Double sums involving binomial coefficients and special numbers
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）；University of the National Education Commission, Krakow（克拉科夫国民教育委员会大学）
该研究提出一种初等方法处理内层为不完全二项式和的双重求和问题，并将核心恒等式应用于含调和数、Fibonacci数等多种特殊数的双重求和场景。
2025-10-28 math.CO
On the binomial sums of Horadam sequence
本文的主要目的是利用二项式和建立Horadam数的一些新性质。这样，我们就可以用一种新的、直接的方法得到这些特殊的数。进一步揭示了Horadam数与广义Lucas数之间的联系，得到了一个更强的结果.
2014-09-12 math.CO
Double sums associated with binomial transforms
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）；University of the National Education Commission, Krakow（克拉科夫国家教育委员会大学）
本文针对内层为不完整二项式和的二重和展开研究，证明其与二项式变换对相关的新结果，推导了多类特殊数、多项式族相关的二重和恒等式及含双曲函数的新二重和。
2025-11-17 math.CO
Some Double Sums Involving Ratios of Binomial Coefficients Arising From Urn Models
本文讨论一类含二项式系数比的双重和。和的形式为\[ \sum_{j=0}^{n} \sum_{i=0}^j \frac{\binom{f_1(n)}{i}}{\binom{f_2(n)}{j}}\,c^{i-j}, \]，其中$f_1, f_2$是$n$的函数。这样的总和出现在Mabinogion瓮和Ephilfest瓮的概率分析中。使用超几何函数，我们能够简化这些和，并且在某些情况下用调和数来表达它们。
2018-09-25 math.CO
Binomial Fibonacci sums from Chebyshev polynomials
本文通过将特定二项式系数求和与切比雪夫多项式建立联系，推导出涉及斐波那契数和卢卡斯数的新型二项式和恒等式，并进一步研究组合和及其与 Chu 和 Guo 2022 年工作的联系。
2023-08-04 math.CO
A Formal Refutation of the Hypergeometric Parametric Extension for Reciprocal Binomial Sums
本文通过逻辑一致性检查、积分推导分析和符号计算，证明Pain提出的参数扩展在递归二项式和中的超几何闭形式表示是错误的。
2026-04-07 math.CO
Asymptotics of partial sums of central binomial coefficients and Catalan numbers
证明了中心二项式系数序列和Catalan数序列的部分和的精确渐近展开式，即$\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}$和$\sum_{k=0}^n C_n$ .我们还得到了多项式$\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}x^k$和$\sum_{k=0}^{q-1}C_kx^k$在$p$元素域上的封闭形式，其中$q$是素数$p$的幂。
2010-01-13 math.CO
An application of sums of triple products of binomials
本文证明了一类三个二项式乘积和族具有模素数$p$的交替性。为了实现这一点，我们重写这些款项的产品的三个二项式，更好地处理$p$的有符号的总和，我们给两个相关的三个二项式的有符号的产品的总和封闭形式的表达式。
2022-02-23 math.CO math.NT
Some 3-adic congruences for binomial sums
本文证明了Sun等人提出的关于二项和的3-adic同余。
2012-03-13 math.CO math.NT
Factors of alternative binomials sums
我们证实了郭、Jouhet和曾关于择一二项式和因子的几个定理。
2009-06-16 math.CO math.NT
Pairs of lattice paths and positive trigonometric sums
Ismail et al.（Constr.约{ \bf 15}（1999）69- 81）证明了某些具有单二项式系数的三角多项式的正性。本文通过用两个二项式系数的乘积代替二项式系数，证明了类似的结果。
2009-08-07 math.CO
Reciprocal binomial sums via Beta integrals
CEA, DAM, DIF（CEA DAM DIF）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学 CEA 极端条件物质实验室）
本文通过Beta积分技术系统地推导了涉及二项式系数倒数的二项式和的求解方法，建立了Frisch公式等经典恒等式，并扩展到参数和，利用超几何函数获得闭式解。
2026-04-06 math.CO
On two supercongruences of double binomial sums
本文证明了El Bachraoui关于二项式系数的两个双和的代数超同余。
