Koopman Operator Spectrum for Random Dynamical Systems
本文考虑离散和连续时间随机动力系统（RDS）中的Koopman算子。我们提供的结果，与不同类型的线性RDS的随机Koopman运营商的频谱和特征函数的特征。然后，我们考虑RDS的相关的Koopman算子族是一个半群，特别是那些可以确定的生成元。本文定义了一种随机HankelDMD（sHankel-DMD）算法，用于随机Koopman算子的谱对象（特征值、特征函数）的数值逼近，并证明了其收敛性.我们将该方法应用于各种示例，揭示了随机Koopman算子的谱扩展中的对象，并使模型简化。
2019-01-16 math.DS
De-Biasing the Dynamic Mode Decomposition for Applied Koopman Spectral Analysis
动态模式分解（DMD）--一种流行的方法，用于执行数据驱动的Koopman频谱分析-已获得越来越多的采用，作为一种技术，用于从快照测量中提取动态有意义的时空描述的流体流动。通常，DMD描述也可以用于预测目的，这使得能够基于DMD模型预测做出明智的决策。尽管DMD的广泛使用和实用性，但当测量的快照数据不精确时，DMD经常无法产生准确的动态描述，例如，传感器噪声在这里，我们表示DMD作为一个两阶段的算法，以隔离源的系统误差。我们表明，DMD的第一阶段，子空间投影步骤，系统地介绍了处理快照不对称的偏差误差。为了消除这种系统误差，我们建议利用一个增广的快照矩阵在子空间投影步骤中，在总最小二乘的问题，以占所有快照中存在的错误。由此产生的无偏和噪声感知的总DMD（TDMD）配方减少到标准DMD的快照错误的情况下，而两阶段的角度概括的去偏框架，以及其他相关的方法。TDMD的性能在数值和实验流体的例子证明。
2015-10-26 math.DS physics.data-an physics.flu-dyn
Forced-Term Modeling in the Koopman Framework for Linear Operator Learning in Nonlinear Dynamical Systems
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Universität Bonn（波恩大学）；Institut für Numerische Simulation, Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；Fraunhofer SCAI（弗劳恩霍夫SCA）；Fraunhofer SCAI, Sankt Augustin（圣奥古斯丁弗劳恩霍夫SCA）
针对非线性周期系统，提出基于缺陷空间建模的CB-DMD方法，通过强迫项吸收非线性成分，学习更可靠的自主线性算子，实验验证优于标准DMD。
2026-09-29 math.DS
Ergodic theory, Dynamic Mode Decomposition and Computation of Spectral Properties of the Koopman operator
我们建立了一类数值算法的收敛性，被称为动态模式分解（DMD），用于计算无限维Koopman算子的特征值和特征函数。该算法作用于来自状态空间上的观测量的数据，该观测量以Hankel型矩阵排列。证明利用了基本的动力系统是遍历的假设。这包括经典的测度保持系统，以及吸引子支持物理测度的系统。我们的方法依赖于DMD中的向量投影可以用来近似的功能投影Birkhoff的遍历定理的美德的观察。利用这一事实，我们表明，应用DMD汉克尔数据矩阵的无限时间观测的限制产生真正的库普曼本征函数和本征值。我们还表明，奇异值分解，这是大多数DMD算法的核心部分，收敛到本征正交分解的可观。我们使用这个结果来获得一个表示的动态系统的连续谱的基础上提升的坐标空间的可观。这些方法的数值应用证明使用著名的动力系统和计算流体力学的例子。
2017-08-27 math.DS
Predicting periodic solutions of cyclic Lotka-Volterra equations with dynamic mode decomposition
Middle East Technical University（中东理工大学）；Sinop University（锡诺普大学）
研究用线性隐式Kahan方法求解常微分方程和偏微分方程形式的循环Lotka-Volterra系统，通过动态模式分解预测解，扩展DMD和汉克尔DMD能高精度预测周期解，且能准确保持哈密顿量和卡西米尔量。
2026-07-07 math.DS
Sparsity-promoting algorithms for the discovery of informative Koopman invariant subspaces
Koopman分解是特征分解的一种非线性推广，在时空动力学分析中得到越来越多的应用。众所周知的技术，如动态模式分解（DMD）及其线性变体提供近似的Koopman算子，并已被广泛应用于许多流体动力学问题。尽管被赋予了一个更丰富的字典的非线性观测，DMD的非线性变体，如扩展/内核动态模式分解（EDMD/KDMD）很少应用于大规模的问题，主要是由于难以辨别的Koopman不变子空间从成千上万的Koopman特征模。为了解决这个问题，我们提出了一个框架的基础上多任务特征学习，以提取最丰富的Koopman不变子空间，通过删除冗余和虚假的Koopman三元组。特别是，我们开发了一个修剪程序，惩罚偏离线性演化。这些算法可以被看作是稀疏促进EDMD/KDMD的扩展。此外，我们将KDMD扩展到连续时间设置，并从非凸优化的角度显示本算法，稀疏促进DMD和经验标准之间的关系。从简单的动力系统到不同雷诺数下的二维圆柱尾流和三维湍流舰船空气尾流的算例都证明了该算法的有效性。后两个问题的设计，使得非常强的非线性瞬态存在，因此需要一个准确的近似Koopman运营商。基本的物理机制进行了分析，重点是表征瞬态动力学。结果与现有的理论阐述和数值逼近。
2021-01-02 math.DS physics.flu-dyn stat.ML
Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control
在这项工作中，我们探索有限维线性表示的非线性动力系统限制的Koopman算子的一个不变子空间。Koopman算子是一个无穷维线性算子，它演化出动力系统状态空间的可观测函数[Koopman 1931，PNAS]。Koopman展开中的主导项通常使用动态模式分解（DMD）来计算。DMD使用状态变量的线性测量，最近的研究表明，这对于非线性系统可能限制太多[Williams等人，2015，JNLS]。选择非线性可观测函数来形成不变子空间，在该子空间中可以获得线性模型，特别是那些对控制有用的线性模型，这是一个公开的挑战。在这里，我们调查的可观测函数的选择库普曼分析，使非线性问题的最优线性控制技术的使用。首先，为了包括系统状态的成本，如在线性二次调节器（LQR）控制中，将这些状态包括在可观测子空间中是有帮助的，如在DMD中。然而，我们发现这只有在存在单个孤立不动点时才有可能，因为具有多个不动点或更复杂吸引子的系统不是全局拓扑共轭到有限维线性系统，并且不能由包括状态的有限维线性Koopman子空间表示。然后，我们提出了一种数据驱动的策略，通过非线性函数空间中数据的稀疏回归，使用一种新算法确定动力系统中的项，来识别Koopman分析的相关可观测函数[Brunton et al. 2015，arxiv];我们展示了该算法与DMD的相关性。最后，我们展示了如何设计最优控制律的非线性系统使用的技术，从线…
2015-12-23 math.DS
PRONE: Petrov-Galerkin Operator Learning Unifies DMD, SINDy & Koopmanism
University of Cambridge（剑桥大学）；Autodesk Research（欧特克研究院）
提出Petrov-Galerkin回归框架PRONE，通过非对称字典映射统一多种数据驱动动力学方法，利用奇异模态替代特征模态实现非线性系统预测，在混沌映射等任务中以更少参数超越DeepONet等模型。
2026-06-29 math.DS
Invariant Consistent Dynamic Mode Decomposition
本研究对动态模式分解（DMD）进行扩展，通过加入可观测量函数关系、沿几何不变量一致性两类线性约束，既为理解多种DMD变体提供框架，又能估计特征值为1的Koopman特征函数以刻画不变集，且计算成本增加极小。
2023-12-13 math.DS math.OC physics.data-an
Geometric Considerations of a Good Dictionary for Koopman Analysis of Dynamical Systems: Cardinality, 'Primary Eigenfunction,' and Efficient Representation
Clarkson University（克拉克森大学）；Clarkson Center for Complex Systems Science（克拉克森复杂系统科学中心）
用简化模态表示动力系统是降阶建模的核心前提，也是日益流行的Koopman算子分析的DMD（动态模态分解）经验解释的主要关注点。在最优逼近和降阶建模的精神下，DMD方法和变体的目标是尽可能最好地将动态演化描述为适当变换的低秩空间中的线性演化。库普曼本征函数遵循可通过特征线法求解的线性偏微分方程，产生了几何和代数性质之间的几种有趣关系。对应于在数据表面上任意定义函数的自由，对于每个特征值，存在沿着特征发出的无限多个特征函数。我们专注于对比基数和等价性。特别是，我们引入了一个等价类，“主本征函数”，由那些本征函数相同的水平集，这有助于对比代数多重性从其他几何方面。通常，Koopman方法，特别是动态模式分解（DMD）和变体，允许数据驱动的研究如何可测函数沿轨道演变。据我们所知，还没有一个深入的研究有关的基础几何结构，一个有效的表示。我们提出了一个建设，导致功能的数据表面上，其相应的特征函数是有效的最小二乘意义上。我们称这种构造为最优库普曼本征函数DMD，（oKEEDMD），我们强调的例子。
2021-03-24 cs.LG math.DS
Extended dynamic mode decomposition with dictionary learning: a data-driven adaptive spectral decomposition of the Koopman operator
Koopman算子的数值逼近方法在过去的几年里有了很大的发展。特别是，数据驱动的方法，如动态模式分解（DMD）及其推广，扩展DMD（EDMD），在实际应用中变得越来越流行。EDMD改进了经典的DMD，包括一个灵活的选择字典的观测值，跨越一个有限维的子空间上的Koopman算子可以近似。这提高了解决方案的重建的准确性，并扩大了Koopman形式主义的适用性。虽然EDMD的收敛性已经建立，但在实践中应用该方法需要仔细选择观测量，以提高收敛性，只有有限数量的条款。这对于高维和高度非线性系统尤其困难。在本文中，我们采用机器学习的思想来改进EDMD方法。我们开发了一种迭代逼近算法，该算法将EDMD与由人工神经网络表示的可训练字典耦合在一起。以Duffing振荡器和Kuramoto Sivashinsky PDE为例，我们证明了我们的算法可以有效地使可训练字典适应手头的问题，以实现良好的重建精度，而无需事先选择固定的字典。此外，为了获得给定的准确度，我们需要更少的字典条款比EDMD与固定的字典。这消除了EDMD算法的一个重要缺点，增强了Koopman框架对实际问题的适用性。
2017-07-02 math.DS
Dynamic mode decomposition in vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces for extracting dynamical structure among observables
Nagoya University（名古屋大学）；RIKEN（理化学研究所）；Kyushu University（九州大学）
