Combinatorial congruences modulo prime powers
设p是任意素数，a和n是非负整数。设$r\in Z$和$f(x)\in Z[x]$。我们建立了同余式$$p^{°f}\sum_{k=r(mod p^a)}\binom{n}{k}(-1)^k f((k-r)/p^a) =0 (mod p^{\sum_{i=a}^{\infty}[n/p^i]})$$（由代数拓扑引起的猜想激发），并获得以下卢卡斯定理的广泛推广：若a大于1，且$l,s,t$为非负整数且$s,t<p$，则有$$\frac{1}{[n/p^{a-1}]!} \sum_{k=r(mod p^a)} \binom{pn+s}{pk+t}(-1)^{pk}((k-r)/p^{a-1})^l =\frac {1}{[n/p^{a-1}]!} \sum_{k=r(mod p^a)}\binom{n}{k}\binom{s}{t}(-1)^k((k-r)/p^{a-1})^l (mod p).$$我们还给出了第一同余式在伯努利多项式中的应用，并应用第二个同余式证明了当p=2时，可以得到作者在前一篇文章中给出的一个p-adic序界.
2007-07-25 math.CO math.NT
Polyhedral geometry, supercranks, and combinatorial witnesses of congruences for partitions into three parts
在本文中，我们使用多面体几何的一个分支，Ehrhart理论，以扩大我们的组合理解的同余分拆函数。Ehrhart理论允许我们给出一个新的划分分解，这反过来又允许我们定义称为{ \it supercranks}的统计量，这些统计量组合地证明了$p(n,3)$被任何素数$m \equiv -1 \pmod 6$整除的每个实例，其中$p(n,3)$是将$n$划分为三个部分的数量。格点的重排使我们能够演示与明确的双射如何划分这些集的分区成$m$ equinumerous类。还讨论了素数$m' \equiv 1 \pmod 6$的行为。
2015-08-03 math.CO math.NT
A Combinatorial Method for Counting Smooth Numbers in Sets of Integers
在本文中，我们提出了一种方法，生产的渐近估计的整数在一个给定的S只有“小”素因子的数量。需要验证的条件比其他方法所需的条件简单，我们应用我们的结果给出了一个结果的简单证明，即{1，2，. x}总是渐近地产生x^r -光滑和a+b的期望个数，其中a在A中，b在B中。回想一下，如果一个数n的所有素除子都至多是y，则称它是y-光滑的。
2003-11-26 math.CO math.NT
A combinatorial approach to the power of 2 in the number of involutions
我们提供了一个组合的方法，$p$的最大功率的排列数$π$与$π^p=1$，对于一个固定的素数$p$。用这种方法，我们找到了$2$在对合数、对合的符号和以及对合的偶数或奇数个数上的最大幂。
2010-11-02 math.CO math.NT
Asymptotic distribution of integers with certain prime factorizations
设$p_{1}<p_2<... <p_ν<...$为素数序列，$m$为正整数。本文给出了具有$p_{m^{k_1}}p_{m^{k_{2}}...p_{m^{k_{n}}}$ with $k_{1}\le k_{2}\le...\le k_{n}$的素数分解的整数集合的分布的一个强渐近公式。这样的整数起源于各种组合计数问题;当$m=2$时，它们作为某些有根树的Matula数出现。
2013-11-09 math.CO math.NT
Mertens' prime product formula, dissected
1874年，梅尔滕斯证明了乘积$p/(p-1)$在所有素数$p$到$x$上的渐近公式。另一方面，人们可以将Mertens的素积展开为只有小素因子的数$n$上的级数。很自然地将这样的级数限制为具有固定数量的素因子$k$的数$n$。在这篇文章中，我们得到了这些系列的公式为每个$k$，一起剖析Mertens的原始估计。证明是由组合风味的基本方法。
2021-03-16 math.CO math.NT
Two Combinatorial Geometric Problems Involving Modular Hyperbolas
当模为素数幂时，给出了模双曲线所张成的寻常线个数的一个下界。我们也给出了一个部分回答Shparlinski的问题。
2013-06-25 math.NT
Congruence properties of combinatorial sequences via Walnut and the Rowland-Yassawi-Zeilberger automaton
某些著名的组合序列，如Catalan数和Motzkin数，当取模一个素数幂时，可以用有限自动机计算。因此，许多关于这样的序列的定理可以使用Walnut来证明，Walnut是用于证明自动序列的各种属性的决策过程的实现。在本文中，我们探讨了一些结果（旧的和新的），可以证明使用这种方法。
2021-10-12 cs.FL math.CO math.NT
Combinatorial congruences and Stirling numbers
本文得到了一些复杂的含二项式系数的组合同余式，并证实了作者和Davis的两个结论。它们与我们对序列$\sum_{j=0}^l{l\choose j}S(j,m)a^{l-j}(l=m,m+1,...)$模素数$p$的周期性的研究密切相关，其中$a$和$m>0$是整数，并且这些$S(j,m)$是第二类斯特林数。我们还证明了$(p-1)p^{[\log_p m]}$是序列$\sum_{j=r(mod p-1)}{l\choose j}S(j,m)(l=m,m+1,...)$模$p$的一个周期，从而给出了Glasgow同余的一个新的推广.
