Sums of singular series along arithmetic progressions and with smooth weights
在Hardy-Littlewood $k$ -元组结构中出现的奇异级数常数的和长期以来一直与素数的素数分布有关。研究了奇异级数的约束和，其中的和是在其元素指定为模$r$或加权的光滑函数的集合上进行的。我们表明，该值的总和是由发病率模$r$的集合中的元素的情况下，等差数列和配对的光滑函数的情况下的重量。这些总和揭示了在其他格式的奇异级数的总和。
2023-01-15 math.NT
Estimates for character sums and Dirichlet $L$-functions to smooth moduli
我们使用van der Corput方法的$q$ -模拟来估计短特征和以平滑模。若$χ$是模无平方的本原Dirichlet特征标，则$q^δ$ -光滑整数$q$证明了$$L(\frac12,χ)\ll_εq^{\frac{27}{164}+O(δ)+ε}.$$
2015-03-24 math.NT
On smooth Weyl sums over biquadrates and Waring's problem
我们提供估计$s^{\rm th}$矩的双二次光滑外尔和，当$10\le s\le 12$，通过增强第二作者的迭代法，提供估计超出了经典的凸性障碍。因此，所有满足$n\equiv r\pmod{16}$且具有$1\le r\le 12$的足够大的整数$n$都可以写成光滑数的$12$双二次方之和。
2021-10-08 math.NT
Estimates for smooth Weyl sums on major arcs
本文针对Hardy-Littlewood方法中的大弧，给出了光滑Weyl和的均值估计，并在$u>2\lfloor k/2\rfloor+4$时获得$u$阶矩的最优界。
2024-05-28 math.NT
Some applications of smooth bilinear forms with Kloosterman sums
我们重新审视了最近的一个约束。Shparlinski和T. P. Zhang关于具有Kloosterman和的双线性型的结果，并证明了Kloosterman和对模形式的傅里叶系数的相关和的一个推广.我们使用这些界限，以改善早期的结果Kloosterman和沿素数和Dirichlet $L$ -函数的四阶矩的误差项。
2016-06-17 math.NT
Arithmetic harmonic analysis for smooth quartic Weyl sums: three additive equations
本文在秩条件下，利用光滑四次Weyl和的算术调和分析及第十矩新估计，证明了32个以上变量中三个对角四次方程组的非奇异Hasse原理。
2015-07-27 math.NT
The asymptotic formulae of sums of two smooth squares for divisor function
一个自然数$n$是$y$ -光滑的，如果$n$的最大素因子不超过$y$。设$s_{1}$和$s_{2}$是$y$ -光滑数.考虑二元Titchmarsh除数问题的光滑平方和，给出了$(\log x)^{K}\le y<x^{\frac{1}{2}}$的$\sum_{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\le x}τ(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+1)$的渐近公式，其中$K$足够大.
2023-06-12 math.NT
Mixed incomplete character sums of rational functions with smooth moduli
Kansas State University（堪萨斯州立大学）；Xi'an Jiaotong University（西安交通大学）
本文研究了有理函数的混合不完整特征和，改进了平滑参数的界，并探讨了其推广与应用。
2026-01-16 math.NT
Bounds on short character sums and L-functions for characters with a smooth modulus
我们结合Postnikov（1956）的经典思想和Korobov（1974）的方法估计双Weyl和，当模$q$有一个小的核$\prod_{p\mid q}p$时，得到了短特征标和的新的界.利用这个估计，我们改进了Gallagher（1972）和Iwaniec（1974）关于相应的$L$ -函数的某些界.反过来，这使我们能够改善的误差项的渐近公式中的素数在短期等差数列模幂的固定素数。作为我们的边界的另一个应用，我们大大扩展了Siegel零的区域。
2016-09-02 math.NT
Estimates for smooth Weyl sums on minor arcs
该研究给出劣弧上光滑Weyl和的新估计，推导得出当k≥6时，对充分大的N，存在1≤n≤N使得αn^k的距离不超过N的-ρ(k)次方，推进了相关数论问题的研究。
2024-08-12 math.NT
Computing Dirichlet character sums to a power-full modulus
Postnikov特征公式用于表示狄利克雷特征和的大部分二次指数和。二次和，然后计算使用的分析算法，以前推导出的作者。如果模数足够平滑，则这导致功率节省。作为应用，给出了一种计算复杂度指数为1/3且模足够光滑的Dirichlet L-函数的快速实用方法.
