On sums and products along the edges, II
本文是作者早期研究的续篇，提出了改进的构造方法，以解决 Erdős 和 Szemerédi 关于实数沿图的边之和与积的问题，并补充了相关版本的观察。
2023-07-30 math.CO
Few products, many h-fold sums
改进的技术的Croot和哈特，我们表明，对于每个$h$，存在一个$ε> 0$，如果$A \subseteq \mathbb{R}$是足够大的$|A.A| \le |A|^{1+ε}$，那么$|hA| \ge |A|^{Ω(e^{\sqrt{c\log{h}}})}$。
2014-10-18 math.CO math.NT
Breaking the 6/5 threshold for sums and products modulo a prime
设$A \subset \mathbb{F}_p$的大小至多为$p^{3/5}$。我们显示了$c = 4/305$的$$|A+A| + |AA| \gtrsim |A|^{6/5 + c},$$。我们的主要工具是Stevens和deZeeuw的笛卡儿积点线关联定理和第二作者发展的高能理论。
2018-06-19 math.CO math.NT
Products and sums divisible by central binomial coefficients
本文主要研究可被中心二项式系数整除的乘积与和。我们证明了2（2n+1）binom（2n，n）|binom（6n，3n）binom（3n，n），其中n= 1，2，3，.此外，对于任何非负整数$k$和$n$，我们有$$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$和$$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$，其中$C_m$表示加泰罗尼亚数$\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$。应用这个结果，我们得到两个可被中心二项式系数整除的和。
2010-05-05 math.CO math.NT
Monochromatic sums and products
假设$\mathbb{F}_p$用$r$颜色着色。然后有一些颜色类至少包含形式为$(x, y , x + y, xy)$的$c_r p^2$四元组。
2017-01-13 math.CO math.NT
Weighted sums of rooted spanning forests on cycles with pendant edges
本文利用矩阵树定理推导出带悬挂边的圈图的有根生成森林加权和的两个公式，并指出其中一个公式可表示为 Chebyshev 多项式的变量变换。
2024-02-11 math.CO math.RA
Sums and Products of Distinct Sets and Distinct Elements in $\mathbb{C}$
设$A$和$B$是$\mathbb{C}$的有限子集，使得$|B|=C|A|$。我们证明了和积现象的以下变体：如果$|AB|<α|A|$和$α\ll \log |A|$，则$|kA+lB|\gg |A|^k|B|^l$。这是一个应用程序的结果Evertse，Schlickewei，和施密特对线性方程的变量取值乘法组的有限秩，结合早先的定理Ruzsa约sumsets在$\mathbb{R}^d$。作为$A=B$情形的一个应用，我们给出了$|A^+|+|A^\times|$的一个下界，其中$A^+$是$A$的相异元素之和的集合，$A^\times$是$A$的相异元素之积的集合.
2010-09-13 math.CO math.NT
Monochromatic Sums and Products of Polynomials
本文证明了模式 $\{x,x+y,xy\}$ 在常数项为零且次数至少为一次的形式整数多项式空间上具有划分正则性及原始递归界，并为该模式在自然数上的划分正则性提供了首个原始递归界的新证明。
2024-08-27 math.CO math.NT
Constancy of an Infinite Cyclotomic Product via Ramanujan Sums
本文通过拉马努金求和证明了无限循环多项式乘积在单位圆内的恒定性，并揭示了相关恒等式对无限乘积的进一步影响。
2026-01-06 math.CO math.NT
Factors of sums and alternating sums of products of $q$-binomial coefficients and powers of $q$-integers
