On the density of sumsets and product sets
Norbert Hegyvári, François Hennecart, Péter Pál Pach
本文给出了整数集的稠密性与其和集、积集及子集和集的稠密性之间的联系。
In this paper some links between the density of a set of integers and the density of its sumset, product set and set of subset sums are presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On sets free of sumsets with summands of prescribed size
我们研究极值问题的整数集，不包含规定大小的和项的和集。我们分析有限集和无穷序列。我们还研究了这些问题与图和超图的极值问题的联系。
On universal sets and sumsets
本文从加法组合视角研究泛集，将其均匀性应用于避免线性方程解集，并给出一般和集覆盖数的最优上界。
Arithmetic progressions in sets with small sumsets
本文给出了一个初等证明：如果$A$是一个有限的数集，且$A+_GA$的和集$|A+_GA|\leq c|A|$沿稠密图$G$很小，则$A$包含$k$ -项等差数列.
A Note on Sumsets and Restricted Sumsets
本文给出了非负整数有限集$H, A$上和集$HA$和$H\,\hat{}A$的最优大小下界，其中$HA = \bigcup_{h\in H} hA$和$H\,\hat{}A = \bigcup_{h\in H} h\,\hat{}A$ .我们还发现了潜在的代数结构的集合$A$和$H$的和集$HA$和$H\,\hat{}A$的大小是最小的。
Compression and complexity for sumset sizes in additive number theory
本文研究了加法数论中和集大小的压缩与复杂性，探讨了h-fold和集的几何与计算复杂性，提出了一种构造直径小的和集A'的方法。
On Thin Sets of Primes Expressible as Sumsets
设P是素数的无限集，使得P = A + B + C，其中A，B，C是至少有两个元素的集合。我们证明了，如果P（x）> c x/log^d x（其中P（x）= P中<= x的元素的个数），并且如果A，B，C是一个“正则”三元组，则|A+B| <= d，或|B+C| <= d，或|A+C| <= d.
On sumsets of dissociated sets
本文研究了分离集和的子集Q的一些性质。给出了方程（1）q_1 +.的解的个数的精确上界。+ q_p = q_{p+1} +. + 在群F_2 ^n中找到了q_{2p}，q_i \in Q.利用我们的方法，我们很容易地证明了J. Bourgain关于大指数和集的一个最近结果，并得到了他的定理的一个微小改进.此外，本文还考虑了一个反问题。设Q是一个集合，它属于两个分离集合的和集，使得方程（1）有许多解。我们证明，在这种情况下，大部分的Q是高度结构化的。
Additive sumset sizes with tetrahedral differences
本文研究整数四元集合的 h 重和集大小，证明其集中在 h 个四面体数之差上，并为每个常见大小构造了显式的 h 进定义集合。
The Typical Structure of Sets with Small Sumset
本文确定了有界加倍整数集的个数和典型结构。特别是，改善最近的结果绿色和莫里斯，和马祖尔，我们表明，以下持有的每一个固定的$λ> 2$和每$k \geqslant (\log n)^4$：如果$ω\to \infty$作为$n \to \infty$（任意缓慢），那么几乎所有的集$A \subset [n]$与$|A| = k$和$|A + A| \leqslant λk$包含在一个等差数列的长度$λk/2 + ω$。
New lower bounds for cardinalities of higher dimensional difference sets and sumsets