2007-02-26 math.CO math.NT
Powers of two weighted sum of the first p divided Bernoulli numbers modulo p
我们证明了，模某个奇素数p，前p-2个伯努利数的加权和的幂等于Agoh-Giuga商加上p-2个字母上的排列数的两倍，其中上升数为偶数，且与恒等式不同.我们给出了维费里希素数的组合特征，以及素数p的组合特征，其中p ^2整除费马商q_p（2）。
2021-11-05 math.CO math.NT
On the number of $2$-dice games with prime power dice-size
该研究针对素数幂尺寸的Sicherman骰子，利用生成多项式技术给出了满足和分布条件的二维骰子游戏数量的上下界，并证明了对应的非闭合组合公式。
2026-08-31 math.CO math.NT
A combinatorial identity with application to Catalan numbers
通过一个非常简单的论证，我们证明了：如果$l,m,n$是非负整数，则$ $\sum_{k=0}^l(-1)^{m-k}\binom{l}{k}\binom{m-k}{n}\binom{2k}{k-2l+m} =\sum_{k=0}^l\binom{l}{k}\binom{2k}{n}\binom{n-l}{m+n-3k-l}. On the basis of this identity, for $ d，r= 0，1，2，. $ we construct explicit $ F（d，r）$ and $ G（d，r）$ such that for any prime $ p> \max \{d，r\} $ we have \sum_{k=1}^{p-1}k^r C_{k+d}\equiv \cases F(d,r)(mod p)& if 3|p-1, \\G(d,r)\ (mod p)& if 3|p-2, where $ C_n $ denotes the Catalan number $（n+1）^{-1} \binom{2n}{n} $. For example, when $ p \geq 5$是素数，我们有\sum_{k=1}^{p-1} k^2C_k \equiv \cases-2/3（mod p）&如果3| p-1，\1/3（mod p）& if 3| p-2;和\s…
2006-10-29 math.CO math.NT
Metacommutation of primes in Eichler orders
本文研究了局部Eichler序下的亚交换问题。由此产生的置换的一套当地主要左理想的一个给定的总理减少规范。以前的结果确定的循环结构的局部极大序模。当我们扩展这些结果时，我们提出了一种替代的，组合描述的元交换置换作为一个行动上的Bruhat-Tits树。
2019-09-27 math.NT
Fermat's Last Theorem Implies Euclid's Infinitude of Primes
该研究借助费马大定理与舒尔组合定理给出小指数情形下欧几里得素数无穷性定理的新证明，还探讨了多个组合数论结果对该定理的蕴含，揭示其为诸多数学结果的必要条件。
2020-09-16 math.CO math.NT
On the Mazur--Tate conjecture for prime conductor and Mazur's Eisenstein ideal
1995年，Ehud de Shalit证明了模雅可比矩阵$J_0(p)$的Mazur-Tate猜想的一个类似物。他的主要结果是有效的远离爱森斯坦素数。我们完成了de Shalit的工作，包括Eisenstein素数，并给出了一些应用，如一个初等组合恒等式，涉及超奇异$j$ -不变量的差分离散序列。一个重要的工具是我们最近的工作，所谓的“广义尖$1$ -动机”。
2019-10-09 math.NT
On multiplicative properties of combinatorial cubes
我们得到了组合立方体的积集的一系列下界，以及这类积集的乘法能量的一些非平凡的上估计。
2020-08-03 math.CO math.NT
A conjecture of Erdos, supersingular primes and short character sums
当$k$是一个充分大的正整数时，证明了丢番图方程$$n (n+d) \cdots (n+ (k-1)d) = y^{\ell}$$在正整数$n, d, y$和$\ell$中至多有2个解，其中有$\operatorname{gcd}(n,d)=1$和$\ell \geq 2$ .我们的证明依赖于Frey-Hellegouarch曲线和结果超奇异素数的椭圆曲线没有复乘，来自上界短字符和筛，分析和组合。
2017-09-04 math.NT
A combinatorial proof of the Kronecker--Weber Theorem in positive characteristic
