On the number of primes up to the $n$th Ramanujan prime
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得对于所有$x \geq R_n$，间隔$(x/2, x]$至少包含$n$素数。本文研究了序列$(π(R_n))_{n \in \mathbb{N}}$，它告诉我们第$n$个Ramanujan素数出现在所有素数序列中的位置.在第一部分中，我们建立了直到$n$ th Ramanujan素数的素数个数的新的显式上界和下界，这意味着Yang和Togbé给出的$π(R_n)$的一个渐近公式。在本文的第二部分中，我们利用这些显式估计得到了Sondow，Nicholson和Noe的一个涉及$π(R_n)$的不等式的结果。
2017-11-13 math.NT
On Ramanujan's prime counting inequality
本文给出了数$N_{\mathcal{R}}$的一个新的上界，它被定义为最小正整数，使得Ramanujan的一个涉及素数计数函数$π(x)$的不等式对每个$x \geq N_{\mathcal{R}}$成立.
2022-07-08 math.NT
Ramanujan - Fourier Series and the Density of Sophie Germain Primes
一个素数p被称为苏菲·热尔曼素数，如果2 p +1也是素数。一个公式的密度，这样的素数是在一个更一般的设置使用一种新的方法。该方法使用Ramanujan-傅里叶级数作为修正的von Mangoldt函数。证明仍然是启发式的交换某些限制还没有得到证明。利用计算机计算的实验证据提供了结果的可接受性。
2005-08-31 math.NT
Ramanujan Primes: Bounds, Runs, Twins, and Gaps
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则区间$(x/2,x]$至少包含$n$素数。通过证明$R_n/p_{3n}$的最大值是$R_5/p_{15} = 41/47$，我们改进了Laishram的定理，即$R_n < p_{3n}$.本文对$n\le9$给出了Ramanujan素数在所有素数$p<10^n$中最长游程的统计量。我们证明，如果一个上孪生素数是拉马努金，那么也是较低的;一个表给出了一些孪生素数低于$10^n$的三种类型。最后，我们将Ramanujan素数的运行与素数间隙联系起来。在此过程中，我们陈述了几个假设和未决问题。附录解释了Noe计算$R_1,R_2,...,R_n$的快速算法。
2011-08-01 math.NT
Universal Ramanujan-type congruences for prime-detecting quasimodular forms
Sussex Central High School（苏塞克斯中央高中）；United States Naval Academy（美国海军学院）
该研究证明了素数检测拟模形式全Z-模上存在无穷多个通用拉马努金型同余式，且对每个素数p均存在对应算术级数使相关系数被p整除。
2026-08-20 math.NT
Introducing Ramanujan's Class Polynomials in the Generation of Prime Order Elliptic Curves
在本文中，我们提出了使用Ramanujan类多项式的素数阶椭圆曲线的CM-方法的建设。我们比较（理论和实验）的效率，使用这个新的类对使用的韦伯，$M_{D,l}(x)$和$M_{D,p_1,p_2}(x)$多项式，并表明，他们显然超过了所有他们在生成的素数阶椭圆曲线。
2008-04-10 math.NT
Estimates for $π(x)$ for large values of $x$ and Ramanujan's prime counting inequality
在本文中，我们使用切比雪夫的$\vartheta$ -函数的精细近似建立新的显式估计的素数计数函数$π(x)$，这改善了目前的最佳估计为大值的$x$。作为一个应用，我们找到了$H_0$的一个上界，它被定义为最小的正整数，使得Ramanujan素数计数不等式对每个$x \geq H_0$都成立.
