The Lusin theorem and horizontal graphs in the Heisenberg group
本文证明了可测函数$f_α$，$|α|=m$的每一个集合a. e.函数$g\in C^{m-1}$的$m$阶导数，其阶导数$m-1$可以具有比Lipschitz函数弱的任何连续模。这是Lusin、Moonens-Pfeffer和Francos早期结果的更强版本。作为应用，我们构造了Heisenberg群中的曲面，其中切空间是水平的。
2013-06-26 math.AP math.FA
A semi-discrete scheme for horizontal mean curvature flow in the Heisenberg group
Università di Padova（帕多瓦大学）；Università di Pisa（比萨大学）；Universität Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）
本文针对第一海森堡群的水平平均曲率流提出极小化运动半离散格式，证明了满足特定连续性条件的平坦流存在，适用于任意有限水平周长的有界集。
2026-10-16 math.AP math.DG
On the second order derivatives of convex functions on the Heisenberg group
在欧几里德的设置著名的Aleksandrov-Busemann-Feller定理指出，凸函数是a.e.二次可微本文证明了一个类似的结果在Heisenberg群中成立，证明了每个连续H-凸函数都属于其二阶水平分布导数是Radon测度的函数类.与Ambrosio和Magnani最近的结果一起，这证明了a.e.给出了Heisenberg群中连续H-凸函数类的二阶水平导数的一些结果.
2003-09-09 math.AP
Heat content and horizontal mean curvature on the Heisenberg group
本文研究第一Heisenberg群中光滑有界区域的次Riemann热含量短时间渐近，利用Brown运动给出概率证明，并以水平周长和总水平平均曲率刻画其前几个系数。
2017-06-05 math.AP math.PR
Renormalization of contact vector fields with horizontal Sobolev regularity in Heisenberg groups
Scuola Normale Superiore（高等师范学院）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
本文在Heisenberg群中研究具有水平Sobolev正则性的接触向量场的传输和连续性方程的适定性，通过适应平滑策略实现了首次在亚黎曼几何设置中的适定性结果。
2026-01-31 math.AP
Horizontal mean curvature flow as a scaling limit of a mean field equation in the Heisenberg group
本文通过海森堡群各向异性重标度下非局部平均场方程的渐近展开推导水平平均曲率流，为视觉皮层模型从细胞层面到图像处理曲率流提供严格升尺度框架，并给出新的逼近与正则化方法。
2024-11-24 math.AP
Regularity of inhomogeneous Quasi-linear equations on the Heisenberg Group
建立了Heisenberg群中拟线性p-Laplacian型非齐次方程弱解水平梯度的Holder连续性.
2020-08-26 math.AP
$C^{1,α}$-Regularity for variational problems in the Heisenberg group
本文研究了Heisenberg群中$p$ -增长的标量变分积分$1<p<\infty$的极小值的正则性，证明了极小值的水平梯度的Hölder连续性.
2018-03-07 math.AP
On the $C^{1,α}$ Regularity of $p$-Harmonic Functions in the Heisenberg Group
本文证明了在Heisenberg群$p$方程弱解的水平导数的局部Hölder正则性.
