费勒斯图秩度量码，进一步解决了Etzion和Silberstein的一个猜想。
2021-08-26 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable Codes via Rank-Metric Codes
提出了一种新的分布式存储系统局部可修码的显式构造方法，该方法具有全符号局部性和最大可能最小距离，或者等价地，可以容忍最大数量的节点故障.这种构造基于最大秩距离（MRD）Gabidulin码，提供了新的最优矢量和标量LRC。此外，本文还讨论了机制，通过这种结构获得的代码可以用来构造LRC与再生码相结合的失效节点的有效修复的LRC。
2013-01-27 cs.IT math.IT
Optimal Ferrers Diagram Rank-Metric Codes: New Constructions, Diagram Combinations, and Applications to Constant-Dimension Subspace Codes
Chern Institute of Mathematics and LPMC, Nankai University（南开大学陈省身数学研究所和LPMC）；School of Cyberspace Security, Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学网络空间安全学院）；Department of Mathematics, University of Paris VIII（巴黎第八大学数学系）；Laboratory Geometry, Analysis and Applications, LAGA, University Sorbonne Paris Nord, CNRS, UMR 7539（索邦巴黎北大学LAGA几何、分析与应用实验室）；Telecom Paris, Polytechnic Institute of Paris（巴黎综合理工学院巴黎电信学院）；College of Science, Civil Aviation University of China（中国民航大学理学院）
本文提出三种基于MRD码子码的最优FDRM码新构造，并利用Ferrers图适当组合的递归方法生成新最优族，解决了两个开放问题。
2026-09-22 cs.IT math.IT
Antipodal two-weight rank metric codes
本文研究了一类线性对映双权秩度量码，并利用$t$ -扩展讨论了它们的性质和特征。结果表明，这种码的维数为$2$，最小秩距离至少为长度的一半。我们从某些MRD码构造了对跖双权秩度量码。当最小秩距离等于码长的一半时，得到了这类码的完全分类。作为构造双重量秩度量码的结果，我们得到了一些显式双重量Hamming度量码。
2022-08-17 cs.IT math.IT
Roos bound for skew cyclic codes in Hamming and rank metric
本文给出了一般域上斜循环码最小距离的Roos似界。结果在汉明度量和秩度量中成立。证明涉及到斜多项式的算术性质和奇偶校验矩阵的秩的分析。对于秩度量的情况，给出了一种利用斜Roos界构造具有指定最小秩距离的码的方法。此外，利用斜Roos界，给出了有限域上MDS码和MRD码的一些例子。
2020-02-06 cs.IT math.IT
Constructions and List Decoding of Sum-Rank Metric Codes Based on Orthogonal Spaces over Finite Fields
本文基于有限域上正交空间构造Sum-rank度量码，提出两种构造方法，并利用子空间设计计算列表译码的列表大小，从而提升译码成功率。
2025-07-22 cs.IT math.IT
On the list decodability of rank-metric codes containing Gabidulin codes
Wachter-Zeh在[42]中以及后来与Raviv [31]一起证明，如果$τ$足够大，则对于任何半径$τ$，Gabidulin码都不能被有效地列表解码。此外，他们还证明了Gabidulin码的参数有无穷多个选择，无法有效地进行列表解码。随后，在[41]中，这些结果被推广到广义Gabidulin码族和进一步的MRD-码族。在本文中，我们提供的范围内的秩度量码的列表大小包含广义Gabidulin码，以确定是否存在一个多项式时间的列表解码算法。我们检测几个家庭的秩度量码包含一个广义Gabidulin码作为子码，不能有效地列表解码的任何半径足够大，不能有效地列表解码的秩度量码的家庭。这些结果表明，秩度量码是$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性的或包含（幂）广义Gabidulin码不能有效地列表解码的大值的半径。
2021-03-12 cs.IT math.CO math.IT
New Construction for Constant Dimension Subspace Codes via a Composite Structure
子空间编码中最基本的主题之一是探索$\mathbb{F}_q^n$中的一组$k$维子空间的最大可能值${\bf A}_q(n,d,k)$，使得对于该组中的任何两个不同的$k$维子空间$U$和$V$，子空间距离满足$\operatorname{d_S}(U,V) = \dim(U+V)-\dim(U\cap V) \geq d$。本文提出了一种通过插入一个由MRD码及其子码组成的复合结构来构造常维子空间码的方法。它的巨大优势，在以前的建设已被证实，通过广泛的例子。构造出至少$49$新的等维子空间码，其性能优于现有的最佳等维子空间码。
2021-03-18 cs.IT math.IT
