Bianchi-convex sets and a new maximum principle for the Ricci flow
Stine Franziska Beitz
我们引入了Bianchi-凸集的新概念，它是代数曲率张量凸集的推广，它的灵感来自于第二Bianchi恒等式。证明了里奇流的Hamilton最大值原理可以推广到Bianchi-凸集上。
We introduce the new notion of Bianchi-convex sets, a generalization of convex sets of algebraic curvature tensors inspired by the second Bianchi identity. It turns out that Hamilton's maximum principle for the Ricci flow can be generalized for Bianchi-convex sets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ricci solitons of three-dimensional Lorentzian Bianchi-Cartan-Vranceanu spaces
得到了三维Lorentzian Bianchi-Cartan-Vranceanu空间中齐次Ricci孤子的显式表达式。
Combinatorial differential geometry and ideal Bianchi-Ricci identities II - the torsion case
本文是arXiv：0809.1158的继续，讨论一般的，不一定是无挠的联络。它的特点是所有可能的系统的发电机的向量场值的运营商，自然依赖于一组向量场和线性连接，描述了这种运营商的空间的大小，并证明了存在的“理想”的基础上的运营商与给定的首项，满足（广义）Bianchi-Ricci身份没有纠正。
The local description of the Ricci and Bianchi identities for an h-normal N-linear connection on the dual 1-jet space J^{1*}(T,M)
本文描述了对偶1-jet空间J^{1*}（T，M）上的h-正规N-线性联络DΓ（N）的局部Ricci和Bianchi恒等式.为此，我们首先给出了DΓ（N）产生的挠率张量和曲率张量的局部可分辨（d-）适应分量的表达式，然后分析了它们所附加的局部Ricci恒等式.导出的偏转d-张量恒等式。最后，我们给出了局部Bianchi恒等式（在Cartan型h-正规N-线性联络的特殊情况下），它几何地连接了线性联络DΓ（N）的局部挠和曲率d-张量.
Ricci Flow Singularity for Triaxial Bianchi IX Metric
在这篇文章中，我们将找到一些四维流形上的初始三轴Bianchi IX度量的充分条件，当它在里奇流下流动时，由齐次S3叶的I型奇点发生。这项工作概括了Angenent和Isenberg对旋转对称流形的研究，以及Isenberg，Knopf和Sesum的工作，其中他们介绍了一些问题设置的解决方案。
Combinatorial differential geometry and ideal Bianchi-Ricci identities
我们将图复合形法应用于自然依赖于一组向量场和一个线性对称联络的向量场。我们刻画了所有可能的系统的生成元，包括经典的正规张量和共变导数。我们还描述了这样的运营商的空间的大小，并证明了存在一个“理想”的基础上的运营商与给定的首项，满足（广义）的Bianchi-Ricci身份没有校正项。
The Riemannian Bianchi identities of metric connections with skew torsion and generalized Ricci solitons
本文研究带完全反对称挠率的度量联络的曲率性质，推导了$\nabla$-爱因斯坦流形标量曲率与挠率的关系，给出了紧广义梯度Ricci孤立子为Ricci平坦的充要条件，还得到了这类联络满足两类黎曼比安基恒等式的条件及相关平坦性结论。
Eigenvalues under the Ricci flow of model geometries
本文研究了Laplace-Beltrami算子的第一特征值在模型几何的正规化里奇流下的演化行为.在每一个Bianchi类中，我们估计了特征值的导数.构造了Ricci流下的单调量并得到了特征值的上下界估计.