2020-07-22 math.CO math.NT
Binomial sum relations involving Fibonacci and Lucas numbers
该研究探讨了含（广义）斐波那契数、卢卡斯数与不同类型二项式系数的二项式和的关联，给出多类二项式和关系并重新发现部分已作为问题提案的关系式。
2023-10-03 math.CO
Recurrences for certain sequences of binomial sums in terms of (generalized) Fibonacci and Lucas polynomials
本文给出了某些二项式和序列用（广义）Fibonacci和Lucas多项式表示的递归性的一些结果。
2022-12-05 math.CO math.NT
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
2012-01-30 math.CO math.NT
Recurrences for some sequences of binomial sums II: A simpler approach
由于John P.D. Angelo和Dusty Grundmeier关于CR-映射的一些结果，我2001年关于某些二项式和序列的递归性的论文的主要结果可以被简化。
2013-02-18 math.CO math.NT
Generalising Tuenter's binomial sums
Tuenter [Fibonacci Quarterly 40（2002），175-180]和其他作者考虑了\[S_r(n) = \sum_k \binom{2n}{k}|n-k|^r,\]形式的中心二项式和，其中$r$和$n$是非负整数。我们认为总和的形式\[U_r(n) = \sum_k \binom{n}{k}|n/2-k|^r\]这是一个概括的Tuenter的总和为$S_r(n) = U_r(2n)$，但$U_r(n)$也是定义良好的奇数参数$n$。$U_r(n)$可以被解释为具有$n$步长的对称伯努利随机游动的矩。$U_r(n)$的形式取决于$r$和$n$的奇偶性。事实上，$U_r(n)$是多项式（取决于$r$和$n$的奇偶校验）乘以2的幂或二项式系数的乘积。在所有情况下，多项式都可以用Dumont-Foata多项式表示。我们给出了函数$U_r(n)$和/或相关多项式的递推关系、生成函数和显式公式。
2015-01-19 math.CO
Proof of some divisibility results on sums involving binomial coefficients
利用Rodriguez-Villegas-Mortenson超同余，我们证明了Sun最初提出的关于二项式系数和的四个超同余.我们还证实了郭的一个相关猜想的整数值多项式。
2017-03-27 math.CO math.NT
On the divisibility of sums of even powers of $q$-binomial coefficients
证明了最近由Guo，Schlosser和Zudilin提出的关于$q$ -二项式系数的偶次幂和的整除性猜想.我们的证明依赖于两个$q$ -调和级数同余式。
2021-10-19 math.CO math.NT
Factors of Some Lacunary q-Binomial Sums
本文证明了缺项$q$的一个整除性结果--二项式和$$ \sum_{k\equiv r\pmod{c}}(-1)^kq^{\binom{k}{2}}\qbinom{n}{k}{q}\qbinom{(k-r)/c}{l}{q^{c}}. $$
2012-06-03 math.CO math.NT
An identity for the central binomial coefficient
我们发现的联合分布的三个简单的统计上格路径的n个向上和n个向下的步骤，导致一个三重和身份的中心二项式系数{2n}-选择-{n}。我们解释了为什么一个成分的双重和计数的不可约对的组成考虑本德等人，然后我们计算其他的和。
2012-06-14 math.CO
Periodic Weighted Sums of Binomial Coefficients
本文用初等方法建立了二项式系数与斐波那契数、卢卡斯数等之间的新旧关系。
2023-09-07 math.CO math.NT
On p-adic approximation of sums of binomial coefficients
我们提出了高阶推广的Jacobsthal的$p$ -进近似的二项式系数。我们的研究结果意味着明确的公式的线性组合的二项式系数$\binom{ip}{p}$（$i=1,2,\dots$），可整除的素数$p$的任意大的权力。
2018-08-30 math.CO math.NT
A $q$-analogue of Boyadzhiev-Mneimneh-type binomial sums of finite multi-polylogarithms
该研究给出有限多重多重对数的Boyadzhiev-Mneimneh型二项式和的$q$-模拟公式，其$q\ o1$极限等价于Sakugawa-Seki恒等式，还给出对应柯西二项式定理的该类和的公式。
2025-10-29 math.CO math.NT
Congruences on sums of $q$-binomial coefficients
本文建立了孙-赵同余式在调和和上的一个$q$ -模拟.基于这个$q$ -同余式和一个$q$ -级数恒等式，我们证明了最近由Guo提出的关于中心$q$ -二项式系数和的一个同余式猜想.我们还从郭的$q$ -同余式推出了Apagodu和Zeilberger的一个同余式的$q$ -模拟.
