Kernel Dynamic Mode Decomposition For Sparse Reconstruction of Closable Koopman Operators
本文通过测度论嵌入拉普拉斯核构建足够丰富的再生核希尔伯特空间，解决库普曼算子的可闭包性挑战，并利用核扩展动态模式分解实现动力系统时空模态的稀疏重构，同时提供理论与实验双重验证。
2025-05-11 math.DS stat.ML
A Data-Driven Framework for Koopman Semigroup Estimation in Stochastic Dynamical Systems
本文提出随机动态模式分解（SDMD）框架，通过直接逼近Koopman半群并显式纳入采样时间，结合神经网络自动选择基函数，在理论保证下高效、稳定地分析随机动力系统。
2025-08-19 math.DS
Generative Modeling through Koopman Spectral Analysis: An Operator-Theoretic Perspective
Center for Science Adventure；Collaborative Research Advancement, Graduate School of Science, Kyoto University, Kyoto, Japan；Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA；LinkedIn Corporation, Sunnyvale, CA；Dynamic Systems Lab, University College London, London, UK；Graduate School of Information Science；Technology, The University of Osaka, Osaka, Japan；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project, Tokyo, Japan
KSWGD通过Koopman理论和Wasserstein梯度下降结合，实现高效生成建模，克服梯度消失问题，提升收敛速度和样本质量。
2026-02-08 cs.LG math.DS
Nonlinear Data-Driven Approximation of the Koopman Operator
Koopman分析提供了一个通用的框架，从该框架中可以用作用于无限维可观测空间的线性算子来分析非线性动力系统。这个理论框架为广泛使用的动态模式分解算法提供了严格的基础。虽然这种方法已被证明是非常有用的时间序列数据的分析，得到的线性模型通常必须是高阶的，以准确地近似基本上非线性行为。这个问题带来了过度拟合训练数据的固有风险，从而限制了预测能力。相比之下，这项工作探讨了非线性数据驱动的估计Koopman算子的行动的策略。一般策略，产量非线性模型的系统与无控制。随后将得到的非线性方程投影到低秩基上，得到底层动力系统的低阶表示。在这两个计算和实验的例子中，考虑在这项工作中，Koopman算子的线性估计一般只能提供短期的预测可观察到的动态，而可比的非线性估计提供准确的预测，在相当长的时间尺度和复制无限的时间行为，线性预测不能。
2022-10-10 math.DS
A Koopman Operator Framework for Nonlinear Epidemic Dynamics: Application to an SIRSD Model
University of Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Moulay Ismail University of Meknes（梅克内斯穆莱·伊斯梅尔大学）
本文提出并分析了一个扩展SIR框架的SIRSD流行病模型，引入了免疫力减弱和疾病致死率。通过规范化变量重新表述系统，并利用Koopman算子框架结合扩展动态模式分解和流行病学信息字典，比较了两种Koopman近似方法，通过合成数据验证了该方法在识别主导流行病模式和预测关键爆发特征方面的有效性。
2025-08-22 math.DS
Discovering the Kalman-Bucy-Koopman Filter
Clemson University（克莱姆森大学）
提出基于库普曼算子谱理论的卡尔曼-布西-库普曼滤波器，通过特征函数参数化值函数，将非线性估计转化为库普曼坐标下的Riccati型演化，实现线性算子模拟经典滤波器并保持非线性结构。
2026-06-29 math.DS math.OC
Two Roads to Koopman Operator Theory for Control: Infinite Input Sequences and Operator Families
本文研究Koopman算子理论在控制中的两种扩展（无限输入序列与算子族）的等价性，在特定函数空间条件下证明其等价，并提供转换工具，为控制中的Koopman方法提供统一视角。
2025-10-16 cs.SY eess.SY math.DS
Towards a Koopman theory for dynamical systems on completely regular spaces
紧空间上保测系统或拓扑动力系统的Koopman线性化已被证明是非常有用的。在这篇文章中，我们看看动态连续半流完全正则空间自然产生的解决方案的偏微分方程。我们在有界连续函数空间上为这些半流引入了Koopman半群。作为第一步，我们研究它们的连续性以及它们的无穷小生成元。然后，我们表征他们代数（通过导子）和格理论（通过加藤的平等）。最后，我们演示-使用吸引子的例子-如何使用这种Koopman方法可以用来检查动力系统的属性。
