Noncommutative algebras related with Schubert calculus on Coxeter groups
对于任何有限Coxeter系统$(W,S)$，我们构造了一个特定的非交换代数，称为{ \it括号代数}，以及一族交换元素，称为{ \it Dunkl元素}。Dunkl元生成一个代数，它与群$W.$的余不变代数正则同构.我们对经典Coxeter群和$I_2(m)$证明了这个猜想.我们定义了一个“量子化”和一个多参数的变形，我们的建设，并表明，对于李群的经典型和$G_2,$的代数生成的Dunkl元素在量子括号代数是规范同构的小量子上同调环的相应的标志品种，如B。Kim.对于晶体学Coxeter系统，我们定义了相应括号代数的{ \it量子Bruhat表示}。本文较详细地研究了$B_n$ -括号代数、$D_n$ -括号代数和$G_2$ -括号代数的关系和结构，并作为应用，在$B_n$ -括号代数中发现了{ \it Pieri型公式}.作为推论，我们得到了任意$B_n$ -Schubert类与某些特殊类相乘的Pieri型公式.我们的Pieri型公式是A. Lascoux和M. P. Schützenberger对于$A.$型的旗簇我们还引入了一个括号代数的超级版本以及一族成对反交换元素，它描述了S意义下的“有限Coxeter群上的非交换微分几何”。马吉德
2003-11-10 math.CO
Sums of Schubert structure constants with bounded Coxeter length
针对Pak-Robichaux提出的有界逆序数Schubert结构常数之和为多项式的结论，研究给出一种概念性新证明，计算了$γ_k(n)$首项且可推广到所有经典李型。
2025-06-16 math.CO math.RT
Coxeter groups and Billey-Postnikov decompositions
本文综述了Billey-Postnikov分解在光滑Schubert簇分类计数、反演超平面排列及排列模式避免等领域的应用。
2024-09-04 math.CO
Transition formulas for involution Schubert polynomials
旗簇上的正交群和辛群的轨道分别与对称群$S_n$中的对合和无不动点对合成双射。Wyser和Yong描述了这些轨道的闭包的上同调类的多项式表示，我们将其表示为$\hat{\mathfrak{S}}_y$（称为对合舒伯特多项式）和$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt FPF}_y$（称为不动点自由对合舒伯特多项式）。我们的主要结果是将$\hat{\mathfrak{S}}_y$（分别为$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt FPF}_y$）与任何$y$ -不变线性多项式的乘积分解为其他对合Schubert多项式的线性组合的显式公式。这些身份作为类似物的Lascoux和Schützenberger的过渡公式舒伯特多项式，并导致一个自足的代数证明的非平凡等价的几个定义$\hat{\mathfrak{S}}_y$和$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt FPF}_y$出现在文献中。我们的公式还暗示组合身份约对合字，某些变化的约化字的对合$S_n$。我们构造了基于Little映射的对合词上的算子，从而双射地证明了这些恒等式。我们的主要定理的证明依赖于一些新的技术成果，扩展工作的Incitti，覆盖关系的Bruhat秩序的$S_n$限制对合。
2018-07-07 math.CO math.RT
Partial order on involutive permutations and double Schubert cells
本研究发现对称群中对合的偏序（源于Borel子群作用于平方零上三角矩阵的轨道闭包含序），与两个格拉斯曼流形直积中B-轨道闭包含序对应的对合偏序一致，并建立了二者的几何联系。
2024-05-14 math.CO
Recognizing Right-Angled Coxeter Groups Using Involutions
我们考虑的问题，确定是否一个给定的组（特别是一个生成的对合）是一个直角Coxeter群。我们描述了一个群不变量，对合图，我们的特征的直角Coxeter群的对合图。我们用这个特征来描述一个过程，为一个给定的组或证明，一个不可能存在的候选人直角Coxeter介绍。我们提供一些初步的应用。此外，我们还给出了直角Coxeter群定义图的刚性的一个初等证明。我们还恢复了一个结果，即如果定义图不包含SIL，则Aut^0（W）是直角Coxeter群。
2015-12-03 math.CO math.GR math.GT
Boolean complexes of involutions
