Optimal $C^{1,α}$ regularity up to the boundary for fully nonlinear elliptic equations with double phase degeneracy
本文研究了具有双重相退化律和斜边界条件的全非线性椭圆方程粘性解的最优 $C^{1,α}$ 正则性，通过建立几乎 $C^{1}$-平滑域中扰动模型的均匀边界霍尔德估计，结合粘性解的紧性和稳定性框架，得到正则性结果，并确定了当主算子拟凸或拟凹时的最优霍尔德指数。
2026-10-20 math.AP
On the existence of $W^{2}_{p}$ solutions for fully nonlinear elliptic equations under relaxed convexity assumptions
在光滑区域上建立了完全非线性椭圆型二阶方程（如$H(v,Dv,D^{2}v,x)=0$）解的存在唯一性，而不要求$H$关于二阶导数是凸的或凹的.除了椭圆率之外，在$|D^{2}v|\leq K$的点处不需要$H$，其中$K$是任何给定的常数。对于大的$|D^{2}v|$，仍然施加关于$D^{2}v$的某种松弛凸性假设与关于$x$的VMO条件混合。在Sobolev类中寻求解决方案。
2012-03-07 math.AP
On the existence of smooth solutions for fully nonlinear elliptic equations with measurable "coefficients" without convexity assumptions
证明了对于任何具有有界可测“系数”和有界“自由”项的一致椭圆型完全非线性二阶方程，在给定的光滑区域内，在光滑边界数据下，可以找到一个具有唯一连续且二阶导数局部有界解的逼近方程.近似方程的构造是这样的，它修改原始的一个只有大值的未知函数及其衍生物。
2012-04-01 math.AP
On the existence of $W^{2}_{p}$ solutions for fully nonlinear elliptic equations under either relaxed or no convexity assumptions
在光滑区域上建立了完全非线性椭圆型二阶方程（如$H(v,Dv,D^{2}v,x)=0$）解的存在性，而不要求$H$关于二阶导数是凸的或凹的.除了椭圆率之外，在$|D^{2}v|\leq K$的点处不需要$H$，其中$K$是任何给定的常数。对于大的$|D^{2}v|$，仍然施加关于$D^{2}v$的某种松弛凸性假设与关于$x$的VMO条件混合。在Sobolev类中寻求解决方案。我们还建立了几乎没有任何条件$H$的可解性，除了椭圆率，但“截止”版本的方程$H(v,Dv,D^{2}v,x)=0$。
2016-07-08 math.AP
Compensation phenomena for concentration effects via nonlinear elliptic estimates
本文研究点态与线性微分约束下场的补偿现象，通过非线性椭圆估计证明可积性增益取决于算子与锥，反驳了近期一个猜想，并扩展了补偿可积性理论。
2024-02-20 math.AP math.FA
Convexity of the smallest principal curvature of the convex level sets of some quasi-linear elliptic equations with respect to the height
对于具有严格凸水平集的$p$ -调和函数，我们找到了一个由$p$ -调和函数的梯度范数和$p$ -调和函数的水平集的最小主曲率的组合得到的检验函数.证明了该曲率函数关于$p$ -调和函数的高度是凸的。当$p$ -调和函数是球上的$p$ -格林函数时，该检验函数是高度的仿射函数。对于极小图，我们得到了类似的结果.
