Regularity of $C^1$ surfaces with prescribed mean curvature in three-dimensional contact sub-Riemannian manifolds
本文考虑三维切触亚黎曼流形中具有连续预定中曲率的$C^1$类曲面，证明了它们的特征曲线是$C^2$类曲面。这个规律性结果也适用于体积约束下的次黎曼周长的临界点。所有结果在第一海森堡群$\mathbb{H}^1$中均成立.
2015-05-01 math.DG
The regularity of Euclidean Lipschitz boundaries with prescribed mean curvature in three-dimensional contact sub-Riemannian manifolds
本文考虑一个在三维切触亚黎曼流形$M$中具有给定中曲率$f\in C(Ω)$和欧氏Lipschitz边界$\partial E=Σ$的集合$E\subsetΩ$.证明了若$Σ$是局部正则本征图，则其特征曲线属于$C^2$类.其结果是形状和改进包含在\cite{MR2583494}和\cite{GalRit15}。
2016-02-09 math.DG
Allard-Type Regularity for Varifolds with Prescribed Contact Angle
本文证明了在给定域边界上具有 prescribed contact angle 的积分 varifold，在 tangent cone 为 density one 的 half-hyperplane 条件下，其支撑集在边界点附近是 $C^{1,γ}$ 超曲面。
2024-03-26 math.AP math.DG
Regularity of Lipschitz boundaries with prescribed sub-Finsler mean curvature in the Heisenberg group $\mathbb{H}^1$
对于严格凸集$K\subset \mathbb{R}^2$的类$C^2$，我们考虑其相关的子芬斯勒$K$周长$|\partial E|_K$在$\mathbb{H}^1$和规定的中曲率功能$|\partial E|_K-\int_E f$相关的功能$f$。给出了这类具有欧氏Lipschitz和固有正则边界的泛函的临界集，证明了它们的特征曲线是$C^2$类的，并且这种正则性是最优的.特别是当$E$的边界是$C^1$类时，该结果成立。
2021-01-15 math.DG math.MG
Prescribed curvature measure problem in hyperbolic space
给定曲率测度问题是微分几何和非线性偏微分方程中的重要问题之一。本文考虑双曲空间中的规定曲率测度问题。在双曲空间中，通过对相应的完全非线性偏微分方程的解建立关键的C^2正则性估计，得到了具有指定的（n-k）阶曲率测度（k<n）的星形k-凸体的存在性.
2020-08-22 math.AP math.DG
Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness
在前一篇论文中，我们发展了一个正则性和紧性理论，在欧氏环境空间余维1弱稳定CMC积分变倍满足两个（必要）结构条件。在这里，我们将这个理论推广到平均曲率（变倍的正则部分的）由给定的$C^{1, α}$周围函数$g$规定，并且周围空间是一般的$(n+1)$维黎曼流形;我们给出了一般的条件，这意味着支持的varifold，远离维度$\leq n-7,$的可能奇异集合的是具有连续单位法向$ν$和平均曲率$gν$的$C^{2}$浸入的图像。这些条件也确定了一个紧凑的类varifolds受到额外的统一质量约束。如果$g$在任何地方都不为零，或者更一般地说，如果集合$\{g=0\}$足够小（例如，如果${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$），那么结果及其证明与CMC的情况非常类似。然而，当$g$是任意的时，必须考虑一些额外的考虑：首先，正确的第二变分假设是有限Morse指数的假设（而不是弱稳定性）;第二，要得到一个几何上有用的具有紧性结论的理论，变分流形上的两个结构条件之一必须被削弱;第三，鉴于简单的例子，这种结构假设的弱化需要更多的假设才能得出相同的结论。我们确定了两套额外的假设下，这一结论适用于一般的$g$：其中一个给出了正则性和紧性，另一个给出了正则性，并适用于某些相变问题。我们还提供了推论的多重$1$ varifolds减少边界的Caccioppoli集。在这些情…
2020-10-11 math.AP math.DG
Minimal null scrolls in the three-dimensional Heisenberg group
本文在三维海森堡群的左不变洛伦兹度量下，将一类满足Abresch-Rosenberg微分乘积消失条件的类时极小曲面刻画为零曲线与仿射零直线的乘积，并给出相应构造方法。