证明了对所有正整数$n_1, \ldots, n_m$、$n_{m+1}=n_1$和非负整数$j$和$r$，以及$j\leqslant m$，下面的两个表达式\begin{align*} &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1} q^{j(k^2+k)-(2r+1)k}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k},\\[5pt] &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1}(-1)^k q^{{k\choose 2}+j(k^2+k)-2rk}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k} \end{align*}是$q$中的整数系数劳伦多项式，其中$[n]=1+q+\cdots+q^{n-1}$和${n\brack k}=\prod_{i=1}^k(1-q^{n-i+1})/(1-q^i)$ .本文给出了郭和曾获得的关于整数的二项式系数和幂的和与交错和的可除性结果的$q$ -模拟。我们还通过建立郭和曾的$q$类似物证实了他们的一些相关结构.本文最后给出了$q$ -选票数$\left({2…
2017-05-08 math.CO math.NT
Sums and products along sparse graphs
在他们1983年的开创性论文中，Erdés和Szemerédi证明了任何$n$不同的整数都会导致$n^{1+ε}$不同的对和或许多不同的乘积，并证明了$n^{2-o(1)}$的下界。他们进一步提出了这个问题的一个推广，其中和和积是沿着给定图$G$在$n$标记顶点上的边取的。他们为至少有$n^{1+ε}$边的一般图证明了和积定理的一个版本。在这项工作中，我们考虑稀疏图的和积定理，并表明，这个问题已经有重要的后果时，$G$是一个匹配（即，$n/2$不相交边）：任何整数和积的$n^{1/2+δ}$形式的下界都蕴涵着原始Erdens-Szemerédi问题的$n^{1+δ}$的下界。相反，在实数上，匹配的最小和积是$Θ(\sqrt{n})$，因此这种方法有可能实现专门用于整数的下界。我们继续给这个问题在不同的设置的下限和上限。此外，我们提供了紧边界的总和沿扩展。在我们的证明中的一个关键因素是减少从一个匹配的最大数量的整数转换成完满平方的和产品。这个问题最初是由欧拉研究的，我们利用椭圆曲线分析得到了欧拉结果的一个更强形式。
2009-09-08 math.CO math.NT
On sums and products in C[x]
我们证明了在24项费马大定理的假设下，存在一个绝对常数c > 0，使得如果S是一组n > n_0的正整数，满足|S.S| < n^（1+c），则和集S.S满足|S+S|>> n^2。换句话说，我们证明了Erdos-Szemeredi和积猜想的一个弱形式，条件是费马大定理的扩展。本文无条件地证明了当S是n个首一多项式的集合时的这一定理。我们还证明了一个类似的定理Bourgain和张环C[x]。
2009-04-14 math.CO math.NT
Sums of Products of Bernoulli numbers of the second kind
伯努利数b_0，b_1，b_2，.第二类的定义为\sum_{n=0}^\ infty b_nt^n= \frac{t}{\log(1+t)}。在本文中，我们给出了一个明确的公式的总和\sum_{j_1+j_2+...+j_N=n, j_1,j_2,...,j_N>=0} b_{j_1} b_{j_2}. b_{j_N}。我们还建立了\sum_{k=0}^n的q-类似物b_ kb_{n-k} =-（n-1）b_n-（n-2）b_{n-1}。
2007-09-19 math.CO math.NT
k-fold sums from a set with few products
本文证明了：若A是n个实数的集合，且A的积集A. A至多有n^（1+c）个元素，则k重和集kA至少有n^（log（k/2）/2log 2 + 1/2 - f_k（c））个元素，其中f_k（c）-> 0，c -> 0.我们相信，本文中的方法可能会导致一个更强的结果;事实上，使用Trevor Wooley关于Vinogradov的中值定理和Tarry-Escott问题的结果，我们表明，如果|A.A| < n^（1+c），则|k（A.A）|> n^（Omega（（k/log k）^（1/3），其中c对于k来说足够小（我们相信，对这个论证进行某种修改，也许可以对kA得出类似的结论）。
2009-04-15 math.CO math.NT
The permanent and diagonal products on the set of nonnegative matrices with bounded rank
本文给出了秩有界的随机阵集合上的积和对角积的最大值和最大化矩阵的表达式。基于非负矩阵的秩、行和、列和，给出了这些函数的上界的等价公式。特别地，我们猜想奇异非负矩阵的积和式的界是其行和与列和乘积的最小值的1/2倍，奇异非负矩阵的任意对角线元素的乘积的界是其行和与列和乘积的最小值的1/4倍.
