Enumerating Pattern-Avoiding Involutions using Combinatorial Exploration
School of Computer Science and Mathematics, Keele University（基尔大学计算机科学与数学学院）；School of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne（墨尔本大学数学与统计学院）；Department of Mathematical and Statistical Sciences, Marquette University（马凯特大学数学与统计科学系）
针对避免模式的对合枚举研究较少的问题，推导两类4-模式避免对合的Wilf等价类的代数生成函数，调整Mosaic方法扩展其余两类序列初始项并分析其渐近行为。
2026-09-07 math.CO
Combinatorial proofs of theorems of Merca on the sum of different parts congruent to $r$ modulo $m$ in all partitions of $n$
我们给出了组合证明的几个最近的结果，由于梅尔卡的总和不同部分全等的$r$模$m$在所有分区的$n$。证明利用了一些著名的对合从文献和一些新的对合介绍这里。
2023-03-24 math.CO
231-Avoiding Involutions and Fibonacci Numbers
我们使用组合和生成函数技术来枚举避免231或恰好包含231一次的各种对合集。有趣的是，这些枚举中的许多可以用$k$ -广义斐波那契数给出。
2002-09-19 math.CO
Bender-Knuth involutions for types B and C
本文用组合方法证明了King和Sundaram定义的B型和C型对称多项式在Weyl群作用下不变，证明受Bender-Knuth A型经典对合启发。
2025-09-20 math.CO math.RT
The signed Eulerian numbers on involutions
定义了一个类似于对称群的对合的带符号欧拉数$f_{n,k}$，并导出了该序列的一些组合性质.特别是，我们展示了一个明确的公式和递归$f_{n,k}$所产生的性质，其生成函数。
2008-03-14 math.CO
A sign-reversing involution for rooted special rim-hook tableaux
Egecioglu和Remmel用特殊的边钩图给出了逆Kostka矩阵K^{-1}的元素的解释。他们能够使用这种解释来给出KK^{-1}=I的组合证明，但不能对方程K^{-1}K=I做同样的证明。我们定义了一个符号反转的对合上有根特殊rim-hook tableaux，可以用来证明这第二个产品的最后一列是正确的。此外，根据Chow的建议，我们将对合与Gasharov的一个结果相结合，给出了Stanley和Stembridge的（3+1）-free猜想的一个特例的组合证明.
2003-06-06 math.CO
An involution for a Catalan-tangent number identity
本文通过反演方法证明了一个Catalan数与正切数的恒等式，并推导出其两种不同的$q$-泛化形式。
2025-11-27 math.CO
The Eulerian distribution on self evacuated involutions
我们提出了一个广泛的研究欧拉分布的自疏散对合，即对应于标准的杨tableaux的Sch $\ddot{\textrm{u}}$ tzenberger映射下固定的对合。我们发现了这种分布的生成多项式的一些组合性质，以及其系数的显式公式。然后，我们对无不动点的自疏散对合子集进行了类似的研究。
2008-01-09 math.CO
Involutions and their progenies
任何置换都有一个不相交的循环分解，概念在对称群上生成一个等价类，称为循环型。这项工作的主要重点是置换的限制循环类型，特别强调的特殊类的对合及其部分和。本文提供了生成函数，行列式表达式，渐近估计以及算术和组合性质。
2014-06-09 math.CO
Coxeter and Schubert combinatorics of $μ$-Involutions
University of Florida（佛罗里达大学）
本文研究 μ-自逆元的 Coxeter 理论性质，包括其原子的组合描述、交换引理以及特征化 Bruhat 秩的转置类操作，并探讨这些轨道闭包的 cohomology 代表及其与 ν-自逆元 Schubert 多项式的关系。
2026-04-03 math.CO
An involution on restricted Laguerre histories and its applications
