On Few Shot Learning of Dynamical Systems: A Koopman Operator Theoretic Approach
在本文中，我们提出了一种新的算法学习的Koopman算子的动力系统从\textit{small}量的训练数据。在数据驱动建模的许多应用中，例如生物网络建模、网络安全、物联网建模或智能电网监控，不可能以足够高的采样频率获得定期采样的时间序列数据。在这种情况下，现有的动态模式分解（DMD）或扩展的动态模式分解（EDMD）算法的Koopman算子计算往往会导致低保真度近似Koopman算子。为此，本文提出了一种算法，可以有效地计算Koopman算子时，训练数据集是稀疏采样的时间。特别是，该算法通过添加人工数据点来丰富小训练数据集，这些数据点被视为噪声观测。然后，使用来自鲁棒优化的技术，使用较大的，尽管有噪声的数据集来计算Koopman算子。所提出的算法的有效性也证明了三个不同的动力系统，即一个线性网络的振荡器，一个非线性系统和一个动力系统由偏微分方程（PDE）。
2021-03-07 math.DS
A Data-Driven Framework for Koopman Semigroup Estimation in Stochastic Dynamical Systems
本文提出随机动态模式分解（SDMD）框架，通过直接逼近Koopman半群并显式纳入采样时间，结合神经网络自动选择基函数，在理论保证下高效、稳定地分析随机动力系统。
2025-08-19 math.DS
A Kernel-Based Approach to Data-Driven Koopman Spectral Analysis
提出了一种基于核的数据驱动的方法，用于近似高维状态空间问题中的主要Koopman特征值、特征函数和模态。这种方法使用一组标量观测量来近似Koopman算子，这些标量观测量是在状态空间上定义的函数，其由内核的选择{ \em隐式}确定。这就避免了在这些问题中，由于需要基函数的数量来跨越标量观测量空间的“足够丰富”的子空间而产生的计算问题。我们说明这种方法的FitzHugh-Nagumo PDE，一个典型的例子，一维反应扩散系统，并比较我们的结果与相关的方法，如动态模式分解（DMD），具有相同的计算成本，我们的方法。在这个例子中，领先的库普曼本征值，本征函数和模式的近似结果都更准确，对计算中使用的数据的分布比DMD产生的更不敏感。
2015-07-27 math.DS
Ergodic theory, Dynamic Mode Decomposition and Computation of Spectral Properties of the Koopman operator
我们建立了一类数值算法的收敛性，被称为动态模式分解（DMD），用于计算无限维Koopman算子的特征值和特征函数。该算法作用于来自状态空间上的观测量的数据，该观测量以Hankel型矩阵排列。证明利用了基本的动力系统是遍历的假设。这包括经典的测度保持系统，以及吸引子支持物理测度的系统。我们的方法依赖于DMD中的向量投影可以用来近似的功能投影Birkhoff的遍历定理的美德的观察。利用这一事实，我们表明，应用DMD汉克尔数据矩阵的无限时间观测的限制产生真正的库普曼本征函数和本征值。我们还表明，奇异值分解，这是大多数DMD算法的核心部分，收敛到本征正交分解的可观。我们使用这个结果来获得一个表示的动态系统的连续谱的基础上提升的坐标空间的可观。这些方法的数值应用证明使用著名的动力系统和计算流体力学的例子。
2017-08-27 math.DS
Path-Integral Formula for Computing Koopman Eigenfunctions
本文提出基于路径积分公式计算 Koopman 算子主特征函数的新方法，给出稳定性与线性化特征值条件，并结合深度神经网络处理高维系统。
2023-07-13 math.DS
Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control
在这项工作中，我们探索有限维线性表示的非线性动力系统限制的Koopman算子的一个不变子空间。Koopman算子是一个无穷维线性算子，它演化出动力系统状态空间的可观测函数[Koopman 1931，PNAS]。Koopman展开中的主导项通常使用动态模式分解（DMD）来计算。DMD使用状态变量的线性测量，最近的研究表明，这对于非线性系统可能限制太多[Williams等人，2015，JNLS]。选择非线性可观测函数来形成不变子空间，在该子空间中可以获得线性模型，特别是那些对控制有用的线性模型，这是一个公开的挑战。在这里，我们调查的可观测函数的选择库普曼分析，使非线性问题的最优线性控制技术的使用。首先，为了包括系统状态的成本，如在线性二次调节器（LQR）控制中，将这些状态包括在可观测子空间中是有帮助的，如在DMD中。然而，我们发现这只有在存在单个孤立不动点时才有可能，因为具有多个不动点或更复杂吸引子的系统不是全局拓扑共轭到有限维线性系统，并且不能由包括状态的有限维线性Koopman子空间表示。然后，我们提出了一种数据驱动的策略，通过非线性函数空间中数据的稀疏回归，使用一种新算法确定动力系统中的项，来识别Koopman分析的相关可观测函数[Brunton et al. 2015，arxiv];我们展示了该算法与DMD的相关性。最后，我们展示了如何设计最优控制律的非线性系统使用的技术，从线…
