A Short Introduction to the Koopman Representation of Dynamical Systems
Koopman表示是线性或非线性动力系统的无限维线性表示。它表示输出映射（也称为可观测量）的动态，输出映射是状态空间上的函数，其求值被解释为输出。概念上简单的推导和评论的库普曼表示。我们强调初始条件和输出映射的原始系统，和那些库普曼表示之间的重要的对偶性。当这种表示用于数据驱动的应用程序（如动态模式分解（DMD）及其变体）时，这种二元性是一个重要的考虑因素。Koopman表示和质量输运的转移算子之间的伴随关系也被示出。
2022-05-17 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman Representations of Dynamic Systems with Control
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
动力系统的最优控制策略的设计和分析由于状态变量的非线性相关性而变得复杂。Koopman算子已经被用来简化动力系统的分析，通过将系统的流映射到动态是线性的（并且可能是无限的）的可观测空间上。本文研究受控动力系统的一致Koopman表示。我们介绍了Koopman表示的动态一致性的概念，并分析了几个现有的和建议的表示派生的动力系统，可观的，和Koopman运营商的必要约束。我们的主要结果是一个混合制定独立和联合观察的状态和控制输入。这种提法承认一个相对较大的空间的动力系统相比，早期的配方，同时保持独立的状态和控制输入的Koopman运营商。更一般地说，这项工作提供了一个分析框架，以评估和排名建议的简化控制动力系统的一般Koopman表示。
2019-08-06 cs.LG math.DS
The spectral form of Koopman representations of the group of measurable functions with values in the circle
我们计算由作者之前确定的$L^0(λ, {\mathbb T})$的自然布尔作用诱导的Koopman表示的谱形式。我们的计算建立了第二作者先前发现的$L^0(λ, {\mathbb T})$的Koopman表示的谱形式上的约束的清晰度。
2021-07-30 math.DS math.LO math.RT
Koopman Resolvent: A Laplace-Domain Analysis of Nonlinear Autonomous Dynamical Systems
我们的研究动机是建立一个拉普拉斯域理论，提供原则和方法来分析和综合系统的非线性动力学。定义为非线性自治动力系统的复合算子半群--Koopman半群及其相关的Koopman生成元--在本研究中起着核心作用。我们介绍的Koopman生成器的预解式，我们称之为Koopman预解式，并提供其三种类型的非线性动力学的谱表征：遍历演化的吸引子，收敛到一个稳定的平衡点，收敛到一个（准）稳定极限环。这表明库普曼预解式提供了这种非线性自治动力学的拉普拉斯域表示。一个计算方面的拉普拉斯域表示也讨论了非平稳库普曼模式的重点。
2021-05-06 cs.SY eess.SY math.DS
The Koopman representation and positive Rokhlin entropy
在以前的论文中，作者将西奈的经典因子定理推广到任意可数无限群的作用。在本文中，我们使用这个定理及其证明技巧，以研究正熵现象和库普曼表示之间的联系。按照海耶斯为sofic熵所做的工作，我们以某种精确的方式证明了所有的正熵都必须来自库普曼表示中嵌入左正则表示的部分。将此结果与前一文献的广义因子定理相结合，我们得出结论：对于具有完全正外熵的作用，Koopman表示必须同构于左正则表示的可数直和.这推广了Dooley-Golodets关于可数顺从群的一个定理。作为最后的结果，我们观察到，行动与完全积极的外部熵必须是混合，当组是不顺从的，他们必须是强遍历，并有谱隙。我们还证明了这些结果适用于相对于子$σ$ -代数和适用于非自由行动的推广。
2018-04-14 math.DS math.OA
Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control
在这项工作中，我们探索有限维线性表示的非线性动力系统限制的Koopman算子的一个不变子空间。Koopman算子是一个无穷维线性算子，它演化出动力系统状态空间的可观测函数[Koopman 1931，PNAS]。Koopman展开中的主导项通常使用动态模式分解（DMD）来计算。DMD使用状态变量的线性测量，最近的研究表明，这对于非线性系统可能限制太多[Williams等人，2015，JNLS]。选择非线性可观测函数来形成不变子空间，在该子空间中可以获得线性模型，特别是那些对控制有用的线性模型，这是一个公开的挑战。在这里，我们调查的可观测函数的选择库普曼分析，使非线性问题的最优线性控制技术的使用。首先，为了包括系统状态的成本，如在线性二次调节器（LQR）控制中，将这些状态包括在可观测子空间中是有帮助的，如在DMD中。然而，我们发现这只有在存在单个孤立不动点时才有可能，因为具有多个不动点或更复杂吸引子的系统不是全局拓扑共轭到有限维线性系统，并且不能由包括状态的有限维线性Koopman子空间表示。然后，我们提出了一种数据驱动的策略，通过非线性函数空间中数据的稀疏回归，使用一种新算法确定动力系统中的项，来识别Koopman分析的相关可观测函数[Brunton et al. 2015，arxiv];我们展示了该算法与DMD的相关性。最后，我们展示了如何设计最优控制律的非线性系统使用的技术，从线…
2015-12-23 math.DS
Variance representations and convergence rates for data-driven approximations of Koopman operators
本文为EDMD逼近Koopman算子严格推导误差界，证明i.i.d.采样指数收敛及遍历采样超线性收敛，并基于方差表示验证于复杂系统。
2024-05-23 math.DS
Irreducible Koopman representations for nonsingular actions on boundaries of rooted trees
本文在有限性假设下，为球面齐次根树的可数分支自同构群构造了不可约酉表示，并刻画了其弱等价与酉等价条件，揭示了其与树边界遍历拟不变测度关联的Koopman表示的对应关系。
2025-03-05 math.DS math.RT
Towards Data-driven LQR with Koopmanizing Flows
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Aalborg University（奥尔堡大学）
我们提出了一种新的框架学习线性时不变（LTI）模型的一类连续时间非自治的非线性动力学的基础上表示的Koopman运营商。一般来说，算子是无穷维的，但关键是线性的。为了利用它进行有效的LTI控制设计，我们学习了Koopman算子的有限表示，该算子在控制中是线性的，同时学习有意义的提升坐标。对于后者，我们依赖于Koopmanizing流-Koopman算子的一种基于同态的表示，并将其扩展到具有线性控制项的系统。利用这种学习模型，我们可以将具有二次代价的非线性最优控制问题转化为线性二次型调节器（LQR）问题，从而实现对非线性系统的有效最优控制。仿真结果表明，该方法具有良好的控制性能。
2022-05-23 cs.LG cs.SY eess.SY
Koopman spectral analysis of elementary cellular automata
本文对基本元胞自动机进行了Koopman谱分析。通过使用系统状态的独热表示来提升系统动力学，我们推导出Koopman算子的矩阵表示作为状态转换网络的邻接矩阵的转置。Koopman本征值要么为零，要么在复平面的单位圆上，相关的Koopman本征函数可以显式构造。由Koopman特征值，我们可以判断系统的可逆性，确定状态转移网络中连通分量的个数，计算渐近轨道的周期，并导出每个系统的守恒量。我们数值计算的Koopman特征值的所有规则的ECA上的一维晶格的13个细胞周期性的边界条件。结果表明，Koopman算子的谱性质反映了Wolfram对ECA的分类.