本文给出了正特征整体域的Kronecker-Weber定理的一个组合证明。其主要工具是利用H. L.施密特关键的结果是获得，使用计数参数，有多少$p$ -循环扩张存在的固定度和有界导体，只有一个素数分歧。然后，我们比较这个数字与相同类型的分圆函数域的子扩展的数量，并验证这两个数字是相同的。
2013-07-12 math.NT
Infinitely many twin prime polynomials of odd degree
本文在有限域框架下，构造了一类新的无穷多奇数次孪生素数多项式组，并探讨其与Wieferich素数存在性及Bell数算术性质的关联，拓展了有限域上孪生素数问题的构造性研究。
2021-01-20 math.NT
Agoh's conjecture: its generalizations, its analogues
本文给出Agoh猜想的两个推广。我们还制定涉及同余模素数的双曲正割，双曲正切，Nörlund数，以及有关系数的其他解析函数的权力的扩展。我们制定了一个关于不产生假素数的组合对象的论文。
2012-05-16 math.NT
A Density Theorem for Higher Order Sums of Prime Numbers
该研究证明下密度严格大于1/2的素数子集可表所有充分大偶数为其4个素数之和，还推广到k≥4个加项及k≥4个不同素数子集的情形，以初等组合引理为核心新贡献，延伸了此前的两、三素数和相关研究。
2024-11-02 math.NT
Combinatorial properties of sparsely totient numbers
设$N_1(m)=\max\{n \colon ϕ(n) \leq m\}$和$N_1 = \{N_1(m) \colon m \in ϕ(\mathbb{N})\}$，其中$ϕ(n)$表示欧拉函数。Masser和Shiu \cite{masser}称$N_1$的元素为“稀疏的totient数”，并开始了对这些数的研究。在这篇文章中，我们建立了几个结果稀疏totient数。首先，我们证明了一个无平方因子的整数能整除所有足够大的稀疏整数，而一个非无平方因子的整数能整除无穷多个稀疏整数。其次，我们构造了显式的稀疏素数无限族，并描述了它们与连续素数分布的关系。我们还研究了$N_1$的稀疏性，证明了它是乘性分段联会而不是加性分段联会。最后，我们研究算术/等比数列和其他加法和乘法模式，如$\{x, y, x+y\}, \{x, y, xy\}, \{x+y, xy\}$和它们的推广稀疏totient数。
2019-07-23 math.CO math.NT
Combinatorial identities and Titchmarsh's divisor problem for multiplicative functions
给定素数上周期的乘法函数$f$，得到了移位卷积和$\sum_{|h|<n\leq x} f(n) τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$τ$表示除数函数，$h\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$表示移位卷积和.我们特别考虑$f$是广义除数函数$τ_z$与$z\in\mathbb{C}$的特殊情况，和两个平方和的特征函数（或更一般地说，理想规范的阿贝尔扩展）。作为另一个应用，我们推导出了广义Titchmarsh除数问题$\sum_{|h|<n\leq x,\,ω(n)=k} τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$ω(n)$计算$n$的不同素除数的个数，从而推广了Fouvry和Baugeri-Friedlander-Iwaniec的一个结果.我们提出了两种不同的证明：第一依赖于一个有效的组合公式的希斯-布朗的类型的除数函数$τ_α$与$α\in\mathbb{Q}$，和插值参数的$z$ -变量的加权平均值的$τ_z$。第二个是基于$τ_z$的Linnik型恒等式和易碎数的良好可因子分解性。
2018-12-18 math.NT
Uniform distribution of subpolynomial functions along primes and applications
设$H$是一个Hardy域（一个由无穷远处的实值函数芽组成的域，在微分下是封闭的），设$f \in H$是一个次多项式函数。设$\mathcal{P} = \{2, 3, 5, 7, \dots \}$是素数的（自然有序的）集合。证明了$(f(n))_{n \in \mathbb{N}}$是模1均匀分布的当且仅当$(f(p))_{p \in \mathcal{P}}$是模1均匀分布的.然后利用这一结果导出各种遍历和组合语句，显着推广[BKMST]中得到的结果。
2015-04-29 math.DS math.NT
Improved estimate for the prime counting function $π(x)$