2015-12-23 math.DS
Sparse identification of nonlinear dynamics and Koopman operators with Shallow Recurrent Decoder Networks
University of Washington（华盛顿大学）
提出SINDy-SHRED方法，通过Gated Recurrent Units和浅层解码器网络联合解决时空数据的传感与模型识别问题，在精度、效率和可解释性上优于现有基线模型。
2025-04-01 cs.AI cs.LG math.DS
Koopman Spectral Linearization vs. Carleman Linearization: A Computational Comparison Study
本文提出Koopman谱线性化方法，利用Chebyshev微分矩阵和Koopman算子构造提升线性系统，并通过数值实验验证其可作为Carleman线性化的有效替代方案。
2023-10-29 math.DS math.OC
Dynamics-aware identification of governing equations from sparse and noisy data
The University of Osaka（大阪大学）；RIKEN（理化学研究所）
本文针对稀疏含噪数据下控制方程识别中导数估计不可靠的问题，提出基于Koopman的上采样预处理技术，经实验验证可提升ODE与PDE的识别性能，优于传统插值方法。
2026-08-03 cs.LG math.DS
On Matching, and Even Rectifying, Dynamical Systems through Koopman Operator Eigenfunctions
匹配动力系统，通过不同形式的共轭和等价，一直是一个基本的概念，和一个强大的工具，在非线性动力学行为的研究和分类（例如通过规范形式）。在本文中，我们将认为，使用Koopman算子及其频谱是特别适合这一努力，无论是在理论上，但也特别是在最近的数据驱动算法的发展。我们相信，并通过说明性的例子文件，这可以nontrivially扩展的使用和适用性的库普曼频谱的理论和计算机器超越建模和预测，对什么可以被认为是一个系统的发现“科尔-霍普夫型”的动力学变换。
2018-03-06 math.DS
Extensions of the Path-integral formula for computation of Koopman eigenfunctions
本文扩展了基于路径积分的Koopman特征函数闭式计算框架，引入有限时间计算、放宽主特征值分布假设并支持鞍点系统，从而显著提升该方法的实际适用性。
2024-11-25 cs.SY eess.SY math.DS
Shaping the Koopman dictionary by learning on the Grassmannian
University of Twente（特文特大学）
本文提出在格拉斯曼流形上利用微分几何优化方法系统性塑造库普曼字典，以减少投影误差并实现近似不变子空间，从而提升非线性动力系统数据驱动预测的精度与效率。
2025-11-10 math.DS
Sparsity structures for Koopman operators
我们提出了一个分解的Koopman运营商的基础上的稀疏结构的动力系统，允许一个考虑系统作为一个家庭的子系统互连的图形。利用Koopman算子的固有性质，我们证明了子系统的本征函数诱导整个系统的本征函数。主本征函数的使用允许扭转这一结果。类似地，对于伴随算子，Perron-Frobenius算子，动力系统的不变测度诱导子系统的不变测度，而从子系统的不变测度构造不变测度则不那么直接。我们解决这个问题，并表明，在必要的兼容性假设，这样的不变测度存在。基于这些结果，我们证明了一个动力系统的分解的先验知识允许减少的计算成本的数据驱动的方法的例子的动态模式分解。
2021-12-20 math.DS math.OC
Sparse Identification of Nonlinear Dynamics with Control (SINDYc)
从数据中识别控制方程是复杂动力系统建模和控制的关键步骤。在这里，我们研究的数据驱动的非线性动力系统的输入和强迫使用回归方法，包括稀疏回归的识别。具体来说，我们推广的稀疏识别的非线性动力学（SINDY）算法，包括外部输入和反馈控制。该方法的例子包括Lotka-Volterra捕食-食饵模型和强迫和控制的Lorenz系统。我们还将本算法与动态模式分解（DMD）和Koopman算子理论相结合，以提供更广泛的背景。
2016-05-21 math.DS
On Numerical Approximations of the Koopman Operator