2020-09-25 math.DS math.FA
An Operator Theoretic Approach for Analyzing Sequence Neural Networks
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
分析深层神经网络的内在机制是机器学习的一项基础性任务。现有的工作提供了有限的分析或它依赖于当地的理论，如定点分析。相比之下，我们建议使用植根于Koopman理论的算子理论方法来分析训练好的神经网络，即Koopman神经网络分析（KANN）。我们方法的关键是Koopman算子，它是一个线性对象，全局代表网络动态的主导行为。Koopman算子的线性便于通过其特征向量和特征值进行分析。我们的方法表明，后者的特征分解持有语义信息相关的神经网络内部工作。例如，特征向量突出情感分析任务中的正和负n元语法;类似地，特征向量捕获ECG分类问题中健康心跳信号的显著特征。
2023-02-22 cs.LG math.DS
ResKoopNet: Learning Koopman Representations for Complex Dynamics with Spectral Residuals
Department of Mathematical and Statistical Science, University of Alberta（阿尔伯塔大学数学与统计科学系）；International Center for Primate Brain Research, Chinese Academy Sciences（中国科学院灵长类脑研究国际中心）
针对高维非线性动力系统谱分析难题，提出ResKoopNet网络，通过最小化谱残差计算Koopman特征对，获得更精确完整的谱，实验验证优于现有方法。
2025-05-27 cs.LG math.DS
Consistent spectral approximation of Koopman operators using resolvent compactification
本文提出通过生成元预解式紧化对保测连续时间系统的库普曼算子进行谱精确逼近，并发展出基于轨迹数据和核特征函数字典的数据驱动方案，在环面和 Lorenz 63 系统上验证了其有效性。
2024-05-06 math.DS
Dynamic Mode Decomposition for Continuous Time Systems with the Liouville Operator
动态模式分解（DMD）已经成为与Koopman算子的同义词，其中连续时间动态通过使用Koopman（即合成）算子由固定时间步长确定的离散时间代理来检查。使用新引入的“占领内核”，本手稿开发了一种方法DMD治疗连续时间动态直接通过刘维算子，其中可以包括库普曼发电机。本文概述了离散时间系统的Koopman基DMD和连续时间系统的Liouville基DMD之间的技术和理论差异，其中包括在几个再生核希尔伯特空间（RKHS）上对这些算子的检验。虽然刘维尔算子是模态无界的，本文介绍了缩放刘维尔算子的概念，这对许多动力系统产生一个紧算子的指数点积内核的原生空间。因此，规范收敛的DMD程序时，使用缩放Liouville运营商，这是一个决定性的优势，基于Koopman的DMD方法。
2021-05-28 math.DS
Uniform global stability of switched nonlinear systems in the Koopman operator framework
本文借助 Koopman 算子与 Hardy 空间再生核性质，在李代数可解条件下构造公共 Lyapunov 函数，证明了特定切换非线性系统在有界不变集上的全局一致稳定性。
2024-03-05 math.DS
Generalized Stochastic Resilience for Early Warning Signals Based on Koopman Operator
The University of Osaka（大阪大学）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project（理化学研究所先进智能项目中心）
本文基于Koopman算子推广随机韧性理论，提出新信号更准确预测临界事件，实验显示其在检测临界现象早期信号方面更稳健。
2025-11-23 math.DS
Data-Driven Operator Theoretic Methods for Phase Space Learning and Analysis
本文利用数据驱动算子理论方法研究了动力系统的全局相空间。基于Koopman算子的谱性质，定义了从一个不变子空间出发，在动力系统的状态空间中发现新的不变子空间的条件.当系统的演化是局部已知的几个不变子空间中的状态空间的动力系统，相空间缝合的结果，得出的全球Koopman运营商。此外，在等变系统的情况下，相空间拼接的结果开发，以确定全球Koopman运营商使用之间的对称性的不变子空间的动力系统和时间序列数据从任何一个不变子空间。最后，将这些结果推广到拓扑共轭动力系统，特别是建立了拓扑共轭系统的Koopman元组之间的关系。所提出的结果证明了几个二阶非线性动力系统，包括一个双曲肘开关。我们的方法阐明了一个策略，设计发现实验：实验执行可以在许多步骤中完成，从不同的不变子空间的模型可以结合起来，以近似的全球Koopman运营商。
2021-06-29 cs.SY eess.SY math.DS
Is the Finite-Time Lyapunov Exponent Field a Koopman Eigenfunction?
