Error bounds on analytic Koopman-based Lyapunov functions
Department of Mathematics and Namur Research Institute for Complex Systems (naXys), University of Namur（南纳慕尔大学数学系与南纳慕尔复杂系统研究所）
本文研究了Koopman算子特征函数在解析向量场和有限维多项式子空间近似下的误差界，用于验证基于Koopman的Lyapunov函数的有效性，并获得平衡点吸引区的内近似。
2026-03-31 math.DS
Residual SCI Upper Bounds And Lower Witnesses For Koopman Approximate Point Spectra In $L^p$ For $1<p<\infty$: Extended Version
University of the Bundeswehr Munich（德国联邦国防军慕尼黑大学）
本文研究了在L^p空间中Koopman算子近似点谱的余量计算，提出基于连续有限维字典和标记四次余量的方法，为四种自然映射类别提供了SCI上界和下见证者。
2026-05-12 cs.CC cs.NA math.DS
Reduced-order modelling based on Koopman operator theory
本文研究基于库普曼算子理论的流体动力学降阶建模，提出一种识别关键库普曼模态的新策略，以数值逼近复合算子，从而降低模型计算复杂度。
2024-09-05 cs.NA math.DS math.NA
Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是描述标量可观测量（即，状态的测量函数）在无限维希尔伯特空间中。这种算子理论的观点将有限维非线性系统的动力学提升到无限维函数空间，在那里原系统的演化变成线性的。在本文中，我们提供了一个简短的总结Koopman算子定理的非线性动力学建模，并专注于分析几个数据驱动的实现，使用动态模式分解（DMD）的自治和控制的规范问题。我们应用扩展的动态模式分解（EDMD），以确定领先的Koopman本征函数和近似的有限维表示所发现的线性动力学。这使我们能够对非线性系统应用线性控制方法，而无需在不动点附近进行线性化近似。然后，我们可以检查使用的线性控制器的基础上的Koopman算子近似系统的欠驱动系统的基本机动的保真度。我们通过对两个经典动力系统的数值模拟证明了这一理论的有效性，并展示了DMD方法对Koopman算子的评估和逼近及其在线性化这些系统时的有效性。
2021-10-16 cs.RO math.DS math.OC
On Computation of Koopman Operator from Sparse Data
在本文中，我们提出了一种新的方法来计算稀疏时间序列数据的Koopman算子。近年来，数据驱动的动力系统分析的算子理论方法引起了人们极大的兴趣。用于Koopman算子的近似的现有技术需要足够大的数据集，但是在许多应用中，数据集可能不够大以将算子近似到可接受的极限。在本文中，使用鲁棒优化的思想，我们提出了一个算法来计算稀疏数据的Koopman算子。我们丰富的人工数据点的稀疏数据集，通过添加有界人工噪声和制定的噪声鲁棒学习问题作为一个强大的最优化问题，并表明最优解是Koopman算子的最小误差。我们说明了我们所提出的方法在三个不同的动力系统，即线性系，非线性系统和动力系统所管辖的偏微分方程的效率。
2019-01-10 math.DS
Robust Approximation of the Stochastic Koopman Operator
我们分析了基于动态模式分解（DMD）的随机Koopman算子的随机动力系统的动力学或可观测量受到噪声的影响的近似的性能。对于许多DMD算法，噪声的存在可以在DMD算子中引入偏差，导致动力学的差的近似。特别是，使用时间延迟的观测量，如汉克尔DMD的方法，是有偏见的动态时，是随机的。我们介绍了一种新的，强大的DMD算法，可以近似的随机Koopman算子，尽管存在噪声。然后，我们演示了如何将该算法应用于时间延迟的观测量，这使我们能够从一个单一的观察生成一个Krylov子空间。这使我们能够使用在单个轨迹上测量的单个可观测值来计算随机Koopman算子的实现。我们测试的性能的算法在几个例子。
2022-02-03 math.DS
Delay-coordinate maps, coherence, and approximate spectra of evolution operators
利用核积分算子技术研究了保测遍历动力系统相干观测量的数据驱动辨识问题。提出了一种方法，即复值观测与近似周期性行为的构造从一对本征函数的积分算子从延迟坐标映射的数据。结果表明，这些可观的$ε$ -近似的Koopman系统的演化算子的本征函数，与限制$ε$控制的延迟嵌入窗口的长度，演化时间，和适当的谱隙参数。特别地，$ ε$可以随着嵌入窗口的增加而任意小，只要相应的本征值在积分算子的谱中保持充分隔离。它还表明，这种观测量的时间自相关函数是$ε$ -近似Koopman特征值，表现出一个定义良好的特征振荡频率（估计使用Koopman发电机）和缓慢衰减的调制包络。这些结果适用于任意谱特征的保测遍历动力系统，包括具有连续谱和$L^2$中没有非常数Koopman本征函数的混合系统.数值例子揭示了一个相干的观测的Lorenz 63系统的自相关函数保持在0.5以上的模超过约10李雅普诺夫时间尺度。