2019-02-11 math.CO math.NT
Divisibility of some binomial sums
利用$q$ -同余，证明了某些二项式和的整除性.例如，对于任意整数$ρ,n\geq 2$、$$\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1) \binom{2k}{k}^ρ\cdot (-4)^{ρ(n-1-k)} \equiv 0\pmod{2^{ρ-2}n\binom{2n}{n}}.$$
2018-08-09 math.CO math.NT
Three combinatorial sums involving central binomial coefficients
本文研究三类含中心二项式系数及不同调和数的组合和，通过分部求和建立递归式，并用第二类 Stirling 数与 r-Stirling 数给出闭合形式。
2025-05-04 math.CO math.NT
Limits of Sums for Binomial and Eulerian Numbers and their Associated Distributions
我们提供了一个统一的，概率的方法，使用更新理论，以获得一些新的限制和规范化的二项式系数和规范化的欧拉数。我们还研究了它们的相关分布--二项式系数的二项分布和欧拉数的Irwin-Hall分布（均匀B样条）的一些相应结果。
2019-03-15 cs.DM math.CO math.PR
Binomial regular sequences and free sums
最近几个作者证明了有理多面体自由和的Ehrhart级数的结果。本文从代数的观点来处理这些结果。而不是攻击组合报表直接，我们从仿射幺半群及其代数，允许希尔伯特和Ehrhart系列的结论的结构结果。我们刻画了当一个二项式正则序列生成一个素理想或甚至保持剩余类环的正规性。
2013-02-04 math.AC math.CO
Series and sums involving the floor function
设$(a_n)_{n\geq 0}$为任意序列，$(a_{\lfloor n/k \rfloor})_{n\geq 0}$为它的对偶楼层序列.研究了涉及$(a_{\lfloor n/k \rfloor})_{n\geq 0}$的无穷级数和有限广义二项和.作为应用，我们证明了一系列新的封闭形式的表达Fibonacci（卢卡斯）系列和二项式和身份作为特殊情况。
2023-03-26 math.CO
Multiple binomial sums
本文研究多重二项式和的生成函数有理函数积分表示，证明单变量序列为多重二项式和的充要条件，并提出判定其相等、计算递推的算法，规避离散创造性望远镜法的相关问题。
2016-06-15 cs.SC math.CO
On 2-adic orders of some binomial sums
证明了对任意非负整数$n$和$r$，二项式和$$ \sum_{k=-n}^n\binom{2n}{n-k}k^{2r} $$可被$2^{2n-\min\{α(n),α(r)\}}$整除，其中$α(n)$表示$n$的二进制展开式中1的个数.这证实了郭和曾的一个猜想。
2010-08-31 math.CO math.NT
Proofs of some binomial identities using the method of last squares
我们给出了一些没有封闭形式的包含二项式和的恒等式的组合证明。
2011-07-06 math.CO
Products and sums divisible by central binomial coefficients
本文主要研究可被中心二项式系数整除的乘积与和。我们证明了2（2n+1）binom（2n，n）|binom（6n，3n）binom（3n，n），其中n= 1，2，3，.此外，对于任何非负整数$k$和$n$，我们有$$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$和$$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$，其中$C_m$表示加泰罗尼亚数$\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$。应用这个结果，我们得到两个可被中心二项式系数整除的和。
2010-05-05 math.CO math.NT
Binomial identities related to Calabi-Yau differential equations
当搜索Calabi.Yau微分方程时，通常不同的系数公式给出相同的微分方程。这些系数通常是二项式系数的乘积的和（一次、二次或三次）。这导致了许多二项式恒等式。
2007-03-09 math.CO
Some binomial sums involving absolute values
