On Convergence of Extended Dynamic Mode Decomposition to the Koopman Operator
扩展动态模式分解（EDMD）是一种通过在状态空间中的$M$点处采样来近似Koopman算子对观测量空间的$N$维子空间的作用的算法。假设样本是从某个测度$μ$独立地或遍历地抽取的，证明了在极限为$M\rightarrow\infty$时，EDMD算子$\mathcal{K}_{N,M}$收敛到$\mathcal{K}_N$，其中$\mathcal{K}_N$是Koopman算子作用在有限维观测量子空间上的$L_2(μ)$ -正交投影.在这项工作中，我们证明了，作为$N \rightarrow \infty$，操作$\mathcal{K}_N$在强算子拓扑收敛到Koopman操作。这特别意味着在任何有限时间范围内给定可观测值的未来值的预测的收敛，这对于诸如预测、估计和控制的实际应用是重要的。此外，我们证明了$\mathcal{K}_N$的谱的聚点对应于Koopman算子的本征值，并且当本征函数的弱极限不为零时，其本征函数弱收敛于Koopman算子的本征函数.作为一个副产品，我们提出了一个分析版本的EDMD算法，在某些假设下，允许一个直接构建$\mathcal{K}_N$，而不使用采样。最后，在额外的假设下，我们分析了$\mathcal{K}_{N,N}$的收敛性（即，$M=N$），证明收敛，沿子序列，弱本征函数（或本征分布）有关的特征测度的Perron-Frobenius算子。没有假…
2017-10-20 math.DS math.OC math.SP
Extended dynamic mode decomposition with dictionary learning: a data-driven adaptive spectral decomposition of the Koopman operator
Koopman算子的数值逼近方法在过去的几年里有了很大的发展。特别是，数据驱动的方法，如动态模式分解（DMD）及其推广，扩展DMD（EDMD），在实际应用中变得越来越流行。EDMD改进了经典的DMD，包括一个灵活的选择字典的观测值，跨越一个有限维的子空间上的Koopman算子可以近似。这提高了解决方案的重建的准确性，并扩大了Koopman形式主义的适用性。虽然EDMD的收敛性已经建立，但在实践中应用该方法需要仔细选择观测量，以提高收敛性，只有有限数量的条款。这对于高维和高度非线性系统尤其困难。在本文中，我们采用机器学习的思想来改进EDMD方法。我们开发了一种迭代逼近算法，该算法将EDMD与由人工神经网络表示的可训练字典耦合在一起。以Duffing振荡器和Kuramoto Sivashinsky PDE为例，我们证明了我们的算法可以有效地使可训练字典适应手头的问题，以实现良好的重建精度，而无需事先选择固定的字典。此外，为了获得给定的准确度，我们需要更少的字典条款比EDMD与固定的字典。这消除了EDMD算法的一个重要缺点，增强了Koopman框架对实际问题的适用性。
2017-07-02 math.DS
Finite-Data Error Bounds for Approximating the Koopman Operator: Sampling Measures, Super-Polynomial Convergence and Regularization
Concordia University（康考迪亚大学）
本研究为有限数据下EDMD逼近Koopman算子建立误差界，证明蒙特卡洛速率，并在特定结构下实现超多项式收敛，同时为欠采样情形提供基于压缩感知的恢复保证。
2026-09-29 cs.NA math.DS math.NA
Explicit error bounds and guaranteed convergence of the Koopman-Hill projection stability method for linear time-periodic dynamics
University of Stuttgart（斯图加特大学）
本文首次为Koopman-Hill投影方法建立了显式误差界，通过构造级数展开法推导出线性时变系统傅里叶系数指数衰减的条件，从而保证方法的收敛性，并通过数学ieu方程和杜芬振子等实例验证了其理论重要性。
2025-10-22 cs.NA math.DS math.NA
A Data-Driven Framework for Koopman Semigroup Estimation in Stochastic Dynamical Systems
本文提出随机动态模式分解（SDMD）框架，通过直接逼近Koopman半群并显式纳入采样时间，结合神经网络自动选择基函数，在理论保证下高效、稳定地分析随机动力系统。
2025-08-19 math.DS
On Koopman Operator for Burgers' Equation