2020-10-27 math.DS nlin.CD physics.data-an
PRONE: Petrov-Galerkin Operator Learning Unifies DMD, SINDy & Koopmanism
University of Cambridge（剑桥大学）；Autodesk Research（欧特克研究院）
提出Petrov-Galerkin回归框架PRONE，通过非对称字典映射统一多种数据驱动动力学方法，利用奇异模态替代特征模态实现非线性系统预测，在混沌映射等任务中以更少参数超越DeepONet等模型。
2026-06-29 math.DS
Shaping the Koopman dictionary by learning on the Grassmannian
University of Twente（特文特大学）
本文提出在格拉斯曼流形上利用微分几何优化方法系统性塑造库普曼字典，以减少投影误差并实现近似不变子空间，从而提升非线性动力系统数据驱动预测的精度与效率。
2025-11-10 math.DS
Learning Bilinear Models of Actuated Koopman Generators from Partially-Observed Trajectories
Princeton University（普林斯顿大学）；Paderborn University（帕德博恩大学）
针对带驱动系统Koopman生成器逼近中基函数选择难和部分状态观测受限的问题，提出将其表示为双线性隐马尔可夫模型并用EM算法求解，在三个示例中验证了其有效性。
2023-10-24 cs.CE cs.LG cs.SY
Reinforcement-Learning-Guided Data-Driven Estimation of Spectral Properties of Stochastic Koopman Semigroups
Department of Biosystems Engineering, University of Manitoba（曼尼托巴大学生物系统工程系）；School of Information Science and Technology, Nantong University（南通大学信息科学与技术学院）；Department of Mathematical and Statistical Science, University of Alberta（阿尔伯塔大学数学与统计科学系）
本文提出Reinforced SDMD方法，结合强化学习与随机动态模式分解，用于更准确估计随机Koopman半群的谱性质，通过探索奖励机制优化采样区域以提高估计精度。
2026-06-05 math.DS
A Kernel-Based Approach to Data-Driven Koopman Spectral Analysis
提出了一种基于核的数据驱动的方法，用于近似高维状态空间问题中的主要Koopman特征值、特征函数和模态。这种方法使用一组标量观测量来近似Koopman算子，这些标量观测量是在状态空间上定义的函数，其由内核的选择{ \em隐式}确定。这就避免了在这些问题中，由于需要基函数的数量来跨越标量观测量空间的“足够丰富”的子空间而产生的计算问题。我们说明这种方法的FitzHugh-Nagumo PDE，一个典型的例子，一维反应扩散系统，并比较我们的结果与相关的方法，如动态模式分解（DMD），具有相同的计算成本，我们的方法。在这个例子中，领先的库普曼本征值，本征函数和模式的近似结果都更准确，对计算中使用的数据的分布比DMD产生的更不敏感。
2015-07-27 math.DS
On Few Shot Learning of Dynamical Systems: A Koopman Operator Theoretic Approach
在本文中，我们提出了一种新的算法学习的Koopman算子的动力系统从\textit{small}量的训练数据。在数据驱动建模的许多应用中，例如生物网络建模、网络安全、物联网建模或智能电网监控，不可能以足够高的采样频率获得定期采样的时间序列数据。在这种情况下，现有的动态模式分解（DMD）或扩展的动态模式分解（EDMD）算法的Koopman算子计算往往会导致低保真度近似Koopman算子。为此，本文提出了一种算法，可以有效地计算Koopman算子时，训练数据集是稀疏采样的时间。特别是，该算法通过添加人工数据点来丰富小训练数据集，这些数据点被视为噪声观测。然后，使用来自鲁棒优化的技术，使用较大的，尽管有噪声的数据集来计算Koopman算子。所提出的算法的有效性也证明了三个不同的动力系统，即一个线性网络的振荡器，一个非线性系统和一个动力系统由偏微分方程（PDE）。
2021-03-07 math.DS
Learning Koopman Eigenfunctions and Invariant Subspaces from Data: Symmetric Subspace Decomposition
本文开发了数据驱动的方法来识别与动力系统相关的Koopman算子的本征函数和在该算子下不变的子空间。我们建立在扩展的动态模式分解（EDMD），数据驱动的方法，找到一个有限维近似的Koopman算子的跨度上的预定义的字典的功能。我们提出了一个必要和充分条件，确定Koopman特征函数的基础上应用EDMD的向前和向后的时间。此外，我们提出了对称子空间分解（SSD）算法，迭代方法，可证明确定的最大Koopman不变的子空间和Koopman特征函数的字典的跨度。我们还介绍了流对称子空间分解（SSSD）算法，SSD的在线扩展，只需要一个小的，固定的内存，并纳入新的数据，因为收到。最后，我们提出了一个扩展的SSD近似库普曼特征函数和不变子空间时，字典不包含足够的信息特征函数。