2012-11-04 math.AP
Convexity for free boundaries with singular term (nonlinear elliptic case)
考虑外区域\begin{cases}\begin{array}{cc} Lu=g(u) & \text{in }Ω\setminus K, \\ u=1 & \text{on }\partial K,\\ |\nabla u|=0 &\text{on }\partial Ω, \end{array}\end{cases}中的自由边界问题，其中$K$是$\mathbb{R}^n$（$n\ge2$）中的（给定）凸紧集，$Ω=\{u>0\}\supset K$是未知集，$L$是完全非线性算子或$p$ -Laplace算子.在对$K$和$g$适当的假设下，我们证明了上述问题的非负拟凹解的存在性.我们还考虑了当集合$K$包含在$\{x_n=0\}$中时的情况，并得到类似的结果。
2022-11-18 math.AP
Sharp Hessian estimates for fully nonlinear elliptic equations under relaxed convexity assumptions, oblique boundary conditions and applications
本文利用几何切向方法与 Recession 算子，在弱于凸性的结构假设及斜边界条件下建立完全非线性椭圆方程粘性解的全局 Hessian/BMO 估计，并推广至障碍型问题。
2023-05-31 math.AP
Quantitative unique continuation, logarithmic convexity of Gaussian means and Hardy's uncertainty principle
本文介绍了椭圆型、抛物型和色散型方程的定量唯一延拓的一些最新工作。椭圆结果是与J.Bourgain的联合工作，而讨论的其余工作是与L.Escauriaza，G.Ponce和L. Vega的联合工作。
2008-10-06 math.AP
Approximate convexity principles and applications to PDEs in convex domains
本文得到了几类非线性椭圆型偏微分方程在凸区域上的近似凸性原理。此外，我们提供了一些应用程序的一些有意义的特殊情况。
2019-02-18 math.AP
Horizontal convex envelope in the Heisenberg group and applications to sub-elliptic equations
本文在Heisenberg群中自然地引入了连续函数的水平凸包络的概念。我们提供了一个凸化过程，以建设性的方式找到信封。利用凸化过程证明了Heisenberg群中满足一定对称条件的一类完全非线性椭圆型方程黏性解的h-凸性。我们的例子表明，在一般情况下，不能期望没有对称性条件的解决方案的h-凸性。
2019-07-03 math.AP
A second-order operator for horizontal quasiconvexity in the Heisenberg group and application to convexity preserving for horizontal curvature flow
本文提出基于非线性二阶椭圆算子的Heisenberg群水平拟凸函数PDE方法，给出粘性下解的充分必要条件，并证明水平曲率流在演化中保持h-凸性。
2023-12-16 math.AP
Energy convexity estimates for non-degenerate ground states of nonlinear 1D Schrödinger systems
研究了一类非线性薛定谔系统的复线性化算子的谱结构，得到了相应椭圆系统的非退化基态的一些有趣性质，如孤立性和轨道稳定性.
2009-06-05 math.AP
Some minimum principles for a class of nonlinear elliptic problems in divergence form
American University of Sharjah（沙迦美国大学）；Universidad de Granada（格拉纳达大学）
本文研究了一类非线性椭圆问题的最小原理，利用凸性性质推导了适当的P函数的最小原理，并应用于求解解的先验估计。
2026-11-10 math.AP
On the existence of $W^{1,2}_{p}$ solutions for fully nonlinear parabolic equations under either relaxed or no convexity assumptions
