Subset sums, completeness and colorings
我们开发了新的技术，使我们能够证明各种各样的结果有关的子集和完整的序列的正整数，包括解决方案，一些长期存在的开放问题。其中包括：Burr和Erdés关于Ramsey完全序列的三个问题的解决方案，Erdés后来提供了350美元的合并总额;密度完全序列的新概念的类似结果; Alon和Erdés关于着色小于$n$的正整数所需的最小颜色数的猜想的解决方案，因此$n$不能被写为单色和;确切确定的极值功能介绍了Erdés和格雷厄姆的整数集，避免了一个给定的子集和，并回答了一个问题，重申了几个作者，一个均匀的加强一个开创性的结果Szemerédi和武对长期等差数列的子集和。
2021-04-30 math.CO math.NT
On a problem of Erdős and Graham about consecutive sums in strictly increasing sequences
本文证明了存在常数c>0，使得对任意正整数n，可选取1到n间的递增序列，其连续子段和的不同值至少为cn^2个，回答了Erdős和Graham的问题，并给出上界及解决若干开放问题。
2023-11-16 math.CO math.NT
Sums, products and ratios along the edges of a graph
在其开创性的文件Erdés和Szemerédi制定的Aktures的大小和积集的整数。他们猜想的最强形式是关于沿着图的边的和与积。在本文中，我们表明，这种强形式的Erdens-Szemerédi猜想不成立。给出了图的边的和集、积集和比集的基数的上界和下界。
2018-02-18 math.CO math.NT
An explicit result for short sums of positive arithmetic functions
本文针对满足一般增长条件的非负算术函数短和给出了完全显式的界，并由此得到短区间内 Erdős-Hooley Δ-函数的两个显式估计。
2025-01-06 math.NT
Gauss sums and Van der Geer--Van der Vlugt curves
本文从分歧理论角度研究 Van der Geer–Van der Vlugt 曲线，给出其 L-多项式显式公式，证明其超奇异，并给出极大或极小的充分条件。
2023-05-10 math.AG math.NT
The number of solutions of the Erdős-Straus Equation and sums of $k$ unit fractions
我们证明了新的上限的数量表示的任意有理数作为一个总和的三个单位分数。特别地，对于固定的$m$，至多存在$\frac{m}{n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$的$\mathcal{O}_ε(n^{3/5+ε})$解。这改进了Browning和Elsholtz（2011）的结果，并扩展了Elsholtz和Tao（2013）的结果，后者在$m=4$和$n$是素数时证明了这一点。此外，对于任何$ε>0$，存在在预期运行时间$\mathcal{O}_ε\left(n^ε\left(\frac{n^3}{m^2}\right)^{1/5}\right)$内找到所有解的算法。我们还提高了一个有理数的最大数量的表示作为$k$单位分数的总和上的界限。此外，我们还改进了下界。特别地，我们证明了对于给定的$m\in \mathbb{N}$，在每个约化剩余类$e \bmod f$中存在无穷多个素数$p$，使得方程$\frac{m}{p}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$的解的个数为$\gg_{f,m} \exp\left(\left(\frac{5\log 2}{12 \mathrm{lcm}(m,f)}+o_{f,m}(1)\right)\frac{\log p}{\log \log p}\rig…
2018-05-08 math.NT
On a sumset conjecture of Erdős
Erdinger证明了对任何具有正下渐近密度的集合$A\subseteq \mathbb{N}$，存在无穷多个集合$B,C\subseteq \mathbb{N}$使得$B+C\subseteq A$ .在$A$的Banach密度超过$\frac{1}{2}$的情况下，我们验证了Erdens的猜想.因此，我们证明了，对于正Banach密度的$A\subseteq \mathbb{N}$（一个比正下密度弱得多的假设），我们可以找到无限的$B,C\subseteq \mathbb{N}$，使得$B+C$包含在$A$和$A$的平移的联合中。上述两个结果都推广到任意可数顺从群。对于伪随机的自然数的子集，我们也给出了Erdés猜想的一个正解.