令$d \geq 4$是自然数，并且令$A$是$\mathbb{R}^d$的有限非空子集，使得$A$不包含在超平面的平移中。在这种情况下，我们表明，\[ |A-A| \geq \bigg(2d - 2 + \frac{1}{d-1} \bigg) |A| - O_{d}(|A|^{1- δ}), \]的一些绝对常数$δ>0$，只依赖于$d$。这提供了一个尖锐的主项，因此回答了Ruzsa和Stanchescu的问题，直到$O_{d}(|A|^{1- δ})$错误项。我们还证明了$\mathbb{R}^d$中限制型差集和非对称和集的新的下界。
Additive decompositions of sets with restricted prime factors
我们研究了具有限制素因子的相当一般的集合的和集分解。我们设法处理某些集合，如光滑数，即使它们几乎没有筛顺从性，并得出结论，这些集合不能被写为一个三元和集。这证明了萨尔科齐的一个猜想。我们还清理和锐化现有的结果的和集分解的素数。
Sidon sets with $Δ$-separated sumsets in additive number theory
该研究针对整数区间内最大Δ-分离西顿集的基数，推导了其上下界，属于加法数论中西顿集相关的理论研究。
Sets with small sumset and rectification
我们研究在何种程度上集A在Z/NZ，N素数，类似于集合的整数从添加剂的角度来看（"高达弗赖曼同构“）。我们给出了Freiman的一个结果的直接证明，即如果|A + A| < K |A|且|A| < c（K）N则A是Freiman同构于一个整数集。因为我们避免诉诸Freiman的结构定理，我们得到了一个合理的界限：我们可以取c（K）> exp（-cK^2 log K）。作为我们的论点的副产品，我们得到了锐化第二作者的结果集与小和扭转群。例如，如果A是F_2^n的子集，并且如果|A + A| < K |A|，则A包含在大小不超过2^{CK^2} |A|的子空间的陪集中。
Triangular and tetrahedral number differences of sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集合sumset大小的完整范围，发现在大小为4的集合流行sumset大小分布中存在与三角数和四面体数相关的意外模式。
Infinite sumsets in $U^k(Φ)$-uniform sets
研究$U^k(Φ)$-均匀整数子集中的无限和集模式，探讨其与度数k的关系，并提出更高阶奇偶障碍，同时提供Thue-Morse和Rudin-Shapiro序列的应用实例。
Inverse problems for sumset sizes of finite sets of integers
本文研究了有限整数集的和集大小序列的反问题，探讨了不同集之间的关系及增长速率。
A problem on sumset sizes of sets of lattice points
研究加法阿贝尔半群有限子集\(h\)重和集大小问题，证明整数有限集与\(n\)维格点有限集的“和集大小范围”相同，并探讨用格点计算和集大小集合是否比整数更高效。
Long Arithmetic Progressions in Sets with Small Sumset
设$A, B\subseteq \mathbb{Z}$是有限的非空子集，且具有$\min A=\min B=0$，令$ $δ(A,B)={\begin{array}{ll} 1 & \hbox{if} A\subseteq B, 0 & \hbox{otherwise.} If $ \max B \leq \max A \leq |A| + |B|-3 $ and \label{one}|A+B|\leq |A|+2|B|-3-δ(A,B), then we show $ A+B $ contains an arithmetic progression with difference 1 and length $ |A| + |B|-1 $. As a corollary, if \eqref{one} holds, $ \max（B）\leq \max（A）$ and either $ \gcd（A）= 1 $ or else $ \gcd（A+B）=1 $ and $| A+B| \leq 2 |A| + |B| -3 $, then $ A+B $ contains an arithmetic progression with difference 1 and length $ |A| + |B|-1 $.