2024-02-26 math.DG
Area-minimizing horizontal graphs with low-regularity in the sub-Finsler Heisenberg group $\mathbb{H}^1$
研究次芬斯勒海森堡群$\mathbb{H}^1$中低正则性面积极小水平图，构造以水平线或共点水平半直线有限并为奇异集的欧氏局部利普希茨整面积极小水平图，还给出多类面积极小锥例子。
2023-05-02 math.DG
Stable minimal graphs in Heisenberg group $\mathbb{H}^n$
我们证明了严格稳定的极小$C^2_h$固有图G是局部面积最小的，即给定任何具有相同边界的$C^1_h$图$S$，$\text{Area}(G)<\text{Area}(S)$，除非$G=S$ .作为结果，我们证明了具有指定的小边界数据的$C^\infty$极小图的存在性和唯一性。
2017-01-22 math.AP math.DG
Examples of area-minimizing surfaces in the subriemannian Heisenberg group H^1 with low regularity
我们给出了次黎曼海森堡群H^1中整面积最小化t-图的新例子。大多数的例子都是欧几里得意义上的局部Lipschitz。一些正则例子给出了由一条水平线或有限条水平半直线组成的奇异集。其中，一个大家庭的面积最小化锥。
2008-03-10 math.DG math.MG
The Dirichlet problem for constant mean curvature surfaces in Heisenberg space
研究了黎曼三维Heisenberg空间${\cal H}={\cal H}(τ)$中的常中曲率图.每一个这样的${\cal H}$都是一个黎曼浸入到欧几里得平面$\mathbb{R}^2$上的全空间，其中测地纤维是一个Killing场的轨道。我们证明了${\cal H}$中关于某些具有指定边界值的域$Ω\subset\mathbb{R}^2$上的Riemannian淹没的CMC图的存在性和唯一性。
2006-12-22 math.AP math.DG
Existence and structure of P-area minimizing surfaces in the Heisenberg group
研究了Dirichlet和Neumann边界条件下Heisenberg群中$P-$面积极小曲面的存在性和结构.我们发现，存在一个潜在的向量场$N$，其特征在于存在和结构的$P$面积极小化表面。即使不存在满足规定边界条件的$P$面积最小化曲面，该向量场也存在。我们证明了如果$\partial Ω$满足一个所谓的障碍条件，它是足够的，以保证存在这样的曲面。我们的方法是完全不同于以前的方法在文献中，并取得重大进展，了解存在的$P$面积极小化曲面。
2021-04-17 math.AP math.DG
The second boundary value problem of the prescribed affine mean curvature equation and related linearized Monge-Ampère equation
这些课堂讲稿关注的是规定的仿射中曲率方程的第二边值问题的可解性，以及蒙日-安培方程和线性化的蒙日-安培方程的相关正则性理论。规定的仿射中曲率方程是以下形式的完全非线性、四阶几何偏微分方程$$\sum_{i, j=1}^n U^{ij}\frac{\partial^2}{\partial {x_i}\partial{x_j}}\left[(\det D^2 u)^{-\frac{n+1}{n+2}}\right]=f$$，其中$(U^{ij})$是局部一致凸函数$u$的海森矩阵$D^2 u$的余因子矩阵。它的变种是有关的问题，寻找凯勒度量的常数标量曲率在复杂的几何。本文首先介绍了仿射中曲率方程的背景，该方程可以看作是Monge-Ampère方程和线性化的蒙日-安培方程的耦合系统。然后，我们陈述了关键的公开问题，并给出了第二个边值问题的解决方案，它规定了解$u$及其Hessian行列式$\det D^2 u$的边界值。它的证明使用了重要的工具，从边界正则性理论的蒙日-安培和线性化的蒙日-安培方程，我们将提出在课堂讲稿。
2017-04-11 math.AP math.DG
H-minimal graphs of low regularity in the Heisenberg group
本文研究了低正则性的H-极小图。证明了单位水平高斯映射的分支在W^{1，1}中的非特征C^1 H-极小图是具有C^2种子曲线的直纹曲面。在不同的方向上，我们研究了C^1 H-极小图的面片可以粘合在一起以形成连续的分段C^1 H-极小曲面的方法。我们应用这些描述的H-极小图的光滑解的存在性问题的狄利克雷问题光滑的数据。我们找到了光滑解存在的一个必要条件，并给出了满足条件和不满足条件的例子。特别地，我们通过产生一类H-最小生成图不可能是C^2的平滑曲线来说明数据的光滑性对狄利克雷问题的解的光滑性的影响。