我们研究了复合算子谱性质的数值计算方法。利用广义拉普拉斯分析给出了巴拿赫空间中Koopman模的一个特征.我们铸造的动态模式分解型方法的上下文中的有限部分理论的无限维运营商，并提供了一个例子的混合映射的有限部分方法失败。在基本动力学的假设下，我们提供了第一个结果的收敛速度下样本量增加的有限部分近似。研究了Krylov子空间形式的有限截面法的误差，证明了纯点谱算子的伪谱收敛性。这一结果表明，Krylov序列为基础的近似可以有低的错误，而不需要近似函数的数量的指数维数增加。
2020-09-13 math.DS
Koopman Regularization and Independent Koopman Eigenfunction Approximation
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
柯普曼正则化通过约束优化从稀疏受污染样本中学习动力学方程，利用柯普曼本征函数实现简洁且精确的动力学恢复。
2026-11-03 math.DG math.DS
Leveraging Neural Koopman Operators to Learn Continuous Representations of Dynamical Systems from Scarce Data
IMT Atlantique（大西洋国立高等工业技术与矿业学校）；Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Grenoble INP（格勒诺布尔国立理工学院）；Institut Universitaire de France（法兰西大学研究院）；EPITA（法国计算机科学与技术高等学院）
在过去的几年里，有几项工作提出了深度学习架构，以从观察数据中学习动力系统，而不了解或了解很少的基础物理知识。一系列的工作依赖于学习表征，其中潜在现象的动态可以通过基于Koopman算子理论的线性算子来描述。然而，尽管能够提供可靠的长期预测的一些动态系统在理想的情况下，到目前为止提出的方法有局限性，如需要离散本质连续的动态系统，导致数据丢失，特别是当处理不完整或稀疏采样的数据。在这里，我们提出了一个新的深度Koopman框架，它以本质上连续的方式表示动态，从而在有限的训练数据上获得更好的性能，例如从动态系统中产生的几个数据集。
2023-03-13 cs.LG math.DS
Nonlinear Data-Driven Approximation of the Koopman Operator
Koopman分析提供了一个通用的框架，从该框架中可以用作用于无限维可观测空间的线性算子来分析非线性动力系统。这个理论框架为广泛使用的动态模式分解算法提供了严格的基础。虽然这种方法已被证明是非常有用的时间序列数据的分析，得到的线性模型通常必须是高阶的，以准确地近似基本上非线性行为。这个问题带来了过度拟合训练数据的固有风险，从而限制了预测能力。相比之下，这项工作探讨了非线性数据驱动的估计Koopman算子的行动的策略。一般策略，产量非线性模型的系统与无控制。随后将得到的非线性方程投影到低秩基上，得到底层动力系统的低阶表示。在这两个计算和实验的例子中，考虑在这项工作中，Koopman算子的线性估计一般只能提供短期的预测可观察到的动态，而可比的非线性估计提供准确的预测，在相当长的时间尺度和复制无限的时间行为，线性预测不能。
2022-10-10 math.DS
Data-driven approximation of the Koopman generator: Model reduction, system identification, and control
我们推导出一种数据驱动的Koopman生成器的近似方法，称为gEDMD，它可以被视为EDMD（扩展动态模式分解）的一个简单的扩展。该方法适用于确定性和随机动力系统。它可用于计算发电机的特征值、特征函数和模态以及系统辨识。除了学习确定性系统的控制方程，然后简化为SINDy（非线性动力学的稀疏识别），还可以从数据中识别随机微分方程的漂移和扩散项。此外，我们应用gEDMD来获得高维系统的粗粒度模型，并确定有效的模型预测控制策略。我们强调与其他方法的关系，并使用几个指导性的例子和原型分子动力学问题证明所提出的方法的有效性。
2020-02-13 math.DS stat.ML
PRONE: Petrov-Galerkin Operator Learning Unifies DMD, SINDy & Koopmanism
University of Cambridge（剑桥大学）；Autodesk Research（欧特克研究院）
提出Petrov-Galerkin回归框架PRONE，通过非对称字典映射统一多种数据驱动动力学方法，利用奇异模态替代特征模态实现非线性系统预测，在混沌映射等任务中以更少参数超越DeepONet等模型。
2026-06-29 math.DS
Improvement of system identification of stochastic systems via Koopman generator and locally weighted expectation