2017-03-29 math.NT
On Ramanujan expansions and primes in arithmetic progressions
Delange的一个著名定理给出了一个算术函数是相关的Ramanujan展开式与Wintner的一个结果所提供的系数之和的充分条件。利用Delange定理讨论了von Mangoldt函数与其不完全形式的相关性，导出了一个涉及等差数列中素数计数函数的不等式.一个值得注意的方面是，这样的不等式等价于著名的Hardy和Littlewood的孪生素数的代数公式。
2022-03-23 math.NT
New upper bounds for Ramanujan primes
对于$n\ge 1$，$n^{\rm th}$ Ramanujan素数被定义为最小正整数$R_n$，使得对于所有$x\ge R_n$，区间$(\frac{x}{2}, x]$至少有$n$素数。我们证明了，对于每个$ε>0$，有一个正整数$N$，使得如果$α=2n\left(1+\dfrac{\log 2+ε}{\log n+j(n)}\right)$，那么$R_n< p_{[α]}$的所有$n>N$，其中$p_i$是$i^{\rm th}$素数和$j(n)>0$是任何函数，满足$j(n)\to \infty$和$nj'(n)\to 0$。
2017-06-22 math.NT
On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms
本文研究了两个或三个不同原始海格尔-马克斯自拍形式同时满足拉马努金猜想的最小素数上界，以及至少一个形式满足猜想的素数自然密度下界。
2026-05-10 math.NT
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
2021-03-10 math.NT
Ramanujan Primes and Bertrand's Postulate
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则在区间$(x/2,x]$中至少有$n$素数。例如，Bertrand的假设是$R_1 = 2$。拉马努金证明了$R_n$的存在，并给出了前五个值为2、11、17、29、41。本文利用Rosser和Schoenfeld不等式证明了对所有的$n$都有$2n \log 2n < R_n < 4n \log 4n$，并利用素数定理证明了$R_n$渐近于第$2n$个素数.我们还估计了第一个$n$素数中最长的连续Ramanujan素数串的长度，解释了为什么有比预期更多的孪生Ramanujan素数，并做了三个证明（第一个已经被S. Laishram）。
2010-10-16 math.HO math.NT
Ramanujan-style congruences for prime level
我们建立Ramanujan风格的同余模某些素数$\ell$之间的爱森斯坦系列的重量$k$，素水平$p$和尖形的新形式的$\varepsilon$ -特征空间的Atkin-Lehner运营商内部的尖形的空间重量$k$ $Γ_0(p)$。在一个温和的假设下，这改进了Gaba-Popa的一个结果。我们使用这些同余和最近的工作Ciolan，Eulasco和第三作者的欧拉-克罗内克常数，量化的不可分的傅里叶系数所涉及的$\ell.$的程度，这些系数产生的号码字段，我们调查使用最近的结果素因子的移位素数。
2022-10-14 math.NT
Polynomial analogues of Ramanujan congruences for Han's hooklength formula
本文考虑eta幂$\prod {(1-q^k)}^{b-1}$。证明了当$n=5j+4$满足一定条件时，该表达式中的$\frac{q^n}{n!}$的系数作为$b$中的多项式，在模5的非零剩余类中呈等分布.其他对称性，以及对称性的其他素数和素数的权力，证明，并提出了一些开放的问题。
2012-10-15 math.CO math.NT
Prime values of Ramanujan's tau function
本文研究了Ramanujan tau函数的素数值，证明了在大多数算术级数（mod 23）中素数值构成稀疏集，并得出存在Dirichlet密度为9/11的素数集不能表示为tau函数值的结论。
2025-11-03 math.NT
A Hardy-Ramanujan type inequality for shifted primes and sifted sets
我们建立了一个类似的Hardy-Ramanujan不等式，用于计算具有给定数量的不同素因子的筛选集的成员。特别地，我们建立了一个移动素数p+a低于x的k个不同的素因子，一致的所有正整数k的数目的界。
2021-11-19 math.NT
Existence of Ramanujan primes for GL(3)
本文证明了：给定GL（3）上有理数上的任意尖点形式π，存在无穷多个素数p对π为Ramanujan，即，证明了局部分量π_p对于无穷多个p是调和的，所需的关键结构是π的8次伴随L-函数。