2014-09-04 math.NT
Smooth Sums over Smooth $k$-Free Numbers and Statistical Mechanics
本文给出了具有小素因子的无k整数上某些和的渐近估计。这些和依赖于一个复参数α，并包含一个光滑截止f。它们是几个经典数论和的变体。渐近性中的一项是一个积分算子，其核是Dickman-de Bruijn分布的α-卷积，另一项是显式估计的。讨论了α值与f正则性之间的折衷关系。本文推广了作者和Ya.G.西奈半岛，其中k=2，α=1。
2013-10-04 math.NT math.PR
Sums and Products with Smooth Numbers
在A = S（x，y）的特殊情况下，我们估计了和集A + A和积集A $\cdot$ A的大小，S（x，y）是小于或等于x的正整数n的集合，没有超过y的素因子.
2010-10-16 math.CO math.NT
Small Gaps Between Primes I
我们使用短除数和来近似素数元组和素数在短间隔的时刻。通过将这些结果与经典矩问题相联系，我们能够证明连续素数的正比例在素数之间的平均间距的四分之一以内。
2005-04-16 math.NT
Diophantine methods for exponential sums, and exponential sums for Diophantine problems
讨论了Hardy-Littlewood方法在理论和应用方面的最新进展，重点讨论了对角丢番图问题。最近有效的差分方法估计平均值的指数和第一，专注于发展涉及光滑外尔和。其次，讨论了经典的贝塞尔不等式和柯西-施瓦茨不等式的算术变体。最后，一些新兴的圆的方法和算术几何之间的联系被提及。
2003-04-16 math.NT
Character sums of composite moduli and hybrid subconvexity
设$M=M_1 M_2 M_3$是三个不同素数的乘积，并且设$χ=χ_1 χ_2 χ_3$是模$M$的狄利克雷特征标，使得每个$χ_i$是$i=1,2,3$的模$M_i$的本原特征标。本文给出了一种$δ$ -符号方法，用于获得$\sum_{n=1}^\infty χ(n) W(n/N)$形式的光滑特征和中的非平凡消去，其中$N$的大小约为$\sqrt M$，$W$是$(0, \infty)$上的光滑紧支撑权函数.作为推论，我们建立了相应的Dirichlet $L$ -函数的混合次凸性界。
2014-09-12 math.NT
The Second Moment of Sums of Coefficients of Cusp Forms
令$f$和$g$是加权$k$全纯尖点形式，并且令$S_f(n)$和$S_g(n)$表示它们的第一个$n$傅立叶系数的和。Hafner和Ivic [HI]，建立在Jasrasekharan和Narasimhan [CN]的基础上，证明了$\sum_{n \leq X} \lvert S_f(n) \rvert^2$的渐近性，并证明了经典猜想，即$S_f(X) \ll X^{\frac{k-1}{2} + \frac{1}{4} + ε}$，在长时间间隔内平均成立。本文引入并得到了Dirichlet级数$D(s, S_f \times S_g) = \sum S_f(n)\overline{S_g(n)} n^{-(s+k-1)}$和$D(s, S_f \times \overline{S_g}) = \sum_n S_f(n)S_g(n) n^{-(s + k - 1)}$的亚纯延拓.利用这些亚纯延拓，我们证明了渐近的平滑二阶矩和$\sum S_f(n)\overline{S_g(n)} e^{-n/X}$，证明了[HI]的平滑推广。我们还获得了类似的平滑二阶矩和归一化傅立叶系数的渐近性，证明了从[CN]可以得到的平滑推广。我们的方法扩展到各种各样的权重和水平，与[CN]的比较表明，非常一般的取消之间的Rankin-Selberg $L$ -函数$L(s, f\times g)$和移…
2016-11-10 math.NT
Sieve weights and their smoothings
得到了默比乌斯函数的部分光滑因子和的$2k$阶矩的渐近公式.当$2k$与$A$（平滑程度）相比较小时，则对矩的主要贡献来自仅具有大素因子的整数，正如人们在筛选权重中所希望的那样。然而，如果$2k$与$A$相比更大，则对矩的主要贡献来自具有相当多的素因子的整数，这不是设计筛权重时的意图。当$A=\frac 1{2k} \binom{2k}{k}-1$。人们可以对有限域上的多项式和置换提出类似的问题，在这些情况下，矩的行为相当不同，除数和中的抵消甚至更少。我们给，我们希望，这一现象的一个合理的解释，通过研究狄利克雷字符的类似款项，并获得每种类型的行为取决于字符是否是"例外"。
2020-04-08 math.NT
Mean value theorems with smooth numbers
本文研究了光滑数指数和的均值问题，提出了新的均值定理，在以往方法不适用的区域实现了相对平凡界限的幂次节省。
2025-06-27 math.NT
Smooth numbers with few non-zero binary digits
该研究通过特征和界与组合论证方法，证明了兼具极少非零二进制位的极光滑数存在丰富性，为数论领域相关研究提供了新的结论支撑。
2023-06-10 math.NT
$p$-adic estimates for multiplicative character sums
这篇文章是第一作者在“有限域上的指数和及其应用”会议（ETH，苏黎世，2010年11月）上演讲的扩展版本。本文给出了光滑射影簇上乘法特征和的阿基米德估计和$p$ -adic估计.我们还回顾了J. Dollarhide的一些结果，这些结果构成了这些理论的基础。应用他的结果，我们证明了当光滑射影簇是${\mathbb P}^n$自身时的一个定理.