考虑了$L^2([0,1])$中Burgers方程在开（小）函数集上的流动.我们明确地推导出了Burgers流的Koopman分解。我们确定的频率和系数的分解的特征值和特征泛函的Koopman运营商。我们证明了小柯西数据的$t>0$的Koopman分解的收敛性，以及正则柯西数据的$t=0$。收敛到$t=0$ }导致Koopman模式的基础的“完整性”属性。我们构造了所有的模式和本征泛函，包括涉及几何重数的本征空间。这超出了（Page & Kerswell，2018）提供的求和公式，其中每个特征值只给出一项。给出了Koopman分解的数值例子，并将Koopman特征值与动态模式分解（DMD）的特征值进行了比较。
2021-04-24 math-ph math.DS math.MP
Generalized Stochastic Resilience for Early Warning Signals Based on Koopman Operator
The University of Osaka（大阪大学）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project（理化学研究所先进智能项目中心）
本文基于Koopman算子推广随机韧性理论，提出新信号更准确预测临界事件，实验显示其在检测临界现象早期信号方面更稳健。
2025-11-23 math.DS
Intrinsic and Extrinsic Approximation of Koopman Operators over Manifolds
本文在完全度量空间$(X,d_X)$上导出了与离散的、确定的、连续的半流有关的Koopman算子的某些逼近的收敛速度。近似构造的再生核基地，集中在沿系统轨迹的样本。证明了当样本在某种类型的光滑流形$M\subseteq X$中稠密时，导出的收敛速度依赖于样本沿该流形中轨迹的填充距离。本文导出了Koopman算子的基于投影和依赖于数据的近似的误差界。讨论如何实现这些界限的内在和外在的近似方法。最后给出了一个数值例子，定性地说明了文中所导出的收敛保证。
2020-04-11 cs.NA cs.SY eess.SY
Dynamic Mode Decomposition for Continuous Time Systems with the Liouville Operator
动态模式分解（DMD）已经成为与Koopman算子的同义词，其中连续时间动态通过使用Koopman（即合成）算子由固定时间步长确定的离散时间代理来检查。使用新引入的“占领内核”，本手稿开发了一种方法DMD治疗连续时间动态直接通过刘维算子，其中可以包括库普曼发电机。本文概述了离散时间系统的Koopman基DMD和连续时间系统的Liouville基DMD之间的技术和理论差异，其中包括在几个再生核希尔伯特空间（RKHS）上对这些算子的检验。虽然刘维尔算子是模态无界的，本文介绍了缩放刘维尔算子的概念，这对许多动力系统产生一个紧算子的指数点积内核的原生空间。因此，规范收敛的DMD程序时，使用缩放Liouville运营商，这是一个决定性的优势，基于Koopman的DMD方法。
2021-05-28 math.DS
On the approximation of Koopman spectra of measure-preserving flows
本文将利用周期逼近计算Koop-man算子的谱分解的方法推广到紧度量空间上的保测流类。结果表明，连续单参数酉群的谱分解可以近似于流的中间时间离散化。在流的时间离散化和周期近似的空间离散化之间建立了一个充分条件，使得谱在极限处弱收敛。该条件有效地转化为空间细化必须以比时间细化更快的速度发生的要求。这一结果与对流方程有限差分格式的CLF条件进行了对比。数值结果的频谱计算的体积保持流的一些基准的例子。
2018-06-27 math.DS
Learning Koopman eigenfunctions of stochastic diffusions with optimal importance sampling and ISOKANN
针对随机扩散过程Koopman主导本征函数求解问题，重构ISOKANN框架下的本征问题，结合最优重要性采样提出带收敛证明的自适应迭代算法，将逼近精度提升数个数量级。
2022-12-30 math.DS math.PR
Approximation of the Koopman operator via Bernstein polynomials
本文提出基于Bernstein多项式的Koopman算子有限维逼近方法，给出误差上界，并扩展到数据驱动场景，数值实验验证其噪声鲁棒性和轨迹预测性能。
2025-02-28 math.DS
Generative Modeling through Koopman Spectral Analysis: An Operator-Theoretic Perspective
