Modified Bessel Functions in Analytic Number Theory

Two General Series Identities Involving Modified Bessel Functions and a Class of Arithmetical Functions

We consider two sequences $a(n)$ and $b(n)$, $1\leq n<\infty$, generated by Dirichlet series $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{λ_n^{s}}\qquad\text{and}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b(n)}{μ_n^{s}},$$ satisfying a familiar functional equation involving the gamma function $Γ(s)$. Two general identities are established. The first involves the modified Bessel function $K_μ(z)$, and can be thought of as a 'modular' or 'theta' relation wherein modified Bessel functions, instead of exponential functions, appear. Appearing in the second identity are $K_μ(z)$, the Bessel functions of imaginary argument…

广义修正Bessel函数与θ变换公式的高阶模拟

A generalized modified Bessel function and a higher level analogue of the theta transformation formula

研究了第二类修正Bessel函数$K_{z}(x)$的一个新推广.得到了它的优美级数和整表示、微分-差分方程和渐近展开，从而为它提供了丰富的理论。引入这一推广的动机是有一个函数，它给出了一个新的对Koshliakov内核$\cos \left( {πz} \right){M_{2z}}(4\sqrt {x} ) - \sin \left( {πz} \right){J_{2z}}(4\sqrt {x} )$的功能互逆，并包含自互逆对涉及$K_{z}(x)$。给出了它在求$F(z, w, α)=F(z,iw,β)$形式的模型变换中的应用，其中$αβ=1$是模型变换.作为例子，我们得到了Ramanujan和Guinand的一个著名公式在$SL_{2}(\mathbb{Z})$上与非全纯Eisenstein级数的函数方程等价的一个漂亮的推广.这种推广可以被认为是一般θ变换公式的更高层次的模拟。然后，我们用它来评估一个积分涉及的黎曼$Ξ$ -功能和组成的两个汇合型超几何函数的产品之和。

高秩- II的Bessel函数理论：Hankel变换与基本Bessel核

Theory of Bessel Functions of High Rank - II: Hankel Transforms and Fundamental Bessel Kernels

在这篇文章中，我们将研究的分析理论和表示论的解释汉克尔变换和基本贝塞尔核的任意秩的阿基米德域。

$p$-贝塞尔函数的解析研究：分数阶 calculus、积分表示与复数扩展

Analytic Study of $p$-Bessel Functions: Fractional Calculus, Integral Representations, and Complex Extensions

本文研究$p$-贝塞尔函数的解析性质，通过分数阶微积分构建层级结构，推导实分析积分表示，并通过泊松型积分公式扩展至复数域，为研究各向异性振荡现象及$p$-圆格点问题提供基础。