2002-09-26 math.NT math.RT
Integers without large prime factors: from Ramanujan to de Bruijn
一个小调查的工作做了一些估计的整数没有大的素因子到1950年左右。1950年左右，N.G. de Bruijn发表的结果极大地推进了这一主题，并开启了这一主题的新时代。
2012-12-07 math.HO math.NT
Generalized Ramanujan Primes
在1845年，Bertrand证明了对于所有的整数$x\ge2$，在$(x/2, x]$中至少存在一个素数。这是证明了切比雪夫在1860年，然后推广拉马努金在1919年。他证明了对于任何$n\ge1$，都有一个（最小的）素数$R_n$，使得对于所有$x \ge R_n$都有$π(x)- π(x/2) \ge n$。2009年Sondow称$R_n$为$n$ th Ramanujan素数，并证明了$R_n \sim p_{2n}$的渐近行为（其中$p_m$是$m$ th素数）。本文通过引入参数$c \in (0,1)$和定义$c$-Ramanujan素数作为最小整数$R_{c,n}$，使得对所有$x\ge R_{c,n}$，至少有$n$素数存在于$(cx,x]$中，推广了兴趣区间.使用加强版的素数定理的后果，我们证明了$R_{c,n}$存在于所有$n$和所有$c$，即$R_{c,n} \sim p_{\frac{n}{1-c}}$作为$n\to\infty$，和素数的分数是$c$ -Ramanujan收敛到$1-c$。然后，我们研究了与它们在素数中的分布相关的更精细的问题，发现$c$ -Ramanujan素数表现出惊人的行为，显著偏离了基于有偏抛硬币的概率模型;这是Sondow、Nicholson和Noe在$c = 1/2$的案例中首次观察到的。这个模型与克拉默模型有关，克拉默模型在…
2011-11-23 math.NT
Ramanujan's function on small primes
本文研究了拉马努金函数在小素数上的特征值振荡现象，并探讨其对勒默问题的潜在应用。
2026-03-10 math.CV math.NT
Ramanujan congruences for overpartitions with restricted odd differences
我们调查Ramanujan同余的功能，计数的超分区n限制奇差。特别是，我们证明了只有一个这样的同余存在。我们的方法涉及到使用理论的模形式证明了一个更一般的定理，该定理的界限的数量可能的Ramanujan同余在某些η-代数。这概括了Jonah Sinick所做的工作。我们还提供了这个函数的两个模5同余。
2022-04-05 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Partition $k$-Tuples with $5$-Cores
我们证明了几个Ramanujan型同余模幂的$5$分区$k$ -元组的$5$ -核心，$k=2, 3, 4$。我们还证明了具有$p$ -核的$k$ -元组的模素数幂同余的一些新的无穷族，其中$p$是素数.
2023-01-31 math.NT
A generalization of Ramanujan's congruence to modular forms of prime level
证明了尖点新形式与素水平Eisenstein级数之间的同余关系，推广了Ramanujan的同余关系。这样的同余最近发现的Billerey和Menares，我们完善他们指定的Atkin-Lehner特征值的新形式。我们发现，类似的改进举行的水平提高一致性之间的尖形新的不同水平，由于Ribet和钻石。证明依赖于研究同余子群$Γ_0(N)$的周期多项式空间的新子空间和爱森斯坦子空间，以及Ihara引理的一个版本。
2018-06-20 math.NT
Ramanujan Congruences for Fractional Partition Functions
对于有理$α$，分数分拆函数$p_α(n)$由生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数给出。当$α=-1$时，得到通常的配分函数。Ramanujan研究了素数$\ell$和整数$c$的形式为$p(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$的同余。Chan和Wang [4]最近研究了分数分拆函数的同余，并利用Dedekind η-函数的恒等式给出了几个无穷族的同余。在他们的工作之后，我们使用非普通素数的理论来找到一个一般的框架，该框架描述了模任意整数的同余。这使我们能够证明新的同余，如$p_\frac{57}{61}(17^2n-3)\equiv 0 \pmod{17^2}$。
2019-07-15 math.CO math.NT
Why should one expect to find long runs of (non)-Ramanujan primes ?
