On Matching, and Even Rectifying, Dynamical Systems through Koopman Operator Eigenfunctions
匹配动力系统，通过不同形式的共轭和等价，一直是一个基本的概念，和一个强大的工具，在非线性动力学行为的研究和分类（例如通过规范形式）。在本文中，我们将认为，使用Koopman算子及其频谱是特别适合这一努力，无论是在理论上，但也特别是在最近的数据驱动算法的发展。我们相信，并通过说明性的例子文件，这可以nontrivially扩展的使用和适用性的库普曼频谱的理论和计算机器超越建模和预测，对什么可以被认为是一个系统的发现“科尔-霍普夫型”的动力学变换。
2018-03-06 math.DS
Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control
在这项工作中，我们探索有限维线性表示的非线性动力系统限制的Koopman算子的一个不变子空间。Koopman算子是一个无穷维线性算子，它演化出动力系统状态空间的可观测函数[Koopman 1931，PNAS]。Koopman展开中的主导项通常使用动态模式分解（DMD）来计算。DMD使用状态变量的线性测量，最近的研究表明，这对于非线性系统可能限制太多[Williams等人，2015，JNLS]。选择非线性可观测函数来形成不变子空间，在该子空间中可以获得线性模型，特别是那些对控制有用的线性模型，这是一个公开的挑战。在这里，我们调查的可观测函数的选择库普曼分析，使非线性问题的最优线性控制技术的使用。首先，为了包括系统状态的成本，如在线性二次调节器（LQR）控制中，将这些状态包括在可观测子空间中是有帮助的，如在DMD中。然而，我们发现这只有在存在单个孤立不动点时才有可能，因为具有多个不动点或更复杂吸引子的系统不是全局拓扑共轭到有限维线性系统，并且不能由包括状态的有限维线性Koopman子空间表示。然后，我们提出了一种数据驱动的策略，通过非线性函数空间中数据的稀疏回归，使用一种新算法确定动力系统中的项，来识别Koopman分析的相关可观测函数[Brunton et al. 2015，arxiv];我们展示了该算法与DMD的相关性。最后，我们展示了如何设计最优控制律的非线性系统使用的技术，从线…
2015-12-23 math.DS
A Data-Driven Framework for Koopman Semigroup Estimation in Stochastic Dynamical Systems
本文提出随机动态模式分解（SDMD）框架，通过直接逼近Koopman半群并显式纳入采样时间，结合神经网络自动选择基函数，在理论保证下高效、稳定地分析随机动力系统。
2025-08-19 math.DS
Extended dynamic mode decomposition with dictionary learning: a data-driven adaptive spectral decomposition of the Koopman operator
Koopman算子的数值逼近方法在过去的几年里有了很大的发展。特别是，数据驱动的方法，如动态模式分解（DMD）及其推广，扩展DMD（EDMD），在实际应用中变得越来越流行。EDMD改进了经典的DMD，包括一个灵活的选择字典的观测值，跨越一个有限维的子空间上的Koopman算子可以近似。这提高了解决方案的重建的准确性，并扩大了Koopman形式主义的适用性。虽然EDMD的收敛性已经建立，但在实践中应用该方法需要仔细选择观测量，以提高收敛性，只有有限数量的条款。这对于高维和高度非线性系统尤其困难。在本文中，我们采用机器学习的思想来改进EDMD方法。我们开发了一种迭代逼近算法，该算法将EDMD与由人工神经网络表示的可训练字典耦合在一起。以Duffing振荡器和Kuramoto Sivashinsky PDE为例，我们证明了我们的算法可以有效地使可训练字典适应手头的问题，以实现良好的重建精度，而无需事先选择固定的字典。此外，为了获得给定的准确度，我们需要更少的字典条款比EDMD与固定的字典。这消除了EDMD算法的一个重要缺点，增强了Koopman框架对实际问题的适用性。
2017-07-02 math.DS
On Computation of Koopman Operator from Sparse Data
