Images of multilinear polynomials of degree up to four on upper triangular matrices
Pedro S. Fagundes, Thiago C. de Mello
本文给出了四次以下多线性多项式在上三角形矩阵代数上的象。
We describe the images of multilinear polynomials of degree up to four on the upper triangular matrix algebra.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The images of multilinear polynomials on strictly upper triangular matrices
本文的目的是描述任意次多线性多项式在严格上三角形矩阵代数上的象。
The image of multilinear polynomials evaluated on $3\times 3$ upper triangular matrices
本文给出了无限域上任意次多线性多项式在$3\times 3$上三角形矩阵代数上的象。
Images of multilinear graded polynomials on upper triangular matrix algebras
本文研究了多重线性分次多项式在上三角形矩阵UT_n的分次代数上的象。对于正整数q \leq n，我们在UT_n上赋予一个特殊的初等Z_q-分级对这些图像进行分类.从而得到UT_n上的多线性分次多项式在自然Z_n分次下的象。我们应用这种分类，以给出一个新的条件，多线性多项式的分次身份，以便获得无迹矩阵在其图像上的全矩阵代数。我们还描述了分次代数UT_2和UT_3上的多重线性多项式对任意分次的象。最后，我们证明了分次Jordan代数UJ_2和赋自然初等Z_3-分次的UJ_3的一个类似结果。
Images of multilinear polynomials on $n\times n$ upper triangular matrices over infinite fields
本文证明了无限域$K$上的上三角形矩阵的代数$UT_n(K)$上的多线性多项式的象等于其Jacobson理想$J=J(UT_n(K))$的幂$J^r$.特别是，这表明类似的Lvov-Kaplansky猜想为$UT_n(K)$是正确的，解决了一个猜想的Fagundes和德梅洛。为了证明这一点，我们引入了多项式的阶数的概念，并利用系数刻画了阶数为$r$的多线性多项式。证明了多线性多项式$f$在$UT_n(K)$上的像是$J^r$当且仅当$f$具有换位子度$r$。
A note on the image of graded multilinear polynomials on upper triangular matrices
研究上三角矩阵代数上分次变量多元多项式的像，证明在恒等分量交换时像总是子空间，并推广到逆极限和直极限。
Values of multilinear graded $*$-polynomials on upper triangular matrices of small dimension
本文研究多重线性分次*-多项式在小维数上三角矩阵上的像，证明其在 UT_2 及非平凡分次 UT_3 上为齐次向量空间，并说明该结论最优，从而表明 L'vov-Kaplansky 猜想在带分次对合的代数中不成立。
On Multilinear Polynomials In Four Variables Evaluated On Matrices
设$K$是特征$0$的代数闭域，$M_n(K)$，$n \ge 3$是$K$上的矩阵环.我们将证明在$M_n(K)$上求值的任何四元多线性多项式的图像包含迹$0$的所有矩阵。
Images of Multilinear Polynomials in the Algebra of Finitary Matrices Contain Trace Zero Matrices
本研究针对无限域上非零多重线性多项式在有限矩阵代数中的像问题，证明对任意正整数d存在s使其像含所有d阶迹零矩阵，进而得出其在全体有限矩阵代数中的像包含所有迹零有限矩阵的结论。
Images of linear polynomials on upper triangular matrix algebras
本文描述了在基础域温和条件下上三角矩阵代数上零常数项线性多项式的像，并以此改进了Fagundes-Mello猜想及多重线性分次多项式像的相关结果。
Upper triangular matrices with superinvolution: identities and images of multilinear polynomials
本文完整刻画了UT_4(F)上由序列(0,1,0,1)诱导分次及超辛超级对合的恒等式，并证明UT_n(F)上多重线性多项式像为向量空间当且仅当n≤3，推进了L'vov-Kaplansky猜想的类比研究。
On multilinear polynomial identities for $2\times2$ matrices in characteristic $2$
本文在特征2的无限域上，为$2\times2$矩阵代数$M_2(K)$找到了两个5次多线性恒等式，并与4次标准多项式共同生成所有次数不超过7的多线性恒等式，且证明三个生成元缺一不可。
Elementary triangular matrices and inverses of $k$-Hessenberg and triangular matrices
我们利用初等三角形矩阵得到了三角形矩阵的一些因式分解、乘法和求逆性质。我们还得到了严格$k$ -Hessenberg矩阵和带状矩阵的逆的显式表达式。我们的结果可以推广到块三角矩阵和块Hessenberg矩阵的情况。
On the image of polynomials evaluated on incidence algebras: a counter-example and a solution
本文研究了给定代数上的固定多线性多项式的求值所得到的子集。我们提供了一个多线性多项式的例子，它的像不是向量子空间;也就是说，两个代数的乘积在上三角形矩阵的某些子代数（所谓的关联代数）上求值时不需要是子空间。在本文的最后一部分，给定域是无限的，我们减少了问题的描述的图像的多项式评估的关联代数的研究，以评估的某一家庭的多项式的Jacobson根。特别是，我们能够描述的图像上的上三角形矩阵代数的多线性多项式评估。
Evaluations of multilinear polynomials on low rank Jordan algebras
本文证明了$J_n$型Jordan代数的广义Kaplansky猜想，特别是$\R$、$\C$、$\HH$和$\Oct$上的自伴$2\times 2$矩阵.事实上，我们证明了多线性多项式的象必定是$\{0\}$，$\mathbb{R}$，纯元空间$V$，或$J_n$ .