An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers
本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。
The structure of sets with cube-avoiding sumsets
本文研究有限阿贝尔群中避立方和集的稠密子集结构，证明其本质上具有与 n 无关的有界维数，揭示了和集避开特定结构时集合的刚性特征。
Representing Sequence Subsums as Sumsets of Near Equal Sized Sets
对于来自长度为$|S|$的阿贝尔群$G$的项的序列$S$，令$Σ_n(S)$表示可以表示为$S$的某个$n$ -项子序列中的项之和的所有元素的集合。当子和集$|Σ_n(S)|\leq |S|-n+1$很小时，已知$S$的项可以划分成$n$非空集合$A_1,\ldots,A_n\subseteq G$，使得$Σ_n(S)=A_1+\ldots+A_n$。此外，如果上界是严格的，则对于所有$i$，$|A_i\setminus Z|\leq 1$，其中$Z=\bigcap_{i=1}^{n}(A_i+H)$和$H=\{g\in G:\; g+Σ_n(S)=Σ_n(S)\}$是$Σ_n(S)$的稳定剂。这使得和集的结构结果可以用来研究子和集$Σ_n(S)$，并且是导出和集的Kneser定理的自然子和模拟的两种主要方法之一。在本文中，我们表明，这样的分区可以实现与集$A_i$尽可能接近相等的大小，所以$\lfloor \frac{|S|}{n}\rfloor \leq |A_i|\leq \lceil\frac{|S|}{n}\rceil$的所有$i$，除了一个高度结构化的反例时，$|Σ_n(S)|= |S|-n+1$与$n=2$。知道集合$A_i$具有接近相等的大小的附加信息在应用上述分割结果时，或者在应用和集结果来研究$Σ_n(S)$时是有用的。我们还给出了一个扩展，增加了上述划分结果的…
Consecutive integers in high-multiplicity sumsets
锐化（一个特殊的情况下）的结果Szemeredi和Vu和扩展早期的结果萨科齐和我们自己，我们发现，受到一些技术限制，一个尖锐的阈值整数集的数量需要其和集包含一个块的连续整数的长度，可比的长度设置和。我们主要结果的一个推论如下。令$k,l\ge 1$和$n\ge 3$是整数，并假设$A_1,...,A_k\subset[0,l]$是大小至少为$n$的整数集合，其中没有一个包含在差大于1的等差数列中。如果为$k\ge 2\lceil(l-1)/(n-2)\rceil$，则和集$A_1+...+A_k$包含长度为$k(n-1)$的连续整数块。
A tight structure theorem for sumsets
设$A = \{0 = a_0 < a_1 < \cdots < a_{\ell + 1} = b\}$是有限的非负整数集。我们证明了和集$NA$具有某种易于描述的结构，只要$N \geqslant b-\ell$，正如Shakan和第一作者最近所证明的那样。我们还对这些集合$A$进行了分类，对于这些集合，该界限不能得到改善。
Sumsets in quadratic residues
我们把表示二次剩余$R \subseteq \F_p$的所有集合$A \subseteq \F_p$描述为$R=A+A$和$R=A\hat{+} A$。此外，我们考虑的情况下，一个近似相等的$R \approx A+A$和$R \approx A\hat{+} A$，并证明了$A$有一个结构的情况下。
Sumsets of dense sets and sparse sets
R.金表明，只要A和B是一组整数具有积极的上Banach密度，和集A+B是分段syndetic。这一结果得到了Bergelson、Furstenberg和Weiss的支持，他们得出结论：A+B必须是分段玻尔。我们将后一个结果推广到A的Banach密度为0的情况，给出了一个新的证明的过程中以前的结果。
Upper Bounds on the Cardinality of Higher Sumsets
设A和B是交换群中的有限集合。所束缚|A+hB|就|A|而言，|A+B|和h.我们提供了一个次乘法的上界，通过插入一个随h减小的因子来改进Imre Ruzsa的现有界。
Sums of sets of lattice points and unimodular coverings of polytopes
如果$P$是一个格多面体（即，$\mathbf{R}^n$中格点的有限集的凸包），则$P$中$h$格点的每个和都是$h$ -fold和集$hP$中的格点.然而，$h$折叠和集$hP$中的格点不一定是$P$中的$h$格点之和.证明了：若多胞形$P$是幺模单形的并，则$h$ -fold和集$hP$中的每个格点都是$P$中$h$格点的和.