在本文中，我们提出了一种新的方法来计算稀疏时间序列数据的Koopman算子。近年来，数据驱动的动力系统分析的算子理论方法引起了人们极大的兴趣。用于Koopman算子的近似的现有技术需要足够大的数据集，但是在许多应用中，数据集可能不够大以将算子近似到可接受的极限。在本文中，使用鲁棒优化的思想，我们提出了一个算法来计算稀疏数据的Koopman算子。我们丰富的人工数据点的稀疏数据集，通过添加有界人工噪声和制定的噪声鲁棒学习问题作为一个强大的最优化问题，并表明最优解是Koopman算子的最小误差。我们说明了我们所提出的方法在三个不同的动力系统，即线性系，非线性系统和动力系统所管辖的偏微分方程的效率。
2019-01-10 math.DS
A Data-Driven Approximation of the Koopman Operator: Extending Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是一种线性但无限维的算子，它控制着自治动力系统状态空间上标量观测量的演化，是分析和分解非线性动力系统的有力工具。在这篇手稿中，我们提出了一个数据驱动的方法近似的领先的本征值，本征函数，和模式的库普曼运营商。该方法需要一个数据集的快照对和一个字典的标量观测，但不需要明确的控制方程或相互作用的“黑匣子”积分。我们将表明，这种方法实际上是动态模式分解（DMD）的扩展，它已被用来近似Koopman特征值和模式。此外，如果提供给该方法的数据是由马尔可夫过程而不是确定性动力系统生成的，则该算法近似于Kolmogorov向后方程的本征函数，这可以被认为是“随机Koopman算子”[1]。最后，四个说明性的例子：两个突出的定量性能的方法时，无论是确定性或随机数据，和两个显示潜在的应用Koopman特征函数。
2014-08-19 math.DS
Decompositions of dynamical systems induced by the Koopman operator
对于一个拓扑动力系统，我们刻画了由相应Koopman算子的不动空间所诱导的状态空间的分解。为此，我们引入了一个广义轨道族，并得到了状态空间到绝对李雅普诺夫稳定集的最精细分解。类似于测度保持的情形，这得到系统是拓扑遍历的当且仅当它的库普曼算子的固定空间是一维的。
2019-07-09 math.DS math.FA
Koopman Representations of Dynamic Systems with Control
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
动力系统的最优控制策略的设计和分析由于状态变量的非线性相关性而变得复杂。Koopman算子已经被用来简化动力系统的分析，通过将系统的流映射到动态是线性的（并且可能是无限的）的可观测空间上。本文研究受控动力系统的一致Koopman表示。我们介绍了Koopman表示的动态一致性的概念，并分析了几个现有的和建议的表示派生的动力系统，可观的，和Koopman运营商的必要约束。我们的主要结果是一个混合制定独立和联合观察的状态和控制输入。这种提法承认一个相对较大的空间的动力系统相比，早期的配方，同时保持独立的状态和控制输入的Koopman运营商。更一般地说，这项工作提供了一个分析框架，以评估和排名建议的简化控制动力系统的一般Koopman表示。
2019-08-06 cs.LG math.DS
Towards a Koopman theory for dynamical systems on completely regular spaces
紧空间上保测系统或拓扑动力系统的Koopman线性化已被证明是非常有用的。在这篇文章中，我们看看动态连续半流完全正则空间自然产生的解决方案的偏微分方程。我们在有界连续函数空间上为这些半流引入了Koopman半群。作为第一步，我们研究它们的连续性以及它们的无穷小生成元。然后，我们表征他们代数（通过导子）和格理论（通过加藤的平等）。最后，我们演示-使用吸引子的例子-如何使用这种Koopman方法可以用来检查动力系统的属性。
2020-09-25 math.DS math.FA
Koopman Embedding and Super-Linearization Counterexamples with Isolated Equilibria
针对应用Koopman算子理论中“多孤立平衡点动力系统无法线性化/超线性化”的常见论断，构造反例证明该论断的两种版本均不成立。
2023-07-19 math.DS
What can Koopmanism do for attractors in dynamical systems?