2017-10-10 math.AP
Intersections of intrinsic submanifolds in the Heisenberg group
在第一海森堡群中，我们证明了两个具有线性无关水平法线的内蕴子流形的交与一条内射连续曲线的像局部重合。关键的工具是一个链式法则，它依赖于Dafermos最近的一个结果。
2010-09-27 math.AP
The Hessian of the distance from a surface in the Heisenberg group
我们计算海森堡群H中的表面S的有符号卡诺-查拉西奥多利距离的水平海森。Hessian的表达式是根据曲面的固有曲率。作为应用，我们计算了H中一点的Carnot-Charatheodory距离的水平Hessian。
2006-10-11 math.AP math.MG
Horizontal magnetic fields and improved Hardy inequalities in the Heisenberg group
本文引入海森堡群磁场概念，研究其对磁性次椭圆拉普拉斯算子谱性质的影响，推导多种Hardy型不等式的磁性改进，建立次黎曼类似物并证明Folland--Stein算子Hardy型不等式的有效性。
2021-10-26 math.AP math.SP
$HW^{2,2}_{\rm loc}$-regularity for $p$-harmonic functions in Heisenberg groups
设$1<p\le4$为$n=1$，$1<p< 3+\frac{1}{n-1} $为$n\ge2$。我们得到了Heisenberg群$\mathbb H^n$中$p$ -调和函数的二阶水平Sobolev $HW^{2,2}_{\rm loc} $ -正则性.这改进了Domokos和Manfredi在2005年获得的$p$的已知范围。
2021-12-15 math.AP
Lipschitz continuity and convexity preserving for solutions of semilinear evolution equations in the Heisenberg group
本文研究了Heisenberg群中半线性抛物型方程的黏性解。证明了在空间无穷远处具有指数增长性的黏性解的唯一性。在适当的假设下，我们还研究了Lipschitz和水平保凸性。反例表明，一般情况下，在欧几里得空间中半线性和完全非线性抛物型方程中所熟知的这些性质在海森堡群中不成立。
2016-04-01 math.AP
Uniqueness of generalized p-area minimizers and integrability of a horizontal normal in the Heisenberg group
研究了广义$p$ -极小曲面在Heisenberg群中的唯一性.由$u$定义的图的广义$p$ -区域读作$\int |\nabla u+\vec{F}| + Hu$。如果$u$和$v$是广义$p$ -区域的两个极小元，满足相同的Dirichlet边界条件，那么我们只能得到$N_{\vec{F}}(u)$ $=$ $N_{\vec{F}}(v)$（在非奇异集上）其中$N_{\vec{F}}(w)$ $:=$ $\frac{\nabla w+\vec{F}}{|\nabla w+\vec{F}|}.$为了得出$u$ $=$ $v$（或$\nabla u$ $=$ $\nabla v)$），它不像黎曼情形那样简单，但通常需要一些特殊的论证。本文证明了对于包含$p$ -面积的广义面积泛函，在$\vec{F}$的导数的秩条件或$u$或$v$的接触形式的不可积条件下，$N_{\vec{F}}(u)$ $=$ $N_{\vec{F}}(v)$在$\geq $ 3中蕴涵$\nabla u$ $=$ $\nabla v$.注意，在维度2（$n=1),$）中，上述陈述不再为真。受图的水平法线$N_{\vec{F}}(u),$的一个方程的启发，我们研究了图的水平法线为单位向量的可积性。我们找到一个类似Codazzi的方程与该方程一起形成可积条件。
2013-05-10 math.AP math.DG
Transport and flow for horizontal Sobolev contact velocities in Carnot groups
University of Padova（帕多瓦大学）；Bocconi University（博科尼大学）
本文在Carnot群上建立了由水平Sobolev接触速度场驱动的输运与流方程的适定性，推广了先前仅适用于Heisenberg群的结果，证明基于重正规化解理论。
2026-09-09 math.AP
Differential games and Hamilton-Jacobi equations in the Heisenberg group
这项工作的目的是双重的。首先研究了形式为$u_t(t,x)+\mathcal{H}(t,x,\nabla_H u(t,x))=0$的Hamilton-Jacobi方程的解，其中$\nabla_H u$表示定义在Heisenberg群${I\!\!H}$上的函数$u$的水平梯度.受Liu，Manfredi和Zhou（\cite{LiMaZh2016}）最近的论文的启发，我们证明了$u$关于${I\!\!H}$中的Korányi齐次距离$d_G$的Lipschitz连续保持性质.其次，我们非常有兴趣在${I\!\!H}$中引入博弈论，考虑到它的次黎曼结构：受到埃文斯和苏甘涅论文的启发，（参见\cite{EvSo1984}），在和Balogh，Calogero和Pini的论文\cite{BaCaPi2014}中，我们证明了以水平曲线作为其轨迹的零对策的上、下值函数的$d_G$ -Lipschitz正则性结果，并研究了与零对策相关的Hamilton-Jacobi-Isaacs方程。作为结果，我们还提供了初始Hamilton-Jacobi方程的黏性解的表示。