2021-10-26 math.DS nlin.CG
Leveraging Neural Koopman Operators to Learn Continuous Representations of Dynamical Systems from Scarce Data
IMT Atlantique（大西洋国立高等工业技术与矿业学校）；Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Grenoble INP（格勒诺布尔国立理工学院）；Institut Universitaire de France（法兰西大学研究院）；EPITA（法国计算机科学与技术高等学院）
在过去的几年里，有几项工作提出了深度学习架构，以从观察数据中学习动力系统，而不了解或了解很少的基础物理知识。一系列的工作依赖于学习表征，其中潜在现象的动态可以通过基于Koopman算子理论的线性算子来描述。然而，尽管能够提供可靠的长期预测的一些动态系统在理想的情况下，到目前为止提出的方法有局限性，如需要离散本质连续的动态系统，导致数据丢失，特别是当处理不完整或稀疏采样的数据。在这里，我们提出了一个新的深度Koopman框架，它以本质上连续的方式表示动态，从而在有限的训练数据上获得更好的性能，例如从动态系统中产生的几个数据集。
2023-03-13 cs.LG math.DS
On Data-Driven Koopman Representations of Nonlinear Delay Differential Equations
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Miami University（迈阿密大学）
本文提出基于历史离散化和合适重建算子的有限维Koopman近似框架，通过核基扩展动态模式分解(kEDMD)实现Koopman算子的可计算表示，并推导了确定性误差界，支持对时滞系统的可靠预测与控制。
2026-08-13 cs.LG cs.SY eess.SY
ResKoopNet: Learning Koopman Representations for Complex Dynamics with Spectral Residuals
Department of Mathematical and Statistical Science, University of Alberta（阿尔伯塔大学数学与统计科学系）；International Center for Primate Brain Research, Chinese Academy Sciences（中国科学院灵长类脑研究国际中心）
针对高维非线性动力系统谱分析难题，提出ResKoopNet网络，通过最小化谱残差计算Koopman特征对，获得更精确完整的谱，实验验证优于现有方法。
2025-05-27 cs.LG math.DS
DisKO: Deep Koopman Learning in Distribution Space from Unpaired Snapshots
DisKO通过联合学习分布可观测函数、有限维库普曼表示和生成映射，在分布空间中实现深度库普曼学习，在七个基准上达到最优外推性能并显著降低长时程误差累积。
2026-09-29 cs.LG math.DS
Geometric Considerations of a Good Dictionary for Koopman Analysis of Dynamical Systems: Cardinality, 'Primary Eigenfunction,' and Efficient Representation
Clarkson University（克拉克森大学）；Clarkson Center for Complex Systems Science（克拉克森复杂系统科学中心）
用简化模态表示动力系统是降阶建模的核心前提，也是日益流行的Koopman算子分析的DMD（动态模态分解）经验解释的主要关注点。在最优逼近和降阶建模的精神下，DMD方法和变体的目标是尽可能最好地将动态演化描述为适当变换的低秩空间中的线性演化。库普曼本征函数遵循可通过特征线法求解的线性偏微分方程，产生了几何和代数性质之间的几种有趣关系。对应于在数据表面上任意定义函数的自由，对于每个特征值，存在沿着特征发出的无限多个特征函数。我们专注于对比基数和等价性。特别是，我们引入了一个等价类，“主本征函数”，由那些本征函数相同的水平集，这有助于对比代数多重性从其他几何方面。通常，Koopman方法，特别是动态模式分解（DMD）和变体，允许数据驱动的研究如何可测函数沿轨道演变。据我们所知，还没有一个深入的研究有关的基础几何结构，一个有效的表示。我们提出了一个建设，导致功能的数据表面上，其相应的特征函数是有效的最小二乘意义上。我们称这种构造为最优库普曼本征函数DMD，（oKEEDMD），我们强调的例子。
2021-03-24 cs.LG math.DS