利用相应的Koopman半群的渐近性质刻画了紧空间$K$上半流的长期行为.特别地，我们比较了不同的吸引子概念，如渐近稳定吸引子，Milnor吸引子和吸引中心。此外，我们给出了每一个上述性质的最小吸引子的特征。主要的方面是，我们只需要线性算子半群的技术和结果，因为Koopman半群允许一个可能的非线性半流的全局线性化。
2019-03-11 math.DS math.FA
Dynamical systems and complex networks: A Koopman operator perspective
本文从Koopman算子视角出发，介绍该算子依托数据与机器学习算法在非线性动力系统研究中的应用价值，并提出其可用于复杂网络分析，同时揭示其与图拉普拉斯算子的关联。
2024-12-16 math.DS stat.ML
Consistent spectral approximation of Koopman operators using resolvent compactification
本文提出通过生成元预解式紧化对保测连续时间系统的库普曼算子进行谱精确逼近，并发展出基于轨迹数据和核特征函数字典的数据驱动方案，在环面和 Lorenz 63 系统上验证了其有效性。
2024-05-06 math.DS
Physics-informed spectral approximation of Koopman operators
本文提出一种物理信息驱动的数据驱动方法，通过对Koopman生成元进行有界变换和核积分算符平滑，构造斜自伴紧算符并用Galerkin方法求解变分广义特征值问题，从而在保测度遍历系统中实现渐近一致的Koopman算符谱逼近与动力学特征提取。
2025-06-04 math.DS
Shaping the Koopman dictionary by learning on the Grassmannian
University of Twente（特文特大学）
本文提出在格拉斯曼流形上利用微分几何优化方法系统性塑造库普曼字典，以减少投影误差并实现近似不变子空间，从而提升非线性动力系统数据驱动预测的精度与效率。
2025-11-10 math.DS
A numerical Koopman-based framework to estimate regions of attraction for general vector fields
University of Namur（那慕尔大学）
本文提出一种综合框架，结合Koopman算子方法与严格验证技术，用于估计一般向量场平衡点的吸引区，通过构造近似Koopman特征函数作为Lyapunov函数并利用SOS或自适应网格进行验证。
2026-03-31 math.DS
The Koopman Expectation: An Operator Theoretic Method for Efficient Analysis and Optimization of Uncertain Hybrid Dynamical Systems
对于涉及决策的动力系统，系统的成功在很大程度上取决于其在不完全和不确定信息下做出良好决策的能力。通过利用Koopman算子及其伴随属性，我们引入了Koopman期望，这是一种计算通过动力系统传播的期望的有效方法。与文献中其他基于Koopman算子的方法不同，这是可能的，而无需Koopman算子的显式表示。此外，当考虑预期损失和约束时，利用库普曼期望实现的效率在不确定性下进行优化。我们展示了Koopman期望是如何适用于离散，连续和混合非线性系驱动的过程噪声与非高斯初始条件和参数不确定性。最后，我们展示了一个1700倍的加速计算概率量的混合动力系统在天真的蒙特卡罗方法与许多数量级的精度提高。
2020-08-20 math.DS math.OC math.PR
A Short Introduction to the Koopman Representation of Dynamical Systems
Koopman表示是线性或非线性动力系统的无限维线性表示。它表示输出映射（也称为可观测量）的动态，输出映射是状态空间上的函数，其求值被解释为输出。概念上简单的推导和评论的库普曼表示。我们强调初始条件和输出映射的原始系统，和那些库普曼表示之间的重要的对偶性。当这种表示用于数据驱动的应用程序（如动态模式分解（DMD）及其变体）时，这种二元性是一个重要的考虑因素。Koopman表示和质量输运的转移算子之间的伴随关系也被示出。
2022-05-17 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman Operators for Global Analysis of Hybrid Limit-Cycling Systems: Construction and Spectral Properties
本文为具有全局渐近稳定周期轨道的混合动力系统建立了Koopman算子理论，通过构造保留光滑结构的可观测空间，完整刻画了算子谱并确保特征函数存在唯一，从而支持全局分析。
2024-11-06 cs.SY eess.SY math.DS
Causal Discovery in Nonlinear Dynamical Systems using Koopman Operators
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出基于Koopman算子的动力系统因果性理论，通过流映射定义因果机制，并推导出一种数据驱动算法以量化高维非线性动力系统中的多变量因果关系。
2025-11-04 math.DS physics.comp-ph