Infinite Sumsets in Sets with Positive Density
本文受 Erdős 问题启发，利用遍历理论和保测系统的结构结果证明：任何正上密度自然数集对任意 k 都包含无限集合构成的和集，且方法对 k=2 情形也是新的。
On the Sumset of Sets of Size $k$
本文研究了加法阿贝尔群中 $h$ 重和集的可能大小集合 $\mathcal{R}_{G}(h,k)$，证明了在无挠群且 $k\geq 4$ 时区间 $[hk-h+2,hk-1]$ 内的整数无法作为和集大小，并通过构造子集确认该区间无法扩大。
Sumsets contained in sets of upper Banach density 1
每一个上Banach密度为1的正整数集合$A$都包含一个两两不相交子集$(B_i)_{i=1}^{\infty}$的无穷序列，使得$B_i$对所有$i \in \mathbf{N}$都有上Banach密度1，对每一个正整数的非空有限集$I$都有$\sum_{i\in I} B_i \subseteq A$.
Infinite prime sumsets in structured and $U^k(Φ)$-uniform sets
该论文通过新的遍历理论技术，确定了$U^k(\Phi)$-一致集合和Nil-Bohr集合中的无限集和配置，解决了相关猜想，并证明了平移素数构成的无限集和及其在多项式下的模1分布性质。
Chromatic sumsets
令$\mathbf{A} = (A_1,\ldots, A_q)$是整数的有限集合的$q$ -元组。与每个非负整数$q$ -元组$\mathbf{h} = (h_1,\ldots, h_q)$相关联的是线性型$\mathbf{h}\cdot \mathbf{A} = h_1 A_1 + \cdots + h_qA_q$。集合$(\mathbf{h}\cdot \mathbf{A} )^{(t)}$由该和集合的所有元素组成，至少具有$t$表示。对所有足够大的$h_i$计算集合$(\mathbf{h}\cdot \mathbf{A} )^{(t)}$的结构。
Number of sets with small sumset and the clique number of random Cayley graphs
设$G$是$n$阶的有限阿贝尔群.对于$G$的任何子集$B$与$B=-B$，Cayley图$G_B$是顶点集$G$上的图，其中$ij$是边当且仅当$i-j\in B.$本·格林证明，当$G$是有限域$Z/pZ$上的向量空间时，则存在Cayley图，该图既不包含完全子图，也不包含大小大于$clog nloglog n,$的独立集，其中$c$是绝对常数。在这篇文章中，我们观察到，他的论点的修改表明，对于一个任意的有限交换群的顺序$n$，有一个凯莱图既不包含一个完整的子图，也不包含一个独立的集的大小超过$c(omega^3(n)log omega(n) +log nloglog n)$，其中$c$是一个绝对常数和$omega(n)$表示的数量不同的素因子的$n$。
Counting sets with small sumset, and the clique number of random Cayley graphs
给定Z/NZ中的一个集合A，通过连接i和j，我们可以在顶点集合Z/NZ上形成一个Cayley和图G_A当且仅当i + j在A中.我们研究了用一个随机集A进行这种构造在多大程度上模拟了一个随机图的生成，证明了G_A的团数是a. s。O（log N）。这表明Cayley和图可以作为Ramsey图的一个很好的例子。为了证明这一结果，我们必须研究Z/NZ上集合加法的特殊结构。事实上，我们还证明了（Z/2 Z）^n，2^n = N上的随机Cayley和图的团数几乎肯定不是O（log N）。尽管标题是图论，但这是一篇数论论文。我们的主要结果本质上是对{1，...，N}，其中|A| = k，|A + A| = m，对于k和m的各种值。
Almost all sets of nonnegative integers and their small perturbations are not sumsets
修复$α\in (0,1/3)$。我们表明，从拓扑的角度来看，几乎所有的集合$A\subseteq \mathbb{N}$的属性，如果$A^\prime=A$的所有，但$o(n^α)$元素，那么$A^\prime$不是一个非平凡的和集$B+C$。特别是，几乎所有的$A$都是完全不可约的。此外，我们还证明了测度模拟与$α=1$的相似性.