我们建立了完全非线性抛物型二阶方程如$\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$在光滑圆柱上的解的存在性，而不需要$H$是凸或凹的二阶导数。除了椭圆率之外，在$|D^{2}v|\leq K$的点处不需要$H$，其中$K$是任何固定常数。对于大的$|D^{2}v|$，仍然施加关于$D^{2}v$的某种松弛凸性假设与关于$t,x$的VMO条件混合。在Sobolev类中寻求解决方案。我们还建立了几乎没有任何条件$H$的可解性，除了椭圆率，但“截止”版本的方程$\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$。
2017-10-17 math.AP
Antisymmetry of solutions for some weighted elliptic problems
本文研究了一类带权和双势阱的椭圆泛函解的反对称性、唯一性和单调性。在一维的情况下，我们介绍了连续奇重排的增函数，我们表明，它减少了能量功能时，重量满足一定的凸型假设。这导致了递增解的反对称性或奇异性（不仅是极小化解）。我们还证明了一个唯一性结果（这导致反对称），其中Berestycki和Nirenberg的凸型条件的重量改进的单调性条件。此外，我们提供了一大类的问题，反对称不成立。最后，还给出了高维情形下的一些相当部分的推广。
2017-09-22 math.AP
An elliptic pde with convex solutions
使用经典和概率的混合技术，我们调查的凸性的椭圆型偏微分方程与一定的广义Ornstein-Uhlenbeck过程的解决方案。
2014-07-15 math.AP math.PR
Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces
在松弛的凸性条件下，证明了全空间中完全非线性椭圆型和抛物型方程的加权和混合范数Sobolev估计，其中几乎VMO依赖于时空变量.得到了相应的内点估计和边界估计。
2018-05-31 math.AP
The peak of the solution of elliptic equations
给出了Dirichlet边值问题和J.Rauch提出的热点问题的正解区域凸性遗传的一个反例.这两个问题的难点在于解的临界点不是单点，而是一条水平曲线。然而，局部地使用Pohozeav恒等式，可以导出这两个问题的部分答案。
2016-08-18 math.AP
Convexity and the Hele-Shaw equation
沃尔特克雷格的开创性工作的水波问题建立了几个确切的身份的重要性：扎哈罗夫的汉密尔顿制定，形状衍生公式的狄利克雷到诺依曼算子，正规形式的转换。在本文中，我们介绍了几个恒等式的Hele-Shaw方程的启发，他的非线性方法。首先，我们研究了未知量的凸变换，得到了一大类强Lyapounov函数，这些Lyapounov函数除了是非增函数外，还是时间的凸函数。分析依赖于一个简单的椭圆形的Hele-Shaw方程，这是独立的利益。然后我们研究了凸性对控制解的空间导数的作用。我们考虑瑞利-泰勒系数$a$的发展方程（这是一个与自由表面压力法向导数的相反方向成比例的正函数）。受椭圆型或抛物型方程熵研究的启发，我们考虑了特殊函数$φ(x)=x\log x$，发现$φ(1/\sqrt{a})$是适定方程的子解.作为应用，我们给出了Nicolas Meunier和Didier Smets关于$1/a$的极大值原理的另一个证明.
2020-03-05 math.AP
Comparison methods for semilinear elliptic problems on Riemannian manifolds with a Ricci lower bound
Department of Geometry and Topology and Institute of Mathematics (IMAG), University of Granada（格拉纳达大学几何与拓扑系及数学研究所）
本文研究了带有里奇下界黎曼流形上半线性Dirichlet问题的比较方法，推导了梯度比较和等号条件，并应用得到等周不等式和热点定位估计。
2026-03-30 math.AP math.DG
Fully nonlinear free boundary problems: optimal boundary regularity beyond convexity
本文研究配备 Dirichlet 边界条件的椭圆自由边界问题，在无凸性假设下证明了 $L^p$-强解在边界相交点的最优 $C^{1,1}$-正则性。
2024-12-22 math.AP
Logarithmic convexity of non-symmetric time-fractional diffusion equations
本文研究了带Caputo时间分数阶导数的非对称椭圆扩散方程，证明了在漂移系数为梯度向量场时其对数凸性成立，并通过数值实验验证了理论结果。
2024-04-22 math.AP
Increasing stability of the continuation for general elliptic equations of second order
给出了类似于Helmholtz方程的一般椭圆型偏微分方程Cauchy问题的稳定性估计.我们不对域或算子施加任何（伪）凸性假设。当波数/频率增加时，这些条件稳定性估计接近Lipschitz估计。我们将解决方案分为低频和高频部分，并仅对高频部分施加约束。我们给出了这个高频部分的对数界。证明使用能量估计和FBI变换。