Center for Science Adventure；Collaborative Research Advancement, Graduate School of Science, Kyoto University, Kyoto, Japan；Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA；LinkedIn Corporation, Sunnyvale, CA；Dynamic Systems Lab, University College London, London, UK；Graduate School of Information Science；Technology, The University of Osaka, Osaka, Japan；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project, Tokyo, Japan
KSWGD通过Koopman理论和Wasserstein梯度下降结合，实现高效生成建模，克服梯度消失问题，提升收敛速度和样本质量。
2026-02-08 cs.LG math.DS
Data-driven approximation of Koopman operators and generators: Convergence rates and error bounds
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Lancaster University（兰卡斯特大学）；University of Salamanca（萨拉曼卡大学）；University of Manchester（曼彻斯特大学）；Heriot–Watt University（赫瑞-瓦特大学）
提出基于蒙特卡洛采样的统一框架来逼近Koopman等无穷维算子，包含EDMD和gEDMD作为特例，证明了在宽松条件下的收敛性及收敛速率，并分析了噪声影响。
2026-06-26 cs.NA math.DS math.NA
Ergodic theory, Dynamic Mode Decomposition and Computation of Spectral Properties of the Koopman operator
我们建立了一类数值算法的收敛性，被称为动态模式分解（DMD），用于计算无限维Koopman算子的特征值和特征函数。该算法作用于来自状态空间上的观测量的数据，该观测量以Hankel型矩阵排列。证明利用了基本的动力系统是遍历的假设。这包括经典的测度保持系统，以及吸引子支持物理测度的系统。我们的方法依赖于DMD中的向量投影可以用来近似的功能投影Birkhoff的遍历定理的美德的观察。利用这一事实，我们表明，应用DMD汉克尔数据矩阵的无限时间观测的限制产生真正的库普曼本征函数和本征值。我们还表明，奇异值分解，这是大多数DMD算法的核心部分，收敛到本征正交分解的可观。我们使用这个结果来获得一个表示的动态系统的连续谱的基础上提升的坐标空间的可观。这些方法的数值应用证明使用著名的动力系统和计算流体力学的例子。
2017-08-27 math.DS
Two methods to approximate the Koopman operator with a reservoir computer
Koopman算子为动力系统的数据驱动分析提供了一个强大的框架。在过去的几年中，丰富的数值方法提供有限维近似的运营商已被提出（如扩展动态模式分解（EDMD）及其变种）。虽然EDMD的收敛结果需要无限数量的字典元素，但最近的研究表明，只要通过适当的训练过程精心选择，只有少数字典元素可以产生Koopman算子的有效近似。然而，该训练过程通常依赖于非线性最优化技术。在本文中，我们提出了两种新的方法的基础上水库计算机训练字典。这些方法仅依赖于线性凸优化。我们说明了几个数值例子的背景下，数据重建，预测和计算的Koopman算子谱的方法的效率。这些结果为库普曼算子框架下油藏计算机的使用铺平了道路。
2020-09-01 eess.SP math.DS
Auxiliary Functions as Koopman Observables: Data-Driven Analysis of Dynamical Systems via Polynomial Optimization
Concordia University（康考迪亚大学）；Friedrich–Alexander–Universität Erlangen–Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