拉盖尔历史（限制或不限制）是某些加权Motzkin路径与两种类型的水平步骤。它们一方面与排列集处于自然双射中，另一方面通过Flajolet的连分数组合理论对拉盖尔多项式的矩给出组合解释.在本文中，我们首先引入了限制拉盖尔历史上的类反射对合。然后，我们证明了它的权力，通过组成这个对合与三个双射由于弗兰\ccon -Viennot，Foata-Zeilberger，和Yan-Zhou-Lin，分别。一个主机的equidistribution结果涉及各种（多集值）置换统计遵循这些应用程序。作为副产品，七个显然是新的Mahonian统计呈现自己;新的解释已知Mahonian统计也被发现。最后，在我们努力显示这些Mahonian统计之间的相互联系，我们自然会导致一个新的联系之间的变种Yan-Zhou-Lin双射和Kreweras补。
2022-08-24 math.CO
The descent statistic on involutions is not log-concave
我们建立了一个组合之间的连接序列$(i_{n,k})$计数的对合$n$字母$k$下降和序列$(a_{n,k})$枚举半标准的扬表$n$细胞与$k$符号。这使我们能够证明序列$(i_{n,k})$对于$n$的某些值不是对数凹的，从而回答了由于F.布伦蒂
2008-03-14 math.CO
A Combinatorial Interpretation of the Joint Cumulant
本文利用描述、对合、卷积（DIE）的组合证明技术证明了联合累积量的各种恒等式。考虑一组随机变量$S = \{X_1,..., X_n\} $。受联合累积量定义的启发，我们将$ \sC(S) $定义为$S$的循环排列分区的集合，从而可以将$ S $的联合累积量表示为$\sC(S)$上的加权交替和。我们继续定义其他组合对象，使我们能够重写表达式最初的联合累积量作为加权和这些组合对象的集合。然后，通过构造这些对象的重量保持，符号反转对合，我们评估的原始表达式证明的身份，展示了DIE的实用性。
2012-11-03 math.CO
On the Combinatorics of Crystal Graphs, I. Lusztig's Involution
在本文中，我们继续发展一个新的组合模型的不可约特征标的复半单李群。这个模型，这将被称为凹室路径模型，可以被看作是一个离散的对应Littelmann路径模型。它导致了不可约特征的组合学从李型A（其中组合学是基于Young tableaux，例如）到任意类型的广泛推广。本文的主要结果是：（1）对应于不可约表示的晶图的组合描述（这个结果包括一个基于杨-巴克斯特方程的透明证明，证明了上述描述不依赖于我们模型中涉及的选择）;（2）Lusztig对合在标准基上的组合实现（这种对合将晶体表现为自对偶偏序集，对应于最长Weyl群元素对不可约表示的作用，和推广Schutzenberger的对合tableaux）;（3）任意根系的模拟，基于杨-巴克斯特方程，Schutzenberger的滑动算法，这也被称为jeu de taquin（这个算法有许多应用的表示论的李代数类型A）。
2006-08-20 math.CO math.RT
Positive combinatorial formulae for involution matrix loci and orbit harmonics
本文针对恰有固定数目不动点的对合集合所对应轨道调和分次模，将其分次 Frobenius 像的带符号组合公式改进为两个正组合公式，并据此得到分次分量间的等变同构及基与 Hilbert 级数解释的新思路。
2025-10-03 math.CO
A generalized SXP rule proved by bijections and involutions
本文证明了一个将Schur函数与斜Schur函数与幂和对称函数的体积积$s_τ(s_{λ/μ} \circ p_r)$表示为Schur函数的积分线性组合的组合法则。这概括了体积描记$s_λ\circ p_r$的SXP规则。证明中的每一步都使用显式双射或符号反转对合。该证明的灵感来自于Remmel和Shimozono对SXP规则的早期证明，Littlewood-Richardson规则和应用的简单证明，离散数学193（1998）257- 266。与两个后来的组合规则的特殊情况下，这种体积的连接进行了讨论。提出了两个开放的问题。该文件旨在让非专家阅读。
2016-10-09 math.CO math.RT
A combinatorial derivation of the number of labeled forests
Lajos Takacs给出了一个关于$n$标记顶点上无根树的森林数的令人生畏的交替求和公式。在这里，我们使用适当的树配置上的重量反转对合，以给出一个组合推导的Takacs公式。
2003-11-16 math.CO
