Ramanujan - Fourier Series and the Density of Sophie Germain Primes
一个素数p被称为苏菲·热尔曼素数，如果2 p +1也是素数。一个公式的密度，这样的素数是在一个更一般的设置使用一种新的方法。该方法使用Ramanujan-傅里叶级数作为修正的von Mangoldt函数。证明仍然是启发式的交换某些限制还没有得到证明。利用计算机计算的实验证据提供了结果的可接受性。
2005-08-31 math.NT
Ramanujan Primes: Bounds, Runs, Twins, and Gaps
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则区间$(x/2,x]$至少包含$n$素数。通过证明$R_n/p_{3n}$的最大值是$R_5/p_{15} = 41/47$，我们改进了Laishram的定理，即$R_n < p_{3n}$.本文对$n\le9$给出了Ramanujan素数在所有素数$p<10^n$中最长游程的统计量。我们证明，如果一个上孪生素数是拉马努金，那么也是较低的;一个表给出了一些孪生素数低于$10^n$的三种类型。最后，我们将Ramanujan素数的运行与素数间隙联系起来。在此过程中，我们陈述了几个假设和未决问题。附录解释了Noe计算$R_1,R_2,...,R_n$的快速算法。
2011-08-01 math.NT
Universal Ramanujan-type congruences for prime-detecting quasimodular forms
Sussex Central High School（苏塞克斯中央高中）；United States Naval Academy（美国海军学院）
该研究证明了素数检测拟模形式全Z-模上存在无穷多个通用拉马努金型同余式，且对每个素数p均存在对应算术级数使相关系数被p整除。
2026-08-20 math.NT
Introducing Ramanujan's Class Polynomials in the Generation of Prime Order Elliptic Curves
在本文中，我们提出了使用Ramanujan类多项式的素数阶椭圆曲线的CM-方法的建设。我们比较（理论和实验）的效率，使用这个新的类对使用的韦伯，$M_{D,l}(x)$和$M_{D,p_1,p_2}(x)$多项式，并表明，他们显然超过了所有他们在生成的素数阶椭圆曲线。
2008-04-10 math.NT
Estimates for $π(x)$ for large values of $x$ and Ramanujan's prime counting inequality
在本文中，我们使用切比雪夫的$\vartheta$ -函数的精细近似建立新的显式估计的素数计数函数$π(x)$，这改善了目前的最佳估计为大值的$x$。作为一个应用，我们找到了$H_0$的一个上界，它被定义为最小的正整数，使得Ramanujan素数计数不等式对每个$x \geq H_0$都成立.
2017-03-29 math.NT
On Ramanujan expansions and primes in arithmetic progressions
Delange的一个著名定理给出了一个算术函数是相关的Ramanujan展开式与Wintner的一个结果所提供的系数之和的充分条件。利用Delange定理讨论了von Mangoldt函数与其不完全形式的相关性，导出了一个涉及等差数列中素数计数函数的不等式.一个值得注意的方面是，这样的不等式等价于著名的Hardy和Littlewood的孪生素数的代数公式。
2022-03-23 math.NT
New upper bounds for Ramanujan primes
对于$n\ge 1$，$n^{\rm th}$ Ramanujan素数被定义为最小正整数$R_n$，使得对于所有$x\ge R_n$，区间$(\frac{x}{2}, x]$至少有$n$素数。我们证明了，对于每个$ε>0$，有一个正整数$N$，使得如果$α=2n\left(1+\dfrac{\log 2+ε}{\log n+j(n)}\right)$，那么$R_n< p_{[α]}$的所有$n>N$，其中$p_i$是$i^{\rm th}$素数和$j(n)>0$是任何函数，满足$j(n)\to \infty$和$nj'(n)\to 0$。
2017-06-22 math.NT
On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms
本文研究了两个或三个不同原始海格尔-马克斯自拍形式同时满足拉马努金猜想的最小素数上界，以及至少一个形式满足猜想的素数自然密度下界。
2026-05-10 math.NT
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
2021-03-10 math.NT
Ramanujan-style congruences for prime level
我们建立Ramanujan风格的同余模某些素数$\ell$之间的爱森斯坦系列的重量$k$，素水平$p$和尖形的新形式的$\varepsilon$ -特征空间的Atkin-Lehner运营商内部的尖形的空间重量$k$ $Γ_0(p)$。在一个温和的假设下，这改进了Gaba-Popa的一个结果。我们使用这些同余和最近的工作Ciolan，Eulasco和第三作者的欧拉-克罗内克常数，量化的不可分的傅里叶系数所涉及的$\ell.$的程度，这些系数产生的号码字段，我们调查使用最近的结果素因子的移位素数。
2022-10-14 math.NT
Prime values of Ramanujan's tau function
本文研究了Ramanujan tau函数的素数值，证明了在大多数算术级数（mod 23）中素数值构成稀疏集，并得出存在Dirichlet密度为9/11的素数集不能表示为tau函数值的结论。
2025-11-03 math.NT
A Hardy-Ramanujan type inequality for shifted primes and sifted sets
我们建立了一个类似的Hardy-Ramanujan不等式，用于计算具有给定数量的不同素因子的筛选集的成员。特别地，我们建立了一个移动素数p+a低于x的k个不同的素因子，一致的所有正整数k的数目的界。
2021-11-19 math.NT
Generalized Ramanujan Primes
在1845年，Bertrand证明了对于所有的整数$x\ge2$，在$(x/2, x]$中至少存在一个素数。这是证明了切比雪夫在1860年，然后推广拉马努金在1919年。他证明了对于任何$n\ge1$，都有一个（最小的）素数$R_n$，使得对于所有$x \ge R_n$都有$π(x)- π(x/2) \ge n$。2009年Sondow称$R_n$为$n$ th Ramanujan素数，并证明了$R_n \sim p_{2n}$的渐近行为（其中$p_m$是$m$ th素数）。本文通过引入参数$c \in (0,1)$和定义$c$-Ramanujan素数作为最小整数$R_{c,n}$，使得对所有$x\ge R_{c,n}$，至少有$n$素数存在于$(cx,x]$中，推广了兴趣区间.使用加强版的素数定理的后果，我们证明了$R_{c,n}$存在于所有$n$和所有$c$，即$R_{c,n} \sim p_{\frac{n}{1-c}}$作为$n\to\infty$，和素数的分数是$c$ -Ramanujan收敛到$1-c$。然后，我们研究了与它们在素数中的分布相关的更精细的问题，发现$c$ -Ramanujan素数表现出惊人的行为，显著偏离了基于有偏抛硬币的概率模型;这是Sondow、Nicholson和Noe在$c = 1/2$的案例中首次观察到的。这个模型与克拉默模型有关，克拉默模型在…
2011-11-23 math.NT
Ramanujan-type Congruences for Partition $k$-Tuples with $5$-Cores
我们证明了几个Ramanujan型同余模幂的$5$分区$k$ -元组的$5$ -核心，$k=2, 3, 4$。我们还证明了具有$p$ -核的$k$ -元组的模素数幂同余的一些新的无穷族，其中$p$是素数.
2023-01-31 math.NT
A generalization of Ramanujan's congruence to modular forms of prime level
证明了尖点新形式与素水平Eisenstein级数之间的同余关系，推广了Ramanujan的同余关系。这样的同余最近发现的Billerey和Menares，我们完善他们指定的Atkin-Lehner特征值的新形式。我们发现，类似的改进举行的水平提高一致性之间的尖形新的不同水平，由于Ribet和钻石。证明依赖于研究同余子群$Γ_0(N)$的周期多项式空间的新子空间和爱森斯坦子空间，以及Ihara引理的一个版本。
2018-06-20 math.NT
Why should one expect to find long runs of (non)-Ramanujan primes ?