我们提出了一个灵活的数据驱动的方法，动力系统分析，不需要明确的模型发现。该方法是植根于完善的技术近似的Koopman运营商的数据，并实施为一个半定的程序，可以数值求解。此外，该方法不知道数据是通过确定性过程还是随机过程生成的，因此其实现不需要用户预先调整以适应这些不同的场景。严格的收敛结果证明了该方法的适用性，同时也扩展和统一了文献中的类似结果。发现李雅普诺夫函数，遍历优化，并确定性和随机动力学的吸引子上的边界极值的例子证明了这些收敛结果，并证明了该方法的性能。
2023-10-16 cs.LG math.DS math.OC
Rigorous data-driven computation of spectral properties of Koopman operators for dynamical systems
University of Cambridge（剑桥大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文提出ResDMD算法，从轨迹数据严格计算Koopman算子谱，无谱污染，具收敛保证，并成功应用于高维系统如蛋白质和湍流。
2023-05-11 cs.LG cs.NA math.DS
On Data-Driven Unbiased Predictors using the Koopman Operator
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；The University of Sydney（悉尼大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文提出一种基于Koopman算子的数据驱动无偏预测方法，通过分析残差矩来减少预测偏差和方差，提升预测的不确定性特性。
2026-02-04 cs.SY eess.SY math.DS
A Koopman framework for rare event simulation in stochastic differential equations
利用随机Koopman算子和Kolmogorov倒向方程之间的关系，构造了随机微分方程的重要性抽样方案.具体地，我们提出使用随机Koopman算子的本征函数来近似感兴趣的可观测量的Doob变换（例如，与罕见事件相关联），这又产生对应的零方差重要性抽样估计量的近似。我们的方法是广泛适用的和系统的，治疗非正常系统，非梯度系统，和系统的振荡动力学或秩亏噪声在一个共同的框架。在非线性设置的随机库普曼特征函数不能推导出解析，我们使用动态模式分解（DMD）的方法来计算它们的数值，但框架是不可知的特定的数值方法。数值实验表明，即使是粗糙的近似的几个特征函数，后者是建立从非罕见的轨迹，可以产生有效的重要性抽样计划罕见的事件。
2022-02-07 math.DS math.PR stat.CO
Convergence properties of dynamic mode decomposition for analytic interval maps
针对区间混沌解析全分支映射下EDMD谱收敛依赖可观测量空间选择的问题，推导了配置法阶数M与Galerkin法阶数N的约束条件以保证谱收敛。
2024-04-12 math.DS
PRONE: Petrov-Galerkin Operator Learning Unifies DMD, SINDy & Koopmanism
University of Cambridge（剑桥大学）；Autodesk Research（欧特克研究院）
提出Petrov-Galerkin回归框架PRONE，通过非对称字典映射统一多种数据驱动动力学方法，利用奇异模态替代特征模态实现非线性系统预测，在混沌映射等任务中以更少参数超越DeepONet等模型。
2026-06-29 math.DS
Data-driven End-to-end Learning of Pole Placement Control for Nonlinear Dynamics via Koopman Invariant Subspaces
NTT Communication Science Laboratories（NTT通信科学实验室）；Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University（九州大学数学工学研究所）；Center for Advanced Intelligence Project, RIKEN（理化学研究所高级智能项目中心）
基于Koopman算子理论，提出了一种数据驱动的控制黑箱非线性动力系统频率和收敛速度的方法.利用该方法，训练策略网络，使得受控动态的Koopman算子的特征值接近目标特征值。该策略网络由一个神经网络来寻找Koopman不变子空间，和一个极点配置模块来调整Koopman算子的特征值。由于策略网络是可区分的，我们可以使用强化学习以端到端的方式对其进行训练。我们证明了所提出的方法比无模型强化学习和基于模型的控制系统辨识具有更好的性能。
2022-08-16 cs.AI cs.LG cs.SY