2014-04-23 math.CO math.GR math.LO
A sharp 5/8 bound for an Erdős-Sós pairwise-sums problem
研究集合中两两和均属于原集合的三元组存在性问题，证明最小集合大小上界为 5N/8+O(1)，并确定精确渐近值。
2026-06-28 math.CO math.NT
On Erdős sums of almost primes
本文研究殆素数的埃尔德什和f_k，证明当k足够大时f_k随k单调递增（与Banks-Martin猜想相反），给出其渐近式并确定次要项，还提供了结合分析的证明方法及与Dickman分布相关的概率论论证。
2024-05-12 math.NT math.PR
Gaussian distribution of short sums of trace functions over finite fields
我们证明了在一定的一般条件下，当原点变化时，有限域上$\ell$ -adic迹函数的短和渐近服从正态分布，推广了Erdens-Davenport，Mak-Zaharescu和Lamzouri的结果.特别是，这适用于指数和所产生的傅里叶变换，如Kloosterman和或伯奇和，因为我们可以推断，从工程卡茨。通过近似单值群中随机矩阵迹的矩，可以给出一个定量的版本，如Lamzouri的文章中所述，表现出与中心极限定理的平均不同的现象。
2016-09-29 math.NT
Smooth sums with small spacings
本文解决了 Erdős 提出的问题，证明每个正整数都可表示为若干不同的 3-光滑整数之和，且这些整数满足首项与末项之比小于 6 的小间距条件。
2025-11-06 math.NT
Reducing the Erdos-Moser equation 1^n + 2^n + . . . + k^n = (k+1)^n modulo k and k^2
Erdos和Moser的一个公开猜想是标题中的丢番图方程的唯一解是平凡解1+2=3。通过对方程模k和k^2的约化，给出了相应的同余式和超同余式有解的充要条件.一个推论是Moser猜想对奇指数n成立的结果的一个新证明。我们还连接的解决方案k的同余小学pseudoperfect数和Zagier的结果。证明使用整除性质的权力和以及勒奇的关系之间的费马和威尔逊的费用。
2010-11-09 math.NT
Variants of the Erdős distinct sums problem and variance method
本文推广了Erdős不同和问题，研究整数格点序列上对称多项式在限定大小子序列上的非零取值互异性，通过方差方法得到了坐标取值范围M的下界。
2024-02-01 math.CO math.NT
Beyond the Erdős discrepancy problem in function fields
该研究在函数域框架下拓展Erdős偏差问题，分别刻画短区间、字典序、长区间三种偏差下完全乘性函数部分和的极限行为，验证相关猜想、回答公开问题并分类修正Dirichlet特征类的反例。
2023-09-12 math.NT
Multiple harmonic sums and multiple harmonic star sums are (nearly) never integers
众所周知，对于$n>1$，调和和$H_n(1)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$从来不是整数。1946年，Erdens和Niven证明了嵌套多重调和和$H_n(\{1\}^r)=\sum_{1\le k_1<\dots<k_r\le n}\frac{1}{k_1\cdots k_r}$只能对有限个正整数$n$取整数值。在2012年，Chen和Tang通过证明$H_n(\{1\}^r)$仅对$(n,r)=(1,1)$和$(n,r)=(3,2)$是整数来改进这一结果。本文研究了任意重调和和重调和星和的积分问题，证明了除了上述自然例外，这些和都不是整数。
2016-06-18 math.NT
The cardinality of a set containing the pairwise sums of a fixed number of integers
研究显示，当集合A的大小超过n+1.2×10⁸时，存在五个不同整数的pairwise和均在A中。通过调整常数，可保证三个或四个整数的pairwise和也在A中。
2026-04-28 math.NT
Dense sumsets of Sidon sequences
令$k \ge 2$为整数。我们说一个正整数集合$A$是$k$阶的渐近基，如果每一个足够大的正整数都可以表示为来自$A$的$k$项之和。一个正整数集$A$称为西顿集，如果由$A$的元素构成的两项和都不相同.许多年前，P. Erdens，A. Sárközy和V. T.索斯问是否存在一个西顿集，这是渐进的基础秩序$3$。本文用概率方法证明了三重和集$A + A + A$的具有正下密度的Sidon集$A$的存在性.