2021-02-25 cs.SY eess.SY math.DS
A Data-Driven Koopman-Behavioral Distance for Nonlinear Dynamical Systems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种基于Koopman算子和行为子空间的非线性随机系统距离度量，利用轨迹数据提升并比较子空间，实现坐标不变性和参数判别。
2026-09-09 cs.SY eess.SY math.DS
Compression of the Koopman matrix for nonlinear physical models via hierarchical clustering
Graduate School of Science and Engineering, Saitama University（埼玉大学理工学研究科）
本文提出利用层次聚类压缩Koopman矩阵的方法，并在小车-杆模型上验证其优于传统SVD压缩。
2024-03-27 cs.LG math.DS
Physics-Informed Koopman Network
University of Washington（华盛顿大学）；Mitsubishi Electric Research Laboratories（三菱电机研究实验室）
Koopman算子理论由于其线性化非线性动力学的前景而受到越来越多的关注。神经网络的发展，以代表库普曼运营商已显示出巨大的成功，由于他们的能力，以近似任意复杂的功能。然而，尽管它们具有巨大的潜力，但它们通常需要来自真实系统的测量或来自高保真仿真的大的训练数据集。在这项工作中，我们提出了一种受物理信息神经网络启发的新架构，该架构利用自动微分在模型训练期间通过软惩罚约束来施加潜在的物理定律。我们证明，它不仅减少了大的训练数据集的需要，但也保持了高效率的近似库普曼特征函数。
2022-11-17 cs.LG math.AP math.DS
Variance representations and convergence rates for data-driven approximations of Koopman operators
本文为EDMD逼近Koopman算子严格推导误差界，证明i.i.d.采样指数收敛及遍历采样超线性收敛，并基于方差表示验证于复杂系统。
2024-05-23 math.DS
On the structure of complex spectra and eigenfunctions of transfer and Koopman operators
School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文研究了转移和柯普曼算子复谱和特征函数的结构，分析了在小噪声下的动力学系统旋转运动，并提供了在零噪声极限下复谱和特征函数的极限行为。
2026-05-06 math.DS math.PR
On Dominant Manifolds in Reservoir Computing Networks
Cornell University（康奈尔大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
研究了 reservoir computing 网络在时间预测任务中训练过程中低维主导流形的形成，揭示了主导模式与训练数据内在维度和信息含量的关系，并探讨了非线性 reservoir computing 的泛化方法。
2026-09-22 cs.LG math.DS math.OC
The Adaptive Spectral Koopman Method for Dynamical Systems
本文提出无网格的自适应谱 Koopman（ASK）方法，结合谱配置与 Koopman 算子特征对近似求解非线性自治动力系统，并在一维至三维实验中验证其高精度与灵活性。
2023-06-08 math.DS
Nonlinear Data-Driven Approximation of the Koopman Operator
Koopman分析提供了一个通用的框架，从该框架中可以用作用于无限维可观测空间的线性算子来分析非线性动力系统。这个理论框架为广泛使用的动态模式分解算法提供了严格的基础。虽然这种方法已被证明是非常有用的时间序列数据的分析，得到的线性模型通常必须是高阶的，以准确地近似基本上非线性行为。这个问题带来了过度拟合训练数据的固有风险，从而限制了预测能力。相比之下，这项工作探讨了非线性数据驱动的估计Koopman算子的行动的策略。一般策略，产量非线性模型的系统与无控制。随后将得到的非线性方程投影到低秩基上，得到底层动力系统的低阶表示。在这两个计算和实验的例子中，考虑在这项工作中，Koopman算子的线性估计一般只能提供短期的预测可观察到的动态，而可比的非线性估计提供准确的预测，在相当长的时间尺度和复制无限的时间行为，线性预测不能。
2022-10-10 math.DS
Koopman Operator Applications in Signalized Traffic Systems