2018-03-01 math.AP
On the Characterization of p-Harmonic Functions on the Heisenberg Group by Mean Value Properties
我们用渐近均值性质刻画了海森堡群中的$p-$调和函数，其中$1<p<\infty$遵循Manfredi等人（2009）中描述的欧几里德情形的方案。让我们考虑亚椭圆情形的新工具是一个几何引理，下面的引理3.2，它将一个小的亚椭圆球上的函数的极大点和极小点的方向与该函数的单位水平梯度联系起来。
2012-10-10 math.AP
A low rank property and nonexistence of higher dimensional horizontal Sobolev sets
本文建立了Sobolev映射的“低秩性质”，该映射逐点求解一阶非线性系统的偏微分方程，其光滑解具有所谓的“接触性质”。因此，从一个开集的平面上的Sobolev映射，采取的值在第一海森堡群和有几乎处处最大的秩必须有积极的三维Hausdorff测度关于海森堡群的次黎曼距离的图像。这为Z. M.巴洛格河Hoefer-Isenegger和J.T.泰森我们的方法与以前的方法不同。它的技术方面在于执行“通过爆破的外部分化”，其中标准的分布外部分化是不可能的。这种方法推广到高维Sobolev映射取值于高维Heisenberg群。
2013-02-13 math.AP math.DG
Unweighted Hardy Inequalities on the Heisenberg Group and in Step-Two Carnot Groups
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；Ikerbasque, Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea & BCAM（伊克拉巴斯科，巴斯克大学/BCAM）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）；Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, CNRS（巴黎萨克雷大学，中央理工-苏佩莱克学院，法国国家科学研究中心）
本文在Heisenberg群和步二Carnot群上建立了无权Hardy不等式，并通过构造水平向量场得到最优常数的显式下界，同时推广到非各向同性结构中。
2026-03-04 math.AP math.FA
Decay estimates for the linear damped wave equation on the Heisenberg group
本文给出了Heisenberg群$\mathbf{H}_n$上齐次线性阻尼波动方程解的$L^2$-$L^2$衰减估计及其时间导数和水平梯度.此外，我们认为这些估计的改进时，进一步$L^1(\mathbf{H}_n)$正则性是需要的柯西数据。我们的方法将强烈依赖于组傅里叶变换的$\mathbf{H}_n$和厄米函数的性质，形成一个最大的规范正交系的$L^2(\mathbb{R}^n)$的本征函数的谐振子。
2019-08-07 math.AP
Feeling the heat in a group of Heisenberg type
本文利用Heisenberg型$\mathbb{G}$群中的热方程，对时间无关的伪微分算子$\mathscr L^s$和$\mathscr L_s$，$0< s\leq 1$的两个截然不同的延拓问题给出了统一的处理.这里，$\mathscr L^s$是水平拉普拉斯算子的分数幂，而$\mathscr L_s$是水平拉普拉斯算子在$\mathbb{G}$上的共形分数幂。我们的主要目标之一是用一种新的方法显式地计算这些非局部算子的基本解，该方法完全基于偏微分方程和半群方法。当$s=1$我们的结果夺回著名的基本解发现的Folland和Kaplan推广。
2021-02-10 math.AP math.DG
Non coercive unbounded first order Mean Field Games: the Heisenberg example
在本文中，我们研究了进化的一阶平均场游戏中的海森堡群，每个代理可以在整个空间中移动，但它必须遵循“水平”的轨迹，这是给定的向量场产生的组和动力学部分的成本只取决于水平速度。哈密顿量在梯度项中不是强制性的，连续性方程中的一阶项的系数在无穷远处可以有二次增长。本文的主要结果有两个：前者是建立一个弱解的平均场博弈系统的存在性，而后者是表示这个解决方案的拉格朗日制定的平均场游戏。我们还提供了一些海森堡型结构的推广。
2021-12-31 math.AP math.OC
Higher Weak Differentiability to Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