Local Centrally Essential Subalgebras of Triangular Algebras
本文研究了特征$\ne 2$域上所有上三角形矩阵代数中的局部中心本质子代数。证明了上三角$3\times 3$或$4\times 4$矩阵的代数只有交换的局部中心本质子代数.每一个阶超过$6$的上三角形矩阵代数都包含一个非交换的局部中心本质子代数。该文件将出现在线性和多重线性代数。O. V. Lyubimtsev的工作是在国家任务No~0729-2020-0055下完成的。A.A. Tuganbaev由俄罗斯科学基金会项目16-11- 10013 P支持。
Derivatives of triangular, Toeplitz, circulant matrices and matrices of other forms over semirings
在这篇文章中，我们构造了矩阵半环中导子的例子。本文研究了对角矩阵、三角矩阵、Toeplitz矩阵、循环矩阵和其它形式的矩阵的遗传导数、内导子导数、导数，并证明了这些形式的矩阵的导数定理。
The Algebra of $S^2$-Upper Triangular Matrices
本文定义并研究推广普通三角矩阵的$S^2$-上、下三角矩阵，证明行列式性质的推广，构造其代数并给出相应LU分解条件。
Degree-inverting involution on full square and triangular matrices
本文分类了全方阵与三角矩阵上的次数反转对合，给出了其完整分类结果。
Lie and Jordan Isomorphisms of Algebras of Triangular Matrices over Associative Rings
研究结合环上三角矩阵代数的李同构与若尔当同构，描述其相关性质。
The g-Drazin inverses of anti-triangular block operator matrices
巴拿赫代数$\mathcal{A}$中的元素$a$有g-Drazin逆，如果存在$b\in \mathcal{A}$使得$ab=ba, b=bab$和$a-a^2b \in \mathcal{A}^{qnil}$ .本文给出了块算子矩阵$\left( \begin{array}{cc} E&I F&0 \end{array} \right)$的g-Drazin逆的新的显式表示.从而解决了Campbell [S.L.张文，张文，等.二阶线性微分方程组的Drazin逆与系统.线性$\&$多重线性代数，1983年第14期，第195- 198页.
Graded polynomial identities for the Lie algebra of upper triangular matrices of order 3
本文计算了3阶上三角矩阵李代数在初等分次下的分次多项式恒等式及其分次余维数序列。
Polynomials of small degree evaluated on matrices
Shoda的一个著名定理指出，在任何域K（特征为0）上，每个迹为0的矩阵都可以表示为交换子AB-BA，或者等价地，nxn-矩阵K-代数上多项式f（x，y）=xy-yx的值集包含所有迹为0的矩阵。我们推广了Shoda定理，证明了每一个次数至多为3，系数为K的非零多线性多项式都有这个性质。我们进一步推测，这适用于每一个非零的多线性多项式的系数在K的次数为m，只要m是最多n+1。
Semigroup identities in the monoid of triangular tropical matrices
我们证明了所有n × n三角热带矩阵的子幺半群满足一个非平凡的半群身份，并提供了一个通用的建设类这样的身份。利用Fibonacci数公式给出了这类二元半群恒等式长度的上界。
Jordan derivations on semirings of triangular matrices
研究了元素来自加法幂等半环的三角形矩阵的Jordan导子.主要结果是：对加法幂等半环上的任意矩阵A，如果我们使A的稠密子矩阵族的所有元素都为零，则我们找到A的一个导数。建立了这种类型的派生集。
Central polynomials with involution for the algebra of $2\times 2$ upper triangular matrices
设F是不同于$2$的特征域，$UT_2(F)$是$F$上的$2\times 2$上三角形矩阵的代数.对于$UT_2(F)$上的每一个第一类对合，我们描述了这个代数的所有$*$ -中心多项式的集合.
