New trigonometric identities and reciprocity laws of generalized Dedekind sums
得到了新的三角恒等式，即余切函数和余割函数的高阶导数的积和式公式。此外，从我们的公式的特殊化，我们不仅得到了各种已知的广义Dedekind和的互易律，而且还得到了新的广义Dedekind和的互易律。
2016-03-13 math.CA math.NT
New trigonometric identities and reciprocity laws of generalized Dedekind sums II
我们得到了新的三角恒等式，它们是余割函数和余切函数的导数的积和型公式。此外，从我们的公式的特殊化，我们得到新的互惠法律的广义Dedekind和。
2015-07-26 math.CA math.NT
Trigonometric analogue of the identities associated with twisted sums of divisor functions
本文受 Ramanujan 丢失笔记启发，推导出与除数函数扭曲和相关恒等式的三角函数等价版本，并给出了 $r_6(n)$ 的模拟恒等式。
2024-01-06 math.NT
Finite Trigonometric Character Sums Via Discrete Fourier Analysis
证明了几个关于特征标和三角函数的有限和的新老定理。这些款项可以追溯到θ函数身份从拉马努金的笔记本电脑，并首次系统地研究了伯恩特和Zaharescu;他们的证明涉及复杂的轮廓积分。我们展示了如何证明大多数Berloven-Zaharescu的和一些新的身份的离散傅里叶分析的基本方法。
2008-06-04 math.NT
Some new sums of $q$-trigonometric and related functions through a theta product of Jacobi
本文计算了涉及$q$ -三角函数和$q$ -双Γ函数的有限和与无限和.在让$q$逼近$1$时，人们得到经典三角函数和双Γ函数的相应和。我们的主要论点是一个θ积公式的Jacobi和Goelman的$q$三角恒等式。
2019-03-07 math.NT
Two General Series Identities Involving Modified Bessel Functions and a Class of Arithmetical Functions
我们考虑由Dirichlet级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{λ_n^{s}}\qquad\text{and}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b(n)}{μ_n^{s}},$$生成的两个序列$a(n)$和$b(n)$，$1\leq n<\infty$，它们满足一个涉及伽玛函数$Γ(s)$的熟悉的函数方程.建立了两个一般的身份。第一个涉及修改的贝塞尔函数$K_μ(z)$，并可以被认为是一个“模块”或“θ”的关系，其中修改的贝塞尔函数，而不是指数函数，出现。出现在第二个身份是$K_μ(z)$，贝塞尔函数的虚数$I_μ(z)$，和普通超几何函数${_2F_1}(a,b;c;z)$。虽然某些特殊情况出现在文献中，一般的身份是新的。算术函数出现在身份包括拉马努金的算术功能$τ(n)$ ;的数量表示$n$作为总和$k$平方$r_k(n)$ ;和原始狄利克雷字符$χ(n)$。
2022-04-21 math.CA math.NT
An elliptic analogue of Fukuhara's trigonometeric identities
我们得到了新的椭圆函数恒等式，它是Fukuhara三角恒等式的椭圆模拟。我们证明了我们的椭圆恒等式的$z=0$上的Laurent展开式的系数给出了椭圆Dedekind和的一些互易律。
2019-04-15 math.NT
Modified Bessel Functions in Analytic Number Theory
修正的贝塞尔函数$K_ν(z)$，或者简称为K-Bessel函数，出现在解析数论的关键位置。特别是，它们出现在漂亮的算术恒等式中。这些算术恒等式及其出现在数论的调查提供。
2023-03-04 math.CA math.NT
Relations between Chebyshev, Fibonacci and Lucas polynomials via trigonometric sums
本文通过有限三角和建立斐波那契、卢卡斯与切比雪夫多项式间的新恒等式，并给出其物理解释及与图有效电阻的联系。
2024-03-19 math.CO math.NT
Series over Bessel functions as series in terms of Riemann's zeta function