Sondow等人研究了Ramanujan素数（RP），并在数值上观察到，虽然所有素数中有一半是渐近的RP，但人们得到了召唤RP的运行（分别为RPs）。非RP），其在统计学上显著长于人们在投掷无偏硬币时所期望的。在这篇讨论论文中，我们试图对这一现象进行启发式的解释。我们的启发式自然遵循素数定理，但似乎只是部分令人满意。它激发了为什么人们应该获得RP和非RP的长期运行，以及非RP比RP更长的运行。然而，它也表明，人们应该获得比迄今为止在数据中观察到的更长的RP运行，这个问题仍然令人困惑。
2012-01-18 math.NT
Prime divisors of $\ell$-Genocchi numbers and the ubiquity of Ramanujan-style congruences of level $\ell$
设$\ell$为任意固定素数。我们用$G_n:=\ell(1-\ell^n)B_n$来定义$\ell$ -Genocchi数，其中$B_n$是$n$ -th Bernoulli数.它们是整数。我们介绍并研究了库默的素数正则性概念的一个变体。我们说一个奇素数$p$是$\ell$ -Genocchi不规则的，如果它至少整除一个$\ell$ -Genocchi数$G_2,G_4,\ldots, G_{p-3}$，否则是$\ell$ -正则的。利用Artin原根猜想研究中的技巧，在$\ell$为奇数的情况下，给出了给定等差数列中$\ell$ -Genocchi非正则素数个数的渐近估计. Hu、Kim、Moree和Sha（2019）已经处理了病例$\ell=2$。用类似的方法研究了$(1-\ell^n)B_{2n}/2n$和$(1+\ell^n)B_{2n}/2n$的素因子.这使我们能够估计素数$p\leq x$的数量，其中存在模$p$ Ramanujan风格的同余关系之间的傅立叶系数的爱森斯坦级数和一些尖点形式的素数水平$\ell$。
2022-09-16 math.NT
Arithmetic properties of the Ramanujan function
研究了Ramanujan函数$τ(n)$的一些算术性质，如最大素除子$P(τ(n))$和不同素除子因子$τ(n)$的个数$ω(τ(n))$对不同的$n$序列的影响.特别地，我们证明了对于无穷多个$n$，\hbox{$P(τ(n)) \geq (\log n)^{33/31 + o(1)}$}是唯一的，对于每个素数$p$，\begin{equation*} P(τ(p)τ(p^2)τ(p^3)) > (1+o(1))\frac{\log\log p\log\log\log p} {\log\log\log\log p} \end{equation*}是唯一的，并且\hbox{$τ(p)\neq 0$}是唯一的.
2006-07-24 math.NT
Ramanujan Primes and Bertrand's Postulate
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则在区间$(x/2,x]$中至少有$n$素数。例如，Bertrand的假设是$R_1 = 2$。拉马努金证明了$R_n$的存在，并给出了前五个值为2、11、17、29、41。本文利用Rosser和Schoenfeld不等式证明了对所有的$n$都有$2n \log 2n < R_n < 4n \log 4n$，并利用素数定理证明了$R_n$渐近于第$2n$个素数.我们还估计了第一个$n$素数中最长的连续Ramanujan素数串的长度，解释了为什么有比预期更多的孪生Ramanujan素数，并做了三个证明（第一个已经被S. Laishram）。
2010-10-16 math.HO math.NT
ABC implies that Ramanujan's tau function misses almost all primes
在 ABC 猜想假设下，证明了 tau 函数的素数值密度为 O(X^{13/22})，表明 tau 函数错过大部分素数，同时提出 S(X) 可能无限且有预测阶数。
2026-04-25 math.NT
On Proving Ramanujan's Inequality using a Sharper Bound for the Prime Counting Function $π(x)$
本文利用 Chebyshev Theta 函数 $\vartheta(x)$ 的估计导出素数计数函数 $π(x)$ 的更紧界，从而无条件证明了 Ramanujan 不等式对所有 $x\geq \exp(43.5102147)$ 成立。
2024-08-29 math.NT
Existence of Ramanujan primes for GL(3)
本文证明了：给定GL（3）上有理数上的任意尖点形式π，存在无穷多个素数p对π为Ramanujan，即，证明了局部分量π_p对于无穷多个p是调和的，所需的关键结构是π的8次伴随L-函数。
2002-09-26 math.NT math.RT
Integers without large prime factors: from Ramanujan to de Bruijn
一个小调查的工作做了一些估计的整数没有大的素因子到1950年左右。1950年左右，N.G. de Bruijn发表的结果极大地推进了这一主题，并开启了这一主题的新时代。
2012-12-07 math.HO math.NT