The structure of higher sumsets
合并在一起的结果Nathanson从70年代初和最近的结果格兰维尔和沃克，我们表明，对于任何有限集$A$的整数与$\min(A)=0$和$\gcd(A)=1$有两个集，“头”和“尾”，这样，如果$m\ge\max(A)-|A|+2$，那么$m$ -倍和集$mA$由这些集的联合和一个长块连续整数分离它们。我们给尖锐的估计块的长度，并调查相应的稳定性问题，这些集$A$分类的绑定$\max(A)-|A|+2$不能得到大幅改善。
Problems and results on intersections of product sets and sumsets in semigroups
研究半群中乘积集与和集交集的性质，探讨乘积交集集H(A_q)的结构与特性。
Discrete sumsets with one large summand
本文研究离散阿贝尔群中至少一个加数具有正上Banach密度的和集问题，通过建立离散与紧致阿贝尔群中和集及卷积水平集之间的强对应关系，改进了前人结论，且证明避免了保测动力学和非标准分析，适用于任意基数的离散阿贝尔群。
On sets with small sumset in the circle
我们证明结果的结构上的一个子集的循环组具有积极的内部哈尔措施和加倍常数接近最小值。这些结果从整数的设置走向Freiman的$3k-4$定理的循环中的连续模拟。类似的这个定理在$\mathbb{Z}_p$已被广泛追求，我们在这个方向上使用一些最近的结果。例如，获得连续模拟的结果塞拉和泽莫尔，我们证明，如果一个子集$A$的圆是不是太大，并有加倍常数在最多$2+\varepsilon$与$\varepsilon<10^{-4}$，然后为一些整数$n>0$的扩张$n\cdot A$包括在一个区间中，它的密度至少$1/(1+\varepsilon)$。我们的论点产生这个结果的其他变种，以及，特别是两个版本的集合，使进展的猜想Bilu。我们包括这些结果的两个应用。第一个是一个新的上界的$k$和自由集的大小在圆和$\mathbb{Z}_p$。第二个给出了关于倍增常数至多为$3+\varepsilon$的$\mathbb{R}$子集的结构信息。
A Note on the Sum-Product Problem and the Convex Sumset Problem
该文为实数集上的求和-乘积猜想和凸求和集问题提供了新的指数界。
Counting sets with small sumset and applications
研究了$k$ -元素集$A \subset \{1,\ldots,N\}$的个数，其中对于某些（固定的）$K > 0$，有$|A + A| \leq K|A|$.改进的结果的第一作者和阿隆，Balogh，Samotij和第二作者，我们确定这个数字的一个因素的$2^{o(k)} N^{o(1)}$大多数$N$和$k$。作为这一结果以及关于具有$|A +A| \leq c |A|^2$的集合数$A \subset \mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$的进一步的新结果，我们推出了具有边密度~ $\frac{1}{2}$的$\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$上的随机Cayley图不存在大小大于$\big( 2 + o(1) \big) \log_2 N$的团或独立集，这与Erdens-Rényi随机图的情形是渐近相同的.这改进了第一作者在2003年得到的$160 \log_2 N$的界的结果。作为第二个应用程序，我们表明，如果$A \subset \mathbf{N}$的元素是随机选择的，每个概率$1/2$，那么$A+A$错过$\mathbf{N}$的$k$元素的概率等于$\big( 2 + o(1) \big)^{-k/2}$作为$k \to \infty$。
The typical approximate structure of sets with bounded sumset
令$A_1$和$A_2$是基数$s_2\geq s_1 = Ω(s_2)$的第一个$n$整数的随机选择的子集，使得它们的和集$A_1+A_2$具有大小$m$。我们证明了渐近几乎必然$A_1$和$A_2$几乎完全包含在算术级数$P_1$和$P_2$中，具有相同的公差和基数近似$s_i m/(s_1+s_2)$。我们还证明了一个计数定理，这样的集合对在任意阿贝尔群。结果适用于$s_i = ω(\log^3 n)$和$s_1+s_2 \leq m = o(s_2/\log^3 n)$。我们的主要工具是一个不对称版本的超图容器的方法，最近使用的坎波斯证明类似的结果在特殊情况下$A=B$。
A note on iterated sumsets races
本文构造同直径有限整数集 A、B，使迭代和集基数差序列的符号至少改变 n 次，回答 Nathanson 的迭代和集竞赛问题，并作为理解 Kravitz 更强结果的铺垫。
A generalization of sumsets modulo a prime
设$A$是阿贝尔群$G$中的集合。对于整数$h,r \geq 1$，广义$h$折叠和集，记为$h^{(r)}A$，是$A$的$h$元素的和的集合，其中每个元素在和中出现的次数最多为$r$次.如果已知$|h^{(r)}A|$的$G=\mathbb{Z}$下界，以及$|h^{(r)}A|$最小的整数集的结构。本文推广了这一结果，当$G=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$为素数$p$时，给出了$|h^{(r)}A|$的一个下界，并对$\mathbb{Z}$中的正问题和反问题给出了新的证明.