Shaanxi University of Science and Technology（陕西科技大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文研究了Heisenberg群中混合局部和非局部退化椭圆方程解的更高弱可微性，通过迭代方案和截断方法证明了解的梯度的更高弱可微性。
2026-04-15 math.AP
Continuity estimates for variable growth variational problems in the Heisenberg group
Indian Institute of Science（印度科学研究所）
本文研究海森堡群中变增长变分问题局部极小元的正则性，在指数函数水平梯度满足可积性条件下，证明了水平梯度的Hölder连续性与连续性，是该领域首个正则性结果。
2025-10-17 math.AP
Weak Differentiability to Nonuniform Nonlinear Degenerate Elliptic Systems under $p,q$-growth Condition on the Heisenberg Group
School of Mathematics and Data Science, Shaanxi University of Science and Technology（陕西科技大学数学与数据科学学院）；School of Sciences, Xi’an University of Technology（西安理工大学理学院）
本文在Heisenberg群上研究满足p,q增长条件的非均匀非线性退化椭圆系统的弱解的弱可微性，通过迭代方法获得不同方向上的弱可微性结果。
2023-02-05 math.AP
First order Mean Field Games in the Heisenberg group: periodic and non periodic case
本文研究了海森堡群$\He^1$中的演化一阶平均场博弈，每个主体只能沿生成$\He^1$的向量场给出的“水平”轨迹运动，代价的动力学部分仅取决于水平速度.哈密顿量在梯度项中不是强制的，连续性方程中一阶项的系数在无穷远处可以二次增长，本文的主要结果有两个：前者是为了建立平均场博弈系统的弱解的存在性，而后者是为了遵循平均场博弈的拉格朗日公式来表示该解。我们将同时解决海森堡-周期性和非周期性的情况遵循两种不同的方法。为了得到这些结果，我们证明了一些有自己的兴趣的性质：唯一性结果的二阶福克-普朗克方程和概率表示的连续性方程的解决方案。\end{abstract}
2021-01-26 math.AP math.OC
Gradient regularity for elliptic equations in the Heisenberg Group
我们给出了海森堡群中一类可能退化的次椭圆型方程在水平梯度上表现出超二次增长的无量纲正则性条件;这解决了Manfredi & Mingione（Math.Ann.2007）提出的一个问题，其中只给出了增长指数的维数相关界。我们还获得了显式的先验局部正则性估计，并涵盖了水平p-Laplacean算子的情况，扩展了Domokos和Manfredi证明的一些正则性（续）Math.2005）。反过来，发现的先验估计暗示适当的本地Calderon-Zygmund理论的相关类的非齐次，可能退化的方程，涉及不连续系数。这些最后的结果扩展到亚椭圆设置的几个经典的非线性欧几里德结果Iwaniec和Dibenedetto & Manfredi，和非线性的情况下估计相同的性质，可在亚椭圆设置只为解决方案的线性方程。
2007-08-27 math.AP math.DG
A continuous model of transportation in the Heisenberg group
University of Bologna（博洛尼亚大学）；University of Barcelona（巴塞罗那大学）
该研究提出海森堡群中带水平散度型约束的极小化问题，推导其对偶形式，明确了它与不同参数下拥塞最优输运及Monge-Kantorovich问题的关联。
2025-10-28 math.AP math.OC
Local dispersive and Strichartz estimates for the Schr{ö}dinger operator on the Heisenberg group
H. Bahouri，P. G{é}rard and C. J. Xu在[9]中指出，海森堡群$\mathbb{H}^d$上的薛定谔方程，包括次拉普拉斯算子，是完全非色散发展方程的一个例子：由于这个原因，全局色散估计不能成立。通过对$\mathbb{H}^d$上的Schr{<$}dinger核$S_t$的精细研究，建立了线性Schr{<$} dinger方程在$\mathbb{H}^d$上的局部色散估计.通过几个例子，这些估计的锐度进行了讨论。我们的方法是基于B. Gaveau在[20]中的方法是通过结合复分析和傅里叶-海森堡工具实现的。作为我们的结果的一个副产品，我们建立了本地的Eschhartz估计，并证明了核$S_t$集中在量化的水平超平面的$\mathbb{H}^d$。
2020-12-15 math.AP
$C^{1,α}$-regularity for Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
Shaanxi University of Science and Technology（陕西科技大学）