2006-11-01 math.DG
Optimal $C^{1,\frac{1}{2}}$-regularity of $H$-surfaces with a free boundary
本文证明了二维$C^2$ -流形上具有自由边界的具有规定中曲率的曲面（$H$ -曲面）在该边界之前属于$C^{1,\frac{1}{2}}$，只要它是先验连续的.我们允许$H$ -曲面与流形非垂直相交，并且流形本身有边界。根据Hildebrandt和Nitsche的一个例子，我们的结果是最优的。
2020-08-28 math.AP math.DG
Existence and regularity for prescribed Lorentzian mean curvature hypersurfaces, and the Born-Infeld model
本文研究闵可夫斯基空间中预定洛伦兹平均曲率超曲面的存在性与正则性，针对一般测度ρ在有界域和全空间上，给出求解Born-Infeld方程(BI)的充分条件，并构造例子确定正则性阈值，主要困难是类光线段的存在。
2023-12-17 math.AP math.DG
Delaunay surfaces of prescribed mean curvature in $\mathrm{Nil}_3$ and $\widetilde{SL_2}(\mathbb{R})$
我们得到了Heisenberg空间中旋转曲面的分类结果，并得到了特殊线性群的泛覆盖，其中曲率由给定的$C^1$函数决定，并依赖于它们的角函数.我们表明，这些曲面的行为像常中曲率的Delaunay曲面，在某些假设下的规定功能。与恒定的中曲率的情况下，我们表现出旋转，嵌入环面的存在，这类浸没表面的Alexandrov问题提供了反例。
2021-07-09 math.DG
Existence and partial regularity of Legendrian area-minimizing currents
本文证明接触流形中局部质量极小的Legendrian积分流具有开且稠密的正则集，并据此建立Heisenberg群中Legendrian Plateau问题及闭接触流形同调类中极小流的存在性与部分正则性。
2024-06-13 math.AP math.DG math.MG
On compact hypersurfaces in a Riemannian vector bundle with prescribed vertical Gaussian curvature
设M是紧致黎曼流形，E是M上的黎曼向量丛.我们寻找E的超曲面具有一个指定的垂直高斯曲率。在试图解决这个问题的纤维明智的，我们松散的规律性的结果的解决方案。为了不确定解的光滑性，我们将其构造为E的单位球子丛上的一个径向图，并通过求解其中的一个Monge-Ampère型非线性偏微分方程证明了其存在性.
2016-01-25 math.DG
Optimal regularity for two-dimensional Pfaffian systems and the fundamental theorem of surface theory
我们证明了当系数在$\mathbb{R}^2$的单连通开子集上的临界空间$L^2_\mathrm{loc}$中时，如果系数是反对称的且满足相容条件，则系统在$W^{1,2}_\mathrm{loc}$中有非平凡解.作为这一结果的应用，我们表明，曲面理论的基本定理分别适用于满足与Gauss-Codazzi-Mainardi方程等价的相容性条件的$W^{1,2}_\mathrm{loc}$和$L^2_\mathrm{loc}$类中的第一和第第二基本型的最优正则性。最后，我们给出了类$W^{2,2}_\mathrm{loc}$中曲面浸入的一个弱紧性定理。
2020-01-27 math.AP math.DG
Conical metrics on Riemann surfaces, I: the compactified configuration space and regularity
我们介绍了一个紧致化的空间的简单的正因子的黎曼曲面，以及紧致化的普遍家庭的穿刺表面以上的这个空间。这些是有角的流形。然后，我们研究的常曲率空间度量的黎曼曲面与规定的圆锥奇点在这些因子。我们在这里感兴趣的是这些度量的局部变形，特别是圆锥点合并的行为。我们证明了一个尖锐的规律性定理，这种现象的政权，这些度量是已知存在的。这种设置将在随后的论文中使用，以研究具有大锥角的球面锥度量空间，其中存在性理论仍然是不完整的。
2018-06-17 math.AP math.DG
A Codazzi-like equation and the singular set for $C^{1}$ smooth surfaces in the Heisenberg group