A note on quasi-similarity of Koopman operators
提出了一个关于A.我们构造了两个非弱同构的遍历自同构，其相关的酉（库普曼）表示是马尔可夫拟相似的。我们还讨论了遍历自同构类中马氏拟相似的度量不变量。
2009-04-09 math.DS math.FA
Learning Deep Neural Network Representations for Koopman Operators of Nonlinear Dynamical Systems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
Koopman算子最近因其在动力系统分析和数据驱动模型发现中的价值而受到广泛关注。然而，它的应用一直受到扩展动态模式分解的计算复杂性的阻碍，这需要一个组合大的基集，以充分描述许多感兴趣的非线性系统，例如网络物理基础设施系统，生物网络，社会系统和流体动力学。通常，为这些问题生成的字典是手动管理的，需要特定领域的知识和艰苦的调整。在本文中，我们介绍了一个深度学习框架，用于学习非线性动力系统的Koopman算子。我们表明，这种新方法自动选择有效的深度字典，优于最先进的方法。我们对这种方法进行了基准测试，部分观察到的非线性系统，包括糖酵解振荡器，并表明它能够定量预测未来100步，仅使用一个时间点，定性振荡行为400步。
2017-11-17 cs.AI cs.LG math.DS
Time-Delay Observables for Koopman: Theory and Applications
非线性动力系统在科学和工程中无处不在，然而对这些系统的分析和预测仍然是一个挑战。Koopman算子理论通过考虑状态上的可观测函数空间中的动态来规避这些问题中的一些，其中动态本质上是线性的，因此服从来自数值分析和线性代数的标准技术。然而，这种方法仍然存在实际问题，因为可观测量的空间是无限维的，并且选择一个函数子空间来准确地表示系统是一项重要的任务。在这项工作中，我们考虑时间延迟可观的Koopman运营商框架中的非线性动力学。我们证明了令人惊讶的结果，Koopman运营商为不同的系统承认普遍的（系统无关的）表示在这些坐标，并给出这些表示的解析表达式。此外，我们表明，对于某些系统的限制类，这些可观的形成一个最佳的有限维的基础上表示的Koopman运营商，并在这些坐标的Koopman运营商的解析表示与计算的结果相一致的动态模式分解。我们提供数值例子来补充我们的结果。除了在理论上是有趣的，这些结果有影响的一些线性化算法的动力系统。
2020-02-14 cs.NA math.DS math.NA
Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是描述标量可观测量（即，状态的测量函数）在无限维希尔伯特空间中。这种算子理论的观点将有限维非线性系统的动力学提升到无限维函数空间，在那里原系统的演化变成线性的。在本文中，我们提供了一个简短的总结Koopman算子定理的非线性动力学建模，并专注于分析几个数据驱动的实现，使用动态模式分解（DMD）的自治和控制的规范问题。我们应用扩展的动态模式分解（EDMD），以确定领先的Koopman本征函数和近似的有限维表示所发现的线性动力学。这使我们能够对非线性系统应用线性控制方法，而无需在不动点附近进行线性化近似。然后，我们可以检查使用的线性控制器的基础上的Koopman算子近似系统的欠驱动系统的基本机动的保真度。我们通过对两个经典动力系统的数值模拟证明了这一理论的有效性，并展示了DMD方法对Koopman算子的评估和逼近及其在线性化这些系统时的有效性。
2021-10-16 cs.RO math.DS math.OC
Koopman Operator Framework for Modeling and Control of Off-Road Vehicle on Deformable Terrain
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种混合物理信息与数据驱动的建模框架，用于自主非公路车辆在变形地形上的预测控制。通过Koopman算子方法将复杂地形力学和车辆动力学线性化，并利用递归子空间识别方法从模拟数据中识别Koopman算子，实现与物理系统数据的无缝更新。
2026-04-09 cs.RO cs.SY eess.SY
fSRD: Fuzzy Spectral Region Decomposition -- Automated Multi Operator Koopman Representations via an Adaptive Spectral Learning Architecture
针对高度非线性混沌动力系统建模难题，提出模糊谱区域分解（fSRD）方法，通过多个算子估计有限库普曼表示，实现数据自适应框架组装局部不变嵌入，在多系统和数据条件下展现出强预测性、可解释性和表现力。
2026-09-15 cs.LG math.DS