本文提出了Koopman算子理论和相应的动态模式分解（DMD）算法，用于信号控制交通流网络的分析和控制。DMD提供了一个无模型的方法来表示复杂的振荡动力学从测量数据，我们研究了它的应用在信号交通中的几个问题。我们首先研究了一个单信号交叉口，我们提出应用这种方法来推断交通信号控制参数，如相位定时直接从交通流数据。接下来，我们建议使用振荡模式的Koopman运营商，近似DMD，早期识别不稳定的队列增长，有可能导致级联拥塞。然后，我们演示了如何DMD可以加上知识的交通信号控制状态，以确定交通信号控制参数，能够减少队列长度。最后，我们证明，DMD允许确定的结构和强度的相互作用，在网络的信号交叉口。所有的例子都证明了使用一个案例研究网络仪表与高分辨率的交通流量传感器。
2019-02-28 math.DS
On the approximation of Koopman spectra for measure preserving transformations
对于紧度量空间上的连续保测自同构类，给出了在希尔伯特空间上构造Koopman算子的有限维逼近序列的方法.这些有限维近似是从所谓的“周期近似”的基本自同构，并采取置换算子的形式。结果建立在这些离散近似的Koopman算子谱。特别地，证明了这些置换算子的谱测度和谱投影算子都弱收敛于它们的无穷维对应算子。在此基础上，给出了计算单位$m$ -环面上保体积映射谱的数值方法。离散化Koopman算子可以通过求解具有$\mathcal{O}(\tilde{n}^{3m/2})$时间复杂度的二分匹配问题来构造，其中$\tilde{n}$表示每个维度上的网格大小。通过利用离散化Koopman算子的置换结构，进一步证明了投影和密度函数是可以用FFT算法在$\mathcal{O}(m \tilde{n}^{m} \log \tilde{n})$运算中计算的。我们的方法说明了几个经典的例子上的环面上的自同构，包含一个离散的，连续的，或混合的光谱。此外，我们还用这种方法研究了Chirikov标准映射的谱性质.
2018-12-07 math.DS
Mori-Zwanzig latent space Koopman closure for nonlinear autoencoder
DAAA Onera；Institut Jean le Rond d’Alembert, Sorbonne University（让·勒·朗·达朗贝尔研究所，索邦大学）；Institute for Combustion Technology, Aachen University（燃烧技术研究所，亚琛大学）
本文提出 Mori-Zwanzig 自编码器（MZ-AE），利用非线性自编码器提取观测量并结合非马尔可夫修正，在低维潜空间中实现 Koopman 算子的近似闭合，从而提升复杂非线性动力学的预测精度与稳定性。
2025-05-07 cs.LG math.DS physics.flu-dyn
Uncertainty Modelling and Robust Observer Synthesis using the Koopman Operator
McGill University（麦吉尔大学）；Mecademic（梅卡德米克）
本文利用 Koopman 算子将非线性系统近似线性化，在频域量化一组模型的不确定性，并基于混合 H2-H∞ 控制综合鲁棒非线性观测器，在数十个电机驱动上完成实验验证。
2024-10-01 cs.LG cs.SY eess.SY
Koopman Regularization and Independent Koopman Eigenfunction Approximation
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
柯普曼正则化通过约束优化从稀疏受污染样本中学习动力学方程，利用柯普曼本征函数实现简洁且精确的动力学恢复。
2026-11-03 math.DG math.DS
Koopman Operator in the Weighted Function Spaces and its Learning for the Estimation of Lyapunov and Zubov Functions
本文在加权函数空间和加权再生核希尔伯特空间中学习库普曼算子，保证其收缩性和误差有界，并利用学习结果估计全局渐近稳定系统的李雅普诺夫函数及刻画吸引域的祖博夫-李雅普诺夫函数，同时给出误差概率界。
2024-09-30 cs.SY eess.SY math.DS
Error analysis of kernel EDMD for prediction and control in the Koopman framework
本文分析基于核的kEDMD算法，在非遍历采样分布下证明其Koopman预测误差界，并将结果推广到控制仿射系统。
2023-12-16 math.DS
Beyond expectations: Residual Dynamic Mode Decomposition and Variance for Stochastic Dynamical Systems
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Allen Institute（艾伦研究所）；University of Washington（华盛顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对随机动力系统中Koopman算子谱验证的空白，本文提出将方差纳入框架，通过额外DMD型矩阵近似残差与方差，实现谱性质的验证计算，并引入方差伪谱以揭示标准期望模型无法获得的生理信息。