Eigenvalues of the Laplace operator with potential under the backward Ricci flow on locally homogeneous 3-manifolds
设$λ(t)$是局部齐性三维流形上后向里奇流下$-Δ+aR\, (a>0)$的第一特征值，其中$R$是数量曲率.在Bianchi的情况下，我们得到了$λ(t)$的上界和下界。特别是，我们表明，当后向里奇流收敛到一个亚黎曼几何适当的重新缩放后，$λ^{+}(t)$接近零，其中$λ^{+}(t)=\max\{λ(t),0\}$。
On compact Riemannian manifolds with convex boundary and Ricci curvature bounded from below
提出了一种新的方法来研究具有非负里奇曲率和严格凸边界或正里奇曲率和凸边界的紧致黎曼流形.制定了几项计划。建立了支持这些假设的部分结果。
On Ricci solitons whose potential is convex
本文研究了Ricci孤子的里奇曲率。特别地，我们证明了一个具有非负里奇曲率的完备梯度Ricci孤子是Ricci平坦的，并且它等距分裂一条直线，该孤子具有一个非常数凸势函数，该势函数具有满足积分条件的有限个加权狄利克雷积分.我们还证明了具有非常数凹势函数和有界里奇曲率的梯度Ricci孤子是非收缩的，因而其数量曲率至多有一个临界点.
Pluri-subharmonic functions on complex tori, Ricci curvature and convexity
我们表明，在环面流形，可以表征的里奇曲率的体积泛函的凸性方面的迹象。更一般地，我们讨论之间的关系（i）里奇曲率和体积，（ii）全实和拉格朗日子流形，（iii）pluri-下调和函数和凸。
Three-manifolds of positive Ricci curvature and convex weakly umbilic boundary
本文考虑具有弱脐边界（边界的第二基本型是度量的常数倍）的三流形。证明了如果初始流形具有正的里奇曲率且边界是凸的（非负的第二基本型），则它的度量可以通过里奇流变形为具有常曲率和全测地边界的度量.
One dimensional weighted Ricci curvature and displacement convexity of entropies
本文证明了Wasserstein空间上$1$加权里奇曲率的一个下界等价于熵的一个凸性。在此基础上，我们给出了一些插值不等式，如Pr'ekopa-Leindler不等式，Borel-Branscamp-Lieb不等式和Brunn-Minkowski不等式.
Homogeneous spaces, dynamics, cosmology: Geometric flows and rational dynamics
里奇流是光滑流形的黎曼度量空间中的抛物型发展方程。在某种程度上，爱因斯坦方程也会产生类似的双曲演化。本文介绍了Bianchi-Ricci流和Bianchi-Einstein流，即通过考虑齐次度规得到的限制性三维动力系统。
Rigidity of entire self-shrinking solutions to Kähler-Ricci flow with strictly real convex potential
证明了具有严格实凸位势的Kähler-里奇流在$\mathbb{C}^n$上的自缩整体解必是二次的.同样的论证也给出了由Q所得到的伪欧几里得空间中拉格朗日中曲率流的整体自缩解的刚性的逐点证明。Ding和Y.L.欣此外，我们表明，我们的论点适用于更大的一类方程。
A class of generalised Killing spinors determined by the Ricci tensor and the metric
本文引入仿射Killing旋量（AKS），在调和曲率和局部共形平坦条件下分类允许AKS的黎曼自旋流形，刻画带平行1-形式的流形，并证明三维曲率齐次流形的局部齐次性及Bianchi度量的完整分类。
A splitting theorem for manifolds with spectral nonnegative Ricci curvature and mean-convex boundary