Leveraging Neural Koopman Operators to Learn Continuous Representations of Dynamical Systems from Scarce Data
IMT Atlantique（大西洋国立高等工业技术与矿业学校）；Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Grenoble INP（格勒诺布尔国立理工学院）；Institut Universitaire de France（法兰西大学研究院）；EPITA（法国计算机科学与技术高等学院）
在过去的几年里，有几项工作提出了深度学习架构，以从观察数据中学习动力系统，而不了解或了解很少的基础物理知识。一系列的工作依赖于学习表征，其中潜在现象的动态可以通过基于Koopman算子理论的线性算子来描述。然而，尽管能够提供可靠的长期预测的一些动态系统在理想的情况下，到目前为止提出的方法有局限性，如需要离散本质连续的动态系统，导致数据丢失，特别是当处理不完整或稀疏采样的数据。在这里，我们提出了一个新的深度Koopman框架，它以本质上连续的方式表示动态，从而在有限的训练数据上获得更好的性能，例如从动态系统中产生的几个数据集。
2023-03-13 cs.LG math.DS
Forced-Term Modeling in the Koopman Framework for Linear Operator Learning in Nonlinear Dynamical Systems
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Universität Bonn（波恩大学）；Institut für Numerische Simulation, Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；Fraunhofer SCAI（弗劳恩霍夫SCA）；Fraunhofer SCAI, Sankt Augustin（圣奥古斯丁弗劳恩霍夫SCA）
针对非线性周期系统，提出基于缺陷空间建模的CB-DMD方法，通过强迫项吸收非线性成分，学习更可靠的自主线性算子，实验验证优于标准DMD。
2026-09-29 math.DS
Koopman Operator, Geometry, and Learning
我们提供了一个学习的动力系统植根于表示和Koopman运营商的概念的框架。两者之间的相互作用导致系统的完整描述，可以表示在有限维线性，基于库普曼算子谱的属性。状态空间的几何与表示的概念有关，无论是在线性情况下--它与本征函数的联合水平集有关--还是在非线性表示的情况下。如图所示，即使是非线性有限维表示也可以使用库普曼算子框架来学习，从而导致一类新的表示特征问题。使用神经网络学习的连接。Koopman算子理论的一个扩展，提供了不同空间之间的“静态”映射。讨论了Koopman算子谱对Mori-Zwanzig型表示的影响。
2020-10-12 math.DS
Nonlinear Data-Driven Approximation of the Koopman Operator
Koopman分析提供了一个通用的框架，从该框架中可以用作用于无限维可观测空间的线性算子来分析非线性动力系统。这个理论框架为广泛使用的动态模式分解算法提供了严格的基础。虽然这种方法已被证明是非常有用的时间序列数据的分析，得到的线性模型通常必须是高阶的，以准确地近似基本上非线性行为。这个问题带来了过度拟合训练数据的固有风险，从而限制了预测能力。相比之下，这项工作探讨了非线性数据驱动的估计Koopman算子的行动的策略。一般策略，产量非线性模型的系统与无控制。随后将得到的非线性方程投影到低秩基上，得到底层动力系统的低阶表示。在这两个计算和实验的例子中，考虑在这项工作中，Koopman算子的线性估计一般只能提供短期的预测可观察到的动态，而可比的非线性估计提供准确的预测，在相当长的时间尺度和复制无限的时间行为，线性预测不能。
2022-10-10 math.DS
Koopman Resolvent: A Laplace-Domain Analysis of Nonlinear Autonomous Dynamical Systems
我们的研究动机是建立一个拉普拉斯域理论，提供原则和方法来分析和综合系统的非线性动力学。定义为非线性自治动力系统的复合算子半群--Koopman半群及其相关的Koopman生成元--在本研究中起着核心作用。我们介绍的Koopman生成器的预解式，我们称之为Koopman预解式，并提供其三种类型的非线性动力学的谱表征：遍历演化的吸引子，收敛到一个稳定的平衡点，收敛到一个（准）稳定极限环。这表明库普曼预解式提供了这种非线性自治动力学的拉普拉斯域表示。一个计算方面的拉普拉斯域表示也讨论了非平稳库普曼模式的重点。
2021-05-06 cs.SY eess.SY math.DS
Delay-coordinate maps and the spectra of Koopman operators
由动力系统诱导的Koopman算子是固有线性的，并且提供了研究系统的许多性质的替代方法，包括吸引子重构和预测。Koopman本征函数表示动力学的非混合分量。他们的因素的动力学，这可能是混乱的，到准周期旋转环面。在这里，我们描述了一种方法，通过该方法，这些本征函数可以从核积分算子，这也消除了连续谱。我们表明，将大量的延迟坐标在构建该运营商的结果的内核，在无限多个延迟的限制，在创建一个映射到离散谱子空间的Koopman运营商。这使得有效的近似Koopman本征函数从高维数据系统中的纯点或混合光谱。
2018-11-05 math.DS