我们考虑几个家庭的二项式和身份的定义涉及的绝对值功能。特别是，我们认为中心双和的形式\[S_{α,β}(n) := \sum_{k,\;\ell}\binom{2n}{n+k}\binom{2n}{n+\ell} |k^α-\ell^α|^β,\]获得新的结果的情况下$α= 1, 2$。我们表明，有一个密切的联系，这些双和的情况下$α=1$和单中心二项式和Tuenter考虑。
2016-01-31 math.CO math.ST stat.TH
Supercongruences on some binomial sums involving Lucas sequences
本文证明了Sun关于二项和整除性的几个证明同余。例如，借助于二次超几何变换，我们证明了对于任何素数$p\equiv 7\mod{8}$，$$ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k^2\frac{P_k}{8^k}\equiv0\pmod{p^2} $$，其中$P_k$是$k$ -th Pell数。此外，我们还提出了三个新的同类型的同余。
2016-11-11 math.CO math.NT
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
2011-04-05 math.CO math.NT
Discovering and Proving Infinite Binomial Sums Identities
我们考虑无穷远处的二项和逆二项和，并将它们重写为一小组常数，例如$π$或$\log(2)$的幂。为了进行这些简化，我们将级数视为生成级数的特化。对于这些生成级数，我们导出了根值迭代积分的整表示。利用代换，我们将积分表示为分圆调和多项式。最后，利用已知的分圆调和多项式之间的关系，我们推导出几个常数的表达式。
2015-10-29 cs.SC math.CO math.NT
Sums of binomial determinants, non-intersecting lattice paths and positivity of Chern-Schwartz-MacPherson classes
我们给出了一个Chern-Schwartz-MacPherson类的正性猜想的组合解释，正如P. P. Schiffi和作者在以前的论文中所述。它转化为一个积极的性质，由二项式系数组成的p乘p行列式的总和，推广经典的Lindstrom-Gessel-Viennot定理等。我们证明了这个猜想p= 2，3。
2007-02-19 math.AG math.CO
On some divisibility properties of binomial sums
本文考虑两个特殊的二项式和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(20k^2+8k+1){\binom{2k}{k}}^5 (-4096)^{n-k-1} \end{align*}和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(120k^2+34k+3){\binom{2k}{k}}^4\binom{4k}{2k} 65536^{n-k-1}, \end{align*}，它们是由Guillera关于$\frac{1}{π^2}$的两个级数得到的.我们考虑了它们的整除性质，证明了对所有整数$n\geq 2$，它们都能被$2n^2 \binom{2n}{n}^2$整除.这些整除性质比He用WZ-方法证明了上述两个和可被$2n \binom{2n}{n}$整除的结果更强。
2016-11-04 math.CO math.NT
Matrix products of binomial coefficients and unsigned Stirling numbers
本文研究二项式系数与无符号斯特林数构成的矩阵乘积和式，分析其闭式表达、组合解释、递推关系及多项式基变换系数意义。
2020-12-30 math.CO
Sums of powers of binomials, their Apéry limits, and Franel's suspicions
本文显式确定了二项式系数幂和的Apéry极限，并在假设递归可通过创造性望远镜法获得的前提下，证明了关于这些序列递归阶的Franel猜想的最小阶版本。
2022-03-19 math.CA math.CO math.NT
Factors of Alternating Sums of Products of Binomial and q-Binomial Coefficients