本文利用Hurwitz公式和三角级数求和公式，将Bessel函数级数转化为Riemann zeta函数级数，并求得有限和。
2024-07-17 math.CA math.NT
Identities about level 2 Eisenstein series
本文利用三角函数的简单微分计算，研究了某些广义二重Eisenstein级数。特别地，我们给出了某些二重Eisenstein级数的四个新的变换公式。我们可以发现这些重Eisenstein级数可约化为包含双曲函数的无穷级数。此外，还给出了一些有趣的新例子。
2018-05-17 math.NT
Trigonometric identities and quadratic residues
本文得到了一些新的涉及三角函数的恒等式。设$n$为任意正奇数。证明了用$x+1/2,x+(-1)^{(n-1)/2}/4\not\in\mathbb Z$对任何复数都有$$\sum_{r=0}^{n-1}\frac1{1+\sin2π\frac{x+r}n+\cos2π\frac{x+r}n} =\frac{(-1)^{(n-1)/2}n}{1+(-1)^{(n-1)/2}\sin 2πx+\cos 2πx}$$，用$x+y,x-y-1/2\not\in\mathbb Z$对所有复数都有$$\sum_{j,k=0}^{n-1}\frac1{\sin 2π\frac{x+j}n+\sin2π\frac{y+k}n}=\frac{(-1)^{(n-1)/2}n^2}{\sin 2πx+\sin2πy}$$.我们还确定了任何奇素数$p$的$\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(1+\tanπ\frac{k^2}p)$和$\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(1+\cotπ\frac{k^2}p)$的值。此外，我们还对$G_p(x)=\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(x-e^{2πik^2/p})$的值作了几点说明，其中$p$是奇素数，$x$是单位根.
2021-12-21 math.CA math.CO math.NT
On generalized trigonometric functions and series of rational functions
本文介绍了一种构造与任意复多项式相关联的广义三角函数的方法，并将著名的三角函数与多项式$x^2-1$相关联.我们将证明这些广义三角函数具有代数的恒等式，它推广了著名的$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$。广义三角函数的一个应用是计算有理函数的无穷级数。
2017-09-02 math.CA math.NT
Curious multisection identities by index factorization
本研究提出可等价表示为无穷二重乘积/级数的通用多截恒等式，推导出多种特殊函数相关新恒等式，并证明其含参数形式的特例对应标准多截恒等式。
2023-08-28 math.NT
Character analogues of Cohen type identities and related Voronoi summation formulas
本文针对 Cohen 型恒等式给出特征类比，推导相关 Voronoi 求和公式，并证明实原特征下 L(1,χ) 的正性。
2023-08-30 math.NT
Structural identities for generalized multiple zeta values
最近有大量关于多重zeta值的研究。我们建议将多个zeta值的身份分为结构和特定类型。结构的身份是有效的任何广义多重zeta函数，我们系统地研究他们通过对称函数。特定的身份只适用于一个特定的zeta函数，我们展示了如何将这些可以与结构身份一起使用，以找到封闭形式的多个zeta值。这使我们能够解释广义多重zeta值作为一个随机变量的时刻，我们在某些情况下的特点。我们还评估了某些多重贝塞尔zeta值和多重赫维茨zeta值。
2021-02-05 math.NT
Identities Involving Zeros of Ramanujan and Shanks Cubic Polynomials
在本文中，我们突出拉马努金三次多项式（RCP）和一类多项式，Shanks三次多项式（SCP），生成循环三次域之间的连接。在这种方式中，我们提供了一个新的表征RCP和我们表示的任何RCP的零的显式形式，使用三角函数。此外，我们观察到，周期三的循环变换置换这些零。由于这些结果，我们提供了许多新的和美丽的身份。最后，我们将随机CP与高斯周期联系起来，得到了一个新的恒等式，并研究了与随机CP相关的一些整数序列。
2014-01-07 math.NT
Koshliakov kernel and identities involving the Riemann zeta function