2018-07-02 math.AP
Power convexity of solutions to complex Monge-Ampère equation in $\mathbb{C}^2$
School of Mathematics and Statistics Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文利用常数秩定理和形变过程，建立了$\mathbb{C}^2$中光滑严格凸域上复Monge-Ampère方程Dirichlet问题解的幂凸性，通过改进辅助函数克服了微分不等式推导中的关键障碍。
2026-06-16 math.AP
Second-order boundary estimates for solutions to a class of quasilinear elliptic equations
本文针对一类拟线性椭圆方程，在齐次Dirichlet和Neumann边界条件下证明了全局二阶正则性，并利用边界第二基本形式的可积性条件及源项符号假设，进一步获得了梯度之逆的可积性结果。
2025-07-22 math.AP
Entire solutions of fully nonlinear elliptic equations with a superlinear gradient term
本文考虑了具有可加超线性梯度项的二阶全非线性算子。像在开创性的文件Brezis的半线性情况下，我们得到的存在性，整个黏性解，定义在所有的空间，而不假设全球范围内。一个独特的结果也得到特殊的梯度项，受凸性/超线性是必不可少的，必须以不同的方式从线性情况下处理的假设。
2015-06-23 math.AP
Periodic homogenization of the principal eigenvalue of second-order elliptic operators
本文研究了与$1$ -齐次一致椭圆二阶算子相关的主本征值问题的均匀化结果。在相当一般的假设下，我们证明了与振荡算子相关的主本征对收敛于与有效算子相关的本征对。这包括完全非线性算子的情况。在额外的正则性/凸性假设下，为线性和非线性问题提供了特征值的收敛速度。最后，线性问题的适当规范化的本征函数的线性收敛速率（在振荡参数方面）。
2022-05-10 math.AP
Uniqueness for Keller-Segel-type chemotaxis models
证明了Keller-Segel（KS）趋化系统在能量意义下的可积有界非负解类的唯一性。我们的证明适用于完全抛物KS模型，它包括经典的抛物-椭圆KS方程作为特例，并且可以推广到粒子密度方程中的非线性扩散，只要扩散满足经典的McCann位移凸性条件.该策略使用拟Lipschitz估计的化学吸引方程和上述切线特征的位移凸性。因此，与KS系统相关联的自由能泛函的位移凸性是由它在有界可积初值下的演化得到的。
2012-12-06 math.AP
Global fractional Sobolev regularity for fully nonlinear elliptic equations
本文在算子一致椭圆且系数可测的条件下，证明完全非线性椭圆方程的粘性解全局具有 $W^{γ,p}$（$γ\in(1,2)$）分数阶 Sobolev 正则性，且无需凸性或凹性等额外假设。
2024-11-22 math.AP
On Variational Multivalued Elliptic Equations on a Bounded Domain in the Presence of Critical Growth
本文讨论了Orlicz-Sobolev空间上局部Lipschitz泛函的临界点理论，利用凸性和紧性技巧研究了多值方程$\displaystyle - Δ_Φ u \in \partial j(.,u) + λh \mbox{in} Ω$解的存在性，其中$Ω\subset {\bf R}^{N}$是有界光滑区域，$Φ: {\r} \longrightarrow [0,\infty)$是合适的N-函数，$Δ_Φ$是相应的$Φ$ -Laplacian，$λ> 0$是参数，$h:Ω\rightarrow{\r}$是可积的，$\partial j(., u)$是与临界增长相关的函数$j$的次微分。
2013-10-22 math.AP
The Brunn-Minkowski inequality for the principal eigenvalue of fully nonlinear homogeneous elliptic operators
证明了满足一个非常简单的凸性假设的全非线性齐次椭圆算子的主特征值满足关于$\mathbb{R}^n$中满足一致外球条件的开有界集类的Brunn-Minkowski型不等式.特别是结果适用于（可能归一化）的$p$ -拉普拉斯算子，并最小普奇算子。该证明的灵感来自Colesanti介绍的方法的主频率的拉普拉斯类内的凸区域，并依赖于一个推广的凸包络方法的Alvarez-Lasry-Lions。我们还讨论了正粘性本征函数的存在性和对数正性。