Koopman operator-based model reduction for switched-system control of PDEs
我们提出了一个新的框架，最优和反馈控制的偏微分方程使用Koopman算子为基础的降阶模型（K-ROM）。Koopman算子是一个线性但无限维的算子，它描述了观测量的动力学。因此，Koopman算子的数值逼近产生用于观察自治动力系统的线性系。在我们的方法中，通过引入有限个常数控制，动态控制系统转化为一组自治系统和相应的最优控制问题转化为切换时间最优化问题。这使得我们可以用K-ROM来代替这些系统中的每一个，K-ROM可以更快地解决数量级。通过这种方法，非线性无穷维控制问题转化为低维线性问题。在Koopman算子可以使用扩展动态模式分解（EDMD）精确计算的情况下，所提出的方法产生最优控制输入。此外，EDMD最近的收敛结果表明，该方法也可以应用于更复杂的动态。为了说明结果，我们考虑一维Burgers方程和二维Navier-斯托克斯方程。数值实验表明，显着的性能，无论是解决方案的时间和精度。
2019-01-18 math.DS math.OC
Koopman Theory and Linear Approximation Spaces
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；University of Michigan（密歇根大学）
本文研究了Koopman理论中通过有限维基组（如小波、多小波和特征函数）或样本生成Perron-Frobenius算子和Koopman算子近似的方法，分析了收敛速率，并引入了一类通用先验来描述构建近似所需的信息，以提高误差估计的准确性。
2018-11-27 cs.NA math.DS math.NA
Learning Spatio-Temporal Dynamics via Operator-Valued RKHS and Kernel Koopman Methods
Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary（数学与统计学系，卡尔加里大学）
该研究提出结合算子值再生核希尔伯特空间（OV-RKHS）与核Koopman算子方法的统一框架，实现复杂时空动力学的非参数化数据驱动估计，支持高维非线性系统降阶建模与长期预测。
2025-08-23 cs.LG math.DS math.OC
When Koopman Meets Hamilton and Jacobi
本文利用库普曼算子谱理论建立哈密顿-雅可比方程求解的新途径，通过拉格朗日子流形近似和凸优化框架将线性系统结果推广到非线性系统，并在最优控制中验证了其有效性。
2025-04-10 math.DS math.OC
Eigenvalue initialisation and regularisation for Koopman autoencoders
Australian National University（澳大利亚国立大学）；Ben-Gurion University（本-古里安大学）
正则化神经网络的参数矩阵在训练深度模型中是普遍存在的。典型的正则化方法建议使用小的随机值初始化权重，并惩罚权重以提高稀疏性。然而，这些广泛使用的技术在某些情况下可能不太有效。在这里，我们研究了Koopman自动编码器模型，它包括一个编码器，一个Koopman算子层和一个解码器。这些模型的设计和致力于解决与物理相关的问题，具有可解释的动态和纳入物理相关约束的能力。然而，大多数现有的工作采用标准的正规化做法。在我们的工作中，我们朝着增强Koopman自动编码器迈出了一步，为物理相关的设置量身定制了初始化和惩罚方案。具体而言，我们提出了“eigeninit”初始化计划，样本初始Koopman运营商从特定的特征值分布。此外，我们建议的“eigenloss”惩罚计划，惩罚的特征值的Koopman运营商在训练过程中。我们证明了两个合成数据集上的这些计划的实用性：驱动摆和流过去的圆柱体;和两个现实世界的问题：海洋表面温度和气旋风场。在这些数据集上，我们发现eigenloss和eigeninit将收敛速度提高了5倍，并且将累积长期预测误差降低了3倍。这一发现表明，在其他与物理学相关的深度学习方法中，将类似的方案作为归纳偏差是有用的。
2022-12-26 cs.LG math.DS
Sharp Spectral Rates for Koopman Operator Learning
Istituto Italiano di Tecnologia（意大利技术研究院）；University of Novi Sad（诺维萨德大学）；CMAP-Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院应用数学中心）；University College London（伦敦大学学院）
本文研究时间反演不变随机动力系统的 Koopman 谱学习，基于新型 minimax 算子范数界与度量畸变控制，首次给出 EDMD 和 RRR 的特征值及特征函数非渐近误差界。