Koopman principle eigenfunctions and linearization of diffeomorphisms
本文考虑了有限维巴拿赫空间上的一个非线性动力系统，它具有一个渐近稳定的双曲不动点。研究了Koopman算子的主本征函数与非线性动力学及其线性化在不动点邻域内拓扑共轭的存在性之间的关系.主本征函数生成线性动力学的可观测量的代数-称为主代数-它可以用来生成近似共轭映射的序列，其方式与在规范形理论中所做的相同。主代数的每个元素都有一个扩展到Koopman算子的本征函数，并将本征函数与一个近似拓扑共轭组合，给出了与非线性动力系统相关的Koopman算子的近似本征函数。当近似共轭极限存在且注意力仅限于实巴拿赫空间时，Stone-Weierstrass定理的一个简单应用表明，主代数和拉回代数--由拓扑共轭的主代数组成--在连续函数空间或在不动点消失的连续函数的极大理想中是一致稠密的。问题的关键在于，先验地，很难知道对于耗散非线性动力系统使用哪个空间的观测量，这些系统的元素具有谱展开为本征函数。这些结果表明，任何连续的可观测量都任意地接近于具有这种展开的可观测量。
2016-11-03 math.DS
Error bounds on analytic Koopman-based Lyapunov functions
Department of Mathematics and Namur Research Institute for Complex Systems (naXys), University of Namur（南纳慕尔大学数学系与南纳慕尔复杂系统研究所）
本文研究了Koopman算子特征函数在解析向量场和有限维多项式子空间近似下的误差界，用于验证基于Koopman的Lyapunov函数的有效性，并获得平衡点吸引区的内近似。
2026-03-31 math.DS
fSRD: Fuzzy Spectral Region Decomposition -- Automated Multi Operator Koopman Representations via an Adaptive Spectral Learning Architecture
针对高度非线性混沌动力系统建模难题，提出模糊谱区域分解（fSRD）方法，通过多个算子估计有限库普曼表示，实现数据自适应框架组装局部不变嵌入，在多系统和数据条件下展现出强预测性、可解释性和表现力。
2026-09-15 cs.LG math.DS
Koopman Spectral Linearization vs. Carleman Linearization: A Computational Comparison Study
本文提出Koopman谱线性化方法，利用Chebyshev微分矩阵和Koopman算子构造提升线性系统，并通过数值实验验证其可作为Carleman线性化的有效替代方案。
2023-10-29 math.DS math.OC
A Data-Driven Koopman-Behavioral Distance for Nonlinear Dynamical Systems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种基于Koopman算子和行为子空间的非线性随机系统距离度量，利用轨迹数据提升并比较子空间，实现坐标不变性和参数判别。
2026-09-09 cs.SY eess.SY math.DS
Learning Bounded Koopman Observables: Results on Stability, Continuity, and Controllability
Koopman算子是研究动力系统--受控和不受控系统--的有用分析工具。例如，Koopman特征函数可以提供关于底层动力系统的非局部稳定性信息。非线性系统的Koopman表示通常使用机器学习方法来计算，机器学习方法试图将Koopman特征函数表示为非线性状态测量的线性组合。因此，重要的是要了解原则上是否可以使用机器学习成功地获得这些特征函数，以及以这种方式计算的特征函数可以告诉我们关于底层系统的信息。为此，本文在最小假设下分析了与库普曼本征函数相关的连续性、稳定性和控制限制，并讨论了这些属性与通过机器学习计算库普曼表示的能力之间的关系。
2020-04-30 math.DS math.OC
Subspace dynamic mode decomposition for stochastic Koopman analysis
The University of Tokyo（东京大学）；Osaka University（大阪大学）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project（理化学研究所先进智能项目中心）
本文提出子空间DMD算法，用于处理含观测噪声的随机动力系统Koopman分析，通过正交投影和线性模型谱估计提高精度。
2017-10-30 cs.NA math.DS math.NA
Learning Dynamical Systems via Koopman Operator Regression in Reproducing Kernel Hilbert Spaces