理解非线性动力系统（NLDSs）在各种工程和科学领域都具有挑战性。动态模态分解（DMD）是一种用于Koopman算子谱分析的数值算法，作为一种无需先验知识即可获得NLDSs全局模态描述的方法，一直受到人们的关注。然而，由于现有的DMD算法原则上是基于标量观测量的级联来制定的，因此它不直接适用于观测量之间具有依赖结构的数据，例如，采用图序列的形式。在本文中，我们制定了Koopman谱分析的NLDSS与结构之间的可观的问题，并提出了一个估计算法。该方法可以从观测数据中提取和可视化具有结构的NLDSs的低维全局动力学，这对于理解NLDSs的潜在动力学是有用的。为此，我们首先制定的问题，估计定义在向量值再生核希尔伯特空间中的Koopman算子的谱，然后开发一个估计过程，这个问题通过重新制定张量为基础的DMD。作为我们的方法的一个特殊情况下，我们提出的方法命名为图DMD，这是一个数值算法的Koopman谱分析的图动力系统，使用一系列的邻接矩阵。我们通过使用合成和真实世界的数据来研究我们的方法的经验性能。
2019-05-17 cs.LG math.DS stat.ML
Clarifying the effect of mean subtraction on Dynamic Mode Decomposition
本文研究时间均值减去对动态模式分解的影响，证明在线性一致且模型阶数超过Koopman模式数时DMD不可能等价于离散傅里叶变换，并指出二者等价可反映训练数据不足。
2025-03-08 eess.SP math.DS physics.data-an
Rigged Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Generalized Eigenfunction Decompositions for Koopman Operators
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
提出数据驱动的 Rigged DMD，通过预解式、波包逼近和时间延迟装备 Hilbert 空间实现 Koopman 算子离散与连续谱的广义特征函数分解，并证明高阶收敛。
2024-12-02 cs.LG cs.NA math.DS
Functional dynamic mode decomposition: Learning infinite-dimensional systems from data
Heriot–Watt University（赫瑞-瓦特大学）；Maxwell Institute for Mathematical Sciences（麦克斯韦数学科学研究所）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文提出函数动态模式分解（Functional DMD），将传统DMD扩展到无限维系统，从函数数据学习有限秩算子，并证明传统DMD是其特例，应用于Koopman、Perron-Frobenius和Koopman-von Neumann算子。
2026-09-25 cs.LG math.DS stat.ML
Latent Modes of Nonlinear Flows -- a Koopman Theory Analysis
提取复杂的非线性局部和非局部流的潜在结构对于它们的分析和建模是必不可少的。在这项工作中，我们试图通过Koopman理论及其相关的流行的离散逼近-动态模式分解（DMD）提供一个一致的框架。我们调查的条件进行适当的线性化，降维，并表示在一个高度普遍的设置流。这个框架的基本要素是库普曼本征函数（KEF），其存在条件制定。这是通过将动态视为状态空间中的曲线来完成的。这些条件为非线性动力学的系统重构、全局能控性和能观性奠定了基础。我们通过对Koopman理论的分析，研究了DMD的局限性，并提出了一种新的模式分解技术的基础上的动力学的典型时间剖面。一个过完备的字典的衰减配置文件是用来稀疏近似的流量。这种分析在基于变分法的库普曼理论的全连续环境下也是有效的。我们展示了这种分析的应用，如寻找KEF和他们的多重性，动力学重建，和全球线性化。
2021-12-22 math.DS
Deep Embedded Multiplicative DMD for Algebra-Preserving Koopman Learning
Department of Mathematics, Imperial College London（帝国理工学院数学系）；Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge（剑桥大学应用数学与理论物理系）
提出DeepMDMD方法，通过结合深度学习和乘法DMD，在潜空间中施加Koopman乘积规则作为代数约束，学习紧凑且动态一致的字典，实现稳定预测和谱污染减少。
2026-06-03 cs.LG cs.NA math.DS
Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是描述标量可观测量（即，状态的测量函数）在无限维希尔伯特空间中。这种算子理论的观点将有限维非线性系统的动力学提升到无限维函数空间，在那里原系统的演化变成线性的。在本文中，我们提供了一个简短的总结Koopman算子定理的非线性动力学建模，并专注于分析几个数据驱动的实现，使用动态模式分解（DMD）的自治和控制的规范问题。我们应用扩展的动态模式分解（EDMD），以确定领先的Koopman本征函数和近似的有限维表示所发现的线性动力学。这使我们能够对非线性系统应用线性控制方法，而无需在不动点附近进行线性化近似。然后，我们可以检查使用的线性控制器的基础上的Koopman算子近似系统的欠驱动系统的基本机动的保真度。我们通过对两个经典动力系统的数值模拟证明了这一理论的有效性，并展示了DMD方法对Koopman算子的评估和逼近及其在线性化这些系统时的有效性。
2021-10-16 cs.RO math.DS math.OC
System Norm Regularization Methods for Koopman Operator Approximation
McGill University（麦吉尔大学）