2018-07-31 math.CO
An improved estimate on sums of product sets
在最近的论文\cite{Gl} A. Glibichuk证明，如果$A,B$是任意有限域$\F_q$的子集，例如$|A||B|>q$，则为$16AB = \F_q$。我们将其改进为$10AB = \F_q.$
2008-05-17 math.CO
Congruences for sums involving products of three binomial coefficients
设$p>3$是素数，$a$是有理$p$整数，利用WZ方法建立了$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak\binom{-1-a}k\binom{2k}k\frac {w(k)}{4^k},$$的模$p^3$同余式，其中$$w(k)=1,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3},\frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}, \frac 1{k+3}, k,k^2,k^3,\frac 1{a+k},\frac 1{a+k-1}.$$作为推论，利用$a=-\frac 12,-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$导出了许多模$p^3$的同余式，从而解决了作者以前提出的一些问题.
2022-02-14 math.CO math.NT
A Note on the Sum-Product Problem and the Convex Sumset Problem
Indiana University Bloomington（印第安纳大学布鲁明顿分校）
该文为实数集上的求和-乘积猜想和凸求和集问题提供了新的指数界。
2026-01-29 math.CO math.NT
Modular hyperbolas and bilinear forms of Kloosterman sums
在本文中，我们研究的发病率为双曲线在$\mathbf{F}_p$，并显示如何线性和-产品的方法工作，这样的曲线。作为应用，我们给出了Kloosterman和的双线性型的一个非平凡上界的纯组合证明。
2019-05-01 math.CO math.NT
Exponential Sums and Congruences with Factorials
我们估计了某些涉及因子的对角同余的解的个数。利用这些结果，我们得到了两个因子乘积$n!m!$的指数和的界，并得到了因子乘积的各种同余的解的个数的渐近公式。例如，我们证明了两个因子$n!m!$与$\max\{n,m\}<p^{1/2+ε}$的乘积是模$p$均匀分布的，并且任何模$p$的剩余类都可以用$m!n!+n_1! + ... +n_{49}!$与$\max \{m,n, n_1, >..., n_{49}\} < p^{8775/8794+ ε}$的形式表示。
2004-03-24 math.CO math.NT
Some New Results on Monochromatic Sums and Products in the Rationals
本文的目的是证明，对于任何$k$，其分解子只包含第一个$k$素数的有理数集合存在有限着色，使得没有无限集的有限和与乘积都是单色的.我们实际上证明了一个“统一”的形式：有一个有限着色的理性与财产，没有无限集的扩张器只包含许多素数有其所有的有限总和和产品单色。我们还给出了其他各种结果，包括一个新的短证明旧的结果，有一个有限的着色的自然，这样就没有无限集的所有成对和产品单色。
2023-03-07 math.CO
Multi-fold sums from a set with few products
本文证明了对任何$k\geq2$，存在两个普适常数$C_k,D_k>0$，使得对任何具有$|AA|\leq M|A|$的正实数有限子集$A$，$|kA|\geq \frac{C_k}{M^{D_k}}\cdot|A|^{\log_42k}.$
2011-06-29 math.CO
Monochromatic products and sums in $2$-colorings of $\mathbb{N}$
我们表明，任何$2$ -着色的$\mathbb{N}$包含无限多个单色集的形式$\{x,y,xy,x+y\},$和更一般的单色集的形式$\{x_i,\prod x_i,\sum x_i: i\leq k\}$的任何$k\in\mathbb{N}.$沿的方式，我们证明了单色产品的总和定理，扩展Hindman定理和丰富多彩的变体，这一结果，在任何“平衡”着色。
2022-05-25 math.CO
Monochromatic sums equal to products near zero
Hindman证明了：只要自然数集$\mathbb{N}$是单色的，则方程$a+b=cd$必存在非常数的单色解.本文将这个结果推广到$((0, \infty), +)$的稠密子半群的零附近。
2019-05-02 math.CO
A proper total coloring distinguishing adjacent vertices by sums of some product graphs