Koopman Operator Family Spectrum for Nonautonomous Systems - Part 1
对于每一个非自治系统，都有相关的库普曼算子族$\mathcal{K}^{(t,t_0)}$，由时间对$(t,t_0)$参数化。在本文中，我们正在调查的时间依赖性的频谱性质的Koopman算子家族在线性非自治的情况下，我们提出了一个算法，计算其频谱从观测数据。为了建立这个算法，我们使用的线性非自治系统的基本矩阵的概念和Arnoldi的方法的一些具体方面。特别是，我们使用Arnoldi样的方法对本地数据stenstrance，我们利用Krylov子空间投影误差中包含的信息，并发现在连续时间依赖的情况下，Arnoldi样的方法的应用的局限性。我们目前的结果，这种数据驱动的算法在各种线性非自治系统，混合动力以及连续的时间。在所有的例子中，与精确的特征值和特征函数的比较显示了所提出的算法的优异性能。
2017-03-21 math.DS math.SP
Isostables, isochrons, and Koopman spectrum for the action-angle representation of stable fixed point dynamics
对于渐近周期系统，通过计算所谓的等时线（isochrons），即在极限环上收敛到相同轨迹的点集，可以得到动力学的强大（相位）简化。受激励系统的分析，类似的减少已被尝试为非周期系统承认一个稳定的不动点。在这种情况下，仍然可以定义等时线，但它们不能捕获轨迹的渐近行为。相反，我们称之为isostables的兴趣集在文献中被定义为在不动点的稳定慢流形上朝着相同轨迹收敛的点集。然而，事实证明，这个定义的等稳仅适用于系统的慢-快动态。此外，有效的方法来计算的等稳态是失踪。本文基于Koopman算子的谱性质，给出了稳定不动点的等稳线的定义和计算的一般框架.更准确地说，等稳线被定义为库普曼算子的特定本征函数的水平集。通过这种方法，等稳线是与系统的渐近性质相关的唯一且定义明确的对象。此外，该框架揭示了等稳线和等时线是两个不同但互补的概念，它们定义了一组动力学的作用角坐标。此外，一个有效的算法计算的等稳，这依赖于沿轨迹的拉普拉斯平均值的评价。该方法与激发FitzHugh-Nagumo模型和洛伦兹模型说明。最后，我们讨论了这些方法的基础上的Koopman运营商框架涉及到系统的全局线性化和特殊的Lyapunov函数的推导。
2013-06-12 math.DS
Koopman and transfer operator techniques from the perspective of quantum theory
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文从量子理论视角探讨Koopman-von Neumann表示框架，结合数据驱动方法分析Koopman和转移算子的近似技术，强调通过再生核希尔伯特空间和Fock空间实现经典对象的量子表示及高表达性近似方案。
2026-03-20 math.DS math.OA quant-ph
RKHS method for computing Koopman-based Lyapunov functions
University of Namur（南纳慕尔大学）
本文提出基于RKHS的Koopman方法计算Lyapunov函数，通过保留Jacobian矩阵谱来提升高维系统稳定性分析的准确性。
2026-04-10 math.DS
Learning the Koopman Eigendecomposition: A Diffeomorphic Approach
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
我们提出了一种新的数据驱动的方法学习一类稳定的非线性系统的线性表示使用Koopman特征函数。通过正规化流学习非线性系统与其雅可比线性化之间的共轭映射，可以保证所学习的函数是一个自同构。使用这种同构，我们通过共轭系统的谱等价构造非线性系统的本征函数-允许构造非线性系统的线性预测。该学习器的普适性导致了非线性系统的Koopman特征函数的普适逼近。所开发的方法也是安全的，因为它保证了模型是渐近稳定的，无论表示精度如何。据我们所知，这是第一个缩小操作员，系统和学习理论之间差距的工作。我们的方法的有效性，通过模拟的例子。
2022-05-30 cs.LG cs.SY eess.SY
Koopman Operator Dynamical Models: Learning, Analysis and Control
Koopman算子允许通过（全局）线性表示来处理非线性系统。一般来说，算子是无限维的，需要有限的近似，没有总体框架。虽然有原则的方法来学习这种有限近似，他们在许多情况下被忽视的青睐，往往不适定和非结构化的方法。此外，库普曼算子理论与已知的系统理论和动力系统概念有着长期的联系，这些概念并没有得到普遍的认可。鉴于前者和后者的现实，这项工作的目的是弥合各种概念之间的差距，无论是理论和易于处理的实现。首先，我们回顾了Koopman算子动力学模型的数据驱动表示（非结构化和结构化），对各种现有方法进行了分类，并突出了它们的差异。此外，我们提供了简明的洞察范式的关系，系统理论的概念和分析的前景，使用范式建模控制系统。此外，我们概述了目前的挑战和评论未来的前景。