这项工作作为一个桥梁之间的两种方法来分析动力系统：本地，几何分析和全球，运营商理论，Koopman分析。我们明确地构建向量场的瞬时李雅普诺夫指数字段是一个库普曼特征函数。为了使这种构造更容易，我们将自己限制在多项式向量场中，发现这样的向量场确实存在，并且我们探索这样的向量场是否具有特殊的结构，从而将几何理论与转移算子理论联系起来。
2021-09-24 cond-mat.stat-mech math.DS math.SP
Koopman Operator Dynamical Models: Learning, Analysis and Control
Koopman算子允许通过（全局）线性表示来处理非线性系统。一般来说，算子是无限维的，需要有限的近似，没有总体框架。虽然有原则的方法来学习这种有限近似，他们在许多情况下被忽视的青睐，往往不适定和非结构化的方法。此外，库普曼算子理论与已知的系统理论和动力系统概念有着长期的联系，这些概念并没有得到普遍的认可。鉴于前者和后者的现实，这项工作的目的是弥合各种概念之间的差距，无论是理论和易于处理的实现。首先，我们回顾了Koopman算子动力学模型的数据驱动表示（非结构化和结构化），对各种现有方法进行了分类，并突出了它们的差异。此外，我们提供了简明的洞察范式的关系，系统理论的概念和分析的前景，使用范式建模控制系统。此外，我们概述了目前的挑战和评论未来的前景。
2021-12-22 cs.SY eess.SY math.DS
Data-Driven Operator Theoretic Methods for Global Phase Space Learning
在这项工作中，我们建议应用最近开发的Koopman算子技术，探索全球相空间的非线性系统的时间序列数据。特别是，我们解决的问题，确定各种不变的子集的相空间从频谱特性的相关Koopman运营商从时间序列数据构建。此外，当系统的演化是局部已知的情况下，在各种不变子空间，然后提出了一个相空间缝合的结果，可以应用于识别一个全球Koopman运营商。一个生物系统，双曲肘开关和一个二阶非线性系统的例子被认为是说明所提出的结果。这个全局Koopman算子的构造在实验工作中非常有帮助，因为从多个初始条件开始无法同时运行多个实验。
2019-10-03 cs.SY eess.SY math.DS
Modern Koopman Theory for Dynamical Systems
动力系统领域正在被现代计算和数据科学中出现的数学工具和算法所改变。第一原理推导和渐近约简正在让位于数据驱动的方法，这些方法在算子理论或概率框架中制定模型。Koopman谱理论在过去的十年中已经成为一个主导的观点，其中非线性动力学表示在一个无限维的线性算子的空间上的所有可能的测量功能的系统。这种非线性动力学的线性表示具有巨大的潜力，能够用为线性系开发的标准教科书方法来预测、估计和控制非线性系统。然而，获得有限维坐标系和嵌入的动力学似乎近似线性仍然是一个中心的开放的挑战。Koopman分析的成功主要归功于三个关键因素：1）存在将其与动力系统的经典几何方法联系起来的严格理论，2）该方法根据测量来制定，使其成为利用大数据和机器学习技术的理想选择，以及3）简单但功能强大的数值算法，例如动态模式分解（DMD），已经被开发和扩展，以减少库普曼理论在现实世界中的应用实践。在这篇综述中，我们提供了现代Koopman算子理论的概述，描述了最近的理论和算法的发展，并突出了这些方法的各种应用。我们还讨论了快速发展的机器学习领域的关键进展和挑战，这些进展和挑战可能会推动未来的发展，并显着改变动力系统的理论格局。
2021-10-29 cs.LG cs.SY eess.SY
Causal Discovery in Nonlinear Dynamical Systems using Koopman Operators
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出基于Koopman算子的动力系统因果性理论，通过流映射定义因果机制，并推导出一种数据驱动算法以量化高维非线性动力系统中的多变量因果关系。
2025-11-04 math.DS physics.comp-ph
Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是描述标量可观测量（即，状态的测量函数）在无限维希尔伯特空间中。这种算子理论的观点将有限维非线性系统的动力学提升到无限维函数空间，在那里原系统的演化变成线性的。在本文中，我们提供了一个简短的总结Koopman算子定理的非线性动力学建模，并专注于分析几个数据驱动的实现，使用动态模式分解（DMD）的自治和控制的规范问题。我们应用扩展的动态模式分解（EDMD），以确定领先的Koopman本征函数和近似的有限维表示所发现的线性动力学。这使我们能够对非线性系统应用线性控制方法，而无需在不动点附近进行线性化近似。然后，我们可以检查使用的线性控制器的基础上的Koopman算子近似系统的欠驱动系统的基本机动的保真度。我们通过对两个经典动力系统的数值模拟证明了这一理论的有效性，并展示了DMD方法对Koopman算子的评估和逼近及其在线性化这些系统时的有效性。
2021-10-16 cs.RO math.DS math.OC
Forced-Term Modeling in the Koopman Framework for Linear Operator Learning in Nonlinear Dynamical Systems