Instances of the Kaplansky-Lvov multilinear conjecture for polynomials of degree three
给定一个正整数d，Kaplansky-Lvov猜想指出矩阵代数M_d（C）上的多线性非交换多项式f的值集是向量子空间。本文利用Sylvester钟移矩阵的单摆动族技巧，建立了当d为偶数或d<17时三次多项式f的猜想。
Graded polynomial identities and Specht property for the Lie algebra of upper triangular matrices of order 3
本文研究了任意域上三次上三角矩阵李代数在初等分次下的分次多项式恒等式，并探讨了相应簇的Specht性质。
Orbits of Free Cyclic Submodules over Rings of Lower Triangular Matrices
给定一个环$T_n, n\geqslant 2$，由下三角$n\times n$矩阵组成，其元素来自于任意域$F$，在一般线性群$GL_2(T_n)$的作用下，对$^2T_n$的自由循环子模的轨道进行了完整的描述.它给出了它的总数，等于贝尔数$B_n$，并显示了它们的代表。
Y-proper graded cocharacters of upper-triangular matrices od order m graded by the m-tuple ϕ=(0,0,1,...,m-2)
设F是特征为0的域。本文考虑由m元组phi=（0，0，1，.. m-2），然后计算了它的Y-proper分次余特征标序列，并给出了m= 2，3，4，5时重数的显式表达式.
A model for the relatively free graded algebra of block triangular matrices with entries from a graded algebra
设G是群，A是满足多项式恒等式的G-分次代数.建立了相对自由G-分次代数的一个模型，作为应用，得到了有限维Grassmann代数E中元素为有限维G-分次代数E的块三角形矩阵的T_G-理想的“因子分解”性质。
$(k+1)$-potent Matrices in triangular matrix Groups and Incidence Algebras of Finite Posets
令$\mathbb{K}$为使得$char(\mathbb{K})\nmid k$和$char(\mathbb{K})\nmid k+1$。本文给出了上三角形矩阵群上的所有$(k+1)$ -幂矩阵.在$\mathbb{K}$是有限域的情况下，给出了如何计算三角形矩阵群中这些元素的个数，并利用这个公式计算关联代数$\mathcal{I}(X,\mathbb{K})$中$(k+1)$ -幂元的个数，其中$X$是有限偏序集.