针对gEDMD在随机微分方程中受噪声影响的问题，提出结合聚类与局部加权期望的改进方法，并在状态依赖噪声的双阱势系统上验证了其有效性。
2024-06-27 math.DS physics.data-an
Flow primitives and infinitesimal generators of Perron-Frobenius and Koopman operators
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种基于无穷小生成元指数近似的计算方法，通过李括号刻画向量场微扰对Perron-Frobenius和Koopman算子的影响，实现从流基元构造算子及处理参数扰动。
2026-06-03 math.DS nlin.CD
Data Fusion via Intrinsic Dynamic Variables: An Application of Data-Driven Koopman Spectral Analysis
我们表明，数值计算的近似Koopman本征函数和本征值创建一个自然的框架，数据融合的非线性演化规律的应用程序。这是可能的，因为Koopman算子的本征值对于系统状态的可逆变换是不变的，使得Koopman本征函数的值用作可以用于在不同观测之间映射的一组固有坐标（例如，通过不同组的传感器获得的测量）具有相同的基本行为。我们希望合并的测量也可以是非线性的，但必须“足够丰富”，以允许从一组测量中重建状态（的有效近似）。这种方法需要独立获得的数据集，这些数据集捕获异质测量的演变，并且需要在一个时刻进行单对“联合”测量。计算近似的特征函数和相应的特征值的数据完成使用扩展动态模式分解。我们说明了这种方法的时空振荡的FitzHugh-Nagumo PDE的测量，并展示了如何融合点测量与主成分测量，之后，任何一组测量可以用来估计另一组。
2014-11-20 math.DS
Approximation of the Koopman operator via Bernstein polynomials
本文提出基于Bernstein多项式的Koopman算子有限维逼近方法，给出误差上界，并扩展到数据驱动场景，数值实验验证其噪声鲁棒性和轨迹预测性能。
2025-02-28 math.DS
Reduced-order modelling based on Koopman operator theory
本文研究基于库普曼算子理论的流体动力学降阶建模，提出一种识别关键库普曼模态的新策略，以数值逼近复合算子，从而降低模型计算复杂度。
2024-09-05 cs.NA math.DS math.NA
The spectral form of Koopman representations of the group of measurable functions with values in the circle
我们计算由作者之前确定的$L^0(λ, {\mathbb T})$的自然布尔作用诱导的Koopman表示的谱形式。我们的计算建立了第二作者先前发现的$L^0(λ, {\mathbb T})$的Koopman表示的谱形式上的约束的清晰度。
2021-07-30 math.DS math.LO math.RT
Learning Koopman Representations for Hybrid Systems
Koopman算子将非线性动力系统提升到可观察量的函数空间中，其中动力学是线性的。在本文中，我们提供了三种不同的Koopman表示的混合动力系统。第一个是特定的切换系统，第二个和第三个保留原来的混合动力学，同时消除离散状态变量;第二种方法是直接的，我们提供的条件下，与第三个持有的转换。消除离散状态变量在使用数据驱动的方法来学习Koopman算子及其可观测量时提供计算益处。在此之后，我们使用深度学习在两个测试用例上实现每个表示，讨论与这些实现相关的挑战，并提出未来工作的领域。
2020-06-22 math.DS math.OC
Two methods to approximate the Koopman operator with a reservoir computer
Koopman算子为动力系统的数据驱动分析提供了一个强大的框架。在过去的几年中，丰富的数值方法提供有限维近似的运营商已被提出（如扩展动态模式分解（EDMD）及其变种）。虽然EDMD的收敛结果需要无限数量的字典元素，但最近的研究表明，只要通过适当的训练过程精心选择，只有少数字典元素可以产生Koopman算子的有效近似。然而，该训练过程通常依赖于非线性最优化技术。在本文中，我们提出了两种新的方法的基础上水库计算机训练字典。这些方法仅依赖于线性凸优化。我们说明了几个数值例子的背景下，数据重建，预测和计算的Koopman算子谱的方法的效率。这些结果为库普曼算子框架下油藏计算机的使用铺平了道路。
2020-09-01 eess.SP math.DS
Power grid transient stabilization using Koopman model predictive control