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Universität Bonn（波恩大学）；Institut für Numerische Simulation, Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；Fraunhofer SCAI（弗劳恩霍夫SCA）；Fraunhofer SCAI, Sankt Augustin（圣奥古斯丁弗劳恩霍夫SCA）
针对非线性周期系统，提出基于缺陷空间建模的CB-DMD方法，通过强迫项吸收非线性成分，学习更可靠的自主线性算子，实验验证优于标准DMD。
2026-09-29 math.DS
Learning Spatio-Temporal Dynamics via Operator-Valued RKHS and Kernel Koopman Methods
Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary（数学与统计学系，卡尔加里大学）
该研究提出结合算子值再生核希尔伯特空间（OV-RKHS）与核Koopman算子方法的统一框架，实现复杂时空动力学的非参数化数据驱动估计，支持高维非线性系统降阶建模与长期预测。
2025-08-23 cs.LG math.DS math.OC
A Minimal Set of Koopman Eigenfunctions -- Analysis and Numerics
该研究围绕Koopman算子理论的核心问题构建了涵盖理论、解析与数值的全面框架，定义了Koopman本征函数的生成集、独立集等概念，证明最小生成集与最大独立集等价，并通过数值实验验证了相关理论。
2023-06-12 math.AP math.DG math.DS
From dynamical systems with time-varying delay to circle maps and Koopmanism
本文研究了变时滞的延迟访问对时滞系统动力学的影响。我们发现，有两个普遍性类的延迟，导致根本的差异，如李雅普诺夫谱的动力学量。因此，我们引入了一个算子理论框架，其中的解决方案运营商的延迟系统被分解为Koopman运营商描述的延迟访问和运营商类似的解决方案运营商已知的系统与常数延迟。Koopman算子对应于一个迭代映射，称为访问映射，它由延迟方程的延迟自变量的迭代定义。这个一维迭代映射的动力学性质决定了由时滞微分方程支配的无限维状态动力学的普适类。通过这种方式，我们将时滞系统理论与圆映射理论和Koopman算子框架联系起来。在本文中，我们扩展了我们以前的工作[奥托，穆勒，和氡，物理。118，044104（2017）]，通过阐述数学细节和提出进一步的结果也对李雅普诺夫向量。
2017-05-18 math.DS nlin.CD
Time-Delay Observables for Koopman: Theory and Applications
非线性动力系统在科学和工程中无处不在，然而对这些系统的分析和预测仍然是一个挑战。Koopman算子理论通过考虑状态上的可观测函数空间中的动态来规避这些问题中的一些，其中动态本质上是线性的，因此服从来自数值分析和线性代数的标准技术。然而，这种方法仍然存在实际问题，因为可观测量的空间是无限维的，并且选择一个函数子空间来准确地表示系统是一项重要的任务。在这项工作中，我们考虑时间延迟可观的Koopman运营商框架中的非线性动力学。我们证明了令人惊讶的结果，Koopman运营商为不同的系统承认普遍的（系统无关的）表示在这些坐标，并给出这些表示的解析表达式。此外，我们表明，对于某些系统的限制类，这些可观的形成一个最佳的有限维的基础上表示的Koopman运营商，并在这些坐标的Koopman运营商的解析表示与计算的结果相一致的动态模式分解。我们提供数值例子来补充我们的结果。除了在理论上是有趣的，这些结果有影响的一些线性化算法的动力系统。
2020-02-14 cs.NA math.DS math.NA
Deep Koopman-layered Model with Universal Property Based on Toeplitz Matrices
NTT Corporation（NTT公司）；Center for Advanced Intelligence Project, RIKEN（RIKEN高级智能项目中心）
本研究提出基于Toeplitz矩阵的深度Koopman分层模型，兼具理论性与灵活性，可拟合非自治系统时序数据，结合Krylov子空间方法高效训练，在Koopman算子特征值估计任务上性能优于现有方法。
2025-05-19 cs.LG math.DS math.FA
Sparsity-promoting algorithms for the discovery of informative Koopman invariant subspaces
Koopman分解是特征分解的一种非线性推广，在时空动力学分析中得到越来越多的应用。众所周知的技术，如动态模式分解（DMD）及其线性变体提供近似的Koopman算子，并已被广泛应用于许多流体动力学问题。尽管被赋予了一个更丰富的字典的非线性观测，DMD的非线性变体，如扩展/内核动态模式分解（EDMD/KDMD）很少应用于大规模的问题，主要是由于难以辨别的Koopman不变子空间从成千上万的Koopman特征模。为了解决这个问题，我们提出了一个框架的基础上多任务特征学习，以提取最丰富的Koopman不变子空间，通过删除冗余和虚假的Koopman三元组。特别是，我们开发了一个修剪程序，惩罚偏离线性演化。这些算法可以被看作是稀疏促进EDMD/KDMD的扩展。此外，我们将KDMD扩展到连续时间设置，并从非凸优化的角度显示本算法，稀疏促进DMD和经验标准之间的关系。从简单的动力系统到不同雷诺数下的二维圆柱尾流和三维湍流舰船空气尾流的算例都证明了该算法的有效性。后两个问题的设计，使得非常强的非线性瞬态存在，因此需要一个准确的近似Koopman运营商。基本的物理机制进行了分析，重点是表征瞬态动力学。结果与现有的理论阐述和数值逼近。
