Ramanujan-type formulae for $1/π$: the art of translation
我们概述了一个初等方法证明数值超几何恒等式，特别是，Ramanujan型恒等式$1/π$。其主要思想是利用算术超几何级数的代数变换将非奇点转化为奇异点，其中所需的常数可以使用渐近分析来计算。
2013-02-20 math.CA math.NT
Ramanujan Primes: Bounds, Runs, Twins, and Gaps
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则区间$(x/2,x]$至少包含$n$素数。通过证明$R_n/p_{3n}$的最大值是$R_5/p_{15} = 41/47$，我们改进了Laishram的定理，即$R_n < p_{3n}$.本文对$n\le9$给出了Ramanujan素数在所有素数$p<10^n$中最长游程的统计量。我们证明，如果一个上孪生素数是拉马努金，那么也是较低的;一个表给出了一些孪生素数低于$10^n$的三种类型。最后，我们将Ramanujan素数的运行与素数间隙联系起来。在此过程中，我们陈述了几个假设和未决问题。附录解释了Noe计算$R_1,R_2,...,R_n$的快速算法。
2011-08-01 math.NT
Rogers-Ramanujan type identities for alternating knots
我们强调的作用，证明身份所产生的纽结理论的q-系列技术。特别是，我们证明了罗杰斯-拉马努金型身份交替结的Garoufaltured，乐和Zagier。
2015-02-05 math.CO math.NT math.QA
Cranks for Ramanujan-type congruences of $k$-colored partitions
University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文为分拆函数同余族的不变量提供研究框架，利用θ块理论找到一族曲柄函数，可解释多数已知k着色分拆函数同余，具理论价值。
2026-09-04 math.NT
On solving a restricted linear congruence using generalized Ramanujan sums
考虑$b,n\in\mathbb{Z}$的一次同余方程方程$x_1+\ldots+x_k \equiv b\,(\text{mod } n)$。$(a,b)_s$是指同时划分$a$和$b$的最大的$l^s\in\mathbb{N}$。对于每个$d_j|n$，定义$\mathcal{C}_{j,s} = \{1\leq x\leq n^s | (x,n^s)_s = d^s_j\}$。Bibak等人用Ramanujan和给出了上述同余方程在$x_i$上的一些gcd限制下的解的个数的公式。我们推广了他们的结果，在$x_i$上引入了广义gcd限制，证明了对于上述一次同余方程，解的个数为$$\frac{1}{n^s}\sum\limits_{d|n}c_{d,s}(b)\prod\limits_{j=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s})\right)^{g_j}$$，其中$g_j = |\{x_1,\ldots, x_k\}\cap \mathcal{C}_{j,s}|$对$j=1,\ldots τ(n)$，$c_{d,s}$表示E.科恩
2017-08-15 math.NT
Simple error bounds for an asymptotic expansion of the partition function
本文为整数划分函数 $p(n)$ 的 Poincaré 型简化渐近展开建立了可计算的误差界，该界比近期文献更尖锐且推导更简单。
2024-09-25 math.NT
A Number Field Analogue of Ramanujan's identity for $ζ(2m+1)$
本文提出数字段中ζ(2m+1)的拉马努金-格罗斯沃尔德公式类比，并推导出Dedekind ζ函数在奇数参数处的新公式，同时推广Eisenstein系列和Dedekind eta函数的变换公式。
2024-07-04 math.NT
An Elementary Proof of a Theorem of Hardy and Ramanujan
令$Q(n)$表示其素分解$q= \prod^{t}_{i=1}p^{a_i}_i$满足$a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_t$的整数$1 \leq q \leq n$的数目。Hardy和Ramanujan证明了$$ \log Q(n) \sim \frac{2π}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{\log(n)}{\log\log(n)}}\;. $$在证明上述精确的渐近公式之前，他们非常详细地研究了使用纯初等方法可以获得的关于$Q(n)$的内容，并且只能使用这种方法获得更粗糙的下限和上界。在本文中，我们表明，它实际上是可能的，以获得一个纯粹的初等（和更短）证明的Hardy-Ramanujan定理。为了这个目标，我们首先给出一个简单的组合参数，表明$Q(n)$满足（伪）递归关系。这使我们能够用一个简短的归纳论证来代替原始证明中几乎所有难以分析的部分。