设（W，S）是Coxeter系统.我们介绍了布尔复的对合的W，这是一个类似的布尔复的W研究Ragnarsson和Tenner。通过应用离散莫尔斯理论，我们确定了包含所有有限Coxeter群的一类（W，S）的对合的布尔复形的同伦类型，发现其同伦类型是维数为|S| - 1的球的楔形.此外，我们发现简单的递推公式的数量的领域的楔形。
2021-09-13 math.CO
Coxeter combinatorics and spherical Schubert geometry
对于有限Coxeter系统和它的图节点的子集，我们定义球形元素（Coxeter元素的推广）。在猜想上，对于外尔群，球元在旗流形G/B中的Schubert簇的指标是，对于Levi子群的作用是球的。我们的证据的猜想，采用Demazure模块的组合学，和R。阿夫季耶夫-A Petukhov，M.坎河霍奇斯河Hodges-V. Lakshmibai，P. Karuppuchamy，P. Magyar-J. Weyman-A. Zelevinsky，N. Perrin，J. Stembridge，and B.十块在类型A中，我们与A的关键多项式建立联系。拉斯科- M.- P. Schützenberger，multiplicity-freeness，and split-symmetry in algebraic combinatorics.因此，我们援引A. Kohnert，V. Reiner-M. Shimozono和C.罗斯A永
2021-12-17 math.AG math.CO math.RT
Involution words: counting problems and connections to Schubert calculus for symmetric orbit closures
对合字是Coxeter群中对合的约化字的变体，最初由Richardson和Springer以“容许序列”的名义进行研究。它们是对合上的Richardson和Springer弱序极大链。这篇文章是关于对合词的系列文章的第一篇，主要讨论对合词的列举性质。我们定义对合类似物的几个对象相关的排列，包括Rothe图，本质集，舒伯特多项式，斯坦利对称函数。这些定义在对合的弱序中对某些区间有几何解释。特别是，我们的定义“对合舒伯特多项式”可以被看作是一个比利-Jockusch-斯坦利型公式的上同调类代表$\mathrm{O}_n$ -和$\mathrm{Sp}_{2n}$ -轨道封闭的标志品种，归纳定义在最近的工作怀瑟和杨。作为一个更一般的定理的特例，我们证明了有限对称群的最长元的对合Stanley对称函数是阶梯形Schur函数的乘积.这意味着有限对称群的最长元素的对合字的数目等于$B$型外尔群的某个不可约表示的维数。
2018-07-05 math.AG math.CO math.RT
A Pieri-type formula for isotropic flag manifolds
本文给出了奇正交或辛旗流形上的Schubert类与极大迷向子空间的Grassmannian中的特殊Schubert类相乘的公式。这也是将$B$型（相应地，$C$型）舒伯特多项式乘以舒尔$P$ -多项式$p_m$（相应地，舒尔$Q$ -多项式$q_m$）的公式。尺规作图法和中间结果使我们能够从经典旗流形的公式中最终推导出这一点。这些中间结果涉及的Bruhat秩序的Coxeter群${\mathcal B}_\infty$，身份的结构常数的舒伯特基础上同调，和交叉的舒伯特品种。我们显示这些身份如下从皮耶里型公式，除了一些“隐藏的对称性”的结构常数。我们的分析导致了一个新的偏序Coxeter群${\mathcal B}_\infty$和公式，许多这些结构常数。
1998-10-05 math.CO
Involutions in Coxeter groups
本文以高阶奇图刻画任意Coxeter群中对合的共轭类数，给出统一界、极值情形及多类群的计算公式。
2024-04-04 math.CO math.GR
Length-generating functions for twisted involutions of Coxeter groups
本文证明了有限秩Coxeter系统中扭曲对合的长度生成函数为有理函数，推导了类似抛物子群生长级数的递推关系，并推广到封闭子集，为Lusztig的幂级数恒等式提供了新证明。
2026-09-09 math.CO math.GR
Braid relations for involution words in affine Coxeter groups
我们描述了一个算法，以确定一个最小的“辫子关系”的跨度和保存所有套的对合字扭曲Coxeter系统的有限或仿射型。我们分类的情况下，其中添加最小的可能的“半辫子”关系的普通辫子关系产生一个生成集：在untwisted的情况下，这发生在Coxeter系统是有限的秩2或类型$A_n$，或仿射秩3或类型$\tilde A_n$。这些结果推广了Hu和Zhang最近关于有限经典情形的工作.
