通过近似Koopman特征函数构建认证Lyapunov函数的核方法
Kernel Methods for the Construction of Certified Lyapunov Functions via Approximate Koopman Eigenfunctions
AI总结：
本文提出一种基于核的方法，利用近似Koopman特征函数构建非线性系统的Lyapunov函数，并通过误差界和CPA方法进行认证。
摘要：
我们提出了一种基于核的方法，用于使用近似Koopman特征函数构建非线性动力系统中的Lyapunov函数。我们的方法将主Koopman特征函数分解为线性和非线性部分，其中线性部分来自系统的线性化，而非线性部分通过在再生核希尔伯特空间（RKHS）中使用对称核置标法求解偏微分方程来计算。所得到的Lyapunov函数被构造为近似特征函数的二次型。我们建立了误差界，将近似质量与置标点的填充距离联系起来，并提供了一种使用连续分段仿射（CPA）方法进行认证的程序。在多项式系统和杜芬振子等基准系统上的数值实验展示了我们方法的有效性。
英文摘要：
We present a kernel-based methodology for constructing Lyapunov functions for nonlinear dynamical systems using approximate Koopman eigenfunctions. Our approach decomposes principal Koopman eigenfunctions into linear and nonlinear components, where the linear part is obtained from the system's linearization and the nonlinear part is computed by solving a partial differential equation using symmetric kernel collocation in reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS). The resulting Lyapunov function is constructed as a quadratic form in the approximate eigenfunctions. We establish error bounds relating the approximation quality to the fill distance of collocation points and provide a certification procedure using continuous piecewise affine (CPA) methods. Numerical experiments on benchmark systems, including a polynomial system and the Duffing oscillator, demonstrate the effectiveness of our approach.
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