这项工作解决了电网的暂态稳定的问题，以下不稳定的干扰。所考虑的模型是七个新英格兰试验模型与扰动的级联互连（例如，电力线故障）发生在第一电网中并向前传播，模拟大面积停电。我们考虑一个基于Koopman算子理论的数据驱动的控制框架，其中线性预测器，在更高维度（嵌入式）的状态空间上发展，从观察到的数据中构建，随后在模型预测控制（MPC）框架内使用，允许使用线性MPC的有效计算工具来控制这个高度非线性的动力系统。
2018-03-28 math.DS math.OC
Rigorous data-driven computation of spectral properties of Koopman operators for dynamical systems
University of Cambridge（剑桥大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文提出ResDMD算法，从轨迹数据严格计算Koopman算子谱，无谱污染，具收敛保证，并成功应用于高维系统如蛋白质和湍流。
2023-05-11 cs.LG cs.NA math.DS
Koopman Resolvent: A Laplace-Domain Analysis of Nonlinear Autonomous Dynamical Systems
我们的研究动机是建立一个拉普拉斯域理论，提供原则和方法来分析和综合系统的非线性动力学。定义为非线性自治动力系统的复合算子半群--Koopman半群及其相关的Koopman生成元--在本研究中起着核心作用。我们介绍的Koopman生成器的预解式，我们称之为Koopman预解式，并提供其三种类型的非线性动力学的谱表征：遍历演化的吸引子，收敛到一个稳定的平衡点，收敛到一个（准）稳定极限环。这表明库普曼预解式提供了这种非线性自治动力学的拉普拉斯域表示。一个计算方面的拉普拉斯域表示也讨论了非平稳库普曼模式的重点。
2021-05-06 cs.SY eess.SY math.DS
Dictionary-free Koopman model predictive control with nonlinear input transformation
本文提出一种无字典库普曼模型预测控制方法，通过非线性输入变换、输入量化和对称性利用，在保持优化问题凸性的同时提升预测精度并降低计算成本。
2023-09-21 math.DS math.OC
Invariance Proximity: Closed-Form Error Bounds for Finite-Dimensional Koopman-Based Models
针对Koopman算子有限维近似模型的不变性邻近度计算难题，本文利用其几何结构推导了基于Jordan主角的闭式表达式，借助同构规避函数空间计算难点，实现了该指标的高效数值计算。
2025-01-14 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman Kernel Regression
TU Munich（慕尼黑工业大学）；LMU Munich（慕尼黑大学）
本文提出库普曼核回归（KKR）框架，通过构造库普曼不变再生核希尔伯特空间将非线性预测转化为线性时不变系统，并在较弱假设下给出收敛性与泛化误差界，实验表明其预测性能优于现有方法。
2024-01-16 cs.LG cs.SY eess.SY
Vehicular Applications of Koopman Operator Theory -- A Survey
Koopman算子理论已被证明是解决非线性系统辨识和全局线性化问题的一种很有前途的方法。近一个世纪以来，一直没有有效的方法来计算应用工程目的的库普曼算子。最近引入的计算效率高的方法在流体动力学的背景下，这是基于系统动力学分解成一组正常模式的降序，克服了这个长期存在的计算障碍。Koopman算子的纯数据驱动性质使其有望捕获用于降阶模型生成和系统辨识的未知和复杂动态，通过这些降阶模型生成和系统辨识，可以利用线性控制技术的丰富机制。鉴于这一研究领域的持续发展和智能移动和车辆工程领域中存在的许多开放性问题，有必要对将Koopman算子理论应用于这一充满活力的领域的技术和开放性挑战进行调查。本文重点介绍了近年来出现的Koopman运营商的各种解决方案，特别是那些专注于移动应用的解决方案，从表征和组件级控制操作到车辆性能和车队管理。此外，对100多篇研究论文的全面审查突出了Koopman算子理论应用于各种车辆应用的广泛性，并对应用的基于Koopman算子的算法类型进行了详细分类。此外，本文还讨论了Koopman算子理论的理论方面，这些理论在很大程度上被智能移动和车辆工程界所忽视，但对解决这些领域的开放问题有很大的潜力。
2023-03-21 cs.RO cs.SY eess.SY
A Convex Approach to Data-driven Optimal Control via Perron-Frobenius and Koopman Operators
研究了一类控制仿射确定性非线性系统的最优控制的数据驱动计算问题。我们假设控制动力系统模型不可用，并且关于系统动力学的唯一信息以时间序列数据的形式可用。本文对非线性系统的最优控制问题给出了一个凸形式。凸形式依赖于动力系统稳定性理论中涉及密度函数和Perron-Frobenius算子的对偶结果。我们将最优控制问题表示为一个无限维的凸优化规划。最优化问题的有限维近似依赖于Koopman算子的数据驱动计算的最新进展，这与Perron-Frobenius算子是对偶的。仿真结果表明，所开发的框架的应用。