2021-03-18 math.NT
Power values of sums of certain products of consecutive integers and related results
设$n$为非负整数，并将$p_{n}(x)=\prod_{i=0}^{n}(x+i)$。本文的第一部分研究了丢番图方程$$ y^m=p_{n}(x)+\sum_{i=1}^{k}p_{a_{i}}(x), $$的整数解的存在性，其中$m\in\N_{\geq 2}$和$a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{k}<n$是已知的.该方程可以看作是Erdens-Selfridge丢番图方程$y^m=p_{n}(x)$的推广。我们给出了关于上述方程整数解的一些一般有限性结果。特别地，如果$n\geq 2$与$a_{1}\geq 2$，那么我们的方程只有100个整数解。在本文的第二部分中，我们研究了方程$$ y^m=\sum_{i=1}^{k}p_{a_{i}}(x_{i}), $$的$m=2, 3$，它可以被看作是一个添加剂版本的方程考虑Erdensys和格雷厄姆。特别是，我们证明，如果$m=2, a_{1}=1$或$m=3, a_{2}=2$，那么对于每个$k-1$元组的正整数$(a_{2},\ldots, a_{k})$有无穷多个整数的解决方案。
2018-09-12 math.NT
Supersingular main conjectures, Sylvester's conjecture and Goldfeld's conjecture
证明了椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$与虚二次域$K$的整数环$\mathcal{O}_K$相乘的$p$ -逆定理，其中$p$在虚二次域$K$上分支.也就是说，让$r_p = \mathrm{corank}_{\mathbb{Z}_p}\mathrm{Sel}_{p^{\infty}}(E/\mathbb{Q})$，我们表明，$r_p \le 1 \implies \mathrm{rank}_{\mathbb{Z}}E(\mathbb{Q}) = \mathrm{ord}_{s = 1}L(E/\mathbb{Q},s) = r_p$和$\#\mathrm{Sha}(E/\mathbb{Q}) < \infty$。特别是，这有两个经典的丢番图问题的应用。首先解决了Sylvester关于有理立方和的猜想，证明了对所有素数$\ell \equiv 4,7,8 \pmod{9}$，存在$(x,y) \in \mathbb{Q}^{\oplus 2}$使得$x^3 + y^3 = \ell$ .其次，结合Smith的工作，解决了全等数问题的100%的情况，建立了Goldfeld关于全等数族二次扭秩的猜想。证明上述$p$ -逆定理的方法依赖于非分裂素数的虚二次域的Iwasawa理论和相对的$p$ -adic Hodge理论之间的新的相互作用。特别是，我们表明，一定的德拉姆周期$q_{\m…
2022-10-19 math.NT
Lower Bounds for Expressions of Large Sieve Type
我们表明，大筛子是最佳的几乎所有的指数和，从而证明了一个猜想Erdös和Renyi。
2011-05-06 math.NT
Valuations of exponential sums and Artin-Schreier curves
令$p$表示奇素数。本文研究了特征为$p$的有限域上一元多项式的可加指数和的$p$ -整除性，以及确定某些Artin-Schreier曲线族的Newton多边形，即特征为$p$的射影线的$p$ -循环覆盖的问题.首先给出了固定次数多项式指数和的$p$ -整除性的一个下界。然后证明了定义在特征$p$的有限域上的Artin-Schreier曲线当其亏格$g$对于某些$1\leq i\leq p-1$和$n\geq 1$具有$(p-1)\left(i(p^n-1)-1\right)/2$形式使得$n(p-1)>2$时不可能是超奇异的.我们还确定了固定亏格的$p$ -秩$0$ Artin-Schreier曲线族的一般牛顿多边形的第一个顶点，以及相关的Hasse多项式。
2015-02-03 math.AG math.NT
The upper logarithmic density of monochromatic subset sums