2023-11-08 cs.LG math.DS
Resolvent-Based Singular-Value Diagnostics for Data-Driven Koopman Finite Sections
Graduate School of Science, Kyoto University（京都大学理学研究科）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project（理化学研究所先进智能项目中心）
本文提出通过构造伪余子算子来抑制Koopman算子谱分析中的谱污染，提升谱成分解析能力。
2026-08-04 math.DS nlin.CD
On the Convergence of Hermitian Dynamic Mode Decomposition
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
该研究证明了埃尔米特DMD在宽泛条件下其谱测度收敛于自伴库普曼算子的谱测度，建立了无界自伴算子有限截面谱测度收敛的通用定理，并通过二维薛定谔方程数值验证了结果。
2024-10-07 cs.LG cs.NA math.DS
Automatic feature identification in least-squares policy iteration using the Koopman operator framework
Department of Computer Science & Lamarr Institute, TU Dortmund University, Germany（德国多特蒙德工业大学计算机科学系与拉马尔研究所）
本文提出了一种基于Koopman自动编码器的最小二乘策略迭代算法（KAE-LSPI），通过扩展动态模式分解（EDMD）重构线性强化学习中的特征学习问题，无需预先设定特征或核函数，实验表明其在特征数量和策略收敛性上表现良好。
2026-11-09 cs.LG math.DS
An Introductory Guide to Koopman Learning
Department of Applied Mathematics & Theoretical Physics, University of Cambridge（应用数学与理论物理系，剑桥大学）；Department of Mathematics, University of Zagreb（数学系， Zagreb大学）；Department of Mathematical Sciences, Rensselaer Polytechnic Institute（数学科学系，Rensselaer理工学院）
本文为Koopman学习提供入门指南，涵盖严格收敛的数据驱动预测与谱分析方法，包括残差误差控制、广义拉普拉斯分析收敛性证明及连续谱计算技术，旨在为新手和专家提供清晰的技术概览。
2025-10-24 cs.LG cs.NA math.DS
The exact convergence rate in the ergodic theorem of Lubotzky Phillips Sarnak
当保测变换的作用群是自由的，且平均值取在由字度量定义的球面或球上时，我们计算了von Neumann型遍历定理的精确收敛速度.依靠上界的库普曼运营商推导出的频谱Lubozky，菲利普斯，Sarnak从Deligne的工作的Weil猜想，我们计算精确的收敛速度的自由群（秩$(p+1)/2$，其中$p\equiv 1\mod 4$是素数）的等距的圆形球面定义的Lipschitz四元数。我们还表明，任何有限秩自由群的自同构的环面实现了最低可能的差异，并证明了匹配的上界的收敛速度。
2019-03-08 math.DS
The mpEDMD Algorithm for Data-Driven Computations of Measure-Preserving Dynamical Systems
University of Cambridge（剑桥大学）
Koopman算子使非线性动力系统全局线性化，其谱信息是分析和分解非线性动力系统的有力工具。然而，Koopman算子是无限维的，计算它们的谱信息是一个相当大的挑战。本文介绍了保测扩展动态模式分解（$\texttt{mpEDMD}$），它是第一种截断方法，其特征分解收敛于一般保测动力系统的Koopman算子的谱量。$\texttt{mpEDMD}$是一种基于正交Procrustes问题的数据驱动算法，该算法使用可观测量的通用字典强制执行Koopman算子的测量保持截断。它灵活且易于与任何预先存在的DMD类型方法以及不同类型的数据一起使用。我们证明了收敛的$\texttt{mpEDMD}$的投影值和标量值的谱测度，频谱和Koopman模式分解。对于延迟嵌入（Krylov子空间）的情况下，我们的结果包括第一收敛速度的近似谱测度的字典的大小增加。我们证明了$\texttt{mpEDMD}$在一系列具有挑战性的例子，其增加的鲁棒性噪声相比，其他DMD型的方法，它能够捕捉能量守恒和级联的实验测量的湍流边界层流动的雷诺数$> 6\times 10^4$和状态空间维度$>10^5$。