2023-11-10 cs.LG cs.NA math.DS
On the approximation of Koopman spectra of measure-preserving flows
本文将利用周期逼近计算Koop-man算子的谱分解的方法推广到紧度量空间上的保测流类。结果表明，连续单参数酉群的谱分解可以近似于流的中间时间离散化。在流的时间离散化和周期近似的空间离散化之间建立了一个充分条件，使得谱在极限处弱收敛。该条件有效地转化为空间细化必须以比时间细化更快的速度发生的要求。这一结果与对流方程有限差分格式的CLF条件进行了对比。数值结果的频谱计算的体积保持流的一些基准的例子。
2018-06-27 math.DS
Data-driven approximation of Koopman operators and generators: Convergence rates and error bounds
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Lancaster University（兰卡斯特大学）；University of Salamanca（萨拉曼卡大学）；University of Manchester（曼彻斯特大学）；Heriot–Watt University（赫瑞-瓦特大学）
提出基于蒙特卡洛采样的统一框架来逼近Koopman等无穷维算子，包含EDMD和gEDMD作为特例，证明了在宽松条件下的收敛性及收敛速率，并分析了噪声影响。
2026-06-26 cs.NA math.DS math.NA
Extended dynamic mode decomposition with dictionary learning: a data-driven adaptive spectral decomposition of the Koopman operator
Koopman算子的数值逼近方法在过去的几年里有了很大的发展。特别是，数据驱动的方法，如动态模式分解（DMD）及其推广，扩展DMD（EDMD），在实际应用中变得越来越流行。EDMD改进了经典的DMD，包括一个灵活的选择字典的观测值，跨越一个有限维的子空间上的Koopman算子可以近似。这提高了解决方案的重建的准确性，并扩大了Koopman形式主义的适用性。虽然EDMD的收敛性已经建立，但在实践中应用该方法需要仔细选择观测量，以提高收敛性，只有有限数量的条款。这对于高维和高度非线性系统尤其困难。在本文中，我们采用机器学习的思想来改进EDMD方法。我们开发了一种迭代逼近算法，该算法将EDMD与由人工神经网络表示的可训练字典耦合在一起。以Duffing振荡器和Kuramoto Sivashinsky PDE为例，我们证明了我们的算法可以有效地使可训练字典适应手头的问题，以实现良好的重建精度，而无需事先选择固定的字典。此外，为了获得给定的准确度，我们需要更少的字典条款比EDMD与固定的字典。这消除了EDMD算法的一个重要缺点，增强了Koopman框架对实际问题的适用性。
2017-07-02 math.DS
Data-Driven Model Predictive Control using Interpolated Koopman Generators
近年来，Koopman算子在动力系统分析中的成功也推动了基于Koopman算子的控制框架的发展。为了通过动态模式分解保持近似的相对较低的数据要求，最近在[Peitz \& Klus，Automatica 106，2019]中提出了一种量化方法。通过这种方式，非线性动力系统的控制可以通过切换系统技术来实现，仅使用有限集的基于自主Koopman算子的降阶模型。这些单独的系统可以非常有效地从数据中近似。其主要思想是将一个控制系统转化为一组自治系统，并计算其最优开关序列。在这篇文章中，我们将这些结果扩展到连续控制输入松弛。通过这种方式，我们结合了近似自治系统的有限集的数据效率与连续控制的优点。我们表明，当使用Koopman生成器，这种松弛-实现两个运营商之间的线性插值-不引入任何错误的控制仿射系统。这使我们能够控制高维非线性系统使用双线性，低维代理模型。所提出的方法的效率证明了使用几个例子越来越复杂，从Duffing振荡器的混沌流体弹球。
2020-03-16 math.DS math.OC
Invariance Proximity: Closed-Form Error Bounds for Finite-Dimensional Koopman-Based Models
针对Koopman算子有限维近似模型的不变性邻近度计算难题，本文利用其几何结构推导了基于Jordan主角的闭式表达式，借助同构规避函数空间计算难点，实现了该指标的高效数值计算。
2025-01-14 cs.SY eess.SY math.DS
Flow primitives and infinitesimal generators of Perron-Frobenius and Koopman operators
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种基于无穷小生成元指数近似的计算方法，通过李括号刻画向量场微扰对Perron-Frobenius和Koopman算子的影响，实现从流基元构造算子及处理参数扰动。
2026-06-03 math.DS nlin.CD
When Koopman Meets Hamilton and Jacobi
本文利用库普曼算子谱理论建立哈密顿-雅可比方程求解的新途径，通过拉格朗日子流形近似和凸优化框架将线性系统结果推广到非线性系统，并在最优控制中验证了其有效性。