Group inverse for anti-triangular block operator matrices
在条件$FEF^π=0$下，给出了块算子矩阵$\left( \begin{array}{cc} E&I\\ F&0 \end{array} \right)$群逆的存在性及其表示.研究了在相同条件下具有两个相同子块的反三角分块矩阵的群逆。这些结果推广了Zou，Chen和Mosić（Studia Scient.数学。饥饿。，54（2017），489- 508），以及Cao，Zhang和Ge（J. Appl. Math. Comput.，46（2014），169- 179）。
Polynomial identities with involution for the algebra of 3 $\times$ 3 upper triangular matrices
设$\mathbb{F}$是特征$p$的域，$UT_n(\mathbb{F})$是$n \times n$上具有第一类对合的上三角形矩阵的代数.在本文中，我们描述：当$n\geq 3$和$p\neq 2$时，$UT_n(\mathbb{F})$的所有$*$ -中心多项式的集合;当$\mathbb{F}$是无限的并且$p>2$时，$UT_3(\mathbb{F})$的所有$*$ -多项式恒等式的集合。
On the asymptotic behaviour of the graded-star-codimension sequence of upper triangular matrices
本文研究了无限域上赋予群分级和齐次对合的上三角矩阵代数，计算了其分级星余维数序列的渐近行为，发现该渐近增长仅取决于矩阵代数的大小，与分级和对合无关。
Group gradings on the Lie and Jordan algebras of block-triangular matrices
本文将特征$0$代数闭域上的零迹上块三角形矩阵李代数上的任意群$G$划分为同构类.证明了这样一个分次的支集总是生成$G$的一个阿贝尔子群。假设$G$是阿贝尔的，我们的技术也可以得到分类的$G$ -分级上块三角形矩阵作为一个结合代数，在任何代数闭域。这些分级最初由A. Valenti和M. Zaicev在2012年（假设特征$0$和$G$有限阿贝尔）和分类到同构由A. Borges et al.，2018年。最后，仍然假设$G$是阿贝尔的，我们分类的$G$ -分次上块三角形矩阵作为约旦代数，在一个代数闭域的特征$0$。事实证明，在这些假设下，Jordan情况等价于Lie情况。
On star-homogeneous-graded polynomial identities of upper triangular matrices over an arbitrary field
本文研究任意域上带精细群分次和齐次对合的上三角矩阵代数的分次多项式恒等式，给出基与渐近行为，并计算任意分次与对合下的指数和第二指数。
Wreath product decompositions for triangular matrix semigroups
考虑三角形矩阵半群的圈积分解。本文利用域k上的非周期半群和仿射群，给出了域k上所有n × n上三角形矩阵构成的半群的一个显式圈积分解.在k是有限的情况下，这个分解是最优的，在这个意义上，群项的数量等于半群的群复杂度。我们还得到了更一般的环和半环上的三角形矩阵半群的一些分解。
Group gradings on the Jordan algebra of upper triangular matrices
设G是任意群，K是特征不同于2的域。对K上n阶上三角形矩阵的Jordan代数上的G-分次进行了分类。事实证明，有，直到一个分次同构，两个家庭的分次：基本分次（类似于在结合的情况下），和所谓的镜像类型（MT）分次。此外，我们证明了这个代数上的G-分次是唯一确定的，直到一个分次同构，由分次恒等式，他们满足。
Gradings on the algebra of triangular matrices as a Lie algebra: revisited
研究了域上的上三角形矩阵代数作为一个李代数的群分次。这些结果是由同一作者在几年前获得的。我们提供了简化的证明，并提出了一个完整的分类的同构类的分级。我们还提供了一个分类的实际同构类的分级，这是一个更好的替代方法来考虑这些分级基本上是相同的对象。最后，我们详细调查的情况下，基本字段的特征是$2$，一个话题，在以前的作品中被忽视。
*-polynomial identities of 4x4 upper triangular matrices with the reflection involution
设$UT_4(F)$是特征为零的域$F$上的$4\times 4$上三角形矩阵代数，$\mathcal{A}$是由$\{\mathbf{e}_{ij}:1 \leq i\leq j \leq 4 \} \setminus \mathbf{e}_{23}$线性生成的$UT_4(F)$的子代数，其中$\{\mathbf{e}_{ij} : 1 \leq i\leq j \leq 4\}$是$UT_4(F)$的标准基.我们描述了$\mathcal{A}$的所有$*$ -多项式恒等式的集合，其中对合由第二对角的反射定义。
An alternative recursive approach to functions of simple triangular matrices
针对简单谱三角矩阵的函数计算问题，本文提出一种无需特征向量、且可同时计算多个函数或矩阵半群的替代递归方法。
Graded polynomial identities of the infinite-dimensional upper triangular matrices over an arbitrary field
本文计算了任意域上无限维上三角矩阵代数的分级多项式恒等式，证明了有限分级群下存在有限基，给出了满足非平凡恒等式的条件，并举例说明非同构分级可具有相同的恒等式集合。
On graded identities of block-triangular matrices with the grading of Di Vincenzo-Vasilovsky
域$F$上的$n\times n$矩阵代数具有自然的$\mathbb{Z}_n$ -分次.它的分级身份已被描述的Vasilovsky谁延长了以前的工作Di Jienzo代数的$2\times 2$矩阵。本文研究了块三角形矩阵的分次恒等式，其分次由$M_n(F)$的分次所继承。我们证明了它的分次恒等式是从$M_n(F)$的分次恒等式和从它的度高达$2n-2$的单项式恒等式得到的.在块的大小$n-1$和1的情况下，我们给出了一个完整的描述，它的单项式的身份，并展示了一个最小的基础，其$T_{\mathbb{Z}_n}$ -理想。
Polynomial functions on upper triangular matrix algebras
交换环上矩阵代数上的多项式函数有两类：一类是由系数在代数本身的多项式导出的，另一类是由系数为纯量的多项式导出的。对于交换环上的上三角形矩阵代数，我们用后者来刻画前者（由于置换同态的关系，后者更容易处理）。我们得出结论：上三角形矩阵代数上矩阵系数为整值多项式的集合是环，上三角形矩阵代数上矩阵系数为零多项式的集合是理想.