2021-04-12 cs.SY eess.SY math.DS
Forecasting Sequential Data using Consistent Koopman Autoencoders
UC Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；ICSI（国际计算机科学研究所）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
递归神经网络广泛用于时间序列数据，但这种模型往往忽略了这些序列中的底层物理结构。介绍了一类与Koopman理论相关的新的基于物理的方法，为处理非线性动力系统提供了一种选择。在这项工作中，我们提出了一种新的一致Koopman自动编码器模型，与大多数现有的工作不同，它利用了向前和向后的动态。我们的方法的关键是一个新的分析，探讨一致的动态和相关的Koopman运营商之间的相互作用。我们的网络与衍生分析直接相关，其计算要求与其他基线相当。我们评估了我们的方法在广泛的高维和短期相关的问题，它实现了准确的估计显着的预测范围，同时也是强大的噪声。
2020-06-30 cs.LG math.DS physics.comp-ph
Parallel Learning of Koopman Eigenfunctions and Invariant Subspaces For Accurate Long-Term Prediction
我们提出了一个并行的数据驱动的策略，以确定有限维的功能空间不变下的Koopman运营商与一个未知的动力系统。我们建立在对称子空间分解（SSD）算法，集中的方法，在温和的条件下，数据采样可证明发现最大的Koopman不变的子空间和所有Koopman特征函数在任意有限维的功能空间。一个处理器网络，每个都知道一个共同的字典的功能，并配备了一组本地的数据快照，反复互动的有向通信图。每个处理器接收其邻居对不变字典的估计，并通过将SSD与其本地数据应用于由其自己的字典和邻居的字典跨越的子空间的交集来细化其估计。我们确定条件的网络拓扑，以确保该算法确定的最大Koopman不变子空间的跨度的原始字典，其时间，计算和通信的复杂性，并建立其对通信故障的鲁棒性。
2021-03-29 cs.SY eess.SY math.DS
ResKoopNet: Learning Koopman Representations for Complex Dynamics with Spectral Residuals
Department of Mathematical and Statistical Science, University of Alberta（阿尔伯塔大学数学与统计科学系）；International Center for Primate Brain Research, Chinese Academy Sciences（中国科学院灵长类脑研究国际中心）
针对高维非线性动力系统谱分析难题，提出ResKoopNet网络，通过最小化谱残差计算Koopman特征对，获得更精确完整的谱，实验验证优于现有方法。
2025-05-27 cs.LG math.DS
Koopman Operator Family Spectrum for Nonautonomous Systems - Part 1
对于每一个非自治系统，都有相关的库普曼算子族$\mathcal{K}^{(t,t_0)}$，由时间对$(t,t_0)$参数化。在本文中，我们正在调查的时间依赖性的频谱性质的Koopman算子家族在线性非自治的情况下，我们提出了一个算法，计算其频谱从观测数据。为了建立这个算法，我们使用的线性非自治系统的基本矩阵的概念和Arnoldi的方法的一些具体方面。特别是，我们使用Arnoldi样的方法对本地数据stenstrance，我们利用Krylov子空间投影误差中包含的信息，并发现在连续时间依赖的情况下，Arnoldi样的方法的应用的局限性。我们目前的结果，这种数据驱动的算法在各种线性非自治系统，混合动力以及连续的时间。在所有的例子中，与精确的特征值和特征函数的比较显示了所提出的算法的优异性能。
2017-03-21 math.DS math.SP
When Koopman Meets Hamilton and Jacobi
本文利用库普曼算子谱理论建立哈密顿-雅可比方程求解的新途径，通过拉格朗日子流形近似和凸优化框架将线性系统结果推广到非线性系统，并在最优控制中验证了其有效性。
2025-04-10 math.DS math.OC
Koopman operator approach for computing structure of solutions and Observability of non-linear finite state system