Sondow等人研究了Ramanujan素数（RP），并在数值上观察到，虽然所有素数中有一半是渐近的RP，但人们得到了召唤RP的运行（分别为RPs）。非RP），其在统计学上显著长于人们在投掷无偏硬币时所期望的。在这篇讨论论文中，我们试图对这一现象进行启发式的解释。我们的启发式自然遵循素数定理，但似乎只是部分令人满意。它激发了为什么人们应该获得RP和非RP的长期运行，以及非RP比RP更长的运行。然而，它也表明，人们应该获得比迄今为止在数据中观察到的更长的RP运行，这个问题仍然令人困惑。
2012-01-18 math.NT
Prime divisors of $\ell$-Genocchi numbers and the ubiquity of Ramanujan-style congruences of level $\ell$
设$\ell$为任意固定素数。我们用$G_n:=\ell(1-\ell^n)B_n$来定义$\ell$ -Genocchi数，其中$B_n$是$n$ -th Bernoulli数.它们是整数。我们介绍并研究了库默的素数正则性概念的一个变体。我们说一个奇素数$p$是$\ell$ -Genocchi不规则的，如果它至少整除一个$\ell$ -Genocchi数$G_2,G_4,\ldots, G_{p-3}$，否则是$\ell$ -正则的。利用Artin原根猜想研究中的技巧，在$\ell$为奇数的情况下，给出了给定等差数列中$\ell$ -Genocchi非正则素数个数的渐近估计. Hu、Kim、Moree和Sha（2019）已经处理了病例$\ell=2$。用类似的方法研究了$(1-\ell^n)B_{2n}/2n$和$(1+\ell^n)B_{2n}/2n$的素因子.这使我们能够估计素数$p\leq x$的数量，其中存在模$p$ Ramanujan风格的同余关系之间的傅立叶系数的爱森斯坦级数和一些尖点形式的素数水平$\ell$。
2022-09-16 math.NT
Arithmetic properties of the Ramanujan function
研究了Ramanujan函数$τ(n)$的一些算术性质，如最大素除子$P(τ(n))$和不同素除子因子$τ(n)$的个数$ω(τ(n))$对不同的$n$序列的影响.特别地，我们证明了对于无穷多个$n$，\hbox{$P(τ(n)) \geq (\log n)^{33/31 + o(1)}$}是唯一的，对于每个素数$p$，\begin{equation*} P(τ(p)τ(p^2)τ(p^3)) > (1+o(1))\frac{\log\log p\log\log\log p} {\log\log\log\log p} \end{equation*}是唯一的，并且\hbox{$τ(p)\neq 0$}是唯一的.
2006-07-24 math.NT
The series that Ramanujan misunderstood
本文对Hardy和Ramanujan提出的一个著名的振荡幂级数给出了新的评价，该振荡幂级数与Ramanujan关于素数素数分布的错误理论有关.
2016-10-12 math.NT
ABC implies that Ramanujan's tau function misses almost all primes
在 ABC 猜想假设下，证明了 tau 函数的素数值密度为 O(X^{13/22})，表明 tau 函数错过大部分素数，同时提出 S(X) 可能无限且有预测阶数。
2026-04-25 math.NT
On Proving Ramanujan's Inequality using a Sharper Bound for the Prime Counting Function $π(x)$
本文利用 Chebyshev Theta 函数 $\vartheta(x)$ 的估计导出素数计数函数 $π(x)$ 的更紧界，从而无条件证明了 Ramanujan 不等式对所有 $x\geq \exp(43.5102147)$ 成立。
2024-08-29 math.NT
Ramanujan Summation and the Exponential Generating Function $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}ζ^{\prime}(-k)$
在第六章他的笔记本拉马努金介绍了一种方法，总结发散系列分配给该系列的价值相关联的欧拉-麦克劳林常数所产生的应用欧拉-麦克劳林求和公式的部分和系列。这种方法现在被称为拉马努金求和过程。本文计算了指数母函数$\sum_{n\geq 1}\log n e^{nz}$和$\sum_{n\geq 1}H_n^{(j)} e^{-nz}$的Ramanujan和，其中$H_n^{(j)}=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^j}$ .我们发现一个令人惊讶的关系，两个总和时，$j=1$从以下公式连接的衍生物的黎曼zeta函数在负整数的Ramanujan求和的分歧欧拉和$\sum_{n\ge 1} n^kH_n, k \ge 0$，其中$H_n= H_n^{(1)}$。此外，我们表示我们的结果在拉马努金求和的经典求和过程称为波莱尔和。