Rota-Baxter operators of weight zero on upper-triangular matrices of order three
本文利用R(1)的性质、适当（反）自同构共轭及Singular计算Gröbner基，完整刻画了特征0域上三阶上三角矩阵代数中所有权为零的Rota-Baxter算子。
Graded Identities and Isomorphisms on Algebras of Upper Block-Triangular Matrices
设$G$是阿贝尔群，$\mathbb{K}$是特征为零的代数闭域. A. Valenti和M. Zaicev在上块三角形矩阵代数上刻画了$G$ -分次，条件是$G$是有限的.证明了对任意阿贝尔群$G$，其结果成立：任意分次同构于上块三角形矩阵代数上的初等分次$A$与矩阵代数上的除分次$B$的张量积$A\otimes B$.然后，我们考虑的问题，是否分级身份$A\otimes B$，其中$B$是一个代数与司分级，确定$A\otimes B$分级同构。在我们的主要结果定理3中，我们把这个问题归结为O。M. Di Didenzo和E.斯皮内利
Group gradings on upper block triangular matrices
Valenti和Zaicev在2011年证明了，如果$G$是阿贝尔群，$K$是特征为零的代数闭域，则$K$上的上块三角形矩阵代数上的任何$G$ -分次同构于张量积$M_n(K)\otimes UT(n_1,n_2,\ldots,n_d)$，其中$UT(n_1,n_2,\ldots,n_d)$被赋予初等分次，$M_n(K)$被赋予除分次。在本文中，我们证明了同样的结果的有效性，一个非必要的交换群和一个适当的域（特征为零或足够大），不一定代数封闭。
Homogeneous involutions on upper triangular matrices
令$K$是特征不同于2的域，令$G$是群。如果$K$上的$n\times n$上三角形矩阵的代数$UT_n$被赋予一个$G$ -分次$Γ: UT_n=\oplus_{g\in G}A_g$，我们给出了$Γ$上保证$A$上存在齐次反自同构的充分必要条件，即，一个反自同构$φ$满足$φ(A_g)=A_{θ(g)}$，对于分级的支持度的某个置换$θ$。证明了$UT_n$允许齐次反自同构当且仅当$UT_n$的反射对合是齐次的。证明了如果$UT_n$的一个齐次反自同构由映射$θ$定义，则任何其它的齐次反自同构都由同一映射$θ$定义.