Ramanujan's function on small primes
本文研究了拉马努金函数在小素数上的特征值振荡现象，并探讨其对勒默问题的潜在应用。
2026-03-10 math.CV math.NT
Gaps Between Almost-Primes and a Construction of Almost-Ramanujan Graphs
对于所有的$k \geq 3$，我们证明了如何可以明确地构建一个无限家庭的$k$ -正则图所有的第二大特征值满足界$O(k^{1/2})$。这解决了Reingold、Vadhan和Wigderson的一个公开问题。
2015-01-29 math.CO math.NT
Explicit formulas of a generalized Ramanujan sum
导出了涉及广义Ramanujan和的显式公式。一个类似的素数定理获得和等价的黎曼假设显示。最后推广了Bartz的显式公式。
2015-04-01 math.NT
Ramanujan's congruence primes
本研究受拉马努金关于尖点形式傅里叶系数与素数691的同余结论启发，发现素数67出现在模5二次狄利克雷特征的L函数相关比值的分子中，导出了$Γ_0(5)$上权6尖点形式与艾森斯坦级数的模67同余关系。
2024-03-05 math.NT
Almost-Ramanujan Graphs and Prime Gaps
Murty和Cioabrant的方法展示了如何使用素数之间的间隙的结果来构造几乎Ramanujan图族。在本文中，我们给出了一个更简单的结构，避免了完美匹配的搜索，从而消除了计算的需要。然后利用最近几个关于连续素数间隔的显式界，构造了具有谱间隔显式下界的$k$ -正则族.然后，我们表明，本-Aroya和Ta-Shma的结果可以使用我们的简单的结构的假设下的黎曼假设，这揭示了一些更多的光Reingold，Vadhan和Widgerson提出的问题得到改进。
2014-02-04 math.CO math.NT
Odd values of the Ramanujan tau function
我们证明了一些关于奇值的Ramanujan $τ$ -函数的结果。例如，我们证明了一个有效的可计算的正常数$κ$的存在，使得如果$τ(n)$是奇数和$n \ge 25$，那么要么\[ P(τ(n)) \; > \; κ\cdot \frac{\log\log\log{n}}{\log\log\log\log{n}} \]，要么存在一个素数$p \mid n$与$τ(p)=0$。这里，$P(m)$表示$m$的最大素因子。我们还求解了方程$τ(n)=\pm 3^{b_1} 5^{b_2} 7^{b_3} 11^{b_4}$和方程$τ(n)=\pm q^b$，其中$3\le q < 100$是素数，指数是任意非负整数。我们利用各种方法，包括原始因子定理的Bilu，Hanrot和Biltier，边界的解决方案，以Thue-马勒方程由于Bugeaud和Gyjourry，和模块化的方法通过伽罗瓦表示的Frey-Hellegouarch椭圆曲线。
2021-01-08 math.NT
On critical small intervals containing primes
设p是奇素数，使得p_n<p/2< p_{n+1}，其中p_n是第n个素数。本文研究如下问题：在区间（p，2 p_{n+1}）中素数存在的概率是多少？在借助Ramanujan素数（[11]，[12]）和引入伪Ramanujan素数强定义概率之后，我们证明了，如果这样的概率P存在，则P>=0.5。我们还研究了一个对称的情况下，左间隔，它连接到序列A080359在OEIS。
2009-09-03 math.NT
On some values which do not belong to the image of Ramanujan's tau-function
本文证明了Ramanujan tau函数在n≥1时，除14种情况外，不取±ℓ, ±2ℓ, ±4ℓ, ±8ℓ这些值，其中ℓ<1000为奇素数，推广了Lehmer猜想的相关结果。
2024-05-26 math.NT
Bilateral Ramanujan-like series for $1/π^k$ and their congruences
证明了一类与$π$的负幂的Ramanujan-like级数相关的双边半终止级数，并猜想了与之相关的一类超同余.我们支持这个猜想，检查所有的情况下，许多素数。此外，我们能够证明其中一些终止超几何恒等式。最后，我们做了一个有趣的观察。
2019-08-14 math.NT
Generalization of a Ramanujan identity
欧拉产品的朗道-拉马努金常数可能激发了一个奇怪的身份拉马努金出现在他的笔记本电脑两次。这一观察涉及平方根和$4n+3$形式的前四个素数，即，$3, 7, 11, 19$。伯恩特问是否拉马努金的身份是一个孤立的结果，或者如果有其他身份的这种类型。有了这项工作，我们想给一个可能的答案伯恩特的问题。
2022-12-22 math.NT
A generalization of the Ramanujan-Nagell equation
我们将证明，对于任何正整数$D>0$和任何不整除$D$的素数$p_1, p_2$，丢番图方程$x^2+D=2^s p_1^k p_2^l$至多有$63$整数解$(x, k, l, s)$，其中有$x, k, l\geq 0$和$s\in \{0, 2\}$ .