利用一些简单的组合论证，我们建立了素计数函数及其类函数的一些新的估计。特别是，我们表明，\begin{align}π(x)=Θ(x)+O\bigg(\frac{1}{\log x}\bigg), \nonumber \end{align}，其中\begin{align}Θ(x)=\frac{θ(x)}{\log x}+\frac{x}{2\log x}-\frac{1}{4}-\frac{\log 2}{\log x}\sum \limits_{\substack{n\leq x\\Ω(n)=k\\k\geq 2\\2\not| n}} \frac{\log (\frac{x}{n})}{\log 2}.\nonumber \end{align}这是一个改进的估计\begin{align}π(x)=\frac{θ(x)}{\log x}+O\bigg(\frac{x}{\log^2 x}\bigg)\nonumber \end{align}在文献中发现。
2018-08-30 math.NT
New observations on primitive roots modulo primes
我们对原根模素数作了许多新的观察。对于奇素数$p$和整数$c$，我们建立了一个关于$\sum_g(\frac{g+c}p)$的定理，其中$g$遍历$1,\ldots,p-1$中所有模$p$的原根，$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号.在数值计算的基础上，我们给出了35个涉及原根模素数的代数式。例如，我们猜想，对于任何素数$p$，都有一个原根$g<p$模$p$，$g-1$是平方，对于任何素数$p>3$，都有一个素数$q<p$，伯努利数$B_{q-1}$是原根模$p$。我们还对一些组合序列的模素数和本原素因子的二次非剩余作了相关的观察。例如，基于启发式的论点，我们推测，对于任何素数$p>3$存在一个斐波那契数$F_k<p/2$，这是一个二次非剩余模$p$ ;这意味着有一个确定性的多项式时间算法来找到平方根的二次剩余模一个素数$p>3$。
2020-02-28 math.NT
Moments of the shifted prime divisor function
本文证明了移位素数除数函数的矩的渐近公式，证实了 Fan 和 Pomerance 的猜想，其证明结合了最小公倍数的组合恒等式与数论解析工具。
2025-05-29 math.NT
Dirichlet's theorem and Jacobsthal's function
如果$a$和$d$是互素，我们把全等于$a$ mod $d$的整数集合称为“合格”等差数列。狄利克雷的一个定理说，每一个合格的等差数列包含无穷多个素数;该定理从断言，每一个合格的等差数列包含至少一个素数。Jacobsthal函数$g(n)$被定义为最小正整数，使得$g(n)$连续整数的每个序列包含与$n$互素的整数。在本文中，我们通过一个组合的论点，每一个合格的算术级数与$d\le76$包含至少一个素数，我们表明，某些合理的界限上的Jacobsthal函数的素数将意味着，每一个合格的等差数列包含至少一个素数。也就是说，Jacobsthal函数的某些合理的界限将导致狄利克雷定理的初等证明。
2017-08-17 math.NT
Game values of arithmetic functions
数论中的算术函数与组合对策论中的Sprague-Grundy函数相吻合。我们研究了由标准算术函数，如欧几里德除法，除数，除数和互素数及其否定数诱导的各种二人博弈。
2021-07-03 cs.DM math.CO math.NT
Combinatorial sums derived from properties of Legendre polynomials
Independent Researcher, 76520 Franqueville-Saint-Pierre, France；Independent Researcher, 72764 Reutlingen, Germany
通过Legendre多项式性质与组合求和的关系，推导出多个组合求和的闭式表达，部分基于Legendre多项式相关函数的积分结果。
2026-04-30 math.NT
Properties of Higher-Order Prime Number Sequences
本文研究由素数高阶子序列交错和生成的素数序列的性质，并提出一种通过在实数轴上系统选择与消除素数下标来构造这些序列的新筛法。
2023-04-20 math.NT
Combinatorial properties of multidimensional continued fractions
数学对象组合性质的研究是一个非常重要的研究领域，连分数在这个意义上得到了深入的研究。然而，多维连分数，这是一个推广所产生的算法，由于雅可比，已很少在这个意义上的研究，到现在为止。在本文中，我们提出了一个组合解释的收敛性的多维连分数计数的一些特殊的平铺，推广了一些结果，为经典的连分数。
2022-09-19 math.NT
Congruences for Taylor expansions of quantum modular forms
最近，Andrews和Sellers的一篇漂亮的论文建立了模为无限集的素数的Fishburn数的一次同余方程。从那时起，一些作者已经证明了精炼的结果，例如，将所有这些同余扩展到所涉及的素数的任意幂。在这里，我们采取不同的视角，并解释的背景下，一类重要的量子模形式的一般理论，这样的同余。作为一个例子，我们得到一个无穷级数的组合序列连接到“半衍生物”的Andrews-Gordon功能和与Kashaev的不变量的$(2m+1,2)$环面结，我们证明的条件下，序列满足一次同余方程模至少$50\%$的素数的素数。