In this paper we study the factors of some alternating sums of products of binomial and q- binomial coefficients . We prove that for all positive integers n_1,...,n_m, n_{m+1} =n_1, and 0 \leq j \leq m-1, {n_1+ n_{m} \brack n_1}^{-1} \sum_{k=-n_1}^{n_1} (-1)^kq^{jk^2+{k \choose 2}} \prod_{i=1}^m {n_i+ n_{i+1} \brack n_i+k} \in \N [q], which generalizes a result of Calkin [Acta Arith. 86 (1998), 17--26]. Moreover, we show that for all positive integers n, r and j, {2n \brack n}^{-1}{2j \brack j} \sum_{k=j}^n (-1)^{n-k}q^{A} \frac{1-q^{2k+1}}{1-q^{n+k+1}} {2n \brack n-k}{k+j \brack k-j}^r \in N[…
2007-01-07 math.CO math.NT
Sums of squares of binomial coefficients, with applications to Picard-Fuchs equations
对于固定整数N和固定数b_1，.，b_N，我们考虑序列，其中第n项（a_n）是（b_1 +. + b_N）^n.在所有b_i=1的情况下，我们给出了a_n的一个递推关系式.另外，我们给出了一个算法，找到一个递归关系。作为应用，我们给出了某些椭圆曲线族的Picard-Fuchs方程。
2004-07-19 math.AG math.CO
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
2009-09-30 math.CO math.NT
A Family of Generating Functions for Reciprocal Binomial Coefficients and Its Applications
本文提出递归二项式系数的生成函数族，推导相关恒等式并展示其在无限序列评估中的应用。
2026-02-08 math.CO
Congruences for sums of binomial coefficients
设q>1和m>0是互素整数。我们找到一个显式周期$ν_m(q)$，使得对于任何整数n>0和r，只要a是具有$\gcd(1-(-a)^m,q)=1$的整数，或a=-1（mod q），或a=1（mod q）和2，我们就有$[n+ν_m(q),r]_m(a)=[n,r]_m(a) (mod q)$| m，其中$[n,r]_m(a)=\sum_{k=r(mod m)}\binom{n}{k}a^k$ .这是一个Glasgow同余式的进一步推广。
2007-08-05 math.CO math.NT
Links Between Sums Over Paths in Bernoulli's Triangles and the Fibonacci Numbers
我们研究了伯努利三角形中的路径，并导出了二项式系数的部分和与斐波那契数之间的关系。
2016-11-28 math.CO
Weil sums of binomials: properties, applications, and open problems
我们提出了一个调查韦尔和一个有限域$F$的添加剂字符被应用到一个二项式的个别条款（单项式）成为排列的$F$时，被视为功能。然后我们指出了这些Weil和在应用中的应用，特别是它们如何刻画幂置换的非线性和有限域上线性递归序列的相关性。在这些应用中，人们感兴趣的是频谱的威和值，获得的二项式中的系数是不同的。我们回顾了这些光谱的基本性质，然后给出了一个调查目前的研究课题：阿基米德和非阿基米德界的总和，在频谱中的值的数量，以及存在或不存在零的频谱。我们指出了一些重要的开放问题，并讨论了对他们已经取得的进展。
2018-11-19 cs.IT math.CO math.IT
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
2019-10-29 math.CO math.NT
On sums related to central binomial and trinomial coefficients
广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$(x^2+bx+c)^n$用$b,c\in\mathbb Z$展开时$x^n$的系数。本文研究了与中心二项式系数和广义中心三项系数相关的项和的同余式和级数。本文包含了许多关于与某些二元二次型表示素数有关的同余式的说明，以及62个由同余式和相关对偶激发的$1/π$的新系列。
2014-10-22 math.CA math.CO math.NT
Sums of products of binomial coefficients mod 2 and 2-regular sequences
本文证明了模2二项式系数乘积之和对应的线性递推序列游程长度变换是2-正则序列，从而利用计算机程序 Walnut 复现并扩展了 Wu 的结果，免去了冗长的技术证明。
2023-09-07 cs.FL math.CO math.NT