2021-12-22 cs.SY eess.SY math.DS
Nonlinear Data-Driven Approximation of the Koopman Operator
Koopman分析提供了一个通用的框架，从该框架中可以用作用于无限维可观测空间的线性算子来分析非线性动力系统。这个理论框架为广泛使用的动态模式分解算法提供了严格的基础。虽然这种方法已被证明是非常有用的时间序列数据的分析，得到的线性模型通常必须是高阶的，以准确地近似基本上非线性行为。这个问题带来了过度拟合训练数据的固有风险，从而限制了预测能力。相比之下，这项工作探讨了非线性数据驱动的估计Koopman算子的行动的策略。一般策略，产量非线性模型的系统与无控制。随后将得到的非线性方程投影到低秩基上，得到底层动力系统的低阶表示。在这两个计算和实验的例子中，考虑在这项工作中，Koopman算子的线性估计一般只能提供短期的预测可观察到的动态，而可比的非线性估计提供准确的预测，在相当长的时间尺度和复制无限的时间行为，线性预测不能。
2022-10-10 math.DS
Kernel Methods for Stochastic Dynamical Systems with Application to Koopman Eigenfunctions: Feynman-Kac Representations and RKHS Approximation
Department of Computing and Mathematical Sciences, Caltech（加州理工学院计算与数学科学系）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；Department of Mechanical Engineering, Clemson University（克莱姆森大学机械工程系）
本文提出用于随机动力系统的核方法，通过Feynman-Kac表示和RKHS近似，扩展了Koopman特征函数的构造，并分析了扩散对数值稳定性的提升作用。
2026-03-01 cs.NA cs.SY eess.SY
Koopman representations for positive definite functions
本文证明了任意局部紧第二可数群上的连续正定函数都可由某个遍历保测系统上的Koopman算子内积表示，并进一步在可数无限阿贝尔群情形给出了模长等于ϕ(0)的表示。
2024-10-20 math.DS math.GR
Deep-Koopman-KANDy: Dictionary Discovery for Deep-Koopman Operators with Kolmogorov-Arnold Networks for Dynamics
Clarkson Center for Complex Systems Science（克拉克森复杂系统科学中心）
本文提出深度-库普曼-克里洛夫网络，结合深度-库普曼建模与克里洛夫-阿诺尔德网络，通过后处理符号字典读取方法，解决数据驱动动力学系统中符号库选择问题，验证了在洛伦兹系统、标准映射、伊基达映射和阿诺尔德猫映射上的有效性。
2026-05-07 math.DS
Latent Modes of Nonlinear Flows -- a Koopman Theory Analysis
提取复杂的非线性局部和非局部流的潜在结构对于它们的分析和建模是必不可少的。在这项工作中，我们试图通过Koopman理论及其相关的流行的离散逼近-动态模式分解（DMD）提供一个一致的框架。我们调查的条件进行适当的线性化，降维，并表示在一个高度普遍的设置流。这个框架的基本要素是库普曼本征函数（KEF），其存在条件制定。这是通过将动态视为状态空间中的曲线来完成的。这些条件为非线性动力学的系统重构、全局能控性和能观性奠定了基础。我们通过对Koopman理论的分析，研究了DMD的局限性，并提出了一种新的模式分解技术的基础上的动力学的典型时间剖面。一个过完备的字典的衰减配置文件是用来稀疏近似的流量。这种分析在基于变分法的库普曼理论的全连续环境下也是有效的。我们展示了这种分析的应用，如寻找KEF和他们的多重性，动力学重建，和全球线性化。
2021-12-22 math.DS
Gelfand-type theorems for dynamical Banach modules
Gelfand和Kakutani关于交换C*-代数和AM-及AL-空间的表示定理是拓扑和保测动力系统的Koopman线性化的基础。在这篇文章中，我们证明了这些结果的版本动力学的拓扑和可测的Banach丛和相应的加权Koopman表示的Banach模。