2019-07-28 math.AP
Uniqueness and rigidity in nonlinear elliptic equations, interpolation inequalities and spectral estimates
本文讨论了一类具有超线性、次临界非线性项和齐次Neumann边界条件的半线性椭圆型方程的Lin-Ni猜想.我们建立了一个新的刚性结果，即证明了当问题的参数在一个明确的界之下时，唯一的正解是一个常数，该界与Gagliardo-Nirenberg-Sobolev插值不等式的最优常数以及最优Keller-Lieb-Thirring不等式有关.我们的结果是有效的，在一个次线性政权以及。刚性界是由非线性流方法得到的，该方法受到紧致流形上最近结果的启发，统一了非线性椭圆技巧和半群论中的carr{é} du champ方法.我们的方法要求域的凸性。它依赖于积分量，考虑到谱估计，并提供了改进的功能不等式。
2016-07-01 math.AP
Concavity Properties of Solutions of Elliptic Equations under Conformal Deformations
该文研究带权Schrödinger算子的Dirichlet问题，通过建立主特征函数关于共形联络的凹性估计，得到基本间隙的新界，部分解决了相关猜想，还获得了球面凸域扭转问题解的幂凸性估计。
2024-03-05 math.AP math.DG math.SP
Pointwise boundary estimates for fully nonlinear elliptic equations with nonzero Dirichlet boundary conditions
本文利用下解与上解方法，为一类含非零 Dirichlet 边界条件的完全非线性椭圆方程建立凸解的逐点边界估计，并推出全局 Hölder 正则性，推广了 Monge–Ampère 方程的已有结果。
2025-07-25 math.AP
The role of the curvature of a surface in the shape of the solutions to elliptic equations
Università degli Studi di Sassari（萨萨里大学）；Università di Roma “La Sapienza”（罗马第一大学）
本文研究球面和双曲平面上星形区域中椭圆方程正半稳定解临界点的唯一性与非退化性，提出了弱于凸性及水平凸性的几何条件，并证明其最优性。
2026-10-06 math.AP
Regularity estimates for fully nonlinear elliptic PDEs with general Hamiltonian terms and unbounded ingredients
我们发展了一个无散度形式的完全非线性一致椭圆型方程的$L^p$ -黏性解的最优正则性理论，该方程的梯度增长通过一个具有可测且可能无界系数的Hamilton函数来描述.我们的方法对待超线性和次线性梯度制度在一个统一的方式。我们显示$C^{0,α}$，$C^{0,\textrm{Log-Lip}}$，$C^{1,α}$，$ C^{1,\textrm{Log-Lip}}$和$C^{2,α}$正则性估计，通过显示允许的增长的哈密顿量，以处理一个无界的非线性梯度系数，其可积性反过来变得更糟，因为我们接近二次政权。此外，我们找到适当的相容性条件，我们的正则性结果本质上取决于可积的基本源项。作为我们的方法的副产品，我们证明了先验BMO估计;尖锐的规律性相关联的衰退和平坦的配置文件下放松凸性假设;一类奇异偏微分方程的改进的规律性;和Perron型结果无界成分。
2020-12-18 math.AP
Oblique boundary value problems for n-1type augmented Hessian equations
Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Fudan University（复旦大学数学与交叉科学研究院）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；School of Mathematics and Shing-Tung Yau Center of Southeast University, Southeast University（东南大学数学学院及苏步青应用数学中心）
本文针对有界区域上n-1型增广Hessian方程的斜边值问题，在无凸性条件下建立经典椭圆解的全局存在唯一性理论，涵盖多个相关领域的方程应用。
2026-10-12 math.AP math.DG
Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic equations with m-convex nonlinearities