2022-09-06 cs.LG cs.NA math.DS
Rigged Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Generalized Eigenfunction Decompositions for Koopman Operators
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
提出数据驱动的 Rigged DMD，通过预解式、波包逼近和时间延迟装备 Hilbert 空间实现 Koopman 算子离散与连续谱的广义特征函数分解，并证明高阶收敛。
2024-12-02 cs.LG cs.NA math.DS
Finite-data error bounds for Koopman-based prediction and control
Koopman算子已经成为动态（控制）系统的数据驱动近似的重要工具，例如，通过扩展的动态模式分解。尽管它的流行，收敛结果，特别是，误差界仍然是稀缺的。在本文中，我们推导出概率界的近似误差和预测误差的训练数据点的数量，为普通和随机微分方程，而使用遍历轨迹或独立同分布。样品我们通过一个例子来说明这些界限与Ornstein-Uhlenbeck过程。此外，我们扩展我们的分析（随机）非线性控制仿射系统。我们证明了误差估计以前提出的方法，利用Koopman发电机的线性度，以获得一个双线性代理控制系统，因此，规避了灾难的维数，因为该系统是不是通过增加状态的控制输入。据我们所知，这是第一个有限数据误差分析的随机和/或控制设置。最后，我们证明了双线性方法的有效性，通过比较它与国家的最先进的技术，显示其优越性时，状态和控制耦合。
2022-02-15 math.DS math.OC math.PR
Koopman-based lifting techniques for nonlinear systems identification
University of Namur（南纳姆大学）；Luxembourg Centre for Systems Biomedicine, University of Luxembourg（卢森堡系统生物医学中心，卢森堡大学）
本文提出了一种基于Koopman算子框架的新型非线性系统辨识提升技术，通过在观测空间中识别线性（无限维）Koopman算子，而非在状态空间中识别非线性系统，从而实现了对非线性系统的线性辨识方法。该方法无需计算时间导数，适用于采样率较低的数据集，并通过两种数值方案（主方法和对偶方法）展示了其在不同有限维子空间近似中的应用。
2019-04-24 cs.SY eess.SY math.DS
Koopman Kernel Regression
TU Munich（慕尼黑工业大学）；LMU Munich（慕尼黑大学）
本文提出库普曼核回归（KKR）框架，通过构造库普曼不变再生核希尔伯特空间将非线性预测转化为线性时不变系统，并在较弱假设下给出收敛性与泛化误差界，实验表明其预测性能优于现有方法。
2024-01-16 cs.LG cs.SY eess.SY
Residual Dynamic Mode Decomposition: Robust and verified Koopmanism
École Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；University of Cambridge（剑桥大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
动态模式分解（DMD）通过一系列简单的相干特征来描述复杂的动态过程。DMD经常用于理解湍流的基本特征，并且与Koopman算子密切相关。然而，由于Koopman算子的无限维性质，验证分解，等效于Koopman算子的计算谱特征，仍然是一个重大挑战。挑战包括虚假（非物理）模式，并处理连续光谱，这两个经常发生在湍流。由Colbrook & Townsend 2021引入的残差动态模式分解（ResDMD）通过与完整的无限维Koopman算子相关的残差的数据驱动计算克服了其中的一些挑战。ResDMD在误差控制下计算一般Koopman算子的谱和伪谱，并在显式高阶收敛定理下计算谱测度（包括连续谱）的平滑近似。因此，ResDMD提供了强大的和验证的库普曼主义。我们实现ResDMD和演示其应用程序在各种流体动力学的情况下，在不同的雷诺数，所产生的数值和实验数据。示例包括：圆柱体后的旋涡脱落;在湍流边界层中获得的热线数据;聚焦于壁面射流的粒子图像测速数据;以及激光诱导等离子体的声压信号。我们提出了一些优点的ResDMD，即，能够验证解决非线性，瞬态模式，并减少加宽效应的光谱计算。我们还讨论了如何一个新的模态排序的基础上的残差，使更高的精度与一个较小的字典比传统的模排序。这为在不牺牲准确性的情况下更好地动态压缩大型数据集铺平了道路。