2011-03-29 math.AG math.NT
Hybrid bounds on two-parametric family Weyl sums along smooth curves
我们得到了次数为$k\ge 2$的多项式为$(τx+c) ω(n)+xn$，$n=1, 2, \ldots$，固定$ω(T) \in \mathbb{Z}[T]$和$τ\in \mathbb{R}$的Weyl和的一个新的上界，它对几乎所有的$c\in [0,1)$和所有的$x\in [0,1)$都成立.本文改进和推广了M.~ B.~ Erdogan和G.~ Shakan（2019），他的工作也表明了这个问题与一些经典偏微分方程之间的联系。我们扩展到更一般的设置家庭的多项式$xn+y ω(n)$的所有$(x,y)\in [0,1)^2$与$f(x,y)=z$的一组$z \in [0,1)$的充分勒贝格措施，提供$f$是一些Hölder功能。
2020-03-05 math.CA math.NT
Sums of three cubes, II
本文改进迭代方法，给出 $4\le s\le 8$ 时三次光滑 Weyl 和 $s$ 次矩的估计，并由此改进不超过 $X$ 且可表为三个自然数立方和之整数个数的下界。
2015-02-06 math.NT
Sums of Kloosterman sums in arithmetic progressions, and the error term in the dispersion method
我们证明了五线性和Kloosterman和的一个界，与“光滑”求和变量的同余条件。这推广了Deshouillers和Iwaniec的经典工作，并且是在应用中获得节能误差项的关键，特别是色散方法。因此，假设狄利克雷$L$ -函数的黎曼假设，我们证明了一个省电的误差项估计$\sum_{p\leq x}τ(p-1)$的Titchmarsh除数问题。无条件地，我们隔离西格尔零的可能贡献，表明它总是负的。推广了Fouvry和Tenenbaum的工作，得到了$\sum_{n\leq x}τ_k(n)τ(n+1)$的渐近公式的省电性，用不同的方法改进了Bykovskietz和Vinogradov的一个结果.指数的增益被证明是独立的$k$，如果一个广义Lindelöf假设。
2016-12-11 math.NT
Character sums over smooth numbers
University of Warwick（华威大学）；Tsinghua University（清华大学）
研究光滑数上的特征和，通过平均估计证明当模数足够大时，特征和相对于光滑数计数平方根可忽略。
2026-07-02 math.NT math.PR
On smooth square-free numbers in arithmetic progressions
A. Booker和C. Pomerance（2017）已经证明，任何模为素数$p\ge 11$的剩余类都可以用正$p$ -光滑无平方整数$s = p^{O(\log p)}$表示，其中所有素数因子都达到$p$，并且证明实际上可以用$s = p^{O(1)}$找到这样的$s$。利用M. Z. Garaev（2010）我们以更强的形式$s \le p^{3/2 + o(1)}$证明了这个猜想，并考虑了这个问题的更一般的版本，用$p^α$ -光滑性的更强条件替换$s$的$p$ -光滑性。利用乘性特征和的界和筛法，证明了所有剩余类都可以用一个无平方因子的正整数$s\le p^{2+o(1)}$来表示，该整数是$p^{1/(4e^{ /2})+o(1)}$ -光滑的.此外，我们获得了几乎所有素数$p$更强的结果。
2018-06-11 math.NT
Smooth numbers in arithmetic progressions to large moduli
本文证明光滑数在大小为 $x^{66/107-o(1)}$ 的模数的算术级数中均匀分布，克服了此前 $x^{3/5-o(1)}$ 的长期障碍，核心方法基于 Drappeau 的色散法变体、Maynard 的指数和操作及优化的 Kloosterman 和估计。
2025-06-29 math.NT
Minor arcs, mean values, and restriction theory for exponential sums over smooth numbers