本文研究了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上Dirichlet边界条件下的Gelfand问题.我们感兴趣的是极值解$u^*$的有界性。当维数为$N\ge10$时，可以构造出非线性项$f(u)=e^u$和$Ω=B_1$的奇异极值解.当$3\le N\le 9$，Cabré，Figalli，Ros-Oton和Serra（2020）证明了以下令人惊讶的结果：如果非线性$f$是正的，非递减的，凸的，极值解$u^*$是有界的。本文成功地将他们的结果推广到一般的$m$ -凸非线性问题。此外，我们还考虑了$m$ -凸性，对前人的研究结果给出了统一的观点。我们给出了具有$m$ -凸非线性项的稳定解的封闭性结果。作为结果，我们提供了一个Liouville型结果，并通过使用爆破参数，我们证明了极值解的有界性。
2022-03-29 math.AP
Sharp hessian integrability estimates for nonlinear elliptic equations: an asymptotic approach
在关于控制算子$F$的极小渐近假设下，建立了完全非线性椭圆型方程黏性解的精确$W^{2,p}$正则性估计.通过几何切向方法，我们表明，如果{ \it衰退}的运营商$F$ -正式给出的$F^*(M):=\infty^{-1} F(\infty M)$-是凸的，那么任何粘度的解决方案，原来的方程$F(D^2u) = f(x)$是局部的类$W^{2,p}$，提供$f\in L^p$，$p>d$，适当的普遍估计。我们的结果扩展到运营商的可变系数，在这种情况下，他们是新的，即使在凸性的冻结系数运营商，$M\mapsto F(x_0, M)$，作为振荡测量仅在衰退水平。该方法进一步产生BMO正则性的海森，提供的源在于该空间。作为最后的应用程序，我们建立的密度$W^{2,p}$解决方案的类内的所有连续黏性解方案，一般的完全非线性算子$F$。这一结果为处理黏性解理论中经常遇到的问题提供了一种替代工具。
2015-10-05 math.AP
A free boundary problem for a discontinuous semilinear elliptic equations in convex ring
本文考虑如下自由边界问题$$ (P)\left\{\begin{array}{ll} Δu = λϕ(x)\Sum_{i=1}^n H(u-μ_i )& \quad \mbox{ in }\ Ω=Ω_2\setminus \overlineΩ_1, \\[0.3cm]u =0 &\quad \mbox{ on } \partial Ω_2, \\[0.3cm]u =M &\quad \mbox{ on } \partial Ω_1. \end{array} \right. $$区域$Ω$是凸环其中$Ω_1$和$Ω_2$是$\mathbb{R}^N,$中的有界凸区域$H$是Heaviside阶跃函数，$N\geq 2,$ $(i=1,..,n)$是给定的正实参数，$ϕ$是给定的函数.我们证明了在适当的条件下，问题$(P)$存在一个凸水平集的解决方案。当非线性项不连续时，我们还得到了障碍问题中自由边界所限定的集合的凸性的一个有趣结果。最后通过构造$ϕ$函数进行了详细的分析，说明了该方法的可行性。
2023-03-18 math.AP
Convexity of Self-Similar Transonic Shocks and Free Boundaries for the Euler Equations for Potential Flow
本文研究了二维自相似坐标系下跨音速激波作为自由边界的几何性质，它不仅对理解连续介质力学中流体运动的几何结构和稳定性具有重要意义，而且对多维守恒律的数学理论也具有重要意义。自相似位流欧拉方程的跨音速激波分离了所考虑区域中相应非线性偏微分方程的自相似解的椭圆（亚音速）和双曲（超音速）相，其中跨音速激波的位置是先验未知的。本文首先建立了一个一般的框架，证明了作为自由边界的自相似跨音速激波是一致凸的，然后应用这个框架证明了两个长期存在的基本激波问题--楔体激波反射-绕射问题和超音速绕流固体斜面的Prandtl-Meyer反射问题中跨音速激波的一致凸性。为了实现这一点，我们的方法是利用潜在的非局部性质的解决方案和自由边界的势流方程。
2020-06-06 math-ph math.AP math.MP
Lower semicontinuity for functionals defined on piecewise rigid functions and on $GSBD$
在这项工作中，我们提供了一个表征结果的下半连续性的表面能定义在分段刚性函数，即，函数是分段仿射的Caccioppoli分区，其中每个组件的衍生物是一个反对称矩阵。该特征通过称为$BD$ -椭圆率的积分条件来实现，该积分条件符合Ambrosio和Braides定义的$BV$ -椭圆率的精神。通过具体的例子，我们表明，这种新的概念实际上是更强的相比，其$BV$类似物。我们进一步给出了一个隐含$BD$ -椭圆性的充分条件，我们称之为对称联合凸性。可以针对与应用相关的某些类别的表面能明确地检查该概念，例如，变分断裂模型。最后，我们给出了一个直接的证明，证明了在更大的$GSBD^p$函数空间上，具有对称联合凸被积函数的表面能也是下连续的.
