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arXiv 2008.13587math.DG
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关于向量丛的泊松代数刻画

On a Poisson-algebraic characterization of vector bundles

Elie Zihindula Mushengezi

备注：
13 pages
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AI总结：

该研究证明微分算子符号的$\mathbb{R}$-代数无法仅靠代数结构刻画向量丛，而其泊松代数结构无需${\rm C}^\infty(M)$-模条件即可实现向量丛的刻画。

摘要：

我们证明，作用于向量丛$E\to M$的截面的微分算子的符号构成的$\mathbb{R}$-代数$\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$可分解为和式$\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))=\mathcal{J}(E)\oplus {\rm Pol}(T^*M)$，其中$\mathcal{J}(E)$是$\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$的一个理想，且该理想中任意两个元素的乘积恒为零。这表明$\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$无法仅凭借其$\mathbb{R}$-代数结构刻画$E \to M$。我们证明，借助其泊松代数结构，$\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$无需被视作${\rm C}^\infty(M)$-模即可刻画向量丛$E\to M$。

英文摘要：

We prove that the $\mathbb{R}-$algebra $\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M)) $ of symbols of differential operators acting on the sections of the vector bundle $E\to M$ decompose into the sum \[ \mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))=\mathcal{J}(E)\oplus {\rm Pol}(T^*M) \] where $\mathcal{J}(E)$ is an ideal of $\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$ in which product of two elements is always zero. This induces that $\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$ cannot characterize $E \to M$ with its only structure of $\mathbb{R}-$ algebra. We prove that with its Poisson algebra structure, $\mathcal{S}(\mathcal{P}(E,M))$ characterizes the vector bundle $E\to M$ without the requirement to be considered as a ${\rm C}^\infty(M)-$module.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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