2009-01-22 math.CA math.NT
Ramanujan Cayley graphs of Frobenius groups
本文确定了弗罗贝尼乌斯群的Cayley图关于保证为Ramanujan的正规Cayley子集的价的界.我们看到，如果Frobenius核和补的阶之间的比率不是那么小，那么这个界与来自图的最大非平凡特征值的平凡估计的平凡界一致。此外，对于二阶奇素数的二面体群，即弗罗贝尼乌斯群的特殊情况，我们不仅确定了群的Cayley图关于正规子集的界，而且确定了群的Cayley图关于所有Cayley子集的界.作为阿贝尔群的情况下，我们已经在以前的文件中，这样的限制是等于平凡的一个在上述意义上，或作为例外情况下，超过一个从it.We然后澄清，后者发生当且仅当相应的素数是由一个二次多项式在一个有限的家庭。
2015-03-13 math.CO math.NT
Explicit formulas of a generalized Ramanujan sum
导出了涉及广义Ramanujan和的显式公式。一个类似的素数定理获得和等价的黎曼假设显示。最后推广了Bartz的显式公式。
2015-04-01 math.NT
Ramanujan's congruence primes
本研究受拉马努金关于尖点形式傅里叶系数与素数691的同余结论启发，发现素数67出现在模5二次狄利克雷特征的L函数相关比值的分子中，导出了$Γ_0(5)$上权6尖点形式与艾森斯坦级数的模67同余关系。
2024-03-05 math.NT
Odd values of the Ramanujan tau function
我们证明了一些关于奇值的Ramanujan $τ$ -函数的结果。例如，我们证明了一个有效的可计算的正常数$κ$的存在，使得如果$τ(n)$是奇数和$n \ge 25$，那么要么\[ P(τ(n)) \; > \; κ\cdot \frac{\log\log\log{n}}{\log\log\log\log{n}} \]，要么存在一个素数$p \mid n$与$τ(p)=0$。这里，$P(m)$表示$m$的最大素因子。我们还求解了方程$τ(n)=\pm 3^{b_1} 5^{b_2} 7^{b_3} 11^{b_4}$和方程$τ(n)=\pm q^b$，其中$3\le q < 100$是素数，指数是任意非负整数。我们利用各种方法，包括原始因子定理的Bilu，Hanrot和Biltier，边界的解决方案，以Thue-马勒方程由于Bugeaud和Gyjourry，和模块化的方法通过伽罗瓦表示的Frey-Hellegouarch椭圆曲线。
2021-01-08 math.NT
On critical small intervals containing primes
设p是奇素数，使得p_n<p/2< p_{n+1}，其中p_n是第n个素数。本文研究如下问题：在区间（p，2 p_{n+1}）中素数存在的概率是多少？在借助Ramanujan素数（[11]，[12]）和引入伪Ramanujan素数强定义概率之后，我们证明了，如果这样的概率P存在，则P>=0.5。我们还研究了一个对称的情况下，左间隔，它连接到序列A080359在OEIS。
2009-09-03 math.NT
Ramanujan circulant graphs and the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn
本文给出了奇数循环图的阶数的界，它保证对每一个固定的顶点数都是Ramanujan图。在大多数情况下，该界与平凡界一致，平凡界来自循环图的最大非平凡特征值的平凡估计。作为例外情况，该界实际上超过了平凡的二分之一。然后，我们证明，这种例外只发生在顶点的数量有最多两个素因子的情况下，并表示为一个二次多项式在一个有限的家庭，而且，根据猜想的Hardy-Littlewood和贝特曼-霍恩，存在无穷多。
2015-03-13 math.CO math.NT
On some values which do not belong to the image of Ramanujan's tau-function
本文证明了Ramanujan tau函数在n≥1时，除14种情况外，不取±ℓ, ±2ℓ, ±4ℓ, ±8ℓ这些值，其中ℓ<1000为奇素数，推广了Lehmer猜想的相关结果。
2024-05-26 math.NT
A generalization of the Ramanujan-Nagell equation
我们将证明，对于任何正整数$D>0$和任何不整除$D$的素数$p_1, p_2$，丢番图方程$x^2+D=2^s p_1^k p_2^l$至多有$63$整数解$(x, k, l, s)$，其中有$x, k, l\geq 0$和$s\in \{0, 2\}$ .