该研究证明了具有非负谱瑞奇曲率和均凸边界的非紧流形要么等距于Σ×R_{≥0}，要么没有内部端点。
Lower Bound for Weighted Intermediate Ricci Curvature and Tensorial Entropy Convexity
本研究引入加权中间里奇曲率，建立其下界的等价刻画，推广相关结果并对比不同学者的刻画，为几何分析领域提供了新的理论进展。
Compactness of the space of embedded minimal surfaces with free boundary in three-manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary
证明了具有非负里奇曲率和严格凸边界的紧致$n$维流形中具有自由边界的嵌入极小超曲面的第一Steklov特征值的一个下界.当$n=3$，这意味着先验面积和曲率估计这些极小曲面的几何形状的环境流形和拓扑结构的极小曲面。当极小曲面的拓扑型固定时，该估计的一个重要结果是具有自由边界的嵌入极小曲面的光滑紧性结果。
Inscribed Radius Bounds for Lower Ricci Bounded Metric Measure Spaces with Mean Convex Boundary
本文在具有低里奇曲率下界的非光滑度量测度空间中证明了平均凸边界子集内切半径的锐上界，推广了Kasue和Li的光滑情形结果，并给出稳定性及RCD情形下的等号刻画。
Compact Mean Convex Hypersurfaces and the Fundamental Group of Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature
证明了在非负里奇曲率的非紧连通完备黎曼n-流形N中存在嵌入的紧致无边界严格正中曲率超曲面S，这意味着由包含所诱导的S和N的基本群之间的同态是满射的，只要N-S有两个连通分支，其中一个分支相对于S具有非紧闭包和平凡同伦.证明的思想是将N看作一个合适的洛伦兹流形中的类空超曲面，然后应用甘农和李关于时空拓扑的某些经典结果的最新版本。作为应用，我们证明了如果N是渐近平坦的，那么它只有一端，并且当n大于3时，N是单连通的。
Lower $N$-weighted Ricci curvature bound with $\varepsilon$-range and displacement convexity of entropies
利用Wasserstein空间上熵的凸性，给出了具有Lu-Minguzzi-Ohta引入的$\varepsilon$ -值域的$N \in ]-\infty,1]\cup[n,+\infty]$的$N$ -加权里奇曲率下界的一个刻画.进一步得到了各种插值不等式和函数不等式。
Ricci curvature, the convexity of volume and minimal Lagrangian submanifolds
我们表明，在复曲面Kaehler几何中，里奇曲率的符号正好对应于体积泛函的凸性。我们还讨论了类似的关系，在更一般的情况下，拟齐次流形，最小的拉格朗日子流形的存在性结果。
Ricci flow starting from an embedded closed convex surface in $\mathbb{R}^3$
本文证明了以$\mathbb{R}^3$中嵌入闭凸曲面为度量初始条件的里奇流的存在唯一性.主要研究一类光滑里奇流，它们从光滑凸曲面出发，度量一致收敛于初始曲面的度量。
Nonnegative Ricci Curvature and Uniformly Convex Boundary Forces Compactness
研究具有非负Ricci曲率和一致凸边界的完备黎曼流形的紧致性，通过构造Neumann条件下正调和函数的单调量证明其紧致且基本群有限。
Metrics with non-negative Ricci curvature on convex three-manifolds
证明了三球上具有非负里奇曲率和严格凸边界的光滑黎曼度量空间是路径连通的，并且证明了相应的模空间（即，三球的模方向保持同构）是可压缩的。作为应用，利用Maximo，Nunes和Smith [MNS 13]的结果，证明了任意三球上具有非负里奇曲率和严格凸边界的适当嵌入自由边界极小环的存在性.