当考虑许多提升函数时，从数据近似Koopman算子在数值上具有挑战性。即使是低维系统也可能在高维提升空间中产生不稳定或病态的结果。本文将Koopman算子的两种近似方法--扩展动态模式分解（DMD）和带控制的DMD转化为带线性矩阵不等式约束的凸优化问题。渐近稳定性约束和系统范数正则化，然后纳入作为方法，以提高数值条件的Koopman运营商。具体地说，H ∞范数被用来惩罚Koopman系统的输入输出增益。然后应用加权函数来惩罚特定频率处的系统增益。这些约束和正则化器将双线性矩阵不等式约束引入到回归问题中，通过求解一系列凸优化问题来处理。使用飞机疲劳结构试验台和软机器人手臂的数据的实验结果突出了所提出的回归方法的优点。
2022-08-09 cs.LG cs.SY eess.SY
Koopman Operator and its Approximations for Systems with Symmetries
具有对称性的非线性动力系统表现出丰富多样的行为，包括复杂的吸引子-盆画像以及增强和抑制的分叉。对称性论证提供了一种研究这些集体行为并简化其分析的方法。Koopman算子是一个无限维的线性算子，它通过状态空间的函数的线性演化来完全捕获系统的非线性动力学。重要的是，与局部线性化相比，它保留了系统的全局非线性特征。我们演示了对称性的存在如何影响Koopman算子的结构及其谱性质。事实上，我们表明，对称性的考虑也可以简化使用扩展和内核的动态模式分解方法（EDMD和内核DMD）的Koopman算子近似。具体来说，表示论使我们能够证明，一个同型组件的基础上诱导块对角结构的运营商近似，揭示隐藏的组织。实际上，如果数据是对称的，则可以修改EDMD和核DMD方法以更有效地计算Koopman算子近似及其本征值、本征函数和本征模。完成的发展，我们讨论了测量噪声的影响。
2019-04-25 cond-mat.dis-nn math.DS math.GR
Dynamics-aware identification of governing equations from sparse and noisy data
The University of Osaka（大阪大学）；RIKEN（理化学研究所）
本文针对稀疏含噪数据下控制方程识别中导数估计不可靠的问题，提出基于Koopman的上采样预处理技术，经实验验证可提升ODE与PDE的识别性能，优于传统插值方法。
2026-08-03 cs.LG math.DS
The Distributional Koopman Operator for Random Dynamical Systems
本文引入分布Koopman算子（DKO），用于仅能获取聚合分布数据的随机动力系统的Koopman分析，无需粒子跟踪或轨迹数据，推广了SKO并证明DMD近似在大数据极限下收敛到DKO，适用于轨迹信息缺失的场景。
2025-04-15 math.DS
A concise introduction to Koopman operator theory and the Extended Dynamic Mode Decomposition
本文简明介绍了Koopman算子理论，并系统阐述其与DMD及核EDMD的联系，旨在以统一符号和理论-算法关联视角帮助读者更清晰地理解该领域。
2024-09-16 cs.NA math.DS math.NA
Learned Lifted Linearization Applied to Unstable Dynamic Systems Enabled by Koopman Direct Encoding
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出了一种Koopman提升线性化方法，它适用于具有稳定和不稳定区域的非线性动力系统。众所周知，DMD和其他标准的数据驱动方法在应用于不稳定系统时，在构建Koopman模型时面临根本困难。在这里，我们解决了这个问题，结合知识的非线性状态方程的学习方法，找到一组有效的可观的。在提升空间中，稳定区域和不稳定区域被分离成独立的子空间。基于这一特性，我们建议通过神经网络训练，其中训练数据分为稳定和不稳定的轨迹，找到有效的可观。所得到的学习的观测量用于构造一个线性的状态转移矩阵，使用称为直接编码的方法，该方法通过与观测量的内积计算将非线性状态方程转换为状态转移矩阵。所提出的方法显示了显着的改善，现有的DMD和数据驱动的方法。
2023-01-16 cs.LG cs.SY eess.SY
A Short Introduction to the Koopman Representation of Dynamical Systems
Koopman表示是线性或非线性动力系统的无限维线性表示。它表示输出映射（也称为可观测量）的动态，输出映射是状态空间上的函数，其求值被解释为输出。概念上简单的推导和评论的库普曼表示。我们强调初始条件和输出映射的原始系统，和那些库普曼表示之间的重要的对偶性。当这种表示用于数据驱动的应用程序（如动态模式分解（DMD）及其变体）时，这种二元性是一个重要的考虑因素。Koopman表示和质量输运的转移算子之间的伴随关系也被示出。
2022-05-17 cs.SY eess.SY math.DS
Data-Driven Approximation of Transfer Operators: Naturally Structured Dynamic Mode Decomposition
本文提出了一种新的算法，用于从时间序列数据中逼近线性转移Koopman和Perron-Frobenius算子。我们认为，现有的方法，如动态模式分解（DMD）和扩展的动态模式分解（EDMD）的有限维近似的这些转移运营商没有捕捉到这些运营商的两个重要性质，即积极性和马尔可夫性。我们在本文中提出的算法保持这两个属性。我们称该算法为自然结构DMD，因为它保留了这些运营商的固有属性。自然结构的DMD算法导致关于计算Koopman和Perron-Frobenius算子本征函数和本征值的系统的稳态动力学的更好的近似。然而，保持积极的性质是至关重要的捕捉系统的真实瞬态动力学。传递算子的正性及其有限维逼近对应用传递算子方法从时间序列数据设计非线性系统的控制器和估计器也有重要意义。