研究了素因子均为$\leq y$的数$\leq x$上的指数和.我们证明了相当好的小弧估计，有效时，$\log^{3}x \leq y \leq x^{1/3}$。然后，我们证明了尖锐的上界$p$次时刻（可能加权）和，任何真正的$p > 2$和$\log^{C(p)}x \leq y \leq x$。我们的证明发展了布尔甘的一个论点，表明这可以在没有强的主弧信息的情况下成功，粗略地说，它将为任何相对于其密度可充分因子分解的集合提供锐矩界和限制估计。通过结合我们的界和Drappeau的主弧估计，我们得到了$a+b=c$在$y$ -光滑整数小于$x$中的解的个数的一个渐近估计，只要$\log^{C}x \leq y \leq x$ .在此之前，这是已知的假设广义黎曼假设。结合Green的迁移机制，我们证明了$y$ -光滑数的子集的Roth定理，只要$\log^{C}x \leq y \leq x$ .这提供了一个大小为$\approx x^{1-c}$的确定性集合，在该集合内Roth定理成立。
2014-08-07 math.CA math.CO math.NT
Sum of Two Squares - Pair Correlation and Distribution in Short Intervals
在这项工作中，我们表明，基于一个猜想的对相关的整数表示为两个平方和，这是第一次提出的康纳斯和基廷和重新制定在这里，二阶矩的分布的数量表示整数在短时间间隔是一致的泊松分布，其中“短”的意思是长度可比的平均间距之间的总和两个平方。此外，我们还提出了一种在素幂剩余环中通过计算产生这种图的方法，并说明了这些图以及上述结果如何推广到其它二元二次型.在产生这些对相关图的同时，我们得到了关于等差数列中素数的Mertens公式的一个令人惊讶的结果，为了检验这些图的有效性，我们给出了支持我们方法的数值计算。
2013-06-19 math.NT
Sub-Weyl strength bounds for twisted $GL(2)$ short character sums
设$$S(N) = \sum_{n \sim N}^{\text{smooth}} \, λ_{f}(n) \, χ(n),$$，其中$λ_{f}(n)$是Hecke-eigenform的傅立叶系数，$χ$是导体$p^{r}$的本征。本文证明了$S(N)$的次Weyl强度界。事实上，我们得到了$$S(N) \ll \, N^{\frac{5}{9}} \ p^{\frac{13r}{45}},$$，条件是$ p^{13r/20} \leq N \leq p^{4r/5}$。请注意，如果$N\geq \left(p^{r}\right)^{\frac{2}{3}-\frac{1}{60}}$，则$S(N)$的上述界限是非平凡的。
2022-09-20 math.NT
Counting $2\times2$ integer matrices with fixed trace and determinant
该研究利用二次根的Weyl和的和的界，对带固定特征多项式的2×2整数矩阵数目做带光滑权的计数，给出主项与误差项。
2024-10-06 math.NT
$p$-adic estimates of exponential sums on curves
本文的目的是证明曲线上指数和的一个“Newton over Hodge”结果。设$X$是特征$p\geq 3$的有限域$\mathbb{F}_q$上的光滑真曲线，$V \subset X$是仿射曲线.对于$V$上的正则函数$\overline{f}$，我们可以形成与$\overline{f}$的指数和相关联的$L$ -函数$L(\overline{f},V,s)$。本文证明了$L(\overline{f},V,s)$的牛顿多边形的一个下界估计。该估计取决于每个点$x \in X-V$周围的$f$的局部单值性。这证实了德利涅的一个希望，即不规则的霍奇过滤力的$p$ -adic评估Frobenius特征值的界限。作为推论，我们得到了局部单值不变量下作用量为$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的曲线的牛顿多边形的一个较低估计。
2020-06-08 math.NT
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, II. (Smooth numbers and generalizations.)