Dilation type inequalities for strongly-convex sets in weighted Riemannian manifolds
本文考虑了加权黎曼流形上的一个扩张型不等式，它在高维凸几何中被称为Borell引理。通过引入膨胀轮廓，将膨胀型不等式作为等周型不等式来研究，并在加权里奇曲率下界下，利用相应的模型空间的膨胀轮廓来估计膨胀型不等式.我们还探讨了非负加权里奇曲率下的膨胀曲线的比较得出的函数不等式。特别是，我们显示了几个功能不等式有关的各种熵。
Ricci flow on three-dimensional, unimodular metric Lie algebras
我们给出了一个全球性的图片上的三维，么模，nonabel度量李代数空间的里奇流被认为是等距和缩放。里奇流被看作是度量李代数的结构常数关于一个演化正交标架演化的二维动力系统。该系统可以直接进行相平面分析，我们发现相平面上的不动点和特殊轨迹对应于特殊的度量李代数，包括Ricci孤子和特殊的黎曼浸没。这些结果是一种方法来统一研究里奇流的左不变度量的三维，单连通，单模李群，这是以前研究的不同的Bianchi类的个案分析。在附录中，我们证明了三维，么模，nonabel度量李代数模等距和标度空间的一个特征。
The first Steklov eigenvalue on manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary
本文为具有非负 Ricci 曲率与凸边界的紧致 Riemannian 流形的第一非零 Steklov 特征值建立了新的下界，并在更弱的几何假设下获得了相关结果。
Uryson width of three dimensional mean convex domain with non-negative Ricci curvature
证明了对于任意具有非负里奇曲率和严格平均凸边界的三维流形，存在Morse函数使得其水平集的连通分支具有一致的直径界，且该直径界仅依赖于中曲率的下界.这给出了这三个有边流形的Uryson 1-宽度的一个上界。
Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport
我们定义了一个度量长度空间X的概念，X具有非负的N-里奇曲率，对于N有限，或具有无穷大的里奇曲率，由K下有界，对于K是一个实数。这些定义是根据相应的概率测度的Wasserstein空间P_2（X）上某些函数的位移凸性给出的。我们表明，这些属性下测量Gromov-Hausdorff限制。我们几何和分析的后果。
On Ricci negative solvmanifolds and their nilradicals
在齐次情形下，唯一还远未被理解的曲率行为是Ricci负的。本文研究了哪些幂零李代数允许Ricci负可解扩张。另一方面，给定一个幂零李代数，我们考虑所有导子的空间使得相应的可解扩张具有一个负里奇曲率的度量。利用幂零李代数簇的矩映射的良好凸性，我们得到了这类导子的一个有用的刻画及其应用。
A splitting theorem for manifolds with a convex boundary component and applications
研究具有Ricci曲率下界的流形的分裂定理，通过要求边界分量抛物且凸，利用度量胶合及非光滑设置下基于最优传输的综合工具，得出分裂定理及相关刚性结果，回答了特定的刚性问题。
On the tangent flows of noncollapsed Ricci flow limit spaces
本文研究非塌缩Ricci流极限空间的切流，证明负时间切片规则部分的测地凸性，并将其等同于度量完备化，从而与度量孤子对应。
On The Negativity of Ricci Curvatures of Complete Conformal Metrics
有界域上的奇异Yamabe问题的一个版本产生具有负常数数量曲率的完全共形度量。在本文中，我们研究这些度量是否有负的里奇曲率。证明了在欧几里得空间的有界凸域上，这些度量确实具有负的里奇曲率.另一方面，我们给出了紧致流形上域的一般构造，并证明了当边界靠近某些低维集合时，里奇曲率的负性不成立.格林函数的展开式和正质量定理在某些情况下起着重要的作用。
The Riemannian curvature identities on almost Calabi-Yau with torsion 6-manifold and generalized Ricci solitons
该文研究紧致带挠率近复Calabi-Yau 6维流形的曲率性质，证明了Nijenhuis张量的平行性、挠率闭时的广义梯度Ricci孤立子特性，以及挠率联络Ricci平坦和曲率满足黎曼第一Bianchi恒等式的等价条件。
On cylindricity of submanifolds of nonnegative Ricci curvature in a Minkowski space
考虑Minkowski空间$\mathbb{M}^{n+p}$中含有直线或相对零度指数为正的非负里奇曲率的Finsler子流形$M^n$.对于超曲面、余维子流形和二维子流形，证明了在一定条件下，在第二基本型束的惯性作用下，子流形是圆柱形的.本文给出了三维Minkowski空间中非局部凸的正旗曲率曲面的一个例子。