2017-12-06 math.NT
Small gaps between configurations of prime polynomials
我们发现任意大的配置的不可约多项式在有限域，分离的低次多项式。我们的证明采用了Pintz从整数中得出的一个论点，在这个论点中，他结合了Goldston-Pintz-Yıldırım和Green-Tao的方法来寻找任意长的广义孪生素数的等差数列。
2015-03-05 math.CO math.NT
A fast algorithm to compute the Ramanujan-Deninger gamma-function and some number-theoretic applications
我们介绍了一个快速算法来计算Ramanujan-Deninger伽玛函数及其对数导数的正值。这样的算法使我们能够极大地扩展了关于Euler-Kronecker常数$\mathfrak{G}_q$，$\mathfrak{G}_q^+$和$M_q=\max_{χ\ne χ_0} \vert L^\prime/L(1,χ)\vert$的数值研究，其中$q$是奇素数，$χ$运行在原始Dirichlet字符$\bmod\ q$上，$χ_0$是平凡Dirichlet字符$\bmod\ q$，$L(s,χ)$是与$χ$相关联的Dirichlet $L$-函数.利用这种算法，我们得到了$\mathfrak{G}_{50 040 955 631} =-0.16595399\dotsc$和$\mathfrak{G}_{50 040 955 631}^+ =13.89764738\dotsc$，从而得到了一个新的负值$\mathfrak{G}_q$。此外，我们还计算了每个奇素数$q$，$10^6< q\le 10^7$的$\mathfrak{G}_q$，$\mathfrak{G}_q^+$和$M_q$，从而推广了以前的结果.因此，我们得到了对于直到$10^7$的所有奇素数$q$，$\mathfrak{G}_q$和$\mathfrak{G}_q^+$都是正的;对于所有奇素数$1531 < q\le 10^…
2021-05-11 math.NT
On some claims in Ramanujan's `unpublished' manuscript on the partition and tau functions
接近尾声，他的生命拉马努金写了一份手稿的性质分区和tau功能，其中一些部分仍然未发表，直到最近。尽管如此，这份手稿还是引发了许多后续工作。在它Ramanujan认为同余$τ(n)$模一些特殊的素数q。例如，他证明了$τ(n)\equiv \sum_{d|n}d^{11}({\rm mod}691)$。如果$τ(n)$不能被q整除，他定义$t_n=1$，否则定义$t_n=0$。然后，他通常写道："可以通过超越方法证明，$$ \sum_{k=1}^n t_k=C\int_1^n {dx\over (\log x)^δ}+O({n\over (\log n)^r}). $$，其中r是任何正数"（在陈述了上述和的一些较弱的估计之后）。数$δ$是一个positve有理数取决于q和为正数C拉马努金通常写下一个欧拉产品。本文证明了Ramanujan关于每个$r>1+δ$和每个特殊素数q的断言是假的。此外，我们纠正了1928年文件杰拉尔丁斯坦利谁声称已反驳拉马努金的索赔情况下q = 5。
2002-12-03 math.NT
Ramanujan Cayley graphs of the generalized quaternion groups and the Hardy-Littlewood conjecture
本文研究了广义四元数群的Cayley图的价的界，它保证是Ramanujan的。与我们以前研究的循环群和二面体群的情形一样，我们证明了在一个特殊的情形下，对于由二次多项式表示的素数，上界的确定与经典的Hardy-Littlewood猜想有关.