2020-09-28 math.DS math.FA
Data-driven spectral decomposition and forecasting of ergodic dynamical systems
我们开发了一个框架降维，模式分解，和遍历动力系统产生的数据的非参数预测。这个框架是基于一个表示的Koopman和Perron-弗罗贝尼乌斯群的酉算子在一个光滑的规范正交基的L2空间的动力系统，获得从时间顺序的数据通过扩散映射算法。使用这种表示，我们计算Koopman本征函数通过正则化的平流-扩散算子，并采用这些本征函数的降维映射与投影动力学和高光滑度给定的观测模态。在纯点谱系统中，我们构造了一个分解的Koopman组的生成器到相互交换的向量场，自然地转换下的观察模态的变化，我们重建在数据空间中通过表示的前推映射的Koopman特征函数的基础。我们还建立了Koopman运营商和Laplace-Beltrami运营商之间的对应关系，从Takens延迟坐标空间中的数据构建，并使用这种对应关系提供了这类系统的扩散映射延迟坐标的解释。此外，我们利用Koopman本征函数基础的一个特殊性质，即基础元素演化为简谐振子，建立概率密度和观测值的非参数预测模型。在更复杂的光谱行为的系统，包括混合系统，我们开发了一种方法的灵感来自动力系统中的时变，将发电机转换为一个新的运营商具有潜在的改善频谱特性，并使用该运营商的向量场分解和非参数预测。
2017-09-01 math.DS physics.data-an
Trustworthy Koopman Operator Learning: Invariance Diagnostics and Error Bounds
Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge, UK（剑桥大学数学科学中心，英国）；Department of Mathematics, Imperial College London, UK（伦敦帝国理工学院数学系，英国）；Department of Mechanical Engineering, University of Washington, USA（美国华盛顿大学机械工程系）
本文提出了一种统一的后验方法，用于验证Koopman近似的可信度并改进其性能，通过主角度分解和多步误差界，提供可靠的谱分析和预测保障。
2026-03-16 cs.LG cs.NA math.DS
Learning dynamically inspired bases for Koopman and transfer operator approximation
School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（数学与统计学学院，新南威尔士大学悉尼分校）
本文提出通过机器学习动态定制的正交基函数，以高效逼近Koopman和转移算子，从而准确获取算子的谱特性及不变测度。
2026-03-24 cs.LG cs.NA math.DS
The Effect of Sensor Fusion on Data-Driven Learning of Koopman Operators
用于系统辨识的字典方法通常依赖于一组测量来学习系统的支配动态。在本文中，我们研究如何融合输出测量与状态测量影响库普曼算子学习问题的字典选择过程。虽然以前的方法使用动态共轭显示在两个不同的数据空间（测量通道）的库普曼本征函数之间的直接联系，我们探讨的具体情况下，输出测量是非线性的，不可逆的系统状态的函数。这种设置反映了许多种类的物理系统的测量约束，例如，生物测量数据，其中一种类型的测量不直接转换为另一种。我们提出了输出约束Koopman算子（OC-KOs）作为一个新的框架来融合两个测量集。我们表明，OC-KO是有效的传感器融合证明，当学习一个Koopman算子，输出测量函数用于约束空间的潜在Koopman可观的和他们的特征函数。此外，可以嵌入低维输出测量，以通知高维模型的Koopman字典函数的选择。我们提出了两种算法，以确定直接从数据的OC-KO表示：直接最优化方法，同时使用状态和输出数据和顺序最优化方法。证明了两个最优化问题的解空间是等价的。我们用一个理论例子和两个数值模拟来说明这些发现。
2021-06-29 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman Operator for Stability Analysis: Theory with a Linear--Radial Product Reproducing Kernel
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
研究基于柯普曼算子的稳定性分析，通过线性核与温德兰径向核形成乘积核定义RKHS，使柯普曼算子作用下不变，平衡点渐近稳定时谱在单位圆内，学习的算子有误差界可提供稳定性证书，还讨论其对基于柯普曼控制的作用。
2026-07-28 cs.SY eess.SY math.DS