本文考虑一个真全染色，它是用和来区分邻顶点的，如果每两个邻顶点的关联边的颜色之和与顶点的颜色之和不同. Pilsniak和Wozniak \cite{PW}首先介绍了这种着色，并提出了一个猜想，即区分邻顶点的和所需的最小颜色数小于或等于最大度加上$3$。研究了图的和与积区分邻顶点的真全染色。我们发现这些图满足猜想。
2014-12-08 math.CO
Sums of products of binomial coefficients mod 2 and 2-regular sequences
本文证明了模2二项式系数乘积之和对应的线性递推序列游程长度变换是2-正则序列，从而利用计算机程序 Walnut 复现并扩展了 Wu 的结果，免去了冗长的技术证明。
2023-09-07 cs.FL math.CO math.NT
On Sums, Products, and the multidimensional Falconer problem
d维欧几里得空间中的一个集合，当d大于2时，如果它的豪斯多夫维数至少为d/2，则它的距离集的豪斯多夫维数必须严格大于1/2。
2006-07-09 math.CA math.CO
Sums of products of binomial coefficients mod 2 and run length transforms of sequences
该研究推导了二项式系数乘积之和模2的递推关系，证明其生成序列为已知基本序列的游程长度变换，并给出正整数、斐波那契数等序列游程长度变换的公式。
2022-08-12 math.CO
A Product Formula for the Normalized Volume of Free Sums of Lattice Polytopes
自由和是凸多胞体之间的一种基本几何运算。本文重点讨论自由和的归一化体积与被加数的归一化体积之间的关系。特别是，我们证明了全维多面体的自由和的归一化体积正好是求和的归一化体积的乘积。
2019-03-13 math.CO
Exponential bounds for monochromatic sums equal to products
本文证明对任意r染色，在足够大的整数区间内必存在单色集合{a,b,a+b,x,y,xy}满足a+b=xy，给出了指数上界。
2024-08-21 math.CO
On the Shannon capacity of sums and products of graphs
令$Θ(G)$表示图$G$的香农容量。本文给出了不等式$Θ(G\sqcup H)>Θ(G)+Θ(H)$与不等式$Θ(G\boxtimes H)>Θ(G)Θ(H)$对任意图$G$与$H$的等价性的初等证明。Wigderson和Zuiddam [2022]使用Kadison-Dubois对偶和选择选择公理独立地证明了这一点。
2022-04-14 math.CO
Monochromatic products and sums in the rationals
证明了在有理数的任意有限多色着色中，必存在某种颜色包含由非零 $x$ 和 $y$ 构成的形如 $\{x,y,xy,x+y\}$ 的集合。
2022-10-21 math.CO math.DS math.LO
Problems and results on intersections of product sets and sumsets in semigroups
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（城市大学系统））
研究半群中乘积集与和集交集的性质，探讨乘积交集集H(A_q)的结构与特性。
2026-04-10 math.CO math.GR math.NT
Monochromatic Sums and Products over $\mathbb{Q}$
Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics and Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学纯数学与统计数学系和三一学院）
本文研究了有理数上单色和积的分区正则性，证明了特定模式在有理数上的分区正则性。
2026-07-12 math.CO math.DS math.LO
Sums, products, and exponents in two-colorings of the naturals
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Oxford（牛津大学）；McGill University（麦吉尔大学）
该研究证明了在自然数双色染色中，存在特定结构的单色子集，揭示了颜色分配下数学结构的不变性。
2025-12-10 math.CO
Combined Properties of Finite Sums And Finite products near zero
证明了当N被划分为n个胞元时，其中一个胞元必定包含任意长度的几何等差数列。证明了当N被划分为n × n个单元时，算术级数和等比数列在一个单元中可以很好地交织在一起.本文将利用Stone-Cech紧化证明类似的结果在（（0; 1）; +）的某些适当的稠密子半群S中也在零附近成立。S.
2017-03-05 math.CO
Minkowski sum of polytopes and its normality
本文研究整凸多胞体的Minkowski和的正规性或整分解性质。讨论了整凸多胞体的Minkowski和所对应的环面环的一些性质。研究了边多面体的Minkowski和，给出了边多面体的Minkowski和具有IDP的一个充分条件.