2020-12-07 math.AP
Existence, Sharp Boundary Asymptotics, and Stochastic Optimal Control for Semilinear Elliptic Equations with Gradient-Dependent Terms and Singular Weights: Theory, Economic Applications, and Numerical Simulations
The Bucharest University of Economic Studies（布加勒斯特经济研究大学）
本文研究了具有梯度依赖非线性和奇异权重的半线性椭圆方程的存在性、边界渐进行为及随机最优控制问题，结合分析方法、经济应用和数值模拟验证了理论结果。
2026-03-22 math.AP math.OC
On Linear Degenerate Elliptic PDE Systems with Constant Coefficients
设$\textbf{A}$是$\mathbb{R}^{Nn}$上的对称凸二次型，$Ω\Subset \mathbb{R}^n$是有界凸域.考虑当$ f\in L^2(Ω,\mathbb{R}^N)$满足条件时，问题\[ \tag{1} \label{1} \begin{split} \sum_{β=1}^N\sum_{i,j=1}^n \textbf{A}_{αi βj}\, D^2_{ij}u_β\,=\, f_α, \text{ in }Ω,\quad \ u\,=\, 0, \text{ on }\partial Ω, \end{split} \]解$u: Ω\subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$的存在性问题. \eqref{1}是退化椭圆的，在没有严格秩一凸性假设的情况下，以前没有考虑过它。一般来说，它甚至可能没有分配解决方案。通过引入一个适用于\eqref{1}的分布的推广，我们证明了它的存在性、部分正则性和唯一性.边界条件的满足也是一个问题，由于低正则性的解决方案。研究\eqref{1}和证明方法的动机来自作者[K4，arXiv：1501.06164]最近关于完全非线性系统的广义解的工作。
2015-04-14 math.AP
Universal moduli of continuity for solutions to fully nonlinear elliptic equations
本文基于$F(X, D^2u) = f(X)$在不同情况下的最弱可积性，为完全非线性椭圆方程$F(X, D^2u) = f(X)$的粘性解提供了通用的最佳连续模。在这项工作中建立的主要结果是一个尖锐的Log-Lipschitz估计$u$的$f$，这对应于最佳的正则性边界的临界阈值的情况下的$L^n$规范的基础上。当$C^{1,α}$.极限上边界情况，$f\in L^\infty$，也有超越的重要性，椭圆正则性理论及其应用。本文证明了在$F$的凸性假设下，若$f$有界平均振动，则$u \in C^{1,\mathrm{Log-Lip}}$.再一次，这样的估计是最佳的。在理论允许的下界可积条件下，基于$f$的$L^{n-ε}$范数，建立了$u$的$C^{0,\frac{n-2ε}{n-ε}}$范数的\textit{a priori}内部估计，其中$ε$是Escauriaza泛常数.指数$\frac{n-2ε}{n-ε}$是最佳的。当源函数$f$位于$L^q$，$n > q > n-ε$中时，我们还得到了精确的改进的Hölder连续性指数.