2017-09-26 math.DS
The Multiverse of Dynamic Mode Decomposition Algorithms
University of Cambridge（剑桥大学）
本综述系统梳理动态模式分解（DMD）算法，将其分为线性回归、Galerkin逼近和保结构三类，并强调与Koopman算子谱性质的联系，提供MATLAB包作为实用指南。
2023-12-21 cs.LG cs.NA math.DS
Beyond expectations: Residual Dynamic Mode Decomposition and Variance for Stochastic Dynamical Systems
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Allen Institute（艾伦研究所）；University of Washington（华盛顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对随机动力系统中Koopman算子谱验证的空白，本文提出将方差纳入框架，通过额外DMD型矩阵近似残差与方差，实现谱性质的验证计算，并引入方差伪谱以揭示标准期望模型无法获得的生理信息。
2023-11-10 cs.LG cs.NA math.DS
Residual Dynamic Mode Decomposition: Robust and verified Koopmanism
École Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；University of Cambridge（剑桥大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
动态模式分解（DMD）通过一系列简单的相干特征来描述复杂的动态过程。DMD经常用于理解湍流的基本特征，并且与Koopman算子密切相关。然而，由于Koopman算子的无限维性质，验证分解，等效于Koopman算子的计算谱特征，仍然是一个重大挑战。挑战包括虚假（非物理）模式，并处理连续光谱，这两个经常发生在湍流。由Colbrook & Townsend 2021引入的残差动态模式分解（ResDMD）通过与完整的无限维Koopman算子相关的残差的数据驱动计算克服了其中的一些挑战。ResDMD在误差控制下计算一般Koopman算子的谱和伪谱，并在显式高阶收敛定理下计算谱测度（包括连续谱）的平滑近似。因此，ResDMD提供了强大的和验证的库普曼主义。我们实现ResDMD和演示其应用程序在各种流体动力学的情况下，在不同的雷诺数，所产生的数值和实验数据。示例包括：圆柱体后的旋涡脱落;在湍流边界层中获得的热线数据;聚焦于壁面射流的粒子图像测速数据;以及激光诱导等离子体的声压信号。我们提出了一些优点的ResDMD，即，能够验证解决非线性，瞬态模式，并减少加宽效应的光谱计算。我们还讨论了如何一个新的模态排序的基础上的残差，使更高的精度与一个较小的字典比传统的模排序。这为在不牺牲准确性的情况下更好地动态压缩大型数据集铺平了道路。
2022-05-19 cs.LG cs.NA math.DS
On the Convergence of Hermitian Dynamic Mode Decomposition
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
该研究证明了埃尔米特DMD在宽泛条件下其谱测度收敛于自伴库普曼算子的谱测度，建立了无界自伴算子有限截面谱测度收敛的通用定理，并通过二维薛定谔方程数值验证了结果。
2024-10-07 cs.LG cs.NA math.DS
On Koopman Operator for Burgers' Equation
考虑了$L^2([0,1])$中Burgers方程在开（小）函数集上的流动.我们明确地推导出了Burgers流的Koopman分解。我们确定的频率和系数的分解的特征值和特征泛函的Koopman运营商。我们证明了小柯西数据的$t>0$的Koopman分解的收敛性，以及正则柯西数据的$t=0$。收敛到$t=0$ }导致Koopman模式的基础的“完整性”属性。我们构造了所有的模式和本征泛函，包括涉及几何重数的本征空间。这超出了（Page & Kerswell，2018）提供的求和公式，其中每个特征值只给出一项。给出了Koopman分解的数值例子，并将Koopman特征值与动态模式分解（DMD）的特征值进行了比较。
2021-04-24 math-ph math.DS math.MP
Data driven modal decompositions: analysis and enhancements
University of Zagreb（萨格勒布大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；AIMdyn, Inc.（AIMdyn公司）
本文改进了动态模态分解（DMD），通过数据驱动公式选择Ritz对，提升Koopman算子的谱信息精度，并在加权内积空间中扩展了DMD的应用，通过数值实验验证了改进方法DDMD_RRR的优势。
2017-08-09 cs.NA math.DS math.NA
A Data-Driven Approximation of the Koopman Operator: Extending Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是一种线性但无限维的算子，它控制着自治动力系统状态空间上标量观测量的演化，是分析和分解非线性动力系统的有力工具。在这篇手稿中，我们提出了一个数据驱动的方法近似的领先的本征值，本征函数，和模式的库普曼运营商。该方法需要一个数据集的快照对和一个字典的标量观测，但不需要明确的控制方程或相互作用的“黑匣子”积分。我们将表明，这种方法实际上是动态模式分解（DMD）的扩展，它已被用来近似Koopman特征值和模式。此外，如果提供给该方法的数据是由马尔可夫过程而不是确定性动力系统生成的，则该算法近似于Kolmogorov向后方程的本征函数，这可以被认为是“随机Koopman算子”[1]。最后，四个说明性的例子：两个突出的定量性能的方法时，无论是确定性或随机数据，和两个显示潜在的应用Koopman特征函数。