2016-11-30 math.NT
Ramanujan type congruences for modular forms of several variables
在Siegel模形式和Hermitian模形式的情形下，给出了Eisenstein级数与尖点形式之间的同余关系.我们应该强调的是，在划分$k-1$ -th广义Bernoulli数的素数的存在性与权的非平凡厄米尖点形式形$k$的存在性之间存在着联系。最后，我们将给出每种情况下的数值例子。
2012-03-31 math.NT
On the gaps between consecutive primes
令$p_n$表示第$n$个素数。对于任何$m\geq 1$，存在无穷多个$n$，使得对于某个大常数$C_m>0$，$p_{n}-p_{n-m}\leq C_m$，对于某个小常数$c_m>0$，$$p_{n+1}-p_n\geq \frac{c_m\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n}, $$。此外，我们还得到了关于等差数列中最小素数的一个相关结果。
2018-02-07 math.CO math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
Primes in Tuples IV: Density of small gaps between consecutive primes
我们表明，一个积极的比例连续素数之间的所有差距是小差距。我们提供了几个定量的结果，一些无条件和一些有条件的，在这种味道。
2011-03-30 math.NT
Gaps between primes
我们讨论了最近的进展弱形式的总理$k$元组猜想，它的作用，证明新的估计存在小的差距之间的素数和存在大的差距之间的素数。
2019-10-29 math.NT
The Hardy--Ramanujan inequality for sifted sets and its applications
University of Georgia（佐治亚大学）
本文建立了适用于筛集的Hardy-Ramanujan不等式加权版本，并将其应用于多个数论问题，包括大偏差、乘法表问题和移位素数因数等。
2025-12-18 math.NT
Tables of record gaps between prime constellations
我们目前的表记录（最大）之间的差距denominated总理星座，或k-元组。表中包含了素数k元组之间的所有最大间隔，最大间隔为10^15，对于每个k<=7。
2013-09-16 math.NT
Positive Proportion of Small Gaps Between Consecutive Primes
我们证明了一个积极的比例连续素数之间的差距是短的差距长度小于任何固定分数的平均间距之间的素数。
2011-03-21 math.NT
An Inductive Proof of Bertrand's Postulate
本文将证明一个著名的关于素数的问题。贝特朗假设指出，如果n > 1，则总有一个素数p，且n < p < 2n。Bertrand公设并不是一个较新的被证明的公设，事实上，在他的假设和数值证据之后，Chebyshev是第一个证明它的人，随后，Ramanujan利用Γ函数的性质证明了它，Erdös利用Primoral函数发表了一个更简单的证明，p#。我们的方法是独特的，在这个意义上，我们已经使用数学归纳法找到的上限和下界的第二Chebyshev函数，他们甚至比Ramanujan边界发现使用Γ函数。除此之外，我们的方法与拉马努金证明的方法相似。
2016-11-29 math.NT
On small gaps between primes and almost prime powers
在最近与D.A. Goldston和C.Y. Yildirim我们刚刚错过了一个证明素数之间有界间隙无限频繁出现的证据。在目前的工作表明，添加到素数一个更薄的一套，所谓的几乎素数权力，工会的一套素数和几乎素数权力已经包含无限多有界的差距。更确切地说，它表明，如果我们添加到一组素数要么几乎素平方正好有两个，几乎相等的素因子，或者如果我们添加到一组素数几乎素立方体正好有三个，几乎相等的素因子，那么所产生的集合已经包含无限多个有界间隙。
2010-04-07 math.NT
Landau and Ramanujan approximations for divisor sums and coefficients of cusp forms
本文通过计算 Euler-Kronecker 常数得到除数和函数计数函数渐近展开的二阶项，并确定 Ramanujan 逼近优于 Landau 逼近的条件，进而研究六个尖形式 Fourier 系数的不可整除性。
2021-09-07 math.NT