Inversions in Colored Permutations, Derangements, and Involutions
本文研究广义对称群逆序统计量在有色排列、错排和对合上的分布，通过建立有色排列与有色Lehmer码的双射，构建统一枚举框架，推导出显式公式、递推关系与生成函数。
2025-05-02 math.CO
A refinement of the formula for $k$-ary trees and the Gould-Vandermonde's convolution
本文给出了一类有色$k$ -叉树上的对合，从而给出了广义Catalan数$C_{k,γ}(n)=\fracγ{k n+γ}{k n+γ\choose n}$的组合和的组合证明.从组合和出发，我们改进了$k$ -叉树的公式，得到了广义Catalan数的生成函数的一个隐式公式，它显然蕴含了Gould推广的Vandermonde型卷积.此外，我们还得到了一个组合和涉及的向量推广的Catalan数的扩展我们的对合。
2019-09-10 math.CO
A combinatorial proof of a symmetry of $(t,q)$-Eulerian numbers of type $B$ and type $D$
通过在$B$型置换表集上定义一个保持许多重要统计量的对合，组合地证明了$B$型$(t,q)$ -欧拉数的对称性.该对合还证明了交叉和对齐数的生成多项式$\hat{D}_{n, k}(p,q,r)$的对称性，因此证明了由L定义的$A$型的$q$ -欧拉数的对称性。威廉姆斯通过对双射的一个限制，我们定义了$D$型置换和$D$型的$(t,q)$ -欧拉数的一个新的统计量，并证明了该统计量具有良好的对称性.我们猜想，我们的新统计量是在家庭的欧拉统计量的排列类型$D$。
2015-12-17 math.CO
A statistic-swapping involution on the Cartesian product of the symmetric group $S_{kn}$ and the generalized symmetric group $S(k,n)$
Cal Poly Pomona（加州州立理工大学波莫纳分校）；Harvey Mudd College（哈维穆德学院）
本文提出一个在对称群与广义对称群笛卡尔积上交换统计量的逆变，证明了固定点分布与 $k$-循环分布的匹配性。
2026-02-11 math.CO
Quarter-Turn Baxter Permutations
巴克斯特置换是已知的双射与大量的组合对象。以前，它表明，这些对象中的每一个都有一个自然的对合，这是由已知的双射进行等变，并根据对合固定的对象的数量是由Stembridge的$q=-1$现象。本文考虑Baxter置换矩阵的四分之一圈旋转的四阶作用量，改进了先前研究的半圈旋转。使用生成树的方法，我们证明了在四分之一圈旋转下固定的Baxter置换的数目具有非常好的枚举，这表明存在组合双射。
2017-10-19 math.CO
Cyclic sieving phenomena via combinatorics of continued fractions
本文利用连分数恒等式研究排列、集合划分、完美匹配和D-排列上的循环筛分现象，重新证明并推广Corteel对合相关结果，证明两个猜想，并构造新的Genocchi-Corteel对合。
2025-08-19 math.CO
Involutions in Coxeter groups
本文以高阶奇图刻画任意Coxeter群中对合的共轭类数，给出统一界、极值情形及多类群的计算公式。
2024-04-04 math.CO math.GR
An overpartition analogue of $q$-binomial coefficients, II: combinatorial proofs and $(q,t)$-log concavity
在以前的论文中，我们研究了高斯多项式的过分割模拟作为过分割拟合在$m \times n$矩形内的生成函数。在这里，我们增加了一个参数计数的数量overlined部分，获得一个两个参数的推广$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的高斯多项式，这也是一个$(q,t)$ -模拟德兰诺伊数。首先，我们得到有限版本的经典$q$ -系列的身份，如$q$ -二项式定理和勒贝格身份，以及两个变量的推广的经典身份涉及高斯多项式。然后，通过构造对合，得到了一个涉及有限θ函数的恒等式，并证明了$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的$(q,t)$ -log恒等式.我们特别强调的作用，组合证明和后果，我们的结果Delannoy数。最后，我们对$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的单峰性进行了一些猜测。