2014-08-19 math.DS
On Few Shot Learning of Dynamical Systems: A Koopman Operator Theoretic Approach
在本文中，我们提出了一种新的算法学习的Koopman算子的动力系统从\textit{small}量的训练数据。在数据驱动建模的许多应用中，例如生物网络建模、网络安全、物联网建模或智能电网监控，不可能以足够高的采样频率获得定期采样的时间序列数据。在这种情况下，现有的动态模式分解（DMD）或扩展的动态模式分解（EDMD）算法的Koopman算子计算往往会导致低保真度近似Koopman算子。为此，本文提出了一种算法，可以有效地计算Koopman算子时，训练数据集是稀疏采样的时间。特别是，该算法通过添加人工数据点来丰富小训练数据集，这些数据点被视为噪声观测。然后，使用来自鲁棒优化的技术，使用较大的，尽管有噪声的数据集来计算Koopman算子。所提出的算法的有效性也证明了三个不同的动力系统，即一个线性网络的振荡器，一个非线性系统和一个动力系统由偏微分方程（PDE）。
2021-03-07 math.DS
The mpEDMD Algorithm for Data-Driven Computations of Measure-Preserving Dynamical Systems
University of Cambridge（剑桥大学）
Koopman算子使非线性动力系统全局线性化，其谱信息是分析和分解非线性动力系统的有力工具。然而，Koopman算子是无限维的，计算它们的谱信息是一个相当大的挑战。本文介绍了保测扩展动态模式分解（$\texttt{mpEDMD}$），它是第一种截断方法，其特征分解收敛于一般保测动力系统的Koopman算子的谱量。$\texttt{mpEDMD}$是一种基于正交Procrustes问题的数据驱动算法，该算法使用可观测量的通用字典强制执行Koopman算子的测量保持截断。它灵活且易于与任何预先存在的DMD类型方法以及不同类型的数据一起使用。我们证明了收敛的$\texttt{mpEDMD}$的投影值和标量值的谱测度，频谱和Koopman模式分解。对于延迟嵌入（Krylov子空间）的情况下，我们的结果包括第一收敛速度的近似谱测度的字典的大小增加。我们证明了$\texttt{mpEDMD}$在一系列具有挑战性的例子，其增加的鲁棒性噪声相比，其他DMD型的方法，它能够捕捉能量守恒和级联的实验测量的湍流边界层流动的雷诺数$> 6\times 10^4$和状态空间维度$>10^5$。
2022-09-06 cs.LG cs.NA math.DS
Enforcing LLM Safety through DMD-based Classification of Prompt-Response Embedding Dynamics
University of Tennessee（田纳西大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文将幻觉检测的动力系统框架扩展到LLM安全分类，通过拟合安全与不安全状态的Koopman模型，利用差分残差评分分类不安全输出，在多基准测试中验证了纳入提示嵌入的改进效果。
2026-08-21 cs.AI math.DS
Sketching Methods for Dynamic Mode Decomposition in Spherical Shallow Water Equations
动态模式分解（DMD）是一种新兴的方法，最近吸引了计算科学家的非侵入性降阶建模工作。DMD所具有的主要优势之一是具有来自Koopman逼近论的基础理论根源。事实上，DMD可以被视为著名的库普曼算子的数据驱动实现。尽管如此，DMD的稳定实现导致计算输入数据矩阵的奇异值分解。这反过来又使得该过程对高维系统的计算要求很高。为了减轻这一负担，我们开发了一个框架的基础上草图的方法，其中一个矩阵的草图是简单的另一个矩阵，这是显着较小，但仍然充分近似的原始系统。这种绘制或嵌入是通过对输入矩阵应用具有某些属性的随机变换来执行的，以产生初始系统的压缩版本。因此，许多昂贵的计算可以在较小的矩阵上进行，从而加速了原始问题的解决。我们进行的数值实验进行使用球形浅水方程作为一个原型模型的背景下，地球物理流。几种草图绘制方法的性能进行了评估，捕获的范围和范围的数据矩阵。与直接对原始输入数据进行操作的经典方法相比，所提出的基于草图的框架可以加速DMD算法的各个部分。这最终导致大量的计算增益，这对于高维系统的数字孪生至关重要。
2022-01-11 cs.NA math.DS math.NA
Singular Dynamic Mode Decompositions
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）
这份手稿的目的是解决几个长期存在的局限性，动态模式分解的应用Koopman分析。这些限制中的原则是相关的动态模式分解算法的收敛性和Koopman模式的存在。为了解决这些限制，两个主要的修改，其中Koopman运营商被从分析中删除的Liouville运营商（在特殊情况下称为Koopman发电机），这些运营商被证明是紧凑的某些对希尔伯特空间分别选择作为域和范围的运营商。虽然本征函数在一般分析中被丢弃，但仍然证明了可行的重建算法，并且本征函数的牺牲实现了DMD分析的理论目标，这些目标在其他情况下尚未实现。然而，在域嵌入在范围中的情况下，特征函数方法仍然是可实现的，其中建立了更典型的DMD例程，但是其利用了在范数中收敛的有限秩表示。手稿最后描述了两种动态模式分解算法，当从数据中产生的密集的占用内核集合在分析中被利用时，该算法收敛。
2021-06-13 cs.LG cs.NA cs.SY
PyKoopman: A Python Package for Data-Driven Approximation of the Koopman Operator