研究了涉及黎曼ζ函数和函数倒数在Bessel函数$J_{z}(x), Y_{z}(x)$和$K_{z}(x)$核中的积分恒等式.有趣的特殊情况下，这些身份的推导，其中之一是连接到一个众所周知的转换由于拉马努金，和Guinand。
2015-05-07 math.CA math.NT
A series of Ramanujan, two-term dilogarithm identities and some Lucas series
本文研究一类与Ramanujan遗失笔记中级数相关的初等级数，利用反双曲反正切、多对数及Clausen函数给出闭式，并证明新的双项二重对数恒等式，求出若干Lucas数级数的闭式。
2023-05-28 math.NT
Analytic Study of $p$-Bessel Functions: Fractional Calculus, Integral Representations, and Complex Extensions
本文研究$p$-贝塞尔函数的解析性质，通过分数阶微积分构建层级结构，推导实分析积分表示，并通过泊松型积分公式扩展至复数域，为研究各向异性振荡现象及$p$-圆格点问题提供基础。
2026-10-27 math.NT
Lattice sums of $I$-Bessel functions, theta functions, linear codes and heat equations
该研究推广了格上$I$-贝塞尔函数和的恒等式，建立其与theta函数变换、线性码完全重量枚举子及格上热方程解的关联，并得到$\boldsymbol{\rm Z}^n$上带线性码初始条件的热方程显式解。
2024-09-04 cs.IT math-ph math.IT
Ramanujan and Eckford Cohen totients from Visible Point Identities
定义了Ramanujan三角函数的任意维推广，并给出了狄利克雷级数的母函数.很久以前，埃克福德·科恩首次给予了延期。这直接链接到可见的点矢量身份，并可能在物理和化学的Baake等人提出的格求和。新的生成函数和求和在这里给出，推广的Ramanujan函数，欧拉totient和约旦totient功能，基于可见的格点的想法。
2012-12-12 math-ph math.CO math.MP
Generalized Cotangent Series and Links Zeta and Theta Functions
本文提出一种广义余切型级数，将其扩展至高阶格点和，并利用围道积分和Mellin变换等技术推导出其闭式表示，揭示了格点和、Riemann zeta函数与Jacobi theta函数间的深层结构关系，统一了经典展开。
2025-10-31 math.CV math.NT
New pathways and connections in Number Theory and Analysis motivated by two incorrect claims of Ramanujan
我们把注意力集中在拉马努金丢失的笔记本中的三页，即第336页、第335页和第332页，注意力从高到低依次排列。在第336页，拉马努金提出了两个恒等式，但公式是错误的--每个都被发散级数破坏了。我们只集中在两个不正确的“身份”，这可能是为了攻击扩展的除数问题。本文证明了Ramanujan错误主张的一个修正版本，它包含了其中出现的收敛级数，Ramanujan错误主张中的收敛级数与G.F. Voronoi，G.H. Hardy等人在研究经典Dirichlet除数问题时提出的。第335页包括两个公式，具有双重无穷级数的贝塞尔函数，第一个是与经典的圆问题发起的高斯，第二个是与狄利克雷除数问题。第一和第四作者，随着孙金，写了几篇论文提供证明这两个困难的公式在不同的解释。在本专题中，我们将回到这两个公式，并在更一般的设置中检查它们。Voronoi求和公式在我们的研究中表现突出。特别地，我们推广了J.R. Wilton的方法，并导出了一个涉及因子和函数$σ_s(n)$的类似物.本文还建立了涉及修正Bessel函数和修正Lommel函数的新的级数恒等式和积分恒等式。在其他结果中，我们建立了一个模块化的变换无穷级数涉及$σ_{s}(n)$和修改的Lommel功能。本文定义并讨论了两类新的相关的积分变换，我们称之为Koshliakov变换，因为N. S. Koshliakov首先发现了每一个优雅的特殊情…
2016-08-12 math.NT
The variation of Barnes and Bessel zeta functions
针对几何中含圆锥奇点的物理与分析问题中的Barnes和Bessel泽塔函数，通过复分析方法计算其零点导数及关于参数的变分，得到整数参数下Barnes泽塔函数变分的新表达式与Bessel泽塔函数变分的两种表达式并验证等价性。
2024-01-30 math.CV math.NT
Kronecker theta function and a decomposition theorem for theta functions I