Istituto Italiano di Tecnologia（意大利理工学院）；University of Novi Sad（诺维萨德大学）；University College London（伦敦大学学院）；University of Genova（热那亚大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们研究一类动力系统建模为马尔可夫链，承认通过相应的转移，或Koopman，运营商的不变分布。虽然数据驱动的算法来重建这样的运营商是众所周知的，他们与统计学习的关系在很大程度上是未开发的。我们形式化的框架来学习Koopman算子从有限的数据轨迹的动力系统。我们考虑限制这个算子的再生核希尔伯特空间，并引入风险的概念，从不同的估计自然产生。我们链接的风险与估计的谱分解的Koopman算子。这些观察激励降秩算子回归（RRR）估计。我们推导出建议的估计学习界，同时在独立同分布。和非I.I.D.设置，后者在混合系数方面。我们的研究结果表明，RRR可能是有益的，在其他广泛使用的估计证实了在数值实验中的预测和模式分解。
2022-12-13 cs.LG math.DS
Koopman and Perron-Frobenius Operators on reproducing kernel Banach spaces
针对Koopman算子性质依赖函数空间的问题，本文将Koopman与Perron-Frobenius算子的基本性质从再生核希尔伯特空间推广到再生核巴拿赫空间，提出通用框架并给出离散、连续时间系统下的对称性、稀疏性等新结果。
2024-01-26 math.DS
From dynamical systems with time-varying delay to circle maps and Koopmanism
本文研究了变时滞的延迟访问对时滞系统动力学的影响。我们发现，有两个普遍性类的延迟，导致根本的差异，如李雅普诺夫谱的动力学量。因此，我们引入了一个算子理论框架，其中的解决方案运营商的延迟系统被分解为Koopman运营商描述的延迟访问和运营商类似的解决方案运营商已知的系统与常数延迟。Koopman算子对应于一个迭代映射，称为访问映射，它由延迟方程的延迟自变量的迭代定义。这个一维迭代映射的动力学性质决定了由时滞微分方程支配的无限维状态动力学的普适类。通过这种方式，我们将时滞系统理论与圆映射理论和Koopman算子框架联系起来。在本文中，我们扩展了我们以前的工作[奥托，穆勒，和氡，物理。118，044104（2017）]，通过阐述数学细节和提出进一步的结果也对李雅普诺夫向量。
2017-05-18 math.DS nlin.CD
Geometric Considerations of a Good Dictionary for Koopman Analysis of Dynamical Systems: Cardinality, 'Primary Eigenfunction,' and Efficient Representation
Clarkson University（克拉克森大学）；Clarkson Center for Complex Systems Science（克拉克森复杂系统科学中心）
用简化模态表示动力系统是降阶建模的核心前提，也是日益流行的Koopman算子分析的DMD（动态模态分解）经验解释的主要关注点。在最优逼近和降阶建模的精神下，DMD方法和变体的目标是尽可能最好地将动态演化描述为适当变换的低秩空间中的线性演化。库普曼本征函数遵循可通过特征线法求解的线性偏微分方程，产生了几何和代数性质之间的几种有趣关系。对应于在数据表面上任意定义函数的自由，对于每个特征值，存在沿着特征发出的无限多个特征函数。我们专注于对比基数和等价性。特别是，我们引入了一个等价类，“主本征函数”，由那些本征函数相同的水平集，这有助于对比代数多重性从其他几何方面。通常，Koopman方法，特别是动态模式分解（DMD）和变体，允许数据驱动的研究如何可测函数沿轨道演变。据我们所知，还没有一个深入的研究有关的基础几何结构，一个有效的表示。我们提出了一个建设，导致功能的数据表面上，其相应的特征函数是有效的最小二乘意义上。我们称这种构造为最优库普曼本征函数DMD，（oKEEDMD），我们强调的例子。
2021-03-24 cs.LG math.DS
DisKO: Deep Koopman Learning in Distribution Space from Unpaired Snapshots
DisKO通过联合学习分布可观测函数、有限维库普曼表示和生成映射，在分布空间中实现深度库普曼学习，在七个基准上达到最优外推性能并显著降低长时程误差累积。
2026-09-29 cs.LG math.DS
Decomposition of Nonlinear Dynamical Systems Using Koopman Gramians
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
本文提出了一种新的Koopman算子方法，用于利用Koopman格拉姆矩阵分解非线性动力系统，介绍了输入-Koopman算子，并展示了如何将其用于将非线性系统转换为经典状态空间形式，以及输入和状态可观测函数分离的条件。
2017-10-04 cs.LG cs.SY eess.SY
Sparsity structures for Koopman operators
我们提出了一个分解的Koopman运营商的基础上的稀疏结构的动力系统，允许一个考虑系统作为一个家庭的子系统互连的图形。利用Koopman算子的固有性质，我们证明了子系统的本征函数诱导整个系统的本征函数。主本征函数的使用允许扭转这一结果。类似地，对于伴随算子，Perron-Frobenius算子，动力系统的不变测度诱导子系统的不变测度，而从子系统的不变测度构造不变测度则不那么直接。我们解决这个问题，并表明，在必要的兼容性假设，这样的不变测度存在。基于这些结果，我们证明了一个动力系统的分解的先验知识允许减少的计算成本的数据驱动的方法的例子的动态模式分解。
2021-12-20 math.DS math.OC