我们表明，在任何两个着色的正整数有一种颜色，可以表示为不同的元素与这种颜色的总和的正整数的集合具有上对数密度至少$(2+\sqrt{3})/4$，这是最好的可能。这回答了一个40年前的Erdos问题。
2022-09-22 math.CO math.NT
Forbidden integer ratios of consecutive power sums
令$S_k(m):=1^k+2^k+\cdots+(m-1)^k$表示幂和。在2011年，Bernd Kellner提出了一个猜想：对于$m\ge 4$，两个连续幂和之比$S_k(m+1)/S_k(m)$永远不是整数。我们将开发一些技术，允许一个排除许多整数$ρ$作为一个比率，并将它们结合起来，以排除整数$3\le ρ\le 1501$，并假设一个猜想非正则素数是真的，一组密度$1$的比率$ρ$。为了排除比率$ρ$，必须证明Erdens-Moser型方程$(ρ-1)S_k(m)=m^k$没有非平凡解。
2015-10-20 math.NT
Translated sums of primitive sets
本研究针对平移版Erdős本原集猜想，证明其不成立的h阈值从81降至1.04…，且该值对半素数最优，同时给出了更大k的k-殆素数平移和的相关结果。
2023-05-07 math.CO math.NT
The cardinality of a set containing the pairwise sums of four positive integers
该研究改进了 Choi、Erdős 和 Szemerédi 关于集合包含四个不同正整数两两之和的基数下界，证明常数 C 可从 3166 优化至最优值 4，并借助 AI 与形式推理智能体完成证明。
2026-10-01 math.NT
Sums of proper divisors with missing digits
本文证明当目标集合为缺失数字的整数集时 EGPS 关于真因数和原像密度的猜想成立，并给出原像大小的精确上界。
2023-07-24 math.NT
A proof of Erdős's $B+B+t$ conjecture
该研究证明了Erdős的$B+B+t$猜想，证实正上密度自然数集平移后可包含其无限子集对应的限制和集，推进了加性组合领域相关数论问题的研究。
2023-11-06 math.CO math.DS math.NT
Homogeneous structures in subset sums and non-averaging sets
本文证明大基数整数子集的子集和中必含高维齐次广义等差数列，并据此改进 Erdős–Straus 非平均集问题的阈值。
2023-11-02 math.CO math.NT
Sums and products along sparse graphs
在他们1983年的开创性论文中，Erdés和Szemerédi证明了任何$n$不同的整数都会导致$n^{1+ε}$不同的对和或许多不同的乘积，并证明了$n^{2-o(1)}$的下界。他们进一步提出了这个问题的一个推广，其中和和积是沿着给定图$G$在$n$标记顶点上的边取的。他们为至少有$n^{1+ε}$边的一般图证明了和积定理的一个版本。在这项工作中，我们考虑稀疏图的和积定理，并表明，这个问题已经有重要的后果时，$G$是一个匹配（即，$n/2$不相交边）：任何整数和积的$n^{1/2+δ}$形式的下界都蕴涵着原始Erdens-Szemerédi问题的$n^{1+δ}$的下界。相反，在实数上，匹配的最小和积是$Θ(\sqrt{n})$，因此这种方法有可能实现专门用于整数的下界。我们继续给这个问题在不同的设置的下限和上限。此外，我们提供了紧边界的总和沿扩展。在我们的证明中的一个关键因素是减少从一个匹配的最大数量的整数转换成完满平方的和产品。这个问题最初是由欧拉研究的，我们利用椭圆曲线分析得到了欧拉结果的一个更强形式。
2009-09-08 math.CO math.NT
Many Representations as Sums of Three Prime Cubes
Shandong University（山东大学）
本文针对Erdős关于素数立方和表示数的猜想给出无条件证明，利用Hecke等分布定理完成k=3的情况，再结合Green–Tao–Ziegler定理得到k=4时的下界，论证无法推广到k=4的情况。
2026-08-21 math.NT