2025-04-10 math.DS math.OC
Ergodic theory, Dynamic Mode Decomposition and Computation of Spectral Properties of the Koopman operator
我们建立了一类数值算法的收敛性，被称为动态模式分解（DMD），用于计算无限维Koopman算子的特征值和特征函数。该算法作用于来自状态空间上的观测量的数据，该观测量以Hankel型矩阵排列。证明利用了基本的动力系统是遍历的假设。这包括经典的测度保持系统，以及吸引子支持物理测度的系统。我们的方法依赖于DMD中的向量投影可以用来近似的功能投影Birkhoff的遍历定理的美德的观察。利用这一事实，我们表明，应用DMD汉克尔数据矩阵的无限时间观测的限制产生真正的库普曼本征函数和本征值。我们还表明，奇异值分解，这是大多数DMD算法的核心部分，收敛到本征正交分解的可观。我们使用这个结果来获得一个表示的动态系统的连续谱的基础上提升的坐标空间的可观。这些方法的数值应用证明使用著名的动力系统和计算流体力学的例子。
2017-08-27 math.DS
Numerical approximation of the Koopman-von Neumann equation: Operator learning and quantum computing
School of Mathematical & Computer Sciences, Heriot–Watt University（爱丁堡赫瑞-瓦特大学数学与计算机科学学院）；Max-Planck-Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马普复杂技术系统动力学研究所）；Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）
本文基于Koopman-von Neumann框架和经典转移算子，提出数值方法近似该算子及其本征值和本征函数，并探讨基函数和域的选择对算子定义的重要性。
2026-09-28 cs.NA math.DS math.NA
Beyond Invariant Dictionary: Data-Driven Koopman Spectral Recovery with Filtered Extended Dynamic Mode Decomposition
Princeton University（普林斯顿大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
针对EDMD中非不变字典易引入伪特征值的问题，提出投影Koopman算子逼近框架构建滤波EDMD算子，分析两种投影几何并开发相关算法，实验验证其能有效减少谱污染。
2026-08-05 cs.IT cs.NA math.DS
A Koopman framework for rare event simulation in stochastic differential equations
利用随机Koopman算子和Kolmogorov倒向方程之间的关系，构造了随机微分方程的重要性抽样方案.具体地，我们提出使用随机Koopman算子的本征函数来近似感兴趣的可观测量的Doob变换（例如，与罕见事件相关联），这又产生对应的零方差重要性抽样估计量的近似。我们的方法是广泛适用的和系统的，治疗非正常系统，非梯度系统，和系统的振荡动力学或秩亏噪声在一个共同的框架。在非线性设置的随机库普曼特征函数不能推导出解析，我们使用动态模式分解（DMD）的方法来计算它们的数值，但框架是不可知的特定的数值方法。数值实验表明，即使是粗糙的近似的几个特征函数，后者是建立从非罕见的轨迹，可以产生有效的重要性抽样计划罕见的事件。
2022-02-07 math.DS math.PR stat.CO
Generative Modeling through Koopman Spectral Analysis: An Operator-Theoretic Perspective
Center for Science Adventure；Collaborative Research Advancement, Graduate School of Science, Kyoto University, Kyoto, Japan；Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA；LinkedIn Corporation, Sunnyvale, CA；Dynamic Systems Lab, University College London, London, UK；Graduate School of Information Science；Technology, The University of Osaka, Osaka, Japan；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project, Tokyo, Japan
KSWGD通过Koopman理论和Wasserstein梯度下降结合，实现高效生成建模，克服梯度消失问题，提升收敛速度和样本质量。
2026-02-08 cs.LG math.DS
Koopman Operator Approximation under Negative Imaginary Constraints