2021-01-02 math.DS physics.flu-dyn stat.ML
Spectrum of the Koopman Operator, Spectral Expansions in Functional Spaces, and State Space Geometry
我们研究了具有全局稳定吸引子的线性和非线性动力系统的谱算子理论性质。利用Kato分解，我们发展了一般线性自治动力系统的解析观测量的谱展开，并定义了相关的Koopman算子的广义本征函数的概念。我们解释稳定，不稳定和中心子空间的广义本征函数的零水平集。然后，我们利用共轭性质的Koopman特征函数和新的概念，开放的特征函数-定义在状态空间的子集-扩展这些结果的非线性动力系统的平衡。利用非线性系统的Koopman算子本征函数族的联合零水平集，给出了（全局）中心流形、中心稳定流形和中心不稳定流形的一个特征，定义了一类新的Hilbert空间，它刻画了耗散动力学的开和关吸引子性质，并引入了调制Fock空间的概念，我们发展了一类具有全局稳定极限环和极限环面的动力系统的谱展开式，其观测量在吸引子变量中是平方可积的，在吸引子变量中是解析的。我们讨论了这类具有（拟）-周期吸引子的非线性系统的稳定流形、不稳定流形和全局中心流形的定义。我们定义的概念的一般类的非线性系统的等稳。我们提供了一个简单的例子，保测系统是不是混沌，但有连续谱，并讨论了实验观察到的频谱在这样的系统。我们定义了一类数据集的相干主维的基础上相关联的Koopman算子的格型主谱。
2019-10-18 math.DS nlin.CD
Applied Koopmanism
大多数来自动力系统分析的方法，特别是那些在应用环境中的方法，依赖于庞加莱的几何图像，其专注于“状态的动力学”。虽然这幅图推动了我们的领域一个世纪，它已经显示出在处理高维，描述不良，和不确定性系统，这是越来越常见的工程系统设计和分析的困难“大数据”测量。这篇综述文章提出了一个替代框架的动力系统的基础上，“动态观测”的图片。中心对象是库普曼算子：一个无限维的，线性算子，但仍然能够捕捉完整的非线性动力学。本文的第一个目标是通过Koopman算子的谱性质来弄清楚出现在不同论文和上下文中的方法是如何相互关联的。第二个目标是以简洁的方式介绍这些方法，努力使那些希望应用这些方法的研究人员能够使用这些框架，同时也扩展和改进这些方法。最后，我们的目标是提供一个路线图，通过文献中的每个主题进行了详细描述。我们描述了三个主要概念：Koopman模式分析，Koopman特征，遍历性和连续指标。对于每一个概念，我们提供了一个总结的理论概念，需要定义和研究他们，数值方法，已经开发了他们的分析，并在可能的情况下，应用程序，利用他们。Koopman框架显示出从学术和理论应用到工业实践的潜力。因此，本文强调了它的优势，在应用和数值环境。此外，我们指出，在采用这种方法作为现成的分析和设计框架之前，需要额外的研究推动的领域。
2012-11-30 math.DS math.SP nlin.CD
Sparse Koopman Autoencoders Identify Local Dynamical Regimes in Multibasin Systems
Chandar Research Lab（钱达尔研究实验室）；Mila – Quebec AI Institute（米拉-魁北克人工智能研究所）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；NVIDIA（英伟达）；Polytechnique Montréal（蒙特利尔理工学院）
该研究提出稀疏Koopman自编码器（SKAEs），无需标签即可识别多盆系统的局部动力学 regime，其预测性能优于密隐KAEs，且隐支撑可有效识别吸引盆。
2026-11-04 cs.LG math.DS
Koopman and transfer operator techniques from the perspective of quantum theory
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文从量子理论视角探讨Koopman-von Neumann表示框架，结合数据驱动方法分析Koopman和转移算子的近似技术，强调通过再生核希尔伯特空间和Fock空间实现经典对象的量子表示及高表达性近似方案。
2026-03-20 math.DS math.OA quant-ph
Koopman operators with intrinsic observables in rigged reproducing kernel Hilbert spaces
Kyoto University（京都大学）；RIKEN（理化学研究所）；NTT, Inc.（NTT公司）；The University of Osaka（大阪大学）
本文提出 JetEDMD 方法，利用 rigged 希尔伯特空间和 jets 结构提升 Koopman 操作符估计精度，并通过理论分析和实验验证其有效性。
2025-11-29 cs.LG math.DS math.FA
Operator-theoretic approach to the partial integration of randomly coupled phase oscillators