Uniqueness results for positive harmonic functions on manifolds with nonnegative Ricci curvature and strictly convex boundary
本文研究了非负里奇曲率且严格凸边界的紧黎曼流形上正调和函数的Liouville型定理，验证了Wang猜想的部分情况，并通过Warped积流形进一步探讨了该猜想。
Comparison Theorems and the Intermediate Ricci Curvature Assumption
本文进一步研究了 m-中间 Ricci 曲率假设，证明了在非负 m-中间 Ricci 曲率及稳定加权切片条件下，最后一切片在谱意义下几乎非负，并给出了此类流形中切片直径与内径界的比较定理。
The Ricci flow on surfaces with boundary
对于圆盘上里奇流的非齐次边值问题，当初始度量具有正曲率且边界是凸的时，初始度量通过正规化流沿时间序列变形为常曲率且全测地边界的度量.我们还表明，当边界的测地曲率是非正的和度量是旋转对称的，规范化版本的流量存在的所有时间。
On the Shannon entropy power on Riemannian manifolds and Ricci flow
本文证明了完备黎曼流形上具有适当曲率维数条件的Laplacian或Witten Laplacian算子的热方程的Shannon熵幂在紧致超里奇流上的存在性.在适当的曲率维数条件下，证明了Shannon熵幂的刚性模型是具有Hessian孤子的Einstein流形或拟Einstein流形。此外，我们还证明了G. Perelman关于里奇流的理论，并指出相应的刚性模型是收缩的Ricci孤子.作为应用，我们证明了具有非负（Bakry-Emery）里奇曲率和最大体积增长条件的完备黎曼流形上的熵等周不等式.
The Harmonic Variational Principle for the Einstein-Hilbert Functional
本文针对紧致黎曼流形的爱因斯坦-希尔伯特泛函引入受限变分原理，推导其欧拉-拉格朗日方程，证明调和临界度量等价于紧致梯度里奇孤立子的度量，并给出其规范1-形式的性质及非爱因斯坦型调和临界度量的收缩性结论。
Ricci curvature of finite Markov chains via convexity of the entropy
研究了离散空间上马尔可夫链的里奇曲率的一个新概念。这个概念依赖于熵的测地凸性，类似于洛特、斯特姆和维拉尼为测地测度空间引入的概念。为了适用于离散设置，沃瑟斯坦度量的作用由不同的度量接管，具有连续时间马尔可夫链是熵的梯度流的性质。利用这个概念的里奇曲率，我们证明离散类似物的基本结果由巴克里-埃默里和奥托-维拉尼。此外，我们证明了张量化下的里奇曲率的界限。作为特例，我们得到了离散超立方体的锐里奇曲率的下界.
Neumann Li-Yau gradient estimate under integral Ricci curvature bounds
证明了具有Neumann边界条件的热方程在紧致黎曼子流形上的正解的Li-Yau梯度估计，该子流形的边界为${\bf M}^n\subseteq {\bf N}^n$，满足积分里奇曲率假设：对于足够小的${\bf M}^n\subseteq {\bf N}^n$，\begin{equation} D^2 \sup_{x\in {\bf N}} \left( \oint_{B(x,D)} |Ric^-|^p dy \right)^{\frac{1}{p}} < K \end{equation}，$p>n/2$，其中$diam({\bf M})\leq D$ . ${\bf M}$的边界不一定是凸的，但需要满足内滚$R-$球条件。
Positive $τ$-bi-Ricci curvature and Mean curvature flow with surgery in hyperbolic space
该研究证明双曲空间中满足正$τ$-双Ricci曲率的光滑闭连通浸入超曲面存在带有限次手术且可终止的平均曲率流，并推导了相应流形的微分同胚类型与紧区域的拓扑性质。
Mean Curvature Flow and Heegaard Surfaces in Lens Spaces
研究了完备非负各向同性曲率 3 维流形中 mean convex 两球的模空间连通性，证明其路径连通，并探讨了 Heegaard 扭曲面的路径连通分支数与其 ambient 曼尼福德同调类型的关系。
$f$-minimal surface and manifold with positive $m$-Bakry-Émery Ricci curvature
本文首先证明了具有正Bakry-Émery里奇曲率的闭三流形中固定拓扑的闭嵌入$f$ -极小曲面空间的一个紧性定理。然后给出了具有正$m$-Bakry-Émery里奇曲率的紧致流形上$f$-Laplacian的第一特征值的Lichnerowicz型下界，并证明了该下界仅当流形等距于$n$ -球面或$n$ -维半球时才能达到.最后，对于具有正$m$ -Bakry-Émery里奇曲率和$f$ -平均凸边界的紧致流形，证明了到边界的距离函数的一个上界，并且当流形等距于一个欧氏球时，这个上界是可达到的.