A refinement of the Cameron-Erdős Conjecture
本文研究了集合$\{1,...,n\}$的无和子集，即第一个$n$正整数的子集不包含方程$x + y = z$的解. Cameron和Erdibs在1990年证实了这样的集合的数量是$O(2^{n/2})$。这一猜想得到了格林和萨波任科的证实。在这里，我们证明了他们的定理的一个改进版本，通过显示大小为$m$的$[n]$的无和子集的数量是$2^{O(n/m)} {\lceil n/2 \rceil \choose m}$，对于每个$1 \le m \le \lceil n/2 \rceil$。对于$m \ge \sqrt{n}$，该结果急剧上升到$O(\cdot)$中隐含的常数。我们的证明使用了作者最近证明的3-一致超图中大小为$m$的独立集的数目的一般界，以及小和集的整数划分的数目的新界。
2012-02-24 math.CO math.NT
An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers
本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。
2026-04-14 math.CO math.DS math.NT
Hybrid bounds on two-parametric family Weyl sums along smooth curves
我们得到了次数为$k\ge 2$的多项式为$(τx+c) ω(n)+xn$，$n=1, 2, \ldots$，固定$ω(T) \in \mathbb{Z}[T]$和$τ\in \mathbb{R}$的Weyl和的一个新的上界，它对几乎所有的$c\in [0,1)$和所有的$x\in [0,1)$都成立.本文改进和推广了M.~ B.~ Erdogan和G.~ Shakan（2019），他的工作也表明了这个问题与一些经典偏微分方程之间的联系。我们扩展到更一般的设置家庭的多项式$xn+y ω(n)$的所有$(x,y)\in [0,1)^2$与$f(x,y)=z$的一组$z \in [0,1)$的充分勒贝格措施，提供$f$是一些Hölder功能。
2020-03-05 math.CA math.NT
Restricted sums of sets of cardinality $2p + 1$ in $\mathbb{Z}_p^2$
本文研究了Z_p^2中2p+1个元素集合的受限和问题，证明其基数至少为4p，解决了Erdős-Heilbronn问题的一个变种。
2026-02-06 math.CO math.NT
Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem #1196 and beyond
OpenAI；Queens’ College, University of Cambridge（剑桥大学女王学院）；School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文提出基于马尔可夫链与von Mangoldt权重的新方法，用于界定了原始集合的埃尔德什和，并解决了埃尔德什-萨尔科西-塞泽尔迪问题#1196和#1217，以及埃尔德什原始集合猜想。
2026-05-01 math.CO math.NT math.PR
Linear extension of the Erdos-Heilbronn conjecture
著名的Erdos-Heilbronn猜想在加法组合数学的发展中起着重要的作用。2007年Z. W. Sun进一步提出了如下猜想（这是Erdos-Heilbronn猜想的线性推广）：对于域F的任何有限子集A和F的非零元素$a_1,...,a_n$，集合{a_1x_1+.+ a_nx_n：x_1，....，x_n是A的不同元素}的基数至少为min{p（F）-delta，n（|A| -n）+1}，其中F的乘法恒等式的加法阶p（F）不同于n+1，delta= 0，1取1当且仅当n=2且$a_1+a_2=0$ .本文证明了Sun的这个猜想，当$p(F)\geq n(3n-5)/2$ .我们还得到了限制和集{x_1+.+}的基数的一个精确的下界x_n：x_1 \in A_1，.，x_n \in A_n和P（x_1，.，x_n）\not =0}，其中$A_1,...,A_n$是域F的有限子集，$P(x_1,...,x_n)$是F上的一般多项式.