Koopman Regularization and Independent Koopman Eigenfunction Approximation
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
柯普曼正则化通过约束优化从稀疏受污染样本中学习动力学方程，利用柯普曼本征函数实现简洁且精确的动力学恢复。
2026-11-03 math.DG math.DS
Learning Deep Neural Network Representations for Koopman Operators of Nonlinear Dynamical Systems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
Koopman算子最近因其在动力系统分析和数据驱动模型发现中的价值而受到广泛关注。然而，它的应用一直受到扩展动态模式分解的计算复杂性的阻碍，这需要一个组合大的基集，以充分描述许多感兴趣的非线性系统，例如网络物理基础设施系统，生物网络，社会系统和流体动力学。通常，为这些问题生成的字典是手动管理的，需要特定领域的知识和艰苦的调整。在本文中，我们介绍了一个深度学习框架，用于学习非线性动力系统的Koopman算子。我们表明，这种新方法自动选择有效的深度字典，优于最先进的方法。我们对这种方法进行了基准测试，部分观察到的非线性系统，包括糖酵解振荡器，并表明它能够定量预测未来100步，仅使用一个时间点，定性振荡行为400步。
2017-11-17 cs.AI cs.LG math.DS
Koopman Operator Dynamical Models: Learning, Analysis and Control
Koopman算子允许通过（全局）线性表示来处理非线性系统。一般来说，算子是无限维的，需要有限的近似，没有总体框架。虽然有原则的方法来学习这种有限近似，他们在许多情况下被忽视的青睐，往往不适定和非结构化的方法。此外，库普曼算子理论与已知的系统理论和动力系统概念有着长期的联系，这些概念并没有得到普遍的认可。鉴于前者和后者的现实，这项工作的目的是弥合各种概念之间的差距，无论是理论和易于处理的实现。首先，我们回顾了Koopman算子动力学模型的数据驱动表示（非结构化和结构化），对各种现有方法进行了分类，并突出了它们的差异。此外，我们提供了简明的洞察范式的关系，系统理论的概念和分析的前景，使用范式建模控制系统。此外，我们概述了目前的挑战和评论未来的前景。
2021-12-22 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman operators and the $3x+1$-dynamical system
$3x+1$ -问题（或Collatz问题）是算术中一个臭名昭著的猜想。它可以被看作是迭代一个映射，因此，它是一个自然数的离散空间$\mathbb{N}$上的动力系统。本文利用Koopman算子理论和$C^*$ -代数的方法研究了这一新兴的动力系统。这种方法使我们能够将$3x+1$ -动力系统从状态空间（即集合$\mathbb{N}$）“提升”到在状态空间上定义的函数空间，即到数列空间。这种提升的优点是Collatz问题可以通过有界线性算子来描述，这是分析中广泛研究的领域。我们研究了这些算子的性质及其与$3x+1$ -问题的关系。此外，我们使用傅里叶变换技术，调查的频率内容的序列中出现的迹象的轨迹的Collatz地图。这使我们能够定义希尔伯特空间上的等距。最后，我们利用由这种等距生成的$C^*$ -代数来研究符号序列如何相互关联。
2020-10-24 math.DS math.FA
Sparse Koopman Autoencoders Identify Local Dynamical Regimes in Multibasin Systems
Chandar Research Lab（钱达尔研究实验室）；Mila – Quebec AI Institute（米拉-魁北克人工智能研究所）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；NVIDIA（英伟达）；Polytechnique Montréal（蒙特利尔理工学院）
该研究提出稀疏Koopman自编码器（SKAEs），无需标签即可识别多盆系统的局部动力学 regime，其预测性能优于密隐KAEs，且隐支撑可有效识别吸引盆。
2026-11-04 cs.LG math.DS
Participation Factors for Nonlinear Autonomous Dynamical Systems in the Koopman Operator Framework
Osaka Prefecture University（大阪府大学）；Kyoto University（京都大学）；New Jersey Institute of Technology（新泽理工学院）
本文将参与因子概念从线性时不变系统推广到非线性动力系统，在Koopman算子框架下将其定义域扩展至整个吸引域，并提出基于动态模式分解的数值估计方法。
2024-09-16 cs.SY eess.SY math.DS
On the Spectral Equivalence of Koopman Operators through Delay Embedding
利用延迟嵌入技术，给出了原动力系统的Koopman算子与重构系统的Koopman算子的谱等价性定理.该定理在保测度映射（例如紧吸引子上的动力学）中得到了证明，并为结合扩展动态模分解和延迟嵌入计算Koopman算子的谱性质提供了数学基础.