2014-07-17 math.AC math.CO math.MG
Several new product identities in relation to two-variable Rogers-Ramanujan type sums and mock theta functions
本研究将双变量乘积恒等式的级数展开视为拟周期亚纯函数向量空间的典范基表示，发现了多组新的乘积与Rogers-Ramanujan型和恒等式，揭示了乘积恒等式与Rogers-Ramanujan恒等式间的对应关系并给出应用。
2024-04-17 math.CO
Sums and products in sets of positive density
该研究通过分析方法，利用傅里叶分析和遍历论工具，证明了正密度集合中存在特定的和与积结构。
2026-02-07 math.CO math.DS math.NT
Monochromatic Sums and Products with Additive or Multiplicative Shifts in Natural Numbers
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Fudan University（复旦大学）；Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）
该研究证明自然数集有限着色下存在带乘性、加性平移的无穷多单色和积结构对，并给出Milliken–Taylor定理特例的两种新证法。
2025-08-14 math.CO math.DS math.NT
Connected sums of sphere products and minimally non-Golod complexes
我们表明，如果与单纯复形$K$相关的矩角复形$\mathcal{Z}_K$同伦等价于每个产品中有两个球的球产品的连接和，则$K$分解为$n$ -单纯形$Δ^n$和极小非Golod复形的单纯连接。特别地，我们证明了对于每一个与球面的二重积的连通和同胚的矩角复形$\mathcal{Z}_K$，$K$是极小非Golod的，从而回答了Grbić，Panov，Theriault和Wu的一个问题.
2020-06-29 math.AC math.AT math.CO
Symmetry in Turán Sums of Squares Polynomials from Flag Algebras
极值组合学中的图兰问题要求找到避免指定子图的图和超图的边密度的渐近界。Razborov提出的旗代数理论提供了基于半定规划的强大方法来找到在Turán问题中建立边密度不等式的平方和。多项式类似物的旗代数实体的工作，我们证明了这样的总和的平方创建的旗代数可以检索到从一个限制版本的自适应半定方案提出的Gatermann和Parrilo。这涉及到使用对称群的表示论来寻找不变多项式的简洁平方和表达式。这种联系揭示了旗代数平方和的若干组合和结构性质，为研究Turán及其它相关问题提供了新的工具.
2017-08-28 cs.DM math.CO math.OC
A concept of largeness of monochromatic sums and products in large ideal domain
Department of Mathematics, Basirhat College, Basirhat-743412, North 24th Parganas, West Bengal, India（巴希拉特学院数学系）
本文研究了大理想域中单色和与积的大性概念，证明了Hindman和Strauss的定理并扩展至多项式情形。
2026-02-03 math.AC math.CO
Random Finite Sumsets and Product Sets in Subsets of the Natural Numbers
本文研究了自然数Bernoulli随机子集中加法与乘法结构的出现，证明了几乎必然存在任意有限长度的FS-sets和FP-sets，并建立了Hindman分割定理与中心极限定理的新联系。
2025-10-31 math.CO math.PR
Reflection identities of harmonic sums of weight four
我们考虑权为4的调和和的反射恒等式。我们将具有混合极点结构的两个调和和的乘积分解成一个线性组合，每个项在辐角的负值或正值处都有一个极点。极点分解演示了两个简单的谐波和的乘积如何在更高的权重下构建更复杂的谐波和。我们列出了一个最小的不可约双线性反射恒等式的重量四，目前的主要结果的文件。我们还讨论了如何其他三线性和四次反射恒等式可以很容易地从我们的结果与著名的洗牌关系的调和和。
2018-09-12 hep-th math-ph math.CO
On Integer Balancing of Digraphs
一个带权有向图是平衡的，如果在每个顶点上，传入边和传出边的权之和相等。我们表明，如果这些总和是整数，那么边的权重也可以是整数。