本文在Heisenberg群上研究混合局部与非局部退化椭圆方程弱解的$C^{1,α}$正则性，通过Morrey型迭代方案和Hölder连续性证明了弱解的正则性。
2026-02-11 math.AP
Excess decay for quasilinear equations in the Heisenberg group and consequences
本文在海森堡群中为拟线性次椭圆 p-Laplace 型方程建立了与欧氏情形类似的过剩衰减估计，并由此将解的 Hölder 连续性推广到全范围 1<p<∞，同时证明了水平梯度的尖锐临界连续性结果。
2024-10-01 math.AP
Regularity of C^{1} smooth surfaces with prescribed p-mean curvature in the Heisenberg group
本文考虑三维Heisenberg群中具有给定$p$（或$H$）-中曲率的$C^{1}$光滑曲面.本文证明了在非奇异区域$p$中，任何特征曲线都是$H\in C^{0},$光滑的，其（线）曲率等于$-H$。通过引入特征坐标，利用沿特征曲线的跳跃公式，我们可以证明Legendrian（或水平）法线多一阶导数。因此，种子曲线是$C^{2}$平滑的。在较弱的条件下，我们还分别得到了过公共点的特征曲线和种子曲线的唯一性。这些结果可以应用到更一般的情况。
2008-07-24 math.AP math.DG
Minimal surfaces in sub-Riemannian manifolds and structure of their singular sets in the (2,3) case
本文研究了一般次黎曼流形中具有余秩1的次黎曼结构的极小曲面。这些表面可以被定义为与规范{ \it horizontal}面积形式相关联的所谓{\it horizontal}面积泛函的临界点。我们推导出的内在方程在一般情况下，然后考虑在更详细的二维表面接触流形的3维。我们表明，在这种情况下，极小曲面是一类特殊的二维曲面的水平球面丛的基础流形上的投影。极小曲面的通有奇性导致了这种投影的奇性，并给出了它们的一个完整的局部分类。我们用海森堡群和旋转平移群中的例子来说明我们的结果
2007-09-19 math.AP math.DG
Schwarzians on the Heisenberg group
本文研究了Heisenberg群$\mathbb{H}_1$中切触映射的Schwarzian导数的各种概念，并引入了两个定义：（1）基于Osgood和Stowe以及最近Son研究的共形联络方法的CR Schwarzian导数;（2）经典型Schwarzian导数与著名的复解析定义相一致.特别是，我们考虑共形刚度的影响和它施加的限制。此外，我们还研究了Schwarzians的核和上循环条件。我们的辅助结果包括接触共形向量场的特征。受Chuaqui-Duren-Osgood，Hernández，Martín和Venegas的启发，我们在$\mathbb{H}_1$中引入了映射的Preschwarzian.此外，我们研究了水平雅可比矩阵的次椭圆偏微分方程理论中的结果，以及调和映射和梯度调和映射的相关微分表达式，后者的概念在这里引入了$\mathbb{H}_1$的设置。
2021-10-13 math.AP math.CV math.DG
A Koebe distortion theorem for quasiconformal mappings in the Heisenberg group
证明了次黎曼Heisenberg群$\mathbb{H}_1$中域间拟共形映射的平均导数的Koebe偏差定理.证明了$\mathbb{H}_1$子域间拟共形映射的若干辅助性质，包括拟共形映射的Jacobian对数的球偏差估计和局部BMO估计. Koebe定理的应用包括曲线图像的直径界，平均导数和水平微分算子范数的积分的比较，以及$\mathbb{H}_1$中区域中的拟共形密度和度量的研究。讨论了次黎曼距离和Korányi距离的定理。这扩展了由于Astala-Gehring、Astala-Kobala、Kobala和Bonk-Kobala-Rohde的结果。
2019-05-17 math.AP math.CV math.MG
Variations of generalized area functionals and p-area minimizers of bounded variation in the Heisenberg group
本文证明了在抛物凸有界区域中，对于$p$ -区域（伪埃尔米特区域或水平区域），存在一个具有$C^{0}$边值的连续$BV$极小元.我们将面积泛函的定义域从$BV$函数扩展到向量值测度。我们的主要目的是研究这种广义面积泛函的第一阶变分和二阶变分，其中包括奇异部分的贡献。通过给出黎曼几何和伪厄米几何中的例子，统一地说明了几个已知的结果。本文给出了任意伪厄米$3$流形中曲面的奇异曲线对$p$面积的第一和二阶变分的贡献。
2011-02-14 math.AP math.CV math.DG
Lipschitz approximation of almost $\mathbb G$-perimeter minimizing boundaries in plentiful groups
本文证明丰富群中内蕴周长几乎最小化边界可由内蕴Lipschitz图逼近，首次将正则性理论推广至Heisenberg群之外。
2023-12-24 math.AP math.DG