Fine representation of Hessian of convex functions and Ricci tensor on RCD spaces
本文在 RCD 空间上为分布 Ricci 张量建立极分解，并推广至凸函数 Hessian 与截面曲率算子，解决了若干开放问题。
Manifolds with positive curvature operator and strictly convex bounday
在[AMW]中，证明了如果紧致$3$ -流形具有正里奇曲率和严格凸边界，则该流形是标准$3$ -维欧氏圆盘的同构.本文证明了它的高维推广：如果紧致$n$ -流形具有正曲率算子和严格凸边界，则该流形同构于标准$n$维欧氏圆盘.
Ricci curvature, entropy and optimal transport
这是关于最优输运和黎曼几何之间相互作用的课堂讲稿。在黎曼流形上，概率测度空间中熵沿最优输运的凸性表征了里奇曲率的下界。然后讨论了满足这一凸性条件的一般度量测度空间的几何性质。
How to produce a Ricci Flow via Cheeger-Gromoll exhaustion
证明了具有非负复截面曲率的开流形上的里奇流的短时存在性。我们不需要曲率上界。通过考虑Cheeger-Gromoll凸穷竭中包含的凸集的加倍，并通过求解这些闭流形上的里奇流的奇异初值问题，得到了具有非负复截面曲率的里奇流的一系列闭解，这些解下收敛于开流形上的里奇流的一个解.此外，我们找到了一个最优的体积增长条件，保证长期存在的，我们给出了里奇流的长期行为的分析。最后，我们构造了一个明确的例子，不朽的非负曲率的里奇流的所有时间的解决方案。
Torsions and Curvatures on Jet Fibre Bundle J^1(T,M)
本文在单射纤维丛J^1（T，M）上引入了Γ-线性联络\nabla的概念，并给出了它的局部分支.我们还描述了$\nabla$的局部Ricci恒等式和Bianchi恒等式。
Convexity estimates for level sets of quasiconcave solutions to fully nonlinear elliptic equations
在Bianchini-Longinetti-Salani在\cite{BLS}中引入的一个精化结构条件下，建立了凸环域上$F(D^2u, Du, u, x)=0$解的水平曲面主曲率的几何下界.我们还证明了这些解的凸水平曲面的第二基本型的常秩定理。
Ricci Flow on Manifolds with Boundary with Arbitrary Initial Metric
本文研究了带边界流形上的里奇流。在本文的第一部分中，我们证明了了解的短时存在唯一性，其中边界在正时间内瞬时变为脐点。在本文的第二部分，我们证明了我们在第一部分中构造的流保持自然边界条件。更具体地说，如果初始度量具有凸边界，则流保持正曲率算子和PIC 1，PIC 2条件。此外，如果初始度量具有双凸边界，则流保持PIC条件。
The Soliton-Ricci Flow over Compact Manifolds
本文在紧致流形上引入了一个具有形式极限的黎曼度量流，它是一个收缩Ricci孤子。我们称这种流为孤子-里奇流。它对应于一个Perelman修正的后向Ricci型流，并带有一些特殊的约束条件.的限制条件的动机是凸性的结果Perelman的$\mathcal{W}$ -功能在凸子集内的适当的黎曼度量的子空间。我们证明了孤子-里奇流是由Perelman的$\mathcal{W}$ -泛函在这样的子空间上的限制的梯度流产生的。假设孤子-里奇流的长时间存在，只要Bakry-Emery-Ricci张量关于演化度量一致严格正，我们证明了收敛到收缩Ricci孤子的指数快速收敛性.