Université Laval（拉瓦尔大学）；Centre interdisciplinaire en modélisation mathématique de l’Université Laval（拉瓦尔大学跨学科数学建模中心）；Centre de recherche CERVO（CERVO研究中心）
研究如何利用Koopman生成器及其特征函数进行部分积分。通过从允许Koopman特征函数和守恒量的网络 motif构建随机图来定义部分可积Kuramoto模型，并进行相关推导。
2026-07-07 math-ph math.DS math.MP
Extended dynamic mode decomposition with Fourier dictionaries: Error bounds and fast implementation
Catholic University of Eichstätt-Ingolstadt（天主教艾希施泰特-因戈尔施塔特大学）；Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文提出一种基于傅里叶字典的扩展动态模式分解变体，在环面上实现闭式解与三角插值等价，导出最优阶误差界，并利用快速傅里叶变换实现无矩阵拟线性计算，在Kuramoto模型上验证至10^7模式。
2026-10-23 math.DS
Vehicular Applications of Koopman Operator Theory -- A Survey
Koopman算子理论已被证明是解决非线性系统辨识和全局线性化问题的一种很有前途的方法。近一个世纪以来，一直没有有效的方法来计算应用工程目的的库普曼算子。最近引入的计算效率高的方法在流体动力学的背景下，这是基于系统动力学分解成一组正常模式的降序，克服了这个长期存在的计算障碍。Koopman算子的纯数据驱动性质使其有望捕获用于降阶模型生成和系统辨识的未知和复杂动态，通过这些降阶模型生成和系统辨识，可以利用线性控制技术的丰富机制。鉴于这一研究领域的持续发展和智能移动和车辆工程领域中存在的许多开放性问题，有必要对将Koopman算子理论应用于这一充满活力的领域的技术和开放性挑战进行调查。本文重点介绍了近年来出现的Koopman运营商的各种解决方案，特别是那些专注于移动应用的解决方案，从表征和组件级控制操作到车辆性能和车队管理。此外，对100多篇研究论文的全面审查突出了Koopman算子理论应用于各种车辆应用的广泛性，并对应用的基于Koopman算子的算法类型进行了详细分类。此外，本文还讨论了Koopman算子理论的理论方面，这些理论在很大程度上被智能移动和车辆工程界所忽视，但对解决这些领域的开放问题有很大的潜力。
2023-03-21 cs.RO cs.SY eess.SY
Watanabe-Strogatz Invariants in the Liouvillian Dynamics of Coupled Phase Oscillators via the Koopman Framework
Tokyo University of Science（东京科学大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学研究所）
本文通过李雅普诺夫与Koopman描述的关系，从算子理论角度推导出耦合相位振子的Watanabe-Strogatz不变量，提供了新的谱视角。
2026-03-19 math.DS nlin.AO nlin.SI
Finite-Data Error Bounds for Approximating the Koopman Operator: Sampling Measures, Super-Polynomial Convergence and Regularization
Concordia University（康考迪亚大学）
本研究为有限数据下EDMD逼近Koopman算子建立误差界，证明蒙特卡洛速率，并在特定结构下实现超多项式收敛，同时为欠采样情形提供基于压缩感知的恢复保证。
2026-09-29 cs.NA math.DS math.NA
The Effect of Sensor Fusion on Data-Driven Learning of Koopman Operators
用于系统辨识的字典方法通常依赖于一组测量来学习系统的支配动态。在本文中，我们研究如何融合输出测量与状态测量影响库普曼算子学习问题的字典选择过程。虽然以前的方法使用动态共轭显示在两个不同的数据空间（测量通道）的库普曼本征函数之间的直接联系，我们探讨的具体情况下，输出测量是非线性的，不可逆的系统状态的函数。这种设置反映了许多种类的物理系统的测量约束，例如，生物测量数据，其中一种类型的测量不直接转换为另一种。我们提出了输出约束Koopman算子（OC-KOs）作为一个新的框架来融合两个测量集。我们表明，OC-KO是有效的传感器融合证明，当学习一个Koopman算子，输出测量函数用于约束空间的潜在Koopman可观的和他们的特征函数。此外，可以嵌入低维输出测量，以通知高维模型的Koopman字典函数的选择。我们提出了两种算法，以确定直接从数据的OC-KO表示：直接最优化方法，同时使用状态和输出数据和顺序最优化方法。证明了两个最优化问题的解空间是等价的。我们用一个理论例子和两个数值模拟来说明这些发现。
2021-06-29 cs.SY eess.SY math.DS