2011-10-12 math.CO math.NT
Infinite Sumsets in Sets with Positive Density
本文受 Erdős 问题启发，利用遍历理论和保测系统的结构结果证明：任何正上密度自然数集对任意 k 都包含无限集合构成的和集，且方法对 k=2 情形也是新的。
2024-02-22 math.CO math.DS math.NT
Bilinear forms in Weyl sums for modular square roots and applications
令$q$是素数$P \geq 1$，并令$N_q(P)$表示在虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$中分裂的有理素数$p \leq P$的数目。本文的第一部分对任何固定的$\varepsilon>0$，建立了$N_q(P)$在$q^{1/4+\varepsilon} \leq P \leq q$范围内的各种无条件和有条件（在Siegel零点存在的情况下）下界。这改进了Pollack和Benli-Pollack的工作所暗示的内容。本文的第二部分致力于证明模平方根的Weyl和（等价于Salié和）的双线性型的一个估计。我们的估计在所谓的P{ó}lya-Vinogradov范围内具有功率节省，并且我们的方法涉及研究来自$\mathbb{F}_q$中的二次剩余的加性能量。这种双线性形式的灵感来自最近的自守动机：第一和第四作者最近计算了附加到Kohnen newforms的扭曲$L$ -函数的二阶矩。因此，本文的第三部分将这两个方向联系起来，并概述了这种双线性形式的算术应用。这些包括素数的二次根的等分布，素数的乘积，以及Erdos-Odlyzko-Sarkozy猜想的松弛。
2020-08-03 math.NT
A note on character sums over short moving intervals
我们研究和$(1/\sqrt{H}) \sum_{X < n \leq X+H} χ(n)$，其中$χ$是一个固定的非主Dirichlet特征模一个素数$q$，和$0 \leq X \leq q-1$是一致随机的.达文波特和埃尔德什，最近Lamzouri，证明了中心极限定理，这些款项提供$H \rightarrow \infty$和$(\log H)/\log q \rightarrow 0$作为$q \rightarrow \infty$，和Lamzouri证明这些应持有受弱得多的上限$H=o(q/\log q)$。我们证明这是假的一些$χ$，甚至当$H = q/\log^{A}q$为任何固定的$A > 0$。另一方面，我们表明这是真的“几乎所有”字符的范围$q^{1-o(1)} \leq H = o(q)$。使用波利亚的傅立叶展开，这些结果可以重新表述为关于某些具有数论系数的傅立叶级数的分布的陈述。在证明中使用的工具包括字符的存在性与大的部分和短的初始段，和随机乘法系数的三角多项式的矩估计。
2022-03-17 math.NT math.PR
Irrationality of the reciprocal sum of doubly exponential sequences
本文证明比值受特定范围约束的正整数序列几乎由其倒数之和唯一确定，并由此证明对几乎所有 α>1，渐近于 α^{2^n} 的序列倒数之和为无理数，同时为 Erdős–Graham 公开问题提供启发。
2025-04-08 math.NT
On some power sum problems of Montgomery and Turan
我们使用Katz的有限域上特征和的估计来解决Montgomery和Turan的公开问题。设h=>2是一个整数。我们证明了inf_{|z_k| => 1} max_{v=1,...,n^h}| sum_{k=1} ^n z_k^v| <=（h-1+o（1））sqrt n.这给出了正确的数量级的数量，并提高了一个因素的顺序sqrt log n的约束的埃尔多斯-雷尼。
2007-07-11 math.NT
Exterior power sums
Sichuan University（四川大学）；Fudan University（复旦大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
研究关于满足\(|z_j|\geq1\)的复数\(z_1,\dots,z_n\)的外幂和问题，通过结合截断指数分解、超收敛及正规族障碍等方法，证明最优最大值的\(n\)次方根趋于\(1\)，否定了Erdős 973中大于\(1\)的常数\(C\)的存在。
2026-07-27 math.CO math.NT
Multiple reciprocal sums and multiple reciprocal star sums of polynomials are almost never integers