针对非线性负虚系统理论不完善的问题，提出嵌入负虚特性线性矩阵不等式约束的Koopman算子学习方法，通过变量重格式化为凸优化，比局部线性化更准、控制性能更优，为非线性负虚系统的线性控制应用提供新路径。
2023-05-07 math.DS math.OC
Learning Regions of Attraction in Unknown Dynamical Systems via Zubov-Koopman Lifting: Regularities and Convergence
本文提出一种基于 Zubov-Koopman 算子提升的方法，通过在无限维函数空间中学习算子来间接逼近 Zubov 方程的解，从而精确估计未知非线性动力系统的吸引区域，并证明了该方法的正则性、强收敛性及数据效率。
2024-06-27 math.AP math.DS
Data-driven discovery of Koopman eigenfunctions for control
在线性框架中重新表述非线性系统的数据驱动转换具有使用线性系理论来实现强非线性动态的预测、估计和控制的潜力。Koopman算子已经成为非线性动力学的原则性线性嵌入，其特征函数建立了动力学线性行为的内在坐标。以前的研究已经使用有限维近似的Koopman算子模型预测控制方法。在这项工作中，我们说明了这种方法的基本封闭问题，并认为这是有益的，首先验证本征函数，然后在这些验证的本征函数构建降阶模型。这些坐标通过设计形成Koopman-不变子空间，并且因此具有改进的预测能力。然后，我们将展示如何控制可以直接在这些内在坐标中制定，并讨论这种观点的潜在好处和警告。由此产生的控制架构被称为Koopman降阶非线性识别和控制（KRONIC）。它表明，这些特征函数可以近似与数据驱动的回归和幂级数展开，基于偏微分方程管理的Koopman算子的无穷小生成器。验证发现的本征函数是至关重要的，我们表明，轻阻尼本征函数可以忠实地提取EDMD或隐式配方。这些轻阻尼本征函数与控制特别相关，因为它们对应于与持久动力学相关的几乎守恒的量，例如哈密顿量。KRONIC然后证明了一些相关的例子，包括1）一个非线性系统与已知的线性嵌入，2）各种哈密顿系统，和3）一个高维双环流模式的海洋混合。
2021-02-10 math.DS math.OC
Learning Noise-Robust Stable Koopman Operator for Control with Hankel DMD
针对非线性动力学系统Koopman算子学习，提出基于Hankel矩阵的抗噪稳定框架，通过利用系统动力学生成观测变量（或神经网络近似）、稳定参数化及迭代数据增强，提升模型性能与长期稳定性，实验表明其优于现有方法。
2025-08-22 math.DS stat.ML
Koopman-Assisted Reinforcement Learning
Department of Computer Science, Cornell University（康奈尔大学计算机科学系）；Subharmonic Technologies Inc.（Subharmonic Technologies公司）；Department of Economics, Cornell University（康奈尔大学经济学系）；Department of Engineering Physics and Computation, Technical University of Munich（慕尼黑技术大学工程物理与计算系）；Department of Mechanical Engineering, University of Washington（华盛顿大学机械工程系）
本文提出基于数据驱动Koopman算子的强化学习算法，通过将非线性系统提升到新坐标空间，使动力学近似线性化，从而更易处理Hamilton-Jacobi-Bellman方程。该方法重构了两种最大熵RL算法，适用于确定性和随机性系统。
2026-05-01 cs.AI cs.LG math.DS
On Convergence of Extended Dynamic Mode Decomposition to the Koopman Operator
扩展动态模式分解（EDMD）是一种通过在状态空间中的$M$点处采样来近似Koopman算子对观测量空间的$N$维子空间的作用的算法。假设样本是从某个测度$μ$独立地或遍历地抽取的，证明了在极限为$M\rightarrow\infty$时，EDMD算子$\mathcal{K}_{N,M}$收敛到$\mathcal{K}_N$，其中$\mathcal{K}_N$是Koopman算子作用在有限维观测量子空间上的$L_2(μ)$ -正交投影.在这项工作中，我们证明了，作为$N \rightarrow \infty$，操作$\mathcal{K}_N$在强算子拓扑收敛到Koopman操作。这特别意味着在任何有限时间范围内给定可观测值的未来值的预测的收敛，这对于诸如预测、估计和控制的实际应用是重要的。此外，我们证明了$\mathcal{K}_N$的谱的聚点对应于Koopman算子的本征值，并且当本征函数的弱极限不为零时，其本征函数弱收敛于Koopman算子的本征函数.作为一个副产品，我们提出了一个分析版本的EDMD算法，在某些假设下，允许一个直接构建$\mathcal{K}_N$，而不使用采样。最后，在额外的假设下，我们分析了$\mathcal{K}_{N,N}$的收敛性（即，$M=N$），证明收敛，沿子序列，弱本征函数（或本征分布）有关的特征测度的Perron-Frobenius算子。没有假…