Optimal construction of Koopman eigenfunctions for prediction and control
这项工作提出了一种新的数据驱动的框架，用于构建面向预测和控制的Koopman算子的本征函数。该方法利用远离吸引子的Koopman算子的频谱的丰富性来构建丰富的本征函数集，使得状态（或任何其他感兴趣的可观测量）在这些本征函数的范围内，因此可以以线性方式预测。特征函数的构造是基于优化的，不需要字典选择。一旦以这种方式获得系统的不受控部分的预测器，则通过简单的线性最小二乘回归执行的多步预测误差最小化来完成控制的并入。这样获得的预测器是线性受控动态系统的形式，并且可以容易地应用于[12]的Koopman模型预测控制框架内，以使用线性模型预测控制工具来控制非线性动力系统。该方法完全是数据驱动的，纯粹基于凸优化，不依赖于神经网络或其他非凸机器学习工具。对这种新的本征函数构造方法进行了理论分析，严格证明了所得到的本征函数族足够丰富，可以覆盖所有连续函数的空间。此外，该方法被扩展到构造广义本征函数，也产生Koopman不变子空间，因此可以用于线性预测。详细的数值例子与代码在线演示的方法，无论是预测和反馈控制。
2020-05-07 math.DS math.OC math.SP
Improved error bounds for Koopman operator and reconstructed trajectories approximations with kernel-based methods
Universidad de Chile（智利大学）
本文为核扩展动态模式分解下的库普曼算子近似提出 O(N^{-1/2}) 的新误差界，并设计提升回映算子获得平均轨迹的同类误差界，数值实验验证了理论结果。
2025-11-06 cs.NA math.DS math.NA
Optimizing Neural Networks via Koopman Operator Theory
Koopman算子理论是发现非线性动力系统潜在动力学的一个强有力的框架，最近被证明与神经网络训练密切相关。在这项工作中，我们采取了利用这种联系的第一步。由于Koopman算子理论是一种线性理论，因此在不断发展的网络权重和偏差中成功实现它可以提供加速训练的希望，特别是在深度网络的背景下，其中优化本质上是一个非凸问题。我们表明，Koopman算子理论方法允许在非平凡的训练时间范围内准确预测前馈、完全连接的深度网络的权重和偏差。在这个窗口期间，我们发现我们的方法比各种基于梯度下降的方法（例如Adam，Adadelta，Adagrad）快10倍以上，与我们的复杂性分析一致。最后，我们强调开放的问题，在这个令人兴奋的交叉动力系统和神经网络理论。我们强调了其他方法，通过这些方法，我们的结果可以扩展到更广泛的网络类别和更大的训练间隔，这将是未来工作的重点。
2020-10-22 cs.NE eess.SP math.DS
fSRD: Fuzzy Spectral Region Decomposition -- Automated Multi Operator Koopman Representations via an Adaptive Spectral Learning Architecture
针对高度非线性混沌动力系统建模难题，提出模糊谱区域分解（fSRD）方法，通过多个算子估计有限库普曼表示，实现数据自适应框架组装局部不变嵌入，在多系统和数据条件下展现出强预测性、可解释性和表现力。
2026-09-15 cs.LG math.DS
Koopman Kernel Regression
TU Munich（慕尼黑工业大学）；LMU Munich（慕尼黑大学）
本文提出库普曼核回归（KKR）框架，通过构造库普曼不变再生核希尔伯特空间将非线性预测转化为线性时不变系统，并在较弱假设下给出收敛性与泛化误差界，实验表明其预测性能优于现有方法。
2024-01-16 cs.LG cs.SY eess.SY
Koopman-based lifting techniques for nonlinear systems identification
University of Namur（南纳姆大学）；Luxembourg Centre for Systems Biomedicine, University of Luxembourg（卢森堡系统生物医学中心，卢森堡大学）
本文提出了一种基于Koopman算子框架的新型非线性系统辨识提升技术，通过在观测空间中识别线性（无限维）Koopman算子，而非在状态空间中识别非线性系统，从而实现了对非线性系统的线性辨识方法。该方法无需计算时间导数，适用于采样率较低的数据集，并通过两种数值方案（主方法和对偶方法）展示了其在不同有限维子空间近似中的应用。
2019-04-24 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman Theory and Linear Approximation Spaces
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；University of Michigan（密歇根大学）
本文研究了Koopman理论中通过有限维基组（如小波、多小波和特征函数）或样本生成Perron-Frobenius算子和Koopman算子近似的方法，分析了收敛速率，并引入了一类通用先验来描述构建近似所需的信息，以提高误差估计的准确性。
2018-11-27 cs.NA math.DS math.NA
Estimating Koopman operators with sketching to provably learn large scale dynamical systems