2017-11-21 math.CO math.GR math.RT
Weak order on groups generated by involutions
McGill University（麦吉尔大学）；Université du Québec à Montréal（魁北克大学蒙特利尔分校）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）
本文研究了involution系统中的弱序结构，探讨了其作为完全meet-semilattice的条件，并讨论了相关性质及开放问题。
2026-04-20 math.CO math.GR
Principal specializations of Schubert polynomials in classical types
A型舒伯特多项式作为约化字的加权和的主特化有一个显着的公式。采取适当的限制转换为一个身份的后稳定舒伯特多项式最近介绍林，李和Shimozono。本注记确定了后一个公式的一些类似物，用于经典类型B、C和D中舒伯特多项式的主要特化。我们还描述了格罗滕迪克多项式的一些更一般的等式。作为一个相关的应用，我们推导出了对合格罗滕迪克多项式的一个白日梦公式的简单证明。
2022-01-19 math.CO
Involution words II: braid relations and atomic structures
对合字是Coxeter群中扭曲对合的约化字的变体。他们自然出现在研究的布鲁哈特秩序，某些岩堀-赫克代数模块，并关闭轨道的旗帜品种。具体地说，对于具有自同构$*$的Coxeter群$W$中的任意扭曲对合$x$、$y$，我们关联一组对合字$\hat{\mathcal{R}}_*(x,y)$。这个集合是一组群元素$\mathcal{A}_*(x,y)$的约化字的不交并，我们称之为相对于$x$的$y$的原子。这些原子又包含在一个更大的集合$\mathcal{B}_*(x,y) \subset W$中，这个集合具有类似的定义，我们把它的元素称为赫克原子。我们的主要结果涉及集合$\hat{\mathcal{R}}_*(x,y)$和$\mathcal{A}_*(x,y) \subset \mathcal{B}_*(x,y)$的一些有趣的性质。对于有限Coxeter群，证明了$\mathcal{A}_*(1,y)$恰好由最小长度元$w \in W$组成，使得$w^* y \leq w$为Bruhat阶，并猜想了任意Coxeter群的一个更一般的性质.在$A$型中，我们描述了一组简单的条件，描述了所有对合$x,y \in S_n$的集合$\mathcal{A}_*(x,y)$的特征，给出了Can，Joyce和Wyser最近三个定理的共同推广。我们证明了对称群中固定对合的原子（相对于$x=1$）自然地…
2016-03-17 math.CO math.RT
Involution pipe dreams
对合舒伯特多项式表示完全旗簇中$K$ -轨道闭包的上同调类，其中$K$是正交或辛群。我们表明，他们也代表$T$ -等变上同调类定义的左上秩条件的对称或反对称矩阵的空间中的子簇。这种几何意味着这些多项式是变量$x_i + x_j$中单项式的正组合，我们给出了这种明确的公式，作为对合白日梦的新对象的总和。我们的公式类似于舒伯特多项式的Billey-Jockusch-Stanley公式。在Knutson和Miller的矩阵舒伯特簇的方法中，白日梦公式反映了这些簇的理想的Gröbner退化，并且我们在我们的设置中确定了类似的退化。
2021-08-11 math.AG math.CO math.RT
Presenting the cohomology of a Schubert variety
我们将[Borel '53]中关于广义旗流形的上同调环的简短表述推广到其任意Schubert簇的上同调环的相对简短的表述。通过引入Coxeter群元素的本质集，推广了[Fulton '92]的置换定义，并给出了新的刻画，从而使我们的结果得到了根系一致的表述.在类型A中得到进一步的改进。
2009-09-04 math.CO math.RA
Stanley symmetric functions for signed involutions