令$n$和$k$是整数，使得$1\le k\le n$和$f(x)$是整数系数的非零多项式，使得对于任何正整数$m$，$f(m)\ne 0$。对于任何正整数的$k$元组$\vec{s}=(s_1, ..., s_k)$，我们定义$$H_{k,f}(\vec{s}, n):=\sum\limits_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\le n} \prod\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{f(i_{j})^{s_j}}$$和$$H_{k,f}^*(\vec{s}, n):=\sum\limits_{1\leq i_{1}\leq \cdots\leq i_{k}\leq n} \prod\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{f(i_{j})^{s_j}}.$$如果所有$s_j$都是1，那么令$H_{k,f}(\vec{s}, n):=H_{k,f}(n)$和$H_{k,f}^*(\vec{s}, n):=H_{k,f}^*(n)$ . Hong和Wang改进了Erdös和Niven以及Chen和Tang的结果，证明了如果$n\geq 4$和$f(x)=ax+b$与$a$和$b$是正整数，则$H_{k,f}(n)$不是整数。同时，当$f(x)$为非负整数系数且次数不小于2时，Luo，Hong，Qian和Wang也建立了类似的结果.对于任何…
2018-07-02 math.NT
Almost primes and the Banks-Martin conjecture
自鄂尔多斯以来，人们已经知道，当$k$变化时，$1/(n\log n)$对具有恰好$k$素因子的数$n$（具有重复）的和是有界的。我们证明了当$k$趋于无穷大时，这个和趋于1。Banks和Martin已经证明了这些和在$k$中单调减少，并且在早期的论文中已经证明了对于$k$直到3都是如此。然而，我们发现，该猜想是假的，在一般情况下，事实上，全局极小值发生在$k=6$。
2019-12-18 math.NT
On the distribution of very short character sums
本文改进了关于素数上非常短字符和分布的中心极限定理，利用 Selberg 筛法和 Weil 绑定等工具，扩展了 Davenport 和 Erdős 的原始结果。
2025-12-02 math.NT math.PR
Romanov's Theorem in Number Fields
罗曼诺夫证明，正比例的整数有一个代表性的总和素数和权力的任意固定正整数。Rieger证明了数域的类似结果。我们将确定一个明确的下界的比例代数整数在一个给定的数域，这是一个幂的一个固定的非单位和一个素数。此外，我们给出了一个改进的下界的高斯整数的较低的密度，具有一个高斯素数和$1+i$的幂和表示。最后，类似于Erdans，我们构造了一个显式的算术级数的高斯整数奇范数，使得几乎所有的元素，这个级数没有一个表示为一个素数和一个权力的$1+i$。
2018-01-08 math.NT
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
2003-09-03 math.CO math.NT
Correlations of multiplicative functions in function fields
我们开发了一种方法来研究特征和，加权乘性函数$f:\mathbb{F}_q[t]\to S^1$，形式\begin{equation} \sum_{G\in \mathcal{M}_N}f(G)χ(G)ξ(G), \end{equation}其中$χ$是一个Dirichlet字符和$ξ$是一个短区间字符在$\mathbb{F}_q[t].$我们然后推出版本的Matomäki-Radziwill定理和陶的两点对数埃利奥特猜想上的功能域$\mathbb{F}_q[t]$，其中$q$是固定的。前者的这些改善工作的Gorodetsky，和后者扩展了工作的Sawin-舒斯特曼的相关性的莫比乌斯函数的各种值的$q$。与整数设置相比，我们遇到了不同的现象，特别是在$q$是$2$的幂的情况下的低特征问题。作为我们的结果的应用，我们给出了Kátai关于小增量乘性函数分类的猜想的函数域版本的一个简短证明，得到的分类和证明不同于整数的情况.在一个配套文件中，我们使用这些结果来描述的限制行为的部分和的乘性函数在功能领域，特别是解决了“纠正”形式的Erdales的差异问题超过$\mathbb{F}_q[t]$。
2022-11-30 math.NT
Exact output statistics of Icart's encoding in the exceptional \(j=0\) case
ITMO University（ITMO大学）
本文确定了 Icart 编码在例外情况 \(j=0\) 下的精确单输出分布，给出了像大小、总变差距离、碰撞概率等闭合公式，并通过 Weil 配对得到配对-特征测试的精确能量公式。
2026-06-05 cs.IT math.AG math.IT
Moment Estimates and Discrepancy for Sums of Square Roots Modulo One
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
研究模一方根和的分布，通过二阶和四阶矩估计匹配对角尺度，并结合指数和估计与Erdős–Turán不等式，得到差异上界。
2026-06-27 math.NT
Equal sums in random sets and the concentration of divisors
本文研究典型整数除数的集中性，证明Erdős-Hooley Δ-函数对几乎所有n满足Δ(n)≥(log log n)^{0.35332277…}，否定Maier-Tenenbaum猜想；并将随机集合等和问题刻画为离散立方体上的优化问题，给出渐近精确下界。
2022-12-12 math.CO math.NT
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
2022-05-28 math.CO math.NT