2015-08-18 math.NT math.QA
Ramanujan and Labos primes, their generalizations and classifications of primes
考虑Ramanujan素数及其对称的Labos素数，研究了它们的平行性，研究了所有具有这些性质的素数（广义Ramanujan素数和Labos素数），并构造了它们的两种筛子。最后，我们对这些构式作了进一步的自然推广，并提出了一些问题和有待解决的问题。
2011-07-31 math.NT
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
2013-06-20 math.NT
Notes on properties of binary strings which encode prime occurrences
质数出现的二进制字符串表示是位序列，其中$1$条目对素数的位置进行编码。这是一个方便的表示分析素分布，因为它允许应用广泛的现有字符串分析算法的问题，在数论。素数出现的二进制字符串也可以用简单的算法生成。在这里，我们讨论了三个这样的算法，我们证明了它们的适用性使用的例子证明哥德巴赫的假设的一些有限的偶数集。这项工作制定了三个开放的问题（插图）有关的素数分布。
2018-10-02 math.NT
Divisor Goldbach Conjecture and its Partition Number
在哥德巴赫猜想和算术基本定理的基础上，将哥德巴赫猜想推广到更一般的情形，即，任何正整数都可以写成某些特定素数的和，这取决于这个整数的整除因子，即：对于任何正整数$n~(n>2)$，如果存在整数$m$，使得$m|n~( 1 < m < n )$，那么$n=\sum_{i=1}^m p_i $，其中$ p_i~(i=1,2 ,3...m)$是素数。此外，还讨论了多个素被加数的组合计数问题。对于某些特殊情况，给出了简单的证明.利用计算机进行了初步的数值验证，没有发现反例。
2016-03-14 math.NT
Congruence Properties of Mersenne Primes
研究了每一个梅森素数与某些自然数之间的关系。我们首先证明每个梅森素数都是{4 n + 3，对于某个整数'n'}的形式，并将结果推广到2的所有幂。我们还列出了它们与其他整数的关系，直到10。一些次要的结果也得到了证明。在此基础上，讨论了确定梅森素数基数的方法。
2011-12-13 math.NT
On the properties of generalized harmonic and oscillatory numbers. Simple proof of the Prime Number Theorem
我们导出了广义调和数和相应的振动数的和恒等式，并对这些和恒等式应用了筛法。所得结果使我们能够更好地理解这些数的性质及其渐近行为。在这些恒等式的基础上，给出了素数定理的一个简单证明。
2007-09-24 math.NT
Divisibility Properties of Coefficients of Level $p$ Modular Functions for Genus Zero Primes
Lehner在1949年关于$j$ -不变量的结果显示了函数系数被素数$p\in\{2,3,5,7\}$的高可分性。扩展他的结果，我们研究了一个典型的基础上的空间水平$p$模函数全纯的尖点0。我们表明，这些功能的傅里叶系数往往是高度可分的这些相同的素数。
2011-06-06 math.NT
Some properties of Fibonacci primes
本文利用组合数学和数论的技巧，刻画了$x^2 +ry^2$形式的素数斐波那契数，其中$r = 1,$ $r$是素数正整数或r是素数正整数的幂.我们还计算了与斐波那契数和函数相关的距离。
2013-11-21 math.NT
Additive properties of product sets in fields of prime order
设$F_p$是素数阶$p$的域。然后，对于任何正整数$n>1$，对于任何$ε>0$，以及对于$F_p$的任何子集$A$，$F_p$的每个元素都可以表示为$N$元素的和，每个元素都是来自$A$的$n$元素的乘积，其中$N$取决于$n$和$\espilon$。
2007-02-24 math.NT
Congruence properties of prime sums and Bernoulli polynomials
本文研究涉及素数的特定和式的同余性质，利用伯努利数与伯努利多项式表达结果，并进一步导出一个一般的同余关系。
2025-02-07 math.HO math.NT
Duffin--Schaeffer examples, real residue systems, and Bohr-set primes
Wesleyan University（卫斯理安大学）
本文推广了杜芬-施莱弗尔定理，研究了实余数系统和博赫集中的素数分布，证明了圆周旋转在特定条件下的等分布性。
2026-03-04 math.DS math.NT