University of Washington（华盛顿大学）；Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）
本文介绍PyKoopman，一个用于数据驱动逼近Koopman算子的Python包，基于DMD及其变体实现系统识别，支持预测、估计和控制非线性动力学，并提供代码示例和扩展建议。
2023-06-22 cs.LG cs.SY eess.SY
Analysis of tidal flows through the Strait of Gibraltar using Dynamic Mode Decomposition
本研究利用动态模态分解（DMD）分析直布罗陀海峡的三维环流模拟数据，分解出具有不同动力学特性的Koopman模态，揭示了该区域流场、内波、涡旋等复杂海洋现象的物理机制，验证了DMD在海洋数据分析中的应用价值。
2025-01-19 math.DS physics.flu-dyn stat.ML
A Koopman framework for rare event simulation in stochastic differential equations
利用随机Koopman算子和Kolmogorov倒向方程之间的关系，构造了随机微分方程的重要性抽样方案.具体地，我们提出使用随机Koopman算子的本征函数来近似感兴趣的可观测量的Doob变换（例如，与罕见事件相关联），这又产生对应的零方差重要性抽样估计量的近似。我们的方法是广泛适用的和系统的，治疗非正常系统，非梯度系统，和系统的振荡动力学或秩亏噪声在一个共同的框架。在非线性设置的随机库普曼特征函数不能推导出解析，我们使用动态模式分解（DMD）的方法来计算它们的数值，但框架是不可知的特定的数值方法。数值实验表明，即使是粗糙的近似的几个特征函数，后者是建立从非罕见的轨迹，可以产生有效的重要性抽样计划罕见的事件。
2022-02-07 math.DS math.PR stat.CO
Data-Driven Linearization of Dynamical Systems
针对 DMD/EDMD 适用假设过强的问题，本文基于慢 SSM 构造主导动力学的线性化变换，提出以概率一成立的局部领头阶约化解释及高阶 DDL 算法，并验证其优于 DMD 与 EDMD。
2024-08-05 math.DS nlin.CD
Resolvent-Based Singular-Value Diagnostics for Data-Driven Koopman Finite Sections
Graduate School of Science, Kyoto University（京都大学理学研究科）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project（理化学研究所先进智能项目中心）
本文提出通过构造伪余子算子来抑制Koopman算子谱分析中的谱污染，提升谱成分解析能力。
2026-08-04 math.DS nlin.CD
Data-driven discovery with Limited Data Acquisition for fluid flow across cylinder
The University of Texas at Tyler（德克萨斯大学泰勒分校）
针对有限数据采集下提取动力系统控制原理的挑战，本文提出一种基于Koopman算子并采用高斯随机矩阵的KeDMD变体，发现拉普拉斯核函数能有效生成流体流经圆柱实验的主导Koopman模式，并探讨了算子在RKHS上的理论特征。
2023-12-19 cs.LG math.CV math.DS
Another look at Residual Dynamic Mode Decomposition in the regime of fewer Snapshots than Dictionary Size
该研究针对快照数少于字典规模的场景，提出通过求解对偶最小二乘问题的新方法，消除了传统ResDMD对训练集与求积集两个数据集的需求，验证了其在多类动力系统的适用性，简化了应用并拓展了复杂系统动力学研究的潜力。
2024-03-09 cs.NA math.DS math.NA
A Low-complexity Structured Neural Network to Realize States of Dynamical Systems
Department of Mathematics, Embry-Riddle Aeronautical University（数学系，艾姆伯里-里德尔航空航天大学）；Seminar for Applied Mathematics, ETH Zurich（应用数学研讨会，苏黎世联邦理工学院）；Department of Mathematics & Systems Engineering, Florida Institute of Technology（数学与系统工程系，佛罗里达理工学院）
本文提出基于 Hankel 算子的结构化神经网络 StNN，以低参数和低计算复杂度求解状态空间动力系统，并在 Lotka-Volterra 与 Lorenz 系统中验证其优势。
2025-07-26 cs.LG math.DS
Modern Koopman Theory for Dynamical Systems
动力系统领域正在被现代计算和数据科学中出现的数学工具和算法所改变。第一原理推导和渐近约简正在让位于数据驱动的方法，这些方法在算子理论或概率框架中制定模型。Koopman谱理论在过去的十年中已经成为一个主导的观点，其中非线性动力学表示在一个无限维的线性算子的空间上的所有可能的测量功能的系统。这种非线性动力学的线性表示具有巨大的潜力，能够用为线性系开发的标准教科书方法来预测、估计和控制非线性系统。然而，获得有限维坐标系和嵌入的动力学似乎近似线性仍然是一个中心的开放的挑战。Koopman分析的成功主要归功于三个关键因素：1）存在将其与动力系统的经典几何方法联系起来的严格理论，2）该方法根据测量来制定，使其成为利用大数据和机器学习技术的理想选择，以及3）简单但功能强大的数值算法，例如动态模式分解（DMD），已经被开发和扩展，以减少库普曼理论在现实世界中的应用实践。在这篇综述中，我们提供了现代Koopman算子理论的概述，描述了最近的理论和算法的发展，并突出了这些方法的各种应用。我们还讨论了快速发展的机器学习领域的关键进展和挑战，这些进展和挑战可能会推动未来的发展，并显着改变动力系统的理论格局。
