AI 中文总结
研究关于满足\(|z_j|\geq1\)的复数\(z_1,\dots,z_n\)的外幂和问题，通过结合截断指数分解、超收敛及正规族障碍等方法，证明最优最大值的\(n\)次方根趋于\(1\)，否定了Erdős 973中大于\(1\)的常数\(C\)的存在。
AI 中文摘要
我们证明，对于每个固定的\(\lambda>0\)以及所有足够大的\(n\)，任何满足\(|z_j|\geq1\)的\(z_1,\dots,z_n\in\C\)都满足\(\max_{2\leq k\leq n + 1}|\sum_j z_j^k|>e^{-\lambda n}\)。因此，最优最大值的\(n\)次方根趋于\(1\)，所以在Erdős 973中不存在大于\(1\)的常数\(C\)。证明结合了截断指数分解、单位圆盘外开集上的超收敛以及柯西变换的正规族障碍。
英文摘要
We prove that for every fixed $λ>0$ and all sufficiently large $n$, any $z_1,\dots,z_n\in\C$ with $|z_j|\geq1$ satisfy $\max_{2\leq k\leq n+1}|\sum_j z_j^k|>e^{-λn}$. Consequently, the $n$th root of the optimal maximum tends to $1$, so no constant $C>1$ in Erdős 973 can exist. The proof combines a truncated exponential factorization with overconvergence on an open set outside the unit disk and a normal-family obstruction for Cauchy transforms.
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