2020-11-19 cs.DM math.CO math.OC
Maximum Edge-Disjoint Paths in $k$-sums of Graphs
我们考虑无向图中最大边不相交路径问题（MEDP）的可逼近性，特别是基于松弛的自然多商品流的完整性间隙。即使对于平面图，由于一个简单的拓扑障碍，完整性间隙也被称为$Ω(\sqrt{n})$。在这种情况下，很自然地会问哪些类的图具有常数因子常数拥塞性质。很容易推断出，对于给定的近似和拥塞的常数界，这类“好”图是非闭的。反之亦然吗？是否每一个真次闭图族都有一个常数因子，相对于LP松弛的常数拥塞界？我们推测答案是肯定的。一个绊脚石是，这样的界限是未知的有界树宽图（甚至树宽3）。在本文中，我们给出了一个polytime算法，它需要一个分数路由的解决方案，在一个图的有界树宽，并能够完整地路由一个常数分数的LP解决方案的价值。请注意，我们不会引发任何边缘拥塞。以前，这是不知道的，甚至为系列平行图，树宽2。该算法是基于一个更一般的论点，适用于$k$ -一些图族中的图的和，只要图族有一个常数因子，常数拥塞界。然后，我们使用这表明，这样的界限举行的类$k$ -有界亏格图的总和。
2013-03-20 cs.DM cs.DS math.CO
Monochromatic sums and products in $\mathbb{N}$
拉姆齐理论中的一个老问题是，任何自然数的有限着色是否允许单色对$\{x+y,xy\}$。我们肯定地回答这个问题，在强烈的意义上表现出一个大的新类的非线性模式，可以发现在一个单一的细胞的任何有限分区的$\mathbb{N}$。我们的证明涉及到一个对应的原则，将问题转化为语言的拓扑动力学。作为我们的主要定理的推论，我们得到了新类型的方程，如$x^2-y^2=z$和$x^2+2y^2-3z^2=w$的分割正则性。
2016-05-05 math.CO math.DS
Total positivity of sums, Hadamard products and Hadamard powers: Results and counterexamples
我们证明了，对于Hankel矩阵，完全非负性（分别为）。r阶的总正性）由具有实指数t \ge r-2的sum、Hadamard乘积和Hadamard幂来保持。我们给出的例子表明，我们的结果是尖锐的矩阵的大小和结构（一般，对称或汉克尔）。这些例子中的一些也解决了阿达玛临界指数问题的完全积极和完全非负矩阵。
2021-01-29 math.AC math.CA math.CO
Factorization of alternating sums of Virasoro characters
G. Andrews证明了如果$n$是素数，则乘积$(q,q)_\infty/(q^n,q^n)_\infty=\sum_k a_kq^k$的系数$a_k$和$a_{k+n}$具有相同的符号，参见[A1]。我们把这个结果推广到几个方向。我们的结果是基于这样的观察，即许多产品可以写为交替和Virasoro模块的字符。
2006-06-22 math.CO math.QA
Tensor 2-sums and entanglement
为了定义一个最小的数学框架来隔离量子纠缠的一些特性，我们引入了图的张量积的推广。受密度矩阵概念的启发，推广是一个简单的：每个图都可以通过邻接矩阵的张量积的模2加法来获得，可能有许多被加数。在这幅图中，我们仍然能够证明Peres-Horodecki准则的组合模拟来测试可分性。
2009-09-17 math.CO quant-ph
Multi-parameter projection theorems with applications to sums-products and finite point configurations in the Euclidean setting
本文研究了分形集的多参数投影定理。在这些估计的帮助下，我们恢复结果的大小$A \cdot A+...+A \cdot A$，其中$A$是一个子集的实数线的一个给定的豪斯多夫维数，$A+A=\{a+a': a,a' \in A \}$和$A \cdot A=\{a \cdot a': a,a' \in A\}$。我们还使用投影结果和归纳参数表明，如果一个子集的${\Bbb R}^d$的豪斯多夫维数是足够大的，那么${k+1 \choose 2}$维勒贝格测度的集合的$k$ -单形由这个集合是积极的。这些结果的锐度和连接数论估计进行了讨论。
2011-06-28 math.CA math.CO math.MG
Entropic additive energy and entropy inequalities for sums and products
University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究连续随机变量和积的熵不等式，引入加法能量概念并证明其与熵大小的关系，同时提出环Plünnecke-Ruzsa熵不等式及离散熵的
2025-11-19 cs.IT math.CO math.IT