Power commuting and centralizing maps on the ring of strictly upper triangular matrices
本文研究了严格上三角矩阵环上满足特定交换和中心化条件的映射性质，揭示了2幂交换映射与中心化映射的结构特征。
$\mathbb{Z}_2$-graded polynomial identities for the Jordan algebra of $2\times 2$ upper triangular matrices
设$K$是特征$(K)\neq 2$的域（有限或无限），$UT_n=UT_n(K)$是$K$上的$n\times n$上三角矩阵代数.如果$\cdot $是$UT_n$上的通常乘积，那么对于新乘积$a\circ b=(1/2)(a\cdot b +b\cdot a)$，我们有$UT_n$是Jordan代数，记为$UJ_n=UJ_n(K)$。本文刻画了$UJ_2$的所有$\mathbb{Z}_2$ -分次多项式恒等式的集合，其中$UJ_2$具有任何非平凡的$\mathbb{Z}_2$ -分次.此外，我们还描述了相应的相对自由的$\mathbb{Z}_2$ -分次代数的线性基。
Eigenvalue problem for some special class of anti-triangular matrices
研究了一类特殊的反三角形矩阵的本征值问题。虽然本征值问题是一个经典的问题，但就我们所知，关于反三角形矩阵特征值的性质几乎一无所知。本文证明了存在一类很好的反三角形矩阵，其特征值由其元素显式给出。此外，这个类包含几个有趣的子类，我们在概率测度方面的特点。我们还讨论了应用我们的主要定理的研究相互作用的粒子系统，这是随机过程中广泛的文献研究。
Derivations of Lie Algebras of Dominant Upper Triangular Ladder Matrices
本文明确地描述了$M_n$中与支配上三角梯$L$相关联的梯矩阵的李代数$M_L$，并用$char(F) \neq 2$完全刻画了这些$M_L$在域$F$上的导子.我们还完整地刻画了李代数$[M_L, M_L]$的导子，其中$L$是强控制上三角梯，以及$char(F) \neq 2, 3$ .
Cocharacters of polynomial identities of upper triangular matrices
给出了特征为零的域上上三角形矩阵代数的多项式恒等式的T-理想的余特征标序列的母函数的一个简便算法。应用该算法，我们发现了显式形式的多重性在两种情况下：（i）的“最大”分区;（ii）的矩阵的小尺寸和所有分区。
Cocharacters of polynomial identities of block triangular matrices
给出了特征为零的对角域上由p个1 × 1矩阵和q个2 × 2矩阵组成的上块（p +2q）×（p+2q）矩阵代数的多项式恒等式的余特征序列的母函数的算法.我们已经找到了多重性的显式形式和它们在p和q的小值时的渐近行为。
Power-central polynomials on matrices
任何多线性非中心多项式$p$（在几个非交换变量中）在无限域$F$上的矩阵代数$M_n(F)$中取次数$n$的值。如果$p^ν$只取标量值，而$k$最小，则多项式$p$被称为$M_n(F)$的{ \it $ν$ -central}。多线性$ν$ -中心多项式不存在任何$ν$与$n>3$，从而回答了Drensky的问题。索特曼证明，一个任意的多项式$p$不能$ν$ -中央为$M_n(F)$为$n$奇，除非$n$是素数;我们表明，为$n$甚至，即$ν$必须是2。
The Karcher Mean on Lie Groups of Upper Triangular Matrices
研究上三角矩阵李群上的加权Karcher均值，利用分差和Parlett递推证明其存在性、唯一性与解析性，并给出递推计算及低维显式公式，揭示分差与矩阵均值的关系。
Derivations of the Lie algebra of strictly block upper triangular matrices
设${\mathcal N}$是域$n\times n$上所有严格块上三角形矩阵关于给定分块的李代数.本文给出了${\mathcal N}$的所有导子的显式描述。
Upper triangular matrices and Billiard Arrays
修复非负整数$d$、字段$\mathbb{F}$以及维度为$d+1$的$\mathbb{F}$上的向量空间$V$。令$T$表示${\rm Mat}_{d+1}(\mathbb{F})$中的可逆上三角矩阵。使用$T$，我们在$V$上构造三个标志。我们发现了一个充要条件$T$这三个标志是完全相反的。在本例中，我们使用这三个完全相反的标志在$V$上构造台球阵列$B$。已知$B$由称为$B$ -值的标量参数的特定三角阵列确定直到同构。我们根据$T$的条目计算这些$B$值。我们用上三角形矩阵来描述台球阵列的同构类集合。
Laws for triangular matrices
该研究探讨域上及含0和1的加法幂等半环上三角矩阵幺半群的恒等式，发现部分此类恒等式无有限公理化的新情况。
On double cosets of groups $GL(n)$ with respect to subgroups of block strictly triangular matrices
本文给出了$GL(n,\Bbbk)$群关于块严格三角形矩阵的两个子群$T_-$、$T_+$的双陪集空间的参数化。在附录中，我们考虑了$GL(n,\Bbb{C})$在$T_- \ GL(n,\Bbb{C})$上的$L^2$中的拟正则表示，观察到它允许额外的对称群，找到了联合谱，并观察到它是多重自由的。
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