2017-07-18 math.CO math.NT
A k-tableau characterization of k-Schur functions
我们研究的k-舒尔功能的特点是k-tableaux，证明组合性质，如一个k-皮耶里规则和k-共轭。这种新的方法依赖于发展的k-tableaux理论，并包括在这些tableaux上引入一个权重置换对合，推广了Bender-Knuth对合。这项工作奠定了基础，需要证明的一套k-Schur Littlewood-Richardson系数包含3点Gromov-Witten不变量，结构常数的量子上同调环。
2005-05-24 math.CO
Rectangular Symmetry for Catalan Functions
Department of Mathematics and Institute of Basic Science Sungkyunkwan University（成均馆大学数学系与基础科学研究院）
该研究针对卡塔兰函数的舒尔系数，通过证明表对合的性质，给出了其矩形对称性的双射证明。
2026-10-16 math.CO math.RT
The inverse reduction map in the quantum Littlewood-Richardson bijection
University of Coimbra（科英布拉大学）
本文显式计算了量子Littlewood-Richardson双射中逆约化映射在辛列上的具体形式，并利用这些模式组合Watanabe的分解方法处理大型辛列。
2026-07-07 math.CO
On pyramidal groups whose number of involutions is a prime power
该研究引入m-锥群概念，证明了当m为不等于7的奇素数幂p^k时，所有m-锥群可解的充要条件是m=9或k为奇数，并确定了m为素数时这类群的阶，用到本原置换群理论。
2025-05-19 math.CO math.GR
Decomposing labeled interval orders as pairs of permutations
我们引入投票矩阵，一个有符号的组合结构，其定义自然遵循标记的区间顺序的生成函数。定义了投票矩阵上的一个符号逆对合。我们证明了在这种对合下固定的矩阵是双射的，它们具有标记的区间顺序，并且它们分解成一对由置换和逆表组成的矩阵。为了充分分类这样的对，结果有关的枚举排列具有给定的一组上升底部。这允许一个新的公式的数量标记的间隔订单。
2014-10-21 math.CO
Combinatorial proofs on the joint distribution of descents and inverse descents
本文通过观察排列网格的内部结构，给出了 $A_{n,i,j}$ 递推关系的组合证明，并利用该构造性方法进一步得到对合数 $I_{n,k}$ 与不动点自由对合数 $J_{2n,k}$ 递推关系的组合解释。
2024-10-04 math.CO
Generalized Staircase Tableaux: Symmetry and Applications
我们定义了一些相关的组合对象，其中每一个拥有一个令人惊讶的对称性。我们包括几个应用程序，如组合的解释某些不动点的对合$ω$的环对称函数，以及某些斜舒尔函数和斜$Q$ -舒尔函数之间的关系。我们给出了这些$Q$ -Schur函数的$t$ -变形，并证明了它是Schur正的，包括Schur系数的组合描述。我们的结果的一个推论是斜$Q$ -Schur函数的相等性：对于$μ\subseteq λ$为$Q_{λ+δ/μ+ δ}=Q_{λ'+δ/μ' + δ}$，对于某些$n > l(λ)$为$δ=(n,\ldots,1)$.
2018-09-11 math.CO
Revisiting $q$-Derangement Numbers via Decorated Permutations
在装饰排列背景下，不使用q-二项式反演公式，直接给出Gessel–Reutenauer–Wachs公式的组合证明，核心基于带固定数量符号不动点的装饰排列的主指标生成函数及对合，回答了Chen的问题。
2026-08-12 math.CO
Combinatorial proofs of inverse relations and log-concavity for Bessel numbers
设第二类Bessel数B（n，k）为[n]的集合划分为k个大小为1或2的块的个数，第一类Bessel数b（n，k）为n阶Bessel多项式中的某个系数.本文证明了Bessel数满足Stirling数的两个性质：两类Bessel数通过逆公式联系起来，第一类和第二类Bessel数都构成对数凹序列。通过构造反号对合，我们证明了逆公式。本文回顾了Krattenthaler对第二类Bessel数的对数-π的注入，并给出了第一类无号Bessel数的对数-π的一个新的显式注入.
