AI 中文总结
本文证明了孙智伟关于含调和数的 $1/\pi^4$ 和 $\pi^4$ 的 Ramanujan 型级数的十个猜想，通过 Borwein-Bradley 型恒等式和 WZ 种子方法，并给出新证明及半整数类比。
AI 中文摘要
我们证明了孙智伟关于含调和数的 $1/\pi^4$ 和 $\pi^4$ 的 Ramanujan 型级数的十个猜想。这些猜想通过比较新的 Borwein-Bradley 型恒等式中的 Taylor 系数而得到，这些恒等式的乘积仅依赖于 $x^3$、$x^4$、$x^6$ 或 $x^8$。这些恒等式来源于 Cullen 和 Zhao 级数的参数扩展。我们从 K. C. Au 的 Wilf-Zeilberger (WZ) 种子推导出这些扩展，其和为三角函数。我们的证明使用 Guillera 的周期性论证，并给出了原始级数的新证明。同样地，Dougall 的 $_5F_4$ 求和给出了 Koecher、Borwein-Bradley 和 Cohen 恒等式的半整数类比，其 Taylor 系数是 zeta 值乘积的 Apéry 型级数。
英文摘要
We prove ten conjectures of Z.-W. Sun on Ramanujan-type series for $1/π^4$ and $π^4$ with harmonic numbers. They follow by comparing Taylor coefficients in new Borwein-Bradley-type identities, whose products depend only on $x^3$, $x^4$, $x^6$ or $x^8$. These identities come from parametric extensions of the series of Cullen and Zhao. We derive the extensions from K. C. Au's Wilf-Zeilberger (WZ) seeds, and their sums are trigonometric. Our proofs use Guillera's periodicity argument and give new proofs of the original series. In the same way, Dougall's $_5F_4$ sum gives half-integer analogues of the identities of Koecher, Borwein-Bradley and Cohen, whose Taylor coefficients are Apéry-like series for products of zeta values.