Sumsets of Ahlfors--David regular sets
本文证明有限 Ahlfors--David 正则集的和集大小具有下界，指数依赖正则参数，通过多尺度熵分解与加性组合逆结果实现，且依赖阶最优。
Explicit sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集的和集大小，构造了无限族的有限集并计算了其h重和集大小。
On the number of sets with small sumset
本文研究阿贝尔群中具有小和集的子集数量，通过改进的容器型定理给出精确上界，并证明随机小和集几乎包含在小算术级数中，从而改进 Campos 等人的结果并几乎解决 Alon 等人的猜想。
On the ideal of some sumset semigroups
和集半群是由有限个非负整数集合的和集得到的非可消交换幺半群。本文给出了一个计算某些和集半群理想的算法。利用这些理想，我们研究了和集半群的一些因子分解性质以及和集的一些加法性质。这种方法将计算交换代数与加性数论联系起来。
Bohr sets in sumsets I: Compact abelian groups
该研究在紧阿贝尔群框架下，证明满足自然假设的连续自同态作用下的和集存在Bohr集，推广了经典定理，并给出整数划分相关变体结果，推进了Katznelson与Ruzsa的公开问题研究。
On sums of Szemerédi--Trotter sets
本文证明了Szemerédi-Trotter型集合的和集的新的一般结果。这个族包括凸集，具有小乘法加倍的集合，凸/凹映射下的集合的像等。
On sets with small sumset and m-sum-free sets in Z/pZ
在群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的$3k-4$猜想对于$p$素数陈述，如果$A$是满足$2A\neq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$和$|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$的$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的非空子集，则$A$被大小至多为$|A|+r+1$的等差数列覆盖。Serra和Zémor的一个定理证明了由$r\leq 0.0001|A|$提出的猜想，而对$|A|$没有任何附加的约束.受温和的额外约束$|2A|\leq 3p/4$（这是最佳的在某种意义上解释的文件），我们的第一个主要结果提高了对$r$的约束，允许$r\leq 0.1368|A|$。我们还证明了一个变体，进一步提高了这个约束$r$提供$A$是足够密集的。然后我们给出几个应用程序。首先，我们应用上述变体来给出$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中$m$ -无和集的最大密度的新上界，即，将没有解$(x,y,z)\in A^3$的$A$设置为方程$x+y=mz$，其中$m\geq 3$是固定整数。之前最大密度的最佳上限是$1/3.0001$（使用塞拉-泽莫尔定理）。我们将其改进为$1/3.1955$。我们还提出了一个建设以下的Schoen的想法，这产生了一个下界的形式$1/8+o(1)_{p\to\infty}…
The additive structure of the squares inside rings
当定义集合上的加法结构的数量时，考虑某些和集通常是方便的;计算这些和集的基数可以阐明集合的底层结构。我们开始调查有限集的完满平方和相关的和集。我们揭示了等差数列如何有效地减少和集的基数，并提供估计的最小尺寸，利用添加剂的结构，等差数列提供。然后，我们将问题推广到任意环，并取得满意的估计的情况下，在有限域的素数阶广场。最后，对于足够小的有限域，我们计算所有素数阶的最小值。
Sums, products and ratios along the edges of a graph
在其开创性的文件Erdés和Szemerédi制定的Aktures的大小和积集的整数。他们猜想的最强形式是关于沿着图的边的和与积。在本文中，我们表明，这种强形式的Erdens-Szemerédi猜想不成立。给出了图的边的和集、积集和比集的基数的上界和下界。
On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle
令$\mathrm{d}(A)$为整数序列$A$的渐近密度（如果存在）。对任意实数$0\leqα\leqβ\leq 1$，我们解决了正整数序列$A$的存在性问题，使得$\mathrm{d}(A)=α$和$\mathrm{d}(A+A)=β$ .更一般地，我们研究了$A\subset \mathbb{N}$的$k$ -元组$(\mathrm{d}(iA))_{1\leq i\leq k}$的集合。这导致我们引入由丢番图约束定义的子集，这些子集被称为“伪$s$次幂”的随机整数集。我们考虑类似的问题，循环$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的子集，也就是说，我们部分地确定了一套$k$元组$(μ(iA))_{1\leq i\leq k}$为$A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$。
Properties of two dimensional sets with small sumset
设$A, B\subseteq \mathbb{R}^2$是有限的非空子集，$s\geq 2$是整数，$h_1(A,B)$表示存在$2t$（不一定是不同的）平行线$\ell_1,...,\ell_{t},\ell'_1,...,\ell'_{t}$的最小数$t$，其中有$A\subseteq \bigcup_{i=1}^{t}\ell_i$和$B\subseteq\bigcup_{i=1}^{t}\ell'_i$。假设$h_1(A,B)\geq s$。然后我们证明：（a）如果$||A|-|B||\leq s$和$|A|+|B|\geq 4s^2-6s+3$，则$$|A+B|\geq (2-\frac 1 s)(|A|+|B|)-2s+1;$$（b）如果$|A|\geq |B|+s$和$|B|\geq 2s^2-{7/2}s+{3/2}$，则$$|A+B|\geq |A|+(3-\frac 2 s)|B|-s;$$（c）如果$|A|\geq {1/2}s(s-1)|B|+s$和$|A|> {1/8}(2s-1)^2|B|-{1/4}(2s-1)+\frac{(s-1)^2}{2(|B|-2)}$或$|B|\geq \frac{2s+4}{3}$，则$$|A+B|\geq |A|+s(|B|-1).$$这将Freiman $2^d$ -定理的二维情形扩展到不同的集合$A$和$B$，并且…
On a sumset problem for integers
设$A$是整数的有限集。证明了如果$k$是素数幂或两个不同素数的乘积，则$$|A+k\cdot A|\geq(k+1)|A|-\lceil k(k+2)/4\rceil$$提供$|A|\geq (k-1)^{2}k!$，其中$A+k\cdot A=\{a+kb:\ a,b\in A\}$ .我们还建立了$|A|\geq 5$的不等式$|A+4\cdot A|\geq 5|A|-6 $.
Some inverse results of sumsets
令$h\geq 2$和$A=\{a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}\}$是整数的有限集。众所周知，$\left|hA\right|=hk-h+1$当且仅当$A$是$k$ -项等差数列。本文给出了集合$A$的一些非平凡逆的结果，这些逆的基数是$hA$的极值。
Exact diameter compression for four-point sumset cardinalities
该论文研究四元素整数集合的$h$重和集基数所需的最小区间直径，统一证明$h\ge17$时的精确公式，并通过有限搜索和构造给出完整刻画。
Metric results on sumsets and Cartesian products of classes of Diophantine sets
受Erdős关于刘维尔数和积结果启发，研究指定无理性指数实数类和集的度量性质，证明其和集勒贝格测度下几乎覆盖全体实数，补集豪斯多夫维数小，还拓展到笛卡尔积维数、缺数字康托尔集填充维数等问题，推广了Erdős的方法。
Sumset size races for measurable sets
该研究通过构造特定的可测集，证明了在局部紧阿贝尔群中，可以通过调整集合的测度来实现预设的和集大小关系。
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