IIT（意大利理工学院）；MIT（麻省理工学院）
本文利用随机投影（sketching）提升基于核的 Koopman 算子估计器效率，在保持 PCR/RRR 精度的同时大幅加快计算，并建立非渐近误差界证明其学习大规模动力系统的有效性。
2023-07-30 cs.LG math.DS stat.ML
Koopman interpretation and analysis of a public-key cryptosystem: Diffie-Hellman key exchange
本文将Diffie-Hellman密钥交换解释为非线性动力系统，利用Koopman理论将其转换为高维线性系统，从而通过简单操作重构密钥交换的秘密整数，并提供了最小提升维度的上限及数据驱动扩展。
2023-06-22 cs.CR cs.SY eess.SY
Physics-Informed Probabilistic Learning of Linear Embeddings of Non-linear Dynamics With Guaranteed Stability
Koopman算子提供了坐标变换来全局线性化动力学，因而成为分析非线性动力系统的有力工具。虽然最近的深度学习方法在从数据驱动的角度提取Koopman算子方面很有用，但仍然存在一些挑战。在这项工作中，我们在测度理论框架中形式化了使用深度神经网络学习连续时间Koopman算子的问题。我们的方法包括两种类型的模型：微分和经常性的形式，其中的选择取决于控制方程和数据的可用性。然后，我们强制执行的结构参数化，使实现的Koopman运营商证明稳定。构造了一种新的自编码器结构，使得仅学习动态模式分解的残差。最后，我们采用平均场变分推理（MFVI）在上述框架中的分层贝叶斯设置量化的不确定性的表征和预测的动态观测。该框架上评估一个简单的多项式系统，Duffing振荡器，和一个不稳定的圆柱体尾流与噪声测量。
2020-06-21 math.DS stat.ML
Tensor network approximation of Koopman operators
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文提出基于张量网络的柯普曼算子近似方法，通过量子启发的结构实现正性保持的演算近似，应用于两个环上的动力系统。
2026-09-04 math.DS quant-ph
Bilevel optimization for data-driven learning of Koopman embeddings using kernel-based autoencoders
Maxwell Institute for Mathematical Sciences, The University of Edinburgh（爱丁堡大学麦克斯韦数学研究所）；Heriot–Watt University（赫瑞瓦特大学）；Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心自动控制与系统分析实验室）；Université de Toulouse（图卢兹大学）；School of Mathematical & Computer Sciences, Heriot–Watt University（赫瑞瓦特大学数学与计算机科学学院）
该研究提出EDMD-kDL方法，结合配置法与双层优化，通过核字典学习从数据中学习Koopman嵌入，在海温预测、视频学习等实验中性能优于或相当ANN方法，且可扩展至大数据集。
2026-10-09 cs.LG math.DS stat.ML
A Koopman Operator-Based Prediction Algorithm and its Application to COVID-19 Pandemic
本文提出基于Koopman算子的动态置信度切换预测算法，以数据驱动方式应对动力系统突变，并验证其在流感和COVID-19病例预测中的鲁棒性。
2023-04-26 math.DS
Kernel Methods for Stochastic Dynamical Systems with Application to Koopman Eigenfunctions: Feynman-Kac Representations and RKHS Approximation
Department of Computing and Mathematical Sciences, Caltech（加州理工学院计算与数学科学系）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；Department of Mechanical Engineering, Clemson University（克莱姆森大学机械工程系）
本文提出用于随机动力系统的核方法，通过Feynman-Kac表示和RKHS近似，扩展了Koopman特征函数的构造，并分析了扩散对数值稳定性的提升作用。
2026-03-01 cs.NA cs.SY eess.SY
Efficient pseudometrics for data-driven comparisons of nonlinear dynamical systems
本研究提出了计算高效的拓扑共轭偏差伪度量，基于Koopman本征函数空间的酉变换解析解构建，兼顾算子谱特性与轨迹几何，在效率与可扩展性上具备优势且保持理论一致性。
2025-03-05 cs.SY eess.SY math-ph