2004-06-20 math.CO
Noncrossing Trees and Noncrossing Graphs
我们给出了一个奇偶反转对合的非交叉树，导致一个公式的组合解释的非交叉树和对称三元树在回答Hough提出的一个问题。我们使用的表示Panholzer和Nickinger的非交叉树，并找到一类非交叉树之间的对应关系，称为正确的oncrossing树，和一组对称的三棵树。本文的第二个结果是连通非交叉图上的奇偶反转对合，它导致了具有给定边数和下降数的非交叉树的数目与具有给定顶点数和边数的连通非交叉图的数目之间的关系。
2005-09-30 math.CO
The rainbow connection number of the power graph of a finite group
研究了有限群$G$的幂图$Γ_G$的彩虹连通数.当$G$有最大对合或幂零时，我们确定了$Γ_G$的彩虹连接数;当$G$没有最大对合时，我们证明了$Γ_G$的彩虹连接数至多为3.给出了某些非幂零群的幂图的彩虹连通数。
2015-07-31 math.CO
Combinatorial structure of Kirillov-Reshetikhin crystals of type D_n(1), B_n(1), A_{2n-1}(2)
给出了D_n（1），B_n（1）和A_{2n-1}（2）型Kirillov-Reshetikhin晶体B^{r，s}的组合结构.这是通过构造D_n（1）（resp. B_n（1）或A_{2n-1}（2））交换0和1节点的Dynkin图。对合σ是根据新的正负图来定义的，这些图支配D_n到D_{n-1}（分别是）。B_n至B_{n-1}，或C_n至C_{n-1}）支化。同时也表明B^{r，s}是理想的晶体。这些晶体已经在MuPAD-Combinat中实现;在许多示例中讨论了实现。
2007-10-24 math.CO math.QA
321-avoiding affine permutations and their many heaps
本文研究了$321$ -避免仿射置换，并利用组合方法证明了它们关于反转数的计数公式。这是在两个不同的方式，都涉及到Viennot的理论堆。首先，我们使用一定数量的单体和二聚体编码这些排列。这种方法专门用于仿射对合的情况。对于第二个证明，我们引入周期性的多角形，这是新的组合对象的独立利益。我们列举他们通过扩展的方法Bousquet-Mélou和Viennot用于经典的crosspolyominoes。我们最终建立了这些新的对象和$321$之间的连接-避免仿射置换。
2017-10-10 math.CO
The "Young" and "reverse" dichotomy of polynomials
在拟对称舒尔函数的研究中出现的“翻转和反转”对合提供了一个我们称之为多项式或拟对称函数的基的“Young”和“反转”变体之间的通道。基于这一观点，这已经发现最近的应用研究的$q$ -类似物的组合霍普夫代数和推广的双重完美的功能，我们开发和探索杨类似物的著名基地多项式。我们证明了几个组合公式的杨模拟的关键多项式，表明它们形成的生成函数的左键，并提供了一个代表性理论的解释，杨关键多项式的轨迹上的某些模块。我们还给出了舒伯特多项式的Young类似物的组合公式，包括它们的晶体图结构。此外，我们确定（反向）基地和他们的年轻同行的交叉点，进一步澄清他们彼此之间的关系。
2021-05-09 math.CO
Flip actions and Gelfand pairs for affine Weyl groups
比较了$\widetilde{C}_{n}$型仿射外尔群在三角剖分、树、字和排列上的几种组合作用。解决大卫沃根的问题，我们表明，模自然对合，这些置换表示是多重性自由。证明使用了$\widetilde{C}_{n}$和$\widetilde{B}_n$型仿射外尔群中Gelfand子群的一般构造。
2021-11-29 math.CO
Kazhdan-Lusztig R-polynomials for pircons
这项工作的目的是为Kazhdan-Lusztig R-多项式的一些类似物和推广提供一个共同的组合框架，这些类似物和推广是自这些显着的多项式引入以来出现的（例如，抛物型Kazhdan-Lusztig R-多项式、锆石的Kazhdan-Lusztig R-多项式和用于不动点自由对合的Kazhdan-Lusztig-Vogan多项式）。
2019-07-01 math.CO math.RT
Combinatorial Nullstellensatz modulo prime powers and the Parity Argument
我们提出了新的推广奥尔森定理和阿隆的组合零点的后果。这些使我们能够扩展他们的一些组合应用的条件模素数的条件模素数的权力。我们分析了这类组合问题对应的计算搜索问题，证明了寻找度约束子图模$2^d$（如$2^d$ -可除子图）的问题和搜索$\mathbb{F}_2$上的组合零点问题属于复杂性类多项式奇偶论证（PPA）.