2017-06-03 math.DS nlin.CD
Compression of the Koopman matrix for nonlinear physical models via hierarchical clustering
Graduate School of Science and Engineering, Saitama University（埼玉大学理工学研究科）
本文提出利用层次聚类压缩Koopman矩阵的方法，并在小车-杆模型上验证其优于传统SVD压缩。
2024-03-27 cs.LG math.DS
Learning Regions of Attraction in Unknown Dynamical Systems via Zubov-Koopman Lifting: Regularities and Convergence
本文提出一种基于 Zubov-Koopman 算子提升的方法，通过在无限维函数空间中学习算子来间接逼近 Zubov 方程的解，从而精确估计未知非线性动力系统的吸引区域，并证明了该方法的正则性、强收敛性及数据效率。
2024-06-27 math.AP math.DS
Spectrum of the Koopman Operator, Spectral Expansions in Functional Spaces, and State Space Geometry
我们研究了具有全局稳定吸引子的线性和非线性动力系统的谱算子理论性质。利用Kato分解，我们发展了一般线性自治动力系统的解析观测量的谱展开，并定义了相关的Koopman算子的广义本征函数的概念。我们解释稳定，不稳定和中心子空间的广义本征函数的零水平集。然后，我们利用共轭性质的Koopman特征函数和新的概念，开放的特征函数-定义在状态空间的子集-扩展这些结果的非线性动力系统的平衡。利用非线性系统的Koopman算子本征函数族的联合零水平集，给出了（全局）中心流形、中心稳定流形和中心不稳定流形的一个特征，定义了一类新的Hilbert空间，它刻画了耗散动力学的开和关吸引子性质，并引入了调制Fock空间的概念，我们发展了一类具有全局稳定极限环和极限环面的动力系统的谱展开式，其观测量在吸引子变量中是平方可积的，在吸引子变量中是解析的。我们讨论了这类具有（拟）-周期吸引子的非线性系统的稳定流形、不稳定流形和全局中心流形的定义。我们定义的概念的一般类的非线性系统的等稳。我们提供了一个简单的例子，保测系统是不是混沌，但有连续谱，并讨论了实验观察到的频谱在这样的系统。我们定义了一类数据集的相干主维的基础上相关联的Koopman算子的格型主谱。
2019-10-18 math.DS nlin.CD
On the lattice property of the Koopman operator spectrum
本研究解决了Koopman算子谱乘法格结构中新增本征函数的定义域归属问题，证明离散时间动力系统的Koopman算子谱具有该结构，而离散时间随机过程的则未必，完善了Koopman算子理论的核心细节。
2025-07-31 math.DS math.FA nlin.CD
Extraction of Discrete Spectra Modes from Video Data Using a Deep Convolutional Koopman Network
Koopman理论中最近的深度学习扩展使非线性动力系统的紧凑，可解释的表示能够进行线性分析。深度Koopman网络试图学习Koopman特征函数，该特征函数捕获坐标变换以全局线性化系统动力学。这些本征函数可以与控制系统动力学行为的基本系统模式联系起来。虽然许多相关的技术已经证明了它们对规范系统及其相关状态变量的功效，但在这项工作中，系统动态是光学观察的（即以视频格式）。我们展示了深度卷积Koopman网络（CKN）自动识别具有离散谱的动力系统的独立模式的能力。实际上，这提供了系统数据汇集的灵活性，因为数据是容易获得的可观察变量。学习的模型能够成功和鲁棒地识别控制系统的底层模式，即使具有冗余的大嵌入空间。鼓励使用简单的掩蔽程序进行模态分解。在这项工作中分析的所有系统都使用相同的网络架构。
2020-10-19 cs.CV math.DS physics.flu-dyn
Data-driven spectral decomposition and forecasting of ergodic dynamical systems
我们开发了一个框架降维，模式分解，和遍历动力系统产生的数据的非参数预测。这个框架是基于一个表示的Koopman和Perron-弗罗贝尼乌斯群的酉算子在一个光滑的规范正交基的L2空间的动力系统，获得从时间顺序的数据通过扩散映射算法。使用这种表示，我们计算Koopman本征函数通过正则化的平流-扩散算子，并采用这些本征函数的降维映射与投影动力学和高光滑度给定的观测模态。在纯点谱系统中，我们构造了一个分解的Koopman组的生成器到相互交换的向量场，自然地转换下的观察模态的变化，我们重建在数据空间中通过表示的前推映射的Koopman特征函数的基础。我们还建立了Koopman运营商和Laplace-Beltrami运营商之间的对应关系，从Takens延迟坐标空间中的数据构建，并使用这种对应关系提供了这类系统的扩散映射延迟坐标的解释。此外，我们利用Koopman本征函数基础的一个特殊性质，即基础元素演化为简谐振子，建立概率密度和观测值的非参数预测模型。在更复杂的光谱行为的系统，包括混合系统，我们开发了一种方法的灵感来自动力系统中的时变，将发电机转换为一个新的运营商具有潜在的改善频谱特性，并使用该运营商的向量场分解和非参数预测。
2017-09-01 math.DS physics.data-an
Gelfand-type theorems for dynamical Banach modules
Gelfand和Kakutani关于交换C*-代数和AM-及AL-空间的表示定理是拓扑和保测动力系统的Koopman线性化的基础。在这篇文章中，我们证明了这些结果的版本动力学的拓扑和可测的Banach丛和相应的加权Koopman表示的Banach模。
2020-09-28 math.DS math.FA