本文研究了$3$维Heisenberg群$\boldsymbol{H}_{1}$中$C^{1}$光滑曲面的奇异集结构。我们发现了一个类似于Codazzi方程的$p$面积元素沿表面上的特征曲线。从这个常微分方程得到的信息有助于我们分析奇异集的局部构形和特征曲线。特别地，我们可以估计奇异集的大小并得到其正则性。我们通过一个Hopf型指标定理来理解奇异集的全局结构。我们还证明了Codazzi方程证明了一个基本定理的局部曲面$\boldsymbol{H}_{1}$。
2010-06-23 math.AP math.DG
Some existence results for the Webster scalar curvature problem in presence of symmetry
在给定曲率的某些自然对称性的假设下，证明了Heisenberg群和${\mathbb C}^{n+1}$的单位球面上Webster数量曲率问题的一些存在性结果.我们使用变分和扰动技术。
2002-12-10 math.AP math.DG
Convex isoperimetric sets in the Heisenberg group
我们刻画了具有水平周长的Heisenberg群中的凸等周集。首先证明了一类有界变差平面上向量场的Sobolev正则性，并与曲率方程有关。然后，通过近似-重新参数化的论证，我们证明了凸等周集的边界是由Carnot-Caratheodory距离的测地线划分的。
2006-07-26 math.CA math.DG
On surfaces with a prescribed curvilinear projection of one field of principal directions
考虑一类Riemannian 3-空间中的面图，其中一个主方向场具有到曲面$Π$上的预定投影。当两个主曲率都给定在$Π$中的一条直线上时，给出了确定这类曲面的一个问题。几何问题减少到柯西问题的拟线性偏微分方程的，在一定条件下的数据，是双曲的，并承认一个唯一的解决方案。证明了空间型中的平行曲面在较弱的正则性假设下为几何问题提供了一类特殊的整体解。这样的解可以通过迭代函数序列来找到。
2010-03-10 math.DG
Submanifolds with boundary in sub-Riemannian Heisenberg Groups
Università di Padova（帕多瓦大学）
本文研究亚黎曼海森堡群中具有内在$C^1$正则性的带边界子流形，给出实例并建立涉及Rumin微分形式积分的斯托克斯定理。
2026-10-28 math.CA math.DG math.MG
Regularity properties of spheres in homogeneous groups
研究了存在单参数位似自同构族的李群上的左不变距离。主要的例子是卡诺群，特别是具有标准膨胀的海森堡群。我们感兴趣的标准意味着，当地和远离对角线，距离是欧几里得Lipschitz，因此，度量领域的边界Lipschitz域在欧几里得意义上。在本文的第一部分，我们考虑测地距离。在这种情况下，我们实际上证明了距离的正则性，在更一般的情况下，子芬斯勒流形没有异常测地线。其次，对于一般群，我们用扩张自同构给出了一个代数判据，例如，它使我们得出了Heisenberg群上齐次距离的正则性，在这样的群中，我们更详细地分析了度量球的几何。我们还提供了齐次群的例子，球提出尖点。
2015-09-13 math.DG math.GR math.MG
Multiplicity one for min-max theory in compact manifolds with boundary and its applications
证明了一般度量下边界维数在3 - 7之间的紧致流形中极小极大自由边界极小超曲面的重数为1的定理。为了解决这一问题，我们发展了具有指定中曲率的自由边界超曲面的存在性和正则性理论，其中包括极小元的正则性理论，紧性理论和一般的具有Morse指标界的极小极大理论.作为应用，我们构造了欧几里得空间中单位球上新的自由边界极小超曲面和具有任意大熵的中曲率流的自收缩曲面。
2020-11-09 math.AP math.DG
Plateau's Problem for intrinsic graphs in the Heisenberg Group
UTIA – Czech Academy of Sciences（捷克科学院应用数学研究所）
本文利用几何构造，在Heisenberg群H^1中解决内在图的Plateau问题，通过小性条件证明了边界或Lipschitz边界数据的最小性，并应用这些技术获得H-周长最小化者的新的正则性结果。
2026-05-07 math.CA math.DG
Lipschitz approximation of almost $\mathbb G$-perimeter minimizing boundaries in plentiful groups
本文证明丰富群中内蕴周长几乎最小化边界可由内蕴Lipschitz图逼近，首次将正则性理论推广至Heisenberg群之外。