2017-12-06 math.NT
Ramanujan Summation and the Exponential Generating Function $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}ζ^{\prime}(-k)$
在第六章他的笔记本拉马努金介绍了一种方法，总结发散系列分配给该系列的价值相关联的欧拉-麦克劳林常数所产生的应用欧拉-麦克劳林求和公式的部分和系列。这种方法现在被称为拉马努金求和过程。本文计算了指数母函数$\sum_{n\geq 1}\log n e^{nz}$和$\sum_{n\geq 1}H_n^{(j)} e^{-nz}$的Ramanujan和，其中$H_n^{(j)}=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^j}$ .我们发现一个令人惊讶的关系，两个总和时，$j=1$从以下公式连接的衍生物的黎曼zeta函数在负整数的Ramanujan求和的分歧欧拉和$\sum_{n\ge 1} n^kH_n, k \ge 0$，其中$H_n= H_n^{(1)}$。此外，我们表示我们的结果在拉马努金求和的经典求和过程称为波莱尔和。
2009-01-22 math.CA math.NT
A fast algorithm to compute the Ramanujan-Deninger gamma-function and some number-theoretic applications
我们介绍了一个快速算法来计算Ramanujan-Deninger伽玛函数及其对数导数的正值。这样的算法使我们能够极大地扩展了关于Euler-Kronecker常数$\mathfrak{G}_q$，$\mathfrak{G}_q^+$和$M_q=\max_{χ\ne χ_0} \vert L^\prime/L(1,χ)\vert$的数值研究，其中$q$是奇素数，$χ$运行在原始Dirichlet字符$\bmod\ q$上，$χ_0$是平凡Dirichlet字符$\bmod\ q$，$L(s,χ)$是与$χ$相关联的Dirichlet $L$-函数.利用这种算法，我们得到了$\mathfrak{G}_{50 040 955 631} =-0.16595399\dotsc$和$\mathfrak{G}_{50 040 955 631}^+ =13.89764738\dotsc$，从而得到了一个新的负值$\mathfrak{G}_q$。此外，我们还计算了每个奇素数$q$，$10^6< q\le 10^7$的$\mathfrak{G}_q$，$\mathfrak{G}_q^+$和$M_q$，从而推广了以前的结果.因此，我们得到了对于直到$10^7$的所有奇素数$q$，$\mathfrak{G}_q$和$\mathfrak{G}_q^+$都是正的;对于所有奇素数$1531 < q\le 10^…
2021-05-11 math.NT
On some claims in Ramanujan's `unpublished' manuscript on the partition and tau functions
接近尾声，他的生命拉马努金写了一份手稿的性质分区和tau功能，其中一些部分仍然未发表，直到最近。尽管如此，这份手稿还是引发了许多后续工作。在它Ramanujan认为同余$τ(n)$模一些特殊的素数q。例如，他证明了$τ(n)\equiv \sum_{d|n}d^{11}({\rm mod}691)$。如果$τ(n)$不能被q整除，他定义$t_n=1$，否则定义$t_n=0$。然后，他通常写道："可以通过超越方法证明，$$ \sum_{k=1}^n t_k=C\int_1^n {dx\over (\log x)^δ}+O({n\over (\log n)^r}). $$，其中r是任何正数"（在陈述了上述和的一些较弱的估计之后）。数$δ$是一个positve有理数取决于q和为正数C拉马努金通常写下一个欧拉产品。本文证明了Ramanujan关于每个$r>1+δ$和每个特殊素数q的断言是假的。此外，我们纠正了1928年文件杰拉尔丁斯坦利谁声称已反驳拉马努金的索赔情况下q = 5。
2002-12-03 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
The Hardy--Ramanujan inequality for sifted sets and its applications
University of Georgia（佐治亚大学）
本文建立了适用于筛集的Hardy-Ramanujan不等式加权版本，并将其应用于多个数论问题，包括大偏差、乘法表问题和移位素数因数等。
2025-12-18 math.NT
An Inductive Proof of Bertrand's Postulate