On Weak Super Ricci Flow through Neckpinch
本文在度量测度空间的背景下研究了里奇流颈夹。我们引入了里奇流度量测度时空和与凸费用函数（费用函数是距离函数的增凸函数）相关联的弱（精化）超里奇流的概念。我们定义的弱超里奇流是基于适当定义的最大扩散分量上的扩散的耦合收缩性质。在我们的主要定理中，我们证明了，如果一个非退化的球颈箍缩可以通过一个光滑的向前演化而继续到奇异时间之外，那么对于一个（因此对于所有）凸费用函数，通过奇异时间的相应的里奇流度量测度时空是一个弱超里奇流当且仅当单点箍缩现象在奇异时间成立;即，如果奇点形成在有限个形式为$\{x\} \times \sphere^n$的全测地超曲面上。我们还证明了时空是精化弱超里奇流当且仅当流是光滑的里奇流，且最终时间可能是奇异的。
A Minkowski type inequality for manifolds with positive spectrum
本文将经典闵可夫斯基不等式推广到具有正谱且里奇曲率有下界的完备流形中的非凸有界光滑区域，并由此证明此类流形中不存在嵌入紧致极小超曲面，同时讨论了里奇孤立子的情形。
Mean curvature in manifolds with Ricci curvature bounded from below
设$M$是一个具有非负里奇曲率的紧致黎曼流形，$Σ$是$M$中的一个紧致嵌入的2-边极小超曲面.证明了存在二分法：若$Σ$不分离$M$，则$Σ$是全测地的，$M\setminusΣ$与黎曼积$Σ\times(a,b)$等距;若$Σ$分离$M$，则由包含导出的映射$i_*:π_1(Σ)\rightarrow π_1(M)$是满射的.对于里奇曲率$Ric_M\geq-(n-1)k,k>0$流形中具有中曲率$H\geq(n-1)\sqrt{k}$的紧致双边超曲面，以及对于具有非空严格凸边界的非负里奇曲率流形中的自由边界极小超曲面，也证明了这种满射性.作为一个应用，证明了生成元个数为$π_1(N)<n$的紧致$n$维流形$N$不能极小地嵌入平坦环面$T^{n+1}$中.
A note on lower bounds estimates for the Neumann eigenvalues of manifolds with positive Ricci curvature
研究了具有正里奇曲率和凸边界的紧致流形上Neumann热核的新的热核估计。作为结果，我们得到新的下界的Neumann特征值是一致的外尔的渐近。
Sharp Hölder continuity of tangent cones for spaces with a lower Ricci curvature bound and applications
我们证明了一种新的估计，保持在任何流形的下里奇界。它将两个具有相同半径的小球的几何关系联系起来，这两个小球可能相距很远，但中心位于一个共同的最小化测地线的内部。它揭示了新的，以前未知的，所有广义空间的里奇曲率下界必须有，它有一些应用。这种新的估计断言，小球沿着任何极小化测地线的几何形状都以一个Hölder连续的方式变化，其常数取决于里奇曲率的下界、流形的维数以及到测地线端点的距离。我们给出的例子表明，Hölder指数，以及基本上所有其他的后果，我们表明从这个估计，是尖锐的。所有这些应用的统一主题是凸性。其中的应用是，正则集是凸的任何非折叠极限的爱因斯坦度量。在流形的潜在塌陷极限仅具有一个里奇曲率下界的一般情况下，我们证明了正则集是弱凸的和$a.e.$凸的，即几乎每对点都可以由一个极小化测地线连接，其内部包含在正则集中.我们还展示了两个奇格冷却的示意图。其中一个断言，等距群的任何，甚至崩溃，极限流形与一个统一的下里奇曲率界是一个李群;这是关键点，以排除小的子群。另一个断言任何极限空间的维数处处相同。最后，我们证明了一个Reifenberg型属性的崩溃极限，并讨论了为什么这表明进一步的正则性的流形和空间的里奇曲率界。
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