Kronecker theta函数是Jacobi θ函数的商，它也是Ramanujan的$_1ψ_1$求和的特例。以Kronecker θ函数为构造块，证明了θ函数的一个分解定理.这个分解定理是大量θ函数恒等式的共同来源。许多引人注目的θ函数的身份，无论是经典的和新的，是从这个分解定理容易。建立了一个新的θ函数加法公式。在椭圆θ函数理论中，由于Ramanujan，Weierstrass，Kiepert，Winquist和Shen等人的一些已知结果被重新讨论。证明了一个奇异的三角恒等式。
2020-12-03 math.CV math.NT
On exotic matrix exponential sums and Bessel-Speh functions
University of Michigan（密歇根大学）
研究贝塞尔 - 斯佩函数特殊值，通过引入奇异矩阵克洛斯特曼和计算其值，该和推广了卡茨的奇异克洛斯特曼和与扭曲矩阵克洛斯特曼和，还将其表示为修正霍尔 - 利特伍德多项式乘积，进而为贝塞尔函数建立新恒等式。
2026-07-08 math.NT math.RT
A Class of Identities Associated with Dirichlet Series Satisfying Hecke's Functional Equation
我们考虑两个序列$a(n)$和$b(n)$，$1\leq n<\infty$，由满足一个熟悉的涉及伽玛函数$Γ(s)$的函数方程的形式$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{λ_n^{s}}\qquad\text{and}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b(n)}{μ_n^{s}},$$的狄利克雷级数生成.建立了一个通用的身份。出现在一侧的是涉及$a(n)$和修改的贝塞尔函数$K_ν$的无穷级数，其中在另一侧的是涉及$b(n)$的无穷级数，其是Hurwitz zeta函数的模拟。七种特殊情况下，包括$a(n)=τ(n)$和$a(n)=r_k(n)$，检查，其中$τ(n)$是Ramanujan的算术函数和$r_k(n)$表示的$n$作为$k$平方和的表示数。这六种特殊情况中的大多数似乎是新的。
2021-08-31 math.CA math.NT
Hurwitzian continued fractions containing a repeated constant and an arithmetic progression
我们证明了一个明确的公式，无穷多个收敛的Hurwitzian连分数，重复几个副本相同的常数和元素的一个等差数列，在一个准周期的方式。证明涉及组合数学和形式洛朗级数。使用很少的分析，我们可以表达他们的限制（修改）贝塞尔函数和斐波那契多项式。极限公式是Lehmer定理的推广，它包含$e$和$\tan(1)$的连续分数展开，并且它也可以从Lehmer的工作中使用Fibonacci多项式恒等式导出。我们完全描述了我们的极限公式的实现，其中每个贝塞尔函数的参数是一个奇数的一半，允许它们被替换为初等函数。
2013-05-25 math.CO math.NT
Borwein-Bradley-type identities for Ramanujan-type series for $1/π^4$
本文证明了孙智伟关于含调和数的 $1/\pi^4$ 和 $\pi^4$ 的 Ramanujan 型级数的十个猜想，通过 Borwein-Bradley 型恒等式和 WZ 种子方法，并给出新证明及半整数类比。
2026-10-06 math.CA math.CO math.NT
On the Waldspurger Formula and the Metaplectic Ramanujan Conjecture over Number Fields
本文通过输入复数域上的Bessel恒等式，将Baruch和Mao的Waldspurger公式从全实数域推广到任意数域.这是应用于给出一个非平凡的界限走向Ramanujan猜想的自守形式的亚群$\widetilde{\mathrm{SL}}_2$的第一次在一般性的任意数域。
2019-03-31 math.NT math.RT
Certain Extensions of Results of Siegel, Wilton and Hardy
本文通过引入含贝塞尔函数的 theta 变换公式，将 Hardy 定理推广至满足 Hecke 函数方程的 Dirichlet 级数，并得到解析数论经典恒等式的新推广。
2023-05-07 math.CA math.NT
Ninth degree analogue of Ramanujan's septic theta function identity
本文提出了Ramanujan七次θ函数恒等式的九次类似，并应用其笔记簿中的三次方程条目、用θ函数解释三角恒等式，最后计算了五个φ(e^{-π√n})的例子。
2025-06-01 math.CA math.NT