本文将证明一个著名的关于素数的问题。贝特朗假设指出，如果n > 1，则总有一个素数p，且n < p < 2n。Bertrand公设并不是一个较新的被证明的公设，事实上，在他的假设和数值证据之后，Chebyshev是第一个证明它的人，随后，Ramanujan利用Γ函数的性质证明了它，Erdös利用Primoral函数发表了一个更简单的证明，p#。我们的方法是独特的，在这个意义上，我们已经使用数学归纳法找到的上限和下界的第二Chebyshev函数，他们甚至比Ramanujan边界发现使用Γ函数。除此之外，我们的方法与拉马努金证明的方法相似。
2016-11-29 math.NT
Landau and Ramanujan approximations for divisor sums and coefficients of cusp forms
本文通过计算 Euler-Kronecker 常数得到除数和函数计数函数渐近展开的二阶项，并确定 Ramanujan 逼近优于 Landau 逼近的条件，进而研究六个尖形式 Fourier 系数的不可整除性。
2021-09-07 math.NT
Polynomial analogues of Ramanujan congruences for Han's hooklength formula
本文考虑eta幂$\prod {(1-q^k)}^{b-1}$。证明了当$n=5j+4$满足一定条件时，该表达式中的$\frac{q^n}{n!}$的系数作为$b$中的多项式，在模5的非零剩余类中呈等分布.其他对称性，以及对称性的其他素数和素数的权力，证明，并提出了一些开放的问题。
2012-10-15 math.CO math.NT
Extensions of Ramanujan-Mordell formula with coefficients $1$ and $p$
利用模形式的性质证明了Ramanujan-Mordell公式的如下推广：\begin{align*} z^{k-j}z_p^{j}=&\frac{p_χ^{k-j}-1}{p_χ^{k}-1}F_p(k,j;τ)+ \frac{p_χ^{k}-p_χ^{k-j}}{p_χ^{k}-1}F_p(k,j;pτ)+z^{k} A_p(k,j;τ), \end{align*}对所有$ 1 < k \in \mathbb{n} $，$0 \leq j \leq k$和$p$是奇素数.我们通过计算$Γ_0(4p)$的所有尖点处的模形式的傅里叶级数展开来得到这个结果。
2018-08-02 math.NT
Laurent coefficients of Zagier-type zeta function {à} la Ishibashi and arithmetic aspects of extended Ramanujan period function
Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）
本文仿照Ishibashi方法推导Zagier型zeta函数$\tilde{\mathcal{Z}}$在$s=1$处的全部Laurent系数，并研究其中涉及的函数$\mathfrak{F}_k^0(x)$的函数方程、Hecke算子作用及积分联系。
2026-09-15 math.NT
Small Primes And The Tau Function
本文研究 Ramanujan tau 函数取小素数值的问题，证明 τ(n)=±p 不会取到任何不超过 8.0×10^25 的素数 p。
2025-07-24 math.NT
Ramanujan type congruences for quotients of Klein forms
本文基于Klein形式商构造level p模形式乘积，导出了素数p≥5幂次的Ramanujan型同余，完整列举了特定权与级数下的同余乘积，并构建了模形式分次代数的生成集与级数分解方法。
2024-03-24 math.NT
Ramanujan Congruences for Fractional Partition Functions
对于有理$α$，分数分拆函数$p_α(n)$由生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数给出。当$α=-1$时，得到通常的配分函数。Ramanujan研究了素数$\ell$和整数$c$的形式为$p(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$的同余。Chan和Wang [4]最近研究了分数分拆函数的同余，并利用Dedekind η-函数的恒等式给出了几个无穷族的同余。在他们的工作之后，我们使用非普通素数的理论来找到一个一般的框架，该框架描述了模任意整数的同余。这使我们能够证明新的同余，如$p_\frac{57}{61}(17^2n-3)\equiv 0 \pmod{17^2}$。
2019-07-15 math.CO math.NT
Parity of 3-regular partition numbers and Diophantine equations