2022-05-19 cs.LG cs.NA math.DS
Data-driven spectral analysis of the Koopman operator
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；Newcastle University（纽卡斯尔大学）
本文提出一种数据驱动方法，通过计算Koopman算子谱的细结构，结合Christoffel-Darboux核分离原子和绝对连续部分，并提供收敛保证，适用于大规模系统。
2018-08-24 cs.NA math.DS math.NA
Tensor network approximation of Koopman operators
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文提出基于张量网络的柯普曼算子近似方法，通过量子启发的结构实现正性保持的演算近似，应用于两个环上的动力系统。
2026-09-04 math.DS quant-ph
Koopman operators with intrinsic observables in rigged reproducing kernel Hilbert spaces
Kyoto University（京都大学）；RIKEN（理化学研究所）；NTT, Inc.（NTT公司）；The University of Osaka（大阪大学）
本文提出 JetEDMD 方法，利用 rigged 希尔伯特空间和 jets 结构提升 Koopman 操作符估计精度，并通过理论分析和实验验证其有效性。
2025-11-29 cs.LG math.DS math.FA
Sparse identification of nonlinear dynamics and Koopman operators with Shallow Recurrent Decoder Networks
University of Washington（华盛顿大学）
提出SINDy-SHRED方法，通过Gated Recurrent Units和浅层解码器网络联合解决时空数据的传感与模型识别问题，在精度、效率和可解释性上优于现有基线模型。
2025-04-01 cs.AI cs.LG math.DS
Singular Dynamic Mode Decompositions
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）
这份手稿的目的是解决几个长期存在的局限性，动态模式分解的应用Koopman分析。这些限制中的原则是相关的动态模式分解算法的收敛性和Koopman模式的存在。为了解决这些限制，两个主要的修改，其中Koopman运营商被从分析中删除的Liouville运营商（在特殊情况下称为Koopman发电机），这些运营商被证明是紧凑的某些对希尔伯特空间分别选择作为域和范围的运营商。虽然本征函数在一般分析中被丢弃，但仍然证明了可行的重建算法，并且本征函数的牺牲实现了DMD分析的理论目标，这些目标在其他情况下尚未实现。然而，在域嵌入在范围中的情况下，特征函数方法仍然是可实现的，其中建立了更典型的DMD例程，但是其利用了在范数中收敛的有限秩表示。手稿最后描述了两种动态模式分解算法，当从数据中产生的密集的占用内核集合在分析中被利用时，该算法收敛。
2021-06-13 cs.LG cs.NA cs.SY
Multiplicative Dynamic Mode Decomposition
Department of Mathematics, Imperial College London（帝国理工学院数学系）；Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge（剑桥大学应用数学与理论物理系）
本文提出乘性动态模式分解（MultDMD），通过强制保持 Koopman 算子的乘性结构来指导可观测量选择并求解约束优化问题，从而更准确地反映谱性质，并在多个非线性系统中展现出强噪声鲁棒性。
2025-06-05 cs.LG cs.NA math.DS
Adversarial dynamical systems characterize when data-driven learning succeeds or fails
DAMTP, University of Cambridge（剑桥大学DAMTP）
通过对抗动力系统界定数据驱动学习的可行性边界，在Koopman算子学习中给出收敛性与不可能性结果，并在北极海冰预测中超越现有模型。
2026-06-24 cs.LG cs.NA math.DS