2011-12-14 math.AP
Some uniqueness results in quasilinear subhomogeneous problems
利用最近在\cite{DFMST}中给出的准则，我们建立了拟线性椭圆型问题的唯一性结果。我们将其应用到广义$p$ -拉普拉斯次齐次问题，可能承认多个非平凡的非负解。基于一个推广的隐凸性结果，我们证明了强正解和非负全局极小解之间的唯一性。涉及非齐次算子的问题，所谓的$(p,r)$ -拉普拉斯算子也被处理。
2020-08-17 math.AP math.CA
A new class of double phase variable exponent problems: Existence and uniqueness
本文引入了一类新的由变指数双相算子驱动的拟线性椭圆型方程。我们证明了相应的Musielak-Orlicz索伯列夫空间的某些性质（等价范数，一致凸性，关于模的Radon-Riesz性质）和新的双相算子的性质（连续性，严格单调性，（S $_+$）-性质）.与已知的常数指数情况相比，我们能够削弱对数据的假设。最后，我们证明了相应的椭圆型方程的存在性和唯一性的右手边，有梯度依赖（所谓的对流项）在非常一般的假设下的数据。作为独立兴趣的结果，我们还显示了光滑函数的密度在新的Musielak-Orlicz索伯列夫空间，即使当该区域是无界的。
2022-04-01 math.AP
Paths to uniqueness of critical points and applications to partial differential equations
我们证明了一个统一的和一般的标准的唯一性的临界点的功能存在的约束，如积极性，有界性，或固定的质量。我们的方法依赖于沿适当的路径的凸性，并显着推广著名的唯一性定理。由于在建设的路径的灵活性，我们的方法不依赖于域的凸性，可以用来证明在子集的唯一性，即使它不持有全球。结果适用于所有的临界点，而不仅仅是极小值，因此它们提供了相应的Euler-Lagrange方程的解的唯一性。对于从椭圆问题中产生的泛函，我们的抽象定理的假设遵循最大值原理、衰减性质和新的一般不等式。为了说明我们的方法，我们提出了一个统一的证明已知的结果，以及新的定理的平均曲率型运营商，分数拉普拉斯算子，哈密顿系统，薛定谔方程，和Gross-Pitaevski系统。
2016-07-19 math.AP
A class of anisotropic expanding curvature flows
考虑n+1维欧几里得空间中光滑、闭、一致凸超曲面的扩张流，速度为fu^{alpha}{sigma}_k^{beta}，其中u为超曲面的支撑函数，alpha，beta为两个常数，且beta>0，sigma_k为超曲面主曲率半径的第k个对称多项式，k为整数且1 ≤ k ≤ n.证明了当常数α，β在适当的范围内，函数f满足严格球凸条件时，该流始终存在唯一的光滑一致凸解，并在归一化后光滑收敛到一个孤子，该孤子是一个椭圆型方程的解.当β =1时，孤子方程就是Lp Christoffel-Minkowski问题的方程。这样，我们的论证为著名的L_p Christoffel-Minkowski问题（p>= k+1，其中p=2-alpha）提供了一个证明，这与Ivaki最近的结果一致.
2019-05-12 math.AP math.DG
Lewy-Type Nondegeneracy for Gradient-Dependent Elliptic Equations and Global Gradient Diffeomorphisms on Convex Rings
Harbin Normal University（哈尔滨师范大学）
本文证明梯度依赖椭圆方程的Lewy型非退化性：局部同胚梯度映射导致Hessian行列式非零，且凸环上无临界点、水平集严格凸的容量解其Hessian惯性为(1,n-1)，从而梯度为全局微分同胚，适用于p-Laplace和极小曲面方程。
2026-09-15 math.AP
Interior $C^{2}$ estimate for semi-convex solutions to a class of Hessian quotient equations in arbitrary dimensions
Key Laboratory of Pure and Applied Mathematics, School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院纯数学与应用数学重点实验室）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
研究Hessian商方程在任意维度下的内部$C^2$估计，探讨半凸条件下的椭圆性，并推导相应求和Hessian方程的结果，同时建立若干刚性结论。
2026-04-25 math.AP
Global Hölder estimates for 2D linearized Monge-Ampère equations with right-hand side in divergence form
我们建立了二维非齐次线性蒙日-安培方程解的整体Hölder估计，其右端是有界向量场的散度。这些方程出现在气象学中的半地转方程和用四阶Abreu型方程逼近受凸性约束的凸泛函中。我们的估计下自然的假设域，边界数据和Monge-Ampère测量有界远离零和无穷大。它们是Murthy-Stampacchia和Trudinger关于二阶散度型椭圆型方程的整体Hölder估计的仿射不变和退化形式。
2019-02-21 math.AP
Global Calderón-Zygmund estimates for asymptotically convex fully nonlinear Grad-Mercier type equations
本文研究了渐近凸条件下Grad-Mercier型全非线性椭圆方程的Dirichlet问题，通过紧性方法和冻结技术证明了W^{2,p}-粘性解的存在性与全局估计，并导出了Cordes-Nirenberg型连续估计及二阶导数的全局BMO估计。
2025-06-29 math.AP