令$b_3(n)$为$3$的数目-$n$的常规分区。最近，W. J. Keith和F. Zanello发现了无穷族的Ramanujan型同余模$2$的$b_3(2n)$涉及每个素数$p$与$p \equiv 13, 17, 19, 23 \pmod {24}$，和O。X. M. Yao给出了涉及每个素数$p\geqslant 5$的$b_3(2n)$的模$2$的Ramanujan型同余的新的无穷族.本文引入了$b_3(2n)$的模$2$的无限Ramanujan型同余.它们自然地补充了Keith-Zanello和Yao的结果，并涉及$\mathcal P=\{p \text{ prime } : \exists \, j\in \{1,4,8\},\, x, y \in \mathbb Z,\, \gcd(x,y)=1 \text { with } x^2+216y^2=jp\}$中Dirichlet密度为$1/6$的素数。作为一个关键因素，在我们的证明中，我们表明，原始解决方案的$x^2+216y^2=pm$，$p \in \mathcal P$，$p\nmid m$和$pm\equiv 1\pmod{24}$的数量，是由$8$整除。这里，困难来自于$216$不是idoneal的事实。我们还给出了这个丢番图方程的解的个数的一个代数精确公式。在文章的第二部分，我们研究了欧拉型恒等式的…
2022-12-19 math.NT
On a class of Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations
本文研究一类 Lebesgue-Ramanujan-Nagell 方程，利用二次域类数条件给出多种情形下的完整求解，并讨论特定参数下的可解性。
2023-05-31 math.NT
Value distribution of Ramanujan sums and of cyclotomic polynomial coefficients
第n阶分圆多项式的第k个系数的Ramanujan和c_n（k）与a_n（k）是关于第n阶本原单位根的完全对称表达式。对于固定的k，我们研究了c_n（k）的值分布（继A. Wintner）和a_n（k）（部分遵循H. Moller）。特别是我们反驳了1970年的猜想H。Moller关于a_n（k）的平均（在n上）。我们证明了Dence兄弟所考虑的原根中的某些对称函数与c_{p-1}（k）和a_{p-1}（k）在素数上的p范围的行为有关，并研究了它们的值分布。本文是第二作者的硕士论文项目的产物，在第一作者的监督下在Korteweg-de Vries研究所（阿姆斯特丹大学）进行，并以硕士论文风格撰写。我们感谢Yves Gallot提供的数字援助。
2003-07-27 math.NT
A new class of Correlations insisting on Ramanujan expansions
本文提出了一种新的双季节相关性类，用于研究孪生素数和相关算术问题。
2026-02-20 math.NT
An elementary property of correlations
本文研究了满足Ramanujan猜想的一般$f,g$的移位Ramanujan展开式（见1705.07193），以得到它们的移位卷积和的公式，比如$C_{f,g}(N,a)$，长度为$N$，移位为$a$（所以Ramanujan展开式是关于a>0的）.我们证明，假设Delange假设（DH）的扩展，我们得到说Ramnujan精确的显式公式（R.e.e.f.）。当然，一个值得注意的例子是$f=g=Λ$，即冯·曼戈尔特函数，所以$C_{Λ,Λ}(N,2k)$，对于自然的$k$，与$2k-$孪生素数有关;假设它们是$(DH)$，我们得到（从相应的R.e.e.f.）证明哈代-利特尔伍德猜想。
2017-09-18 math.NT
Transformation properties for Dyson's rank function
在1987年的拉马努金百年纪念会议戴森要求一个连贯的群体理论结构拉马努金的模拟θ函数类似赫克的理论模形式。许多Ramanujan的模拟θ函数可以用$R(ζ,q)$来表示，其中$R(z,q)$是戴森秩函数的双变量生成函数，$ζ$是单位根。基于沃森、茨韦格斯、戈登和麦金托什的早期工作，并受到戴森问题的启发，布林曼、小野和罗兹研究了$R(ζ,q)$的变换性质。本文加强和推广了Bringmann，Rhoades和Ono的结果以及Ahlgren和Treneer的后期工作。作为应用，我们给出了Dyson秩猜想的一个新的证明，并证明了来自Lost Notebook的Ramanujan的Dyson秩恒等式模$5$对于所有大于$3$的素数都有一个类似物.这个类比的证明受到Jennings-Shaffer最近关于超分区秩差mod $7$的工作的启发。
2016-09-08 math.NT
General elementary methods meeting elementary properties of correlations
本文综述两个一般算术函数相关性的性质，从 Ramanujan expansions 视角出发，深化并新增了证明 Ramanujan exact explicit formula 的初等方法。
2024-03-25 math.NT