2017-10-20 math.DS math.OC math.SP
Learning dynamically inspired bases for Koopman and transfer operator approximation
School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（数学与统计学学院，新南威尔士大学悉尼分校）
本文提出通过机器学习动态定制的正交基函数，以高效逼近Koopman和转移算子，从而准确获取算子的谱特性及不变测度。
2026-03-24 cs.LG cs.NA math.DS
Generalizing Dynamic Mode Decomposition: Balancing Accuracy and Expressiveness in Koopman Approximations
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
利用Koopman算子方法研究未知动力系统的数据驱动逼近问题。给定一个函数字典，这些方法近似于算子作用在字典所张成的有限维子空间上的投影。我们提出了可调对称子空间分解算法来改进字典，平衡其表达能力和准确性。表达性对应于字典描述尽可能多的可观察量的演变的能力，准确性对应于正确预测其演变的能力。基于Koopman不变子空间产生精确预测的观察，我们推断预测精度是由字典生成的子空间的不变性程度的函数，并提供了一个数据驱动的度量来测量不变性接近度。所提出的算法迭代修剪的初始功能空间，以确定一个完善的字典的功能，满足所需的精度水平，同时保留尽可能多的原始表现力。我们提供了一个完整的表征的算法性能，并表明，它概括了扩展的动态模式分解和对称子空间分解。平面系统上的仿真表明，所提出的方法在生产可调精度的Koopman近似捕获有关的动力系统的相关信息的有效性。
2023-02-27 cs.LG cs.SY eess.SY
On residual bounds of the EDMD solution to the eigenvalue problem for the Koopman operator and backward shadowing stability of the EDMD/KMD
University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
研究在 Koopman 算子框架下，基于跟踪理论评估离散动力系统数据驱动计算分析的反向稳定性，通过反向误差分析利用计算特征对进行谱分析，汇总残差为算子扰动，传递影响到系统映射和初始条件，最终实现伪轨迹被精确轨迹跟踪。
2026-08-13 cs.MS cs.NA math.DS
Koopman-based lifting techniques for nonlinear systems identification
University of Namur（南纳姆大学）；Luxembourg Centre for Systems Biomedicine, University of Luxembourg（卢森堡系统生物医学中心，卢森堡大学）
本文提出了一种基于Koopman算子框架的新型非线性系统辨识提升技术，通过在观测空间中识别线性（无限维）Koopman算子，而非在状态空间中识别非线性系统，从而实现了对非线性系统的线性辨识方法。该方法无需计算时间导数，适用于采样率较低的数据集，并通过两种数值方案（主方法和对偶方法）展示了其在不同有限维子空间近似中的应用。
2019-04-24 cs.SY eess.SY math.DS
Finding Koopman Invariant Subspaces via Personalized PageRank
University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；University of Cambridge（剑桥大学）
利用扩展动态模态分解（EDMD）矩阵的零块结构，通过个性化PageRank检测Koopman不变子空间，实现紧凑可解释字典的自动选择，并提供有限样本保证。
2026-05-27 cs.NA math.DS math.NA
Modern Koopman Theory for Dynamical Systems
动力系统领域正在被现代计算和数据科学中出现的数学工具和算法所改变。第一原理推导和渐近约简正在让位于数据驱动的方法，这些方法在算子理论或概率框架中制定模型。Koopman谱理论在过去的十年中已经成为一个主导的观点，其中非线性动力学表示在一个无限维的线性算子的空间上的所有可能的测量功能的系统。这种非线性动力学的线性表示具有巨大的潜力，能够用为线性系开发的标准教科书方法来预测、估计和控制非线性系统。然而，获得有限维坐标系和嵌入的动力学似乎近似线性仍然是一个中心的开放的挑战。Koopman分析的成功主要归功于三个关键因素：1）存在将其与动力系统的经典几何方法联系起来的严格理论，2）该方法根据测量来制定，使其成为利用大数据和机器学习技术的理想选择，以及3）简单但功能强大的数值算法，例如动态模式分解（DMD），已经被开发和扩展，以减少库普曼理论在现实世界中的应用实践。在这篇综述中，我们提供了现代Koopman算子理论的概述，描述了最近的理论和算法的发展，并突出了这些方法的各种应用。我们还讨论了快速发展的机器学习领域的关键进展和挑战，这些进展和挑战可能会推动未来的发展，并显着改变动力系统的理论格局。
2021-10-29 cs.LG cs.SY eess.SY