给定一个由有限域上的向量空间中的映射定义的离散动力系统，称为有限状态系统（FSS），利用对偶映射构造了状态空间上的函数空间上的对偶线性系统.该系统构成了著名的Koopman线性系统框架的动力系统，因此被称为Koopman线性系统（KLS）。它首先表明，几个结构性质的解决方案的FSS可以推断出的解决方案的KLS。非线性FSS解的结构参数的计算问题在计算上是困难的，因此随着变量数目的增加而变得不可行。与此相反，众所周知，这些问题可以解决线性FSS的线性代数的矩阵的初等因子和他们的命令。在下一步骤中，KLS被降低到最小阶（称为RO-KLS），同时仍然保留了FSS的解的结构参数的所有信息。因此，当RO-KLS的阶数足够小时，上述非线性FSS的计算问题实际上是可行的。其次，证明了具有输出函数的非线性FSS的可观性等价于具有适当的线性输出映射的RO-KLS的可观性。因此，非线性可观测性的问题是解决了观测器设计的等效RO-KLS。这样的结构应该有显着的应用，以现实的FSS中出现的密码学和生物网络。
2020-10-21 cs.SY eess.SY math.DS
Estimating Koopman operators with sketching to provably learn large scale dynamical systems
IIT（意大利理工学院）；MIT（麻省理工学院）
本文利用随机投影（sketching）提升基于核的 Koopman 算子估计器效率，在保持 PCR/RRR 精度的同时大幅加快计算，并建立非渐近误差界证明其学习大规模动力系统的有效性。
2023-07-30 cs.LG math.DS stat.ML
Deep Koopman-layered Model with Universal Property Based on Toeplitz Matrices
NTT Corporation（NTT公司）；Center for Advanced Intelligence Project, RIKEN（RIKEN高级智能项目中心）
本研究提出基于Toeplitz矩阵的深度Koopman分层模型，兼具理论性与灵活性，可拟合非自治系统时序数据，结合Krylov子空间方法高效训练，在Koopman算子特征值估计任务上性能优于现有方法。
2025-05-19 cs.LG math.DS math.FA
Accelerating the analysis of optical quantum systems using the Koopman operator
本文提出基于扩展动态模态分解的双线性 Koopman 代理模型，用于加速非均匀展宽二能级量子系综的光子回波动力学预测，并通过误差分析验证其准确性与效率。
2024-09-09 math.DS quant-ph
Bilinear Input Modulation for Mamba: Koopman Bilinear Forms for Memory Retention and Multiplicative Computation
Department of Systems and Control Engineering, Institute of Science Tokyo（科学东京研究所系统与控制工程系）
本文提出双线性输入调制方法，通过引入状态-输入乘积提升SSM的记忆保留和乘法计算能力，实验显示GM在记忆保留上表现优异，而seq-BIM和p-BIM在两者上均有效。
2026-04-26 cs.LG cs.SY eess.SY
The mpEDMD Algorithm for Data-Driven Computations of Measure-Preserving Dynamical Systems
University of Cambridge（剑桥大学）
Koopman算子使非线性动力系统全局线性化，其谱信息是分析和分解非线性动力系统的有力工具。然而，Koopman算子是无限维的，计算它们的谱信息是一个相当大的挑战。本文介绍了保测扩展动态模式分解（$\texttt{mpEDMD}$），它是第一种截断方法，其特征分解收敛于一般保测动力系统的Koopman算子的谱量。$\texttt{mpEDMD}$是一种基于正交Procrustes问题的数据驱动算法，该算法使用可观测量的通用字典强制执行Koopman算子的测量保持截断。它灵活且易于与任何预先存在的DMD类型方法以及不同类型的数据一起使用。我们证明了收敛的$\texttt{mpEDMD}$的投影值和标量值的谱测度，频谱和Koopman模式分解。对于延迟嵌入（Krylov子空间）的情况下，我们的结果包括第一收敛速度的近似谱测度的字典的大小增加。我们证明了$\texttt{mpEDMD}$在一系列具有挑战性的例子，其增加的鲁棒性噪声相比，其他DMD型的方法，它能够捕捉能量守恒和级联的实验测量的湍流边界层流动的雷诺数$> 6\times 10^4$和状态空间维度$>10^5$。
2022-09-06 cs.LG cs.NA math.DS
On Data-Driven Unbiased Predictors using the Koopman Operator