Efficient Optimal Path Planning in Dynamic Environments Using Koopman MPC
Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University of California Davis（加州大学戴维斯分校机械与航空航天工程系）
针对动态环境下移动机器人路径规划，提出基于双线性Koopman实现的MPC框架，通过提升空间二次规划求解，速度比非线性MPC快320倍，兼顾最优性与计算效率。
2025-10-02 cs.RO cs.SY eess.SY
Deep Learning for Koopman Operator Estimation in Idealized Atmospheric Dynamics
Golisano College of CIS（戈利萨诺计算机与信息科学学院）；Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院）；Lehigh University（理海大学）
针对数据驱动天气模型可解释性不足及 Koopman 算子难以扩展到大气建模的问题，本文改进现有估计方法并提出新型 CNN 架构，以线性表示非线性动力学并增强模型透明度。
2024-09-10 cs.LG math.DS physics.ao-ph
Koopman Operator and its Approximations for Systems with Symmetries
具有对称性的非线性动力系统表现出丰富多样的行为，包括复杂的吸引子-盆画像以及增强和抑制的分叉。对称性论证提供了一种研究这些集体行为并简化其分析的方法。Koopman算子是一个无限维的线性算子，它通过状态空间的函数的线性演化来完全捕获系统的非线性动力学。重要的是，与局部线性化相比，它保留了系统的全局非线性特征。我们演示了对称性的存在如何影响Koopman算子的结构及其谱性质。事实上，我们表明，对称性的考虑也可以简化使用扩展和内核的动态模式分解方法（EDMD和内核DMD）的Koopman算子近似。具体来说，表示论使我们能够证明，一个同型组件的基础上诱导块对角结构的运营商近似，揭示隐藏的组织。实际上，如果数据是对称的，则可以修改EDMD和核DMD方法以更有效地计算Koopman算子近似及其本征值、本征函数和本征模。完成的发展，我们讨论了测量噪声的影响。
2019-04-25 cond-mat.dis-nn math.DS math.GR
Residual-Guided Dictionary Learning for Spectrally Accurate Koopman Approximation
Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge（应用数学与理论物理系，剑桥大学）
提出残差引导的字典学习方法，通过最小化Koopman残差和改善条件数，获得谱可靠且数值稳定的表示，减少谱污染并提高预测精度。
2026-06-27 cs.LG cs.NA math.DS
A Lambert's Problem Solution via the Koopman Operator with Orthogonal Polynomials
朗伯问题在空间操作的背景下已经研究了很长时间;它的解决方案可以精确地确定轨道和航天器制导。这项工作提供了一个分析解决兰伯特的问题，使用Koopman算子（KO）。与文献中以前的方法相比，KO通过寻求将非线性动力学嵌入到全局线性表示中的变换来提供对非线性系统的分析。我们的新方法来解决兰伯特解决方案考虑了系统的本征值在相平面上的位置，评估准确的状态转换多项式映射的计算效率的动态传播。所使用的方法和多个革命的解决方案，发现在文献中发现的其他技术的精度和性能进行比较，突出了新开发的分析方法的好处，在经典的数值方法。
2022-12-02 astro-ph.EP cs.NA math.DS
Estimating unknown dynamics and cost as a bilinear system with Koopman-based Inverse Optimal Control
Royal Institute of Technology (KTH)（皇家理工学院）；Aalto University（阿尔托大学）
提出基于Koopman的逆最优控制框架，利用改进的扩展动态模态分解构建双线性系统，通过庞特里亚金最大值原理实现未知动力学与代价函数的准确估计。
2026-07-03 cs.SY eess.SY math.DS
SPIKE: Sparse Koopman Regularization for Physics-Informed Neural Networks
SPIKE通过连续时间Koopman算子正则化PINNs，学习稀疏动力学表示，提升时间外推、空间泛化和长期预测精度。
2026-01-16 cs.AI cs.CE cs.LG