2014-02-18 cs.CC math.CO math.NT
Double Catalan monoids
在本文中，我们定义和研究我们所谓的双重加泰罗尼亚么半群。这个幺半群是从0-Hecke幺半群到二元关系幺半群的自然映射的图像。我们表明，双加泰罗尼亚幺半群提供了一个代数化的（组合）集的4321-避免排列和相关的组合学的各种分支的加泰罗尼亚数的组合学和组合的排列。特别地，我们给出了Dyck路径上Kreweras对合的一阶导数、4321-避免对合和Barnabei { \em et al.}关于Dyck路径的容许对我们计算一个演示文稿，并确定一个有效的双重加泰罗尼亚幺半群表示的最小维数。我们还确定了0-Hecke幺半群的有效表示的最小维数。
2011-11-28 math.CO math.GR math.RT
The largest singletons in weighted set partitions and its applications
最近，Deutsch和Elizalde研究了排列的最大和最小不动点。受他们工作的启发，我们考虑了加权集合划分中的类似问题。令$A_{n,k}(\mathbf{t})$表示$[n+1]$上具有最大单体$\{k+1\}$的分区的总权重。本文利用投影算子和组合方法，得到了$A_{n,k}(\mathbf{t})$的显式公式和许多涉及$A_{n,k}(\mathbf{t})$的组合恒等式.作为应用，我们研究了置换、对合和标记森林等三种特殊情况。特别是在置换的情况下，我们得到一个令人惊讶的身份类似的Riordan身份有关的树枚举，即，\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D_{k+1}(n+1)^{n-k} &=& n^{n+1}, \end{eqnarray*}其中$D_{k}$是$k$ -th排列数或排列数的$\{1,2,\dots, k\}$没有不动点。
2010-07-08 math.CO
Faà di Bruno's formula and inversion of power series
Faà di Bruno公式给出了两个实值函数的复合导数的表达式。在本文中，我们证明了一个多变量和合成版本的Faà di Bruno的公式在更高的维度，提供了一个组合表达式的衍生物的链组成$F^{(1)} \circ \ldots \circ F^{(m)}$的功能$F^{(l)} : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$的总和标记树。我们给出了这个公式的几个应用，包括多元幂级数反演的一个新的对合公式。我们使用这个框架来概述一个组合的方法来研究可逆的多项式映射，给出一个纯粹的组合重述的雅可比猜想。我们的方法自然延伸到非交换的情况下，我们证明了一个自由版本的Faà di Bruno的公式为多元幂级数在自由indeterminates，并使用此公式作为一种工具，获得一个新的反演公式的自由幂级数。
2022-10-13 math.CA math.CO math.PR
Linear non-homogenous patterns and prime power generators in numerical semigroups associated to combinatorial configurations
证明了与组合构形相关的数值半群满足一族非线性对称模式。此外，这些数值半群的研究两个特定类别的组合配置。
2012-12-16 math.CO math.GR
Asymptotic expansions relating to the lengths of longest monotone subsequences of involutions
本文研究了无固定点置换的最长单调子序列长度的渐近展开，通过广义解析去泊松化方法，得到Tracy-Widom分布F_β的展开项表达式。
2024-08-05 math-ph math.CO math.MP
Combinatorial operators for Kronecker powers of representations of $§_n$
我们提出了组合算子的对称群的不可约表示的Kronecker积的扩展。这些组合算子定义在对称函数环中，作用在Schur函数基上。这导致了一个组合描述的不可约表示的克罗内克权力的分区（n-1，1），专门的概念，以前定义的杨氏格振荡tableaux。孙达拉姆我们称我们的专门化为{ \it Kronecker tableaux}。他们的组合分析得出了形式为${\c^{(n-1,1)}}^{\otimes k}$的克罗内克幂中任何不可约表示的多重性的枚举结果。
2005-03-15 math.CO math.RT