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；The University of Sydney（悉尼大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文提出一种基于Koopman算子的数据驱动无偏预测方法，通过分析残差矩来减少预测偏差和方差，提升预测的不确定性特性。
2026-02-04 cs.SY eess.SY math.DS
Learning Deep Neural Network Representations for Koopman Operators of Nonlinear Dynamical Systems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
Koopman算子最近因其在动力系统分析和数据驱动模型发现中的价值而受到广泛关注。然而，它的应用一直受到扩展动态模式分解的计算复杂性的阻碍，这需要一个组合大的基集，以充分描述许多感兴趣的非线性系统，例如网络物理基础设施系统，生物网络，社会系统和流体动力学。通常，为这些问题生成的字典是手动管理的，需要特定领域的知识和艰苦的调整。在本文中，我们介绍了一个深度学习框架，用于学习非线性动力系统的Koopman算子。我们表明，这种新方法自动选择有效的深度字典，优于最先进的方法。我们对这种方法进行了基准测试，部分观察到的非线性系统，包括糖酵解振荡器，并表明它能够定量预测未来100步，仅使用一个时间点，定性振荡行为400步。
2017-11-17 cs.AI cs.LG math.DS
Koopman Operator and its Approximations for Systems with Symmetries
具有对称性的非线性动力系统表现出丰富多样的行为，包括复杂的吸引子-盆画像以及增强和抑制的分叉。对称性论证提供了一种研究这些集体行为并简化其分析的方法。Koopman算子是一个无限维的线性算子，它通过状态空间的函数的线性演化来完全捕获系统的非线性动力学。重要的是，与局部线性化相比，它保留了系统的全局非线性特征。我们演示了对称性的存在如何影响Koopman算子的结构及其谱性质。事实上，我们表明，对称性的考虑也可以简化使用扩展和内核的动态模式分解方法（EDMD和内核DMD）的Koopman算子近似。具体来说，表示论使我们能够证明，一个同型组件的基础上诱导块对角结构的运营商近似，揭示隐藏的组织。实际上，如果数据是对称的，则可以修改EDMD和核DMD方法以更有效地计算Koopman算子近似及其本征值、本征函数和本征模。完成的发展，我们讨论了测量噪声的影响。
2019-04-25 cond-mat.dis-nn math.DS math.GR
An Introductory Guide to Koopman Learning
Department of Applied Mathematics & Theoretical Physics, University of Cambridge（应用数学与理论物理系，剑桥大学）；Department of Mathematics, University of Zagreb（数学系， Zagreb大学）；Department of Mathematical Sciences, Rensselaer Polytechnic Institute（数学科学系，Rensselaer理工学院）
本文为Koopman学习提供入门指南，涵盖严格收敛的数据驱动预测与谱分析方法，包括残差误差控制、广义拉普拉斯分析收敛性证明及连续谱计算技术，旨在为新手和专家提供清晰的技术概览。
2025-10-24 cs.LG cs.NA math.DS
Time Scale Separation and Hierarchical Control with the Koopman Operator
本文利用领域感知的Koopman算子公式，处理具有分层控制和时间尺度分离的系统，以量化跨尺度交互对稳定性的影响并计算快慢时间尺度的最优控制策略。
2025-06-18 math.DS math.OC
Koopman-based surrogate modeling for reinforcement-learning-control of Rayleigh-Benard convection
TU Dortmund University \& Lamarr Institute for Machine Learning
本文研究了利用线性递归自动编码器网络加速强化学习控制二维雷诺-贝纳德对流的方法，通过预训练方案结合代理模型与DNS，提升了控制性能并减少了训练时间。
2026-03-30 cs.LG math.DS
Finite-Data Error Bounds for Approximating the Koopman Operator: Sampling Measures, Super-Polynomial Convergence and Regularization
Concordia University（康考迪亚大学）
本研究为有限数据下EDMD逼近Koopman算子建立误差界，证明蒙特卡洛速率，并在特定结构下实现超多项式收敛，同时为欠采样情形提供基于压缩感知的恢复保证。
2026-09-29 cs.NA math.DS math.NA