本文的第一部分研究了$y$ -smooth数的集合$\F_y$的加法可分解性和移位集合$\g_y=\F_y+\{1\}$的乘法可分解性。在本文中，重点是“大”功能$y$的情况下，我们继续研究这些问题。此外，我们还研究了任意$k$的$k$ -项和集的m-可分解性问题。
2020-11-25 math.NT
Bombieri--Vinogradov and Barban--Davenport--Halberstam type theorems for smooth numbers
本文证明了log^{K}x \leq y \leq x上小于x的y-光滑数的Bjieri-Vinogradov和Barban-Davenport-Halbernut型定理.这改进了先前可用的范围\exp{log^{2/3 + ε}x} \leq y \leq x。我们的证明结合了零密度的方法与直接应用的大筛子，这似乎是一个重要的功能，使我们能够应付稀疏的光滑的数字。我们还获得了改进的个人（即不平均）估计的字符和光滑的数字。
2012-08-29 math.NT
Squarefree Integers in Arithmetic Progressions to Smooth Moduli
本文证明在光滑模数下算术级数中无平方因子整数可获幂次节省误差的渐近公式，突破 $X^{3/4}$ 障碍，改进 Nunes 与 Hooley 的结果。
2021-10-06 math.NT
An Euler-Maclaurin formula for polygonal sums
证明了二重多边形和的Euler-Maclaurin公式，作为推论，得到了整数顶点多边形上光滑函数积分的近似求积公式.我们的Euler-Maclaurin公式是在精神的皮克定理的整数点的数量在一个整数多边形，并涉及加权黎曼和，使用工具从调和分析。最后，我们还展示了一个经典的技巧，可以追溯到惠更斯和牛顿，加速这些黎曼和收敛。
2020-04-16 math.CA math.FA math.NT
On a paper of K. Soundararajan on smooth numbers in arithmetic progressions
在最近的一篇论文中，K。粗略地说，松达拉拉扬证明了小于x的整数的素因子小于y在以q为模的等差数列中是渐近等分布的，条件是y^{4 \sqrt{e} -δ} \geq q，并且y与x相比既不太大也不太小。我们表明，这些后者的限制y是不必要的，从而证明了一个猜想的Soundararajan。我们的论证使用了一个简单的三角和的优势原理来处理一个接近1的鞍点。
2011-03-10 math.NT
Bounds for Smooth Theta Sums with Rational Parameters
该研究构造了一族显式实参数对，证明对足够正则的函数，带二次相位与线性相位的高维光滑theta和满足一致的$N^{k/2}$阶上界，证明借助自守函数在horocycle提升曲线上的有界性完成。
2023-07-19 math.DS math.NT
Average sizes of mixed character sums
IST Austria（奥地利科学技术研究所）；Courant Institute（库朗数学科学研究所）
本文研究了满足弱迪奥菲安条件的无理实数θ下混合特征和的平均大小，证明其为\sqrt{x}，并利用二次迪奥菲安方程进行分析。
2026-01-27 math.NT math.PR
A Combinatorial Method for Counting Smooth Numbers in Sets of Integers
在本文中，我们提出了一种方法，生产的渐近估计的整数在一个给定的S只有“小”素因子的数量。需要验证的条件比其他方法所需的条件简单，我们应用我们的结果给出了一个结果的简单证明，即{1，2，. x}总是渐近地产生x^r -光滑和a+b的期望个数，其中a在A中，b在B中。回想一下，如果一个数n的所有素除子都至多是y，则称它是y-光滑的。
2003-11-26 math.CO math.NT
Sums and products in finite fields: an integral geometric viewpoint
证明了若$A \subset {\Bbb F}_q$使得$$|A|>q^{{1/2}+\frac{1}{2d}},$$则$${\Bbb F}_q^{*} \subset dA^2=A^2+...+A^2 d \text{times},$$，其中$$A^2=\{a \cdot a': a,a' \in A\},$$和${\Bbb F}_q^{*}$表示有限域${\Bbb F}_q$的乘法群.特别地，如果$|A|>q^{3/4}$，我们用$A^2+A^2$覆盖${\Bbb F}_q^{*}$。利用${\Bbb F}_q^d$的几何性质、超平面上的平均性质以及特征和的正交性质，证明了如果$$|A| \ge C_{size}^{\frac{1}{d}}q^{{1/2}+\frac{1}{2(2d-1)}},$$，则$$|dA^2| \ge q \cdot \frac{C^2_{size}}{C^2_{size}+1}.$$.特别是，我们看到，使用的运营商是在欧几里德设置$L^2$平滑导致非平凡的算术后果的上下文中的有限域。
2007-06-27 math.CA math.NT