2023-12-24 math.AP math.DG
Optimal regularity for Lagrangian mean curvature type equations
本文研究Lagrange平均曲率型方程凸解的正则性，分别在$C^2$凸相位和高Hölder指数条件下证明正则性，并用奇异解证明条件与指数最优。
2024-09-08 math.AP math.DG
Quantitative Centre Rigidity under Riemannian Approximation in Heisenberg Groups
National Taiwan University（国立台湾大学）；Academia Sinica（中央研究院）
该论文证明了海森堡群中满足稳定性条件的有限黎曼周长集合的定量中心刚性，给出了水平中心导数等量的界，并指出周长超出量满足相同界。
2026-10-06 math.DG
Horizontal and Straight Triangulations on Heisenberg Groups
本文证明了海森堡群存在由水平低维层和直线高维层构成的奇异单纯形三角剖分，先构造于一般多面体结构，再推广至整个群，并给出显式例子。
2023-05-12 math.DG math.MG
Generalized Calabi correspondence and complete spacelike surfaces
本文构造 Riemannian 与 Lorentzian Killing 浸没间给定平均曲率图的孪生对应，推广 Calabi 对应，并用于研究完备类空曲面的模空间。
2017-07-24 math-ph math.AP math.DG
Tubular neighborhoods in the sub-Riemannian Heisenberg groups
研究了次黎曼海森堡群$\mathbb{H}^n$，$n\ge 1$中$δ_E$到闭集$E$的Carnot-Carathéodory距离.在较弱的条件下证明了$δ_E$的$\mathbb{H}$ -正则性，并引入了奇点的一般概念.当$E$是欧氏$C^k$子流形$k\ge 2$时，我们证明了$δ_E$是奇异集之外的$C^k$.当$E$的边界为类$C^2$时，得到了管状邻域的体积的显式表达式，在奇异集之外，根据$\partial E$的水平主曲率和函数$\langle N,T\rangle/|N_h|$及其切导数.
2017-09-21 math.DG math.MG
Tubes in sub-Riemannian geometry and a Weyl's invariance result for curves in the Heisenberg groups
University of Fribourg（弗里堡大学）；SISSA（的里雅斯特高等研究学校）；Università degli Studi dell’Aquila（拉奎拉大学）
本文研究了子黎曼结构中子流形的距离正则性，管状邻域体积渐进行为，以及海森堡群中曲线的韦伊不变性，证明了管体积仅依赖于Reeb角。
2026-03-27 math.DG math.MG
A PDE approach to the existence and regularity of surfaces of minimum mean curvature variation
本文用偏微分方程方法研究最小平均曲率变差曲面的存在性与正则性，首次给出了光滑解和变分解的存在性及几何正则性结果。
2024-08-02 math.AP math.CA math.DG
A Heisenberg Subdivision Scheme with Central Smoothness Loss
University of Seville（塞维利亚大学）
该研究为海森堡群控制多边形引入插值细分方案，通过特定坐标规则细化点。水平部分继承经典四点极限的平滑性，中心部分收敛到Zygmund类连续极限，在特定条件下对数界尖锐，校正对单步无害但多步影响平滑性，警示非线性和群值细分。
2026-07-08 cs.NA math.DG math.NA
Generic Transversality of Minimal Submanifolds and Generic Regularity of Two-Dimensional Area-Minimizing Integral Currents
设$N$是一个具有光滑黎曼度量$g_0$的光滑流形，且$Γ$是$N$的光滑子流形.本文证明了：对于与$g_0$共形的一般（在Baire范畴意义下）光滑度量$g$，若$F$是闭流形在N中的任意单$g$ -极小浸入，则$F$横截于$Γ$，且$F$是自横截的.该定理仍然是正确的“横截”和“自横截”替换为“强横截”和“强自横截”。该定理也适用于常平均曲率的超曲面，或者更一般地，规定平均曲率的超曲面。本文还证明了，对于一般的环境度量，每一个在其同调类中面积最小的无边界$2$维曲面（积分流或平坦链模$2$）的支撑度等于光滑嵌入的极小曲面.
2019-12-03 math.DG