2022-07-19 math.CO math.NT
On divisor sums due to Erdős and Ramanujan
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文研究了埃尔多斯和拉马努金除数和的混合形式，通过结合戈尔本的估计和塔兰的定量化形式，证明了除数和的渐进行为。
2026-10-19 math.NT
Analytic expressions for some Mellin transforms with their application to prime counting function and interpolation formulas for the zeta function
本文的目的是利用S。拉马努金在证明他的主定理。我们的结果进一步应用于一些数论函数，如素数计数函数和zeta函数。
2022-10-02 math.NT
Balanced Derivatives, Identities, and Bounds for Trigonometric and Bessel Series
出于两个身份公布与拉马努金的丢失笔记本和连接，分别与高斯圆问题和狄利克雷除数问题，在较早的文件，三本作者得出陈述某些款项的产品三角函数作为二重级数的贝塞尔函数。本文通过引入平衡导数的新概念，推广了这些级数，得到了进一步的定理。正如我们将在下面看到的，不平衡情况下的收敛区域与平衡情况下的完全不同。从这个角度来看，值得注意的是，拉马努金有直觉，制定条目，在我们的新术语，“平衡”。如果$x$表示出现在我们的和中的三角函数的乘积的个数，除了证明上述恒等式外，还建立了和为$x\to\infty$的上、下界的定理和定理.
2021-02-23 math.NT
The Ramanujan Challenge For AI
Technion（以色列理工学院）；Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler Universität Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学符号计算研究所）；Ghent University（根特大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）
提出一组用于评估人工智能数学技能的基本数学常数公式，含已知证明暂加密及未证明两类问题，旨在观察人工智能在这些问题上的表现。
2026-07-14 cs.AI math.HO math.NT
First memoir on the asymptotics of certain infinite products
本文探讨利用 Rogers–Ramanujan 型 q-恒等式及其有限版本的渐近性来证明恒等式的潜力，以应对和式端验证模方程这一主要挑战。
2024-11-25 math.CA math.CO math.NT
2- and 3-Dissections of Second-, Sixth-, and Eighth-Order Mock Theta Functions
University of Florida（佛罗里达大学）
本文提出系统方法研究二阶和三阶第二、第六和第八阶假模θ函数的分解，结合变换公式与符号计算，验证相关恒等式。
2026-06-29 math.NT
From crank to congruences
本文研究分拆数 crank 奇偶差值的算术性质，证明 Ramanujan 型同余式并刻画相关序列的模性质，扩展分拆同余式范围。
2025-05-26 math.NT
An effective version of Chebotarev's density theorem
本文提出了适用于所有非有理数域的 Chebotarev 密度定理有效版本的显式细化，基于平滑素理想计数函数的显式公式，结合 Dedekind zeta 函数的零点区域和零点估计，给出了更优的界。
2025-08-13 math.NT
Almost sure bounds for weighted sums of Rademacher random multiplicative functions
本文研究了Rademacher随机乘法函数的加权求和，证明了其几乎必然界的上界和下界，并探讨了不同条件下的更紧上界。
2026-02-03 math.NT math.PR
The Kaleidoscopic Filter on the Partition Manifold, Part I: The Simplicial Ehrhart, Barycentric Pascal Product, and Continuous Bernoulli Exact Closed Forms for $p(n)$
Università degli Studi della Basilicata（巴西利卡塔大学）
本文通过将划分多面体嵌入有理多面体理论，推导出整数划分函数p_k(n)的精确O(1)公式，并扩展至无限制划分函数p(n)。
2026-07-14 math.CO math.MG math.NT