2021-10-29 cs.LG cs.SY eess.SY
Efficient Parametric SVD of Koopman Operator for Stochastic Dynamical Systems
Kim Jaechul Graduate School of AI, KAIST, Daejeon 34141, South Korea（韩国科学技术院人工智能研究生院）；Department of EECS, MIT, Cambridge, MA 02139, United States（麻省理工学院电子工程与计算机科学系）
本文提出了一种基于低秩近似的高效方法，用于学习随机动力系统Koopman算子的前k个奇异函数，以提高大规模系统的可扩展性和稳定性。
2026-01-17 cs.LG cs.NA math.DS
Deep Learning Enhanced Dynamic Mode Decomposition
Naval Information Warfare Center Pacific（太平洋海军信息战中心）；San Diego State University（圣地亚哥州立大学）；University of California Irvine（加州大学欧文分校）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
Koopman算子理论展示了如何将非线性动力系统表示为作用于系统的可观测量的希尔伯特空间的无限维线性算子。然而，确定这个无限维算子的相关模式和本征值可能是困难的。扩展动态模式分解（EDMD）是一种用于生成Koopman谱和模式的近似的方法，但是由于需要用户定义的可观测量，EDMD方法面临着自己的一组挑战。为了解决这个问题，我们探索使用自动编码器网络，同时找到最佳的家庭的观测值，这也产生了准确的嵌入流到一个空间的观测值和淹没的观测值回到流坐标。该网络导致流的全局变换，并通过EDMD和解码器网络提供未来状态预测。我们将这种方法称为深度学习动态模式分解（DLDMD）。该方法进行了测试，规范的非线性数据集，并显示产生的结果，优于标准DMD方法，并使数据驱动的预测标准DMD失败。
2022-03-15 cs.LG math.DS
Data-driven spectral analysis of the Koopman operator
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；Newcastle University（纽卡斯尔大学）
本文提出一种数据驱动方法，通过计算Koopman算子谱的细结构，结合Christoffel-Darboux核分离原子和绝对连续部分，并提供收敛保证，适用于大规模系统。
2018-08-24 cs.NA math.DS math.NA
Sparse Identification of Nonlinear Dynamics with Control (SINDYc)
从数据中识别控制方程是复杂动力系统建模和控制的关键步骤。在这里，我们研究的数据驱动的非线性动力系统的输入和强迫使用回归方法，包括稀疏回归的识别。具体来说，我们推广的稀疏识别的非线性动力学（SINDY）算法，包括外部输入和反馈控制。该方法的例子包括Lotka-Volterra捕食-食饵模型和强迫和控制的Lorenz系统。我们还将本算法与动态模式分解（DMD）和Koopman算子理论相结合，以提供更广泛的背景。
2016-05-21 math.DS
On the use of dynamic mode decomposition for time-series forecasting of ships operating in waves
为了保证有效载荷、船员和结构的安全，船舶必须表现出良好的耐波性、操纵性和结构响应性能，即使在恶劣的天气条件下也是如此。在这种情况下，预测方法的可用性将包括在模型预测控制方法可能是一个决定性因素。本文提出了一种基于动力模式分解（DMD）的数据驱动的无方程建模方法，用于预测船舶在波浪中的轨迹、运动和受力。DMD是一种数据驱动的建模方法，它通过一组具有相关频率的模式来提供可能的非线性系统动态的线性有限维表示。它的使用船舶在波浪中运行的讨论很少，其预报能力的系统分析仍然需要在这方面。在这里，一个统计分析的DMD预报能力的船舶在波浪中，包括标准和增强DMD。统计评估使用多个时间序列，研究输入/输出波的数量、时间步长、时间导数的影响，以及使用Hankel矩阵的时间序列的时移副本。预测能力的评估是基于四个指标：归一化均方根误差，皮尔逊相关系数，平均角度测量，和归一化平均最小/最大绝对误差。两个测试用例用于评估：自航5415 M在不规则船尾四分波中的航向保持和自由航行的自航KRISO集装箱船在规则波中的回转圆。结果总体上是有希望的，并显示如何状态增强（使用从四个到八个输入波，最多两个时间导数，和四个时移副本）提高DMD预测能力两个波相遇期间…
2022-11-07 math.DS physics.flu-dyn
Data-driven approximations of dynamical systems operators for control
Koopman和Perron Frobenius输运算子从根本上改变了我们处理动力系统的方式，甚至为强非线性动力学提供了线性表示。虽然这种线性表示对估计和控制有巨大的潜在好处，但传输算子是无限维的，这使得它们很难在数值上工作。获得这些算子的低维矩阵近似对于应用是至关重要的，并且动态模式分解已经迅速成为近似Koopman算子的标准数值算法。由于数据的日益丰富和DMD基于其在线性代数方面的简单框架的可扩展性的组合，相关方法已经看到了快速发展。在本章中，我们回顾了数据驱动的运输运营商控制特性的关键创新，提供了一个高层次和统一的视角。我们强调了稀疏性和控制方面的重要最新进展，并讨论了大数据和机器学习中的新兴方法。
2019-02-26 math.DS math.OC physics.data-an