一个Coxeter群中的对合有一组相关的对合词，这是约化词的一个变体。这些词是饱和链的偏序首先考虑理查森和施普林格在他们的研究对称品种。在对称群中，对合词可以使用斯坦利引入的对称函数的适当类似物来枚举，以完成简化词的相同任务。我们适应这种方法的签署置换组。我们表明，对合字的最长元素的考克斯特组$C_n$是双射减少的话，最长的元素$A_n = S_{n+1}$，这是已知的双射与标准的表格的形状$(n, n-1, \ldots, 2, 1)$。
2019-06-24 math.CO math.RT
Universal graph Schubert varieties
我们考虑可逆线性映射$f : \mathbb{C}^n \to {(\mathbb{C}^n)}^*$的轨迹连同$\mathbb{C}^n$中的标志对$(E_\bullet, F_\bullet)$，使得各种限制$f : F_j \to E_i^*$具有指定的秩。识别一个可逆的线性映射，其图形被视为一个点，在格拉斯曼，我们表明，这些位点的封闭有上同调类所代表的回稳定舒伯特多项式林，李，和Shimozono。作为一种特殊情况，我们恢复Knutson，Lam和Speyer的结果，Stanley对称函数表示图Schubert簇的类。我们考虑类似的位点，其中$f$被限制为对称或斜对称。他们的类现在给出了回稳定版本的多项式介绍了怀瑟和勇代表类的轨道封闭的正交和辛群作用于类型A旗品种。利用Kazarian和Anderson与Fulton的退化轨迹公式，我们得到了这类多项式在vexillary情形下的新Pfiran公式.我们还给出了一个几何解释的对合斯坦利对称函数的Hamaker，Marberg，和作者：他们代表类的对合图舒伯特品种在各向同性Grassmannian。
2019-04-19 math.AG math.CO
Bar operators for quasiparabolic conjugacy classes in a Coxeter group
Coxeter群$W$在标准抛物子群的左陪集集合上的作用变形以定义具有特别简单形式的群的Iwahori-Hecke代数$\mathcal{H}$的模$\mathcal{M}^J$。Rains和Vazirani引入了拟抛物集的概念来刻画存在类似变形的$W$ -集;一个激励的例子是对称群中不动点自由对合的共轭类。Deodhar证明了模$\mathcal{M}^J$具有一定的反线性对合，称为bar算子，以及在该对合下的一定的基不变，这推广了$\mathcal{H}$的Kazhdan-Lusztig基。众所周知的意义，这一基础上的表示论，使它很自然地寻求延长Deodhar的结果，以quasipolabular设置。一般来说，找到这样一个扩张的障碍是存在一个适当的拟抛物类似的“酒吧经营者。在本文中，我们考虑了拟抛物杆算子的最自然的定义，并在这样的杆算子存在的假设下发展了一个“拟抛物Kazhdan-Lusztig基”理论。在此基础上，证明了扭对合的扭共轭类所给出的拟抛物$W$ -集存在期望意义下的bar算子。最后，我们证明了Coxeter群中拟抛物共轭类的几个分类结果。
2015-11-29 math.CO math.RT
Absolute order and involutions
Université Clermont Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）
本文研究Coxeter群中绝对序在特定区间上的限制，通过反交换元的抛物子群概念，对满足特定条件的反交换元进行特征化和分类。
2025-07-15 math.CO math.GR
Classification of Levi-spherical Schubert varieties
本研究针对完全旗流形中Levi-球面舒伯特簇的分类问题，给出组合分类结果，证实相关猜想并提出标准Coxeter元的新表述，证明采用关键多项式理论。
2021-04-20 math.AG math.CO math.RT
Fixed-point-free involutions and Schur P-positivity
作用在A型旗簇上的辛群的轨道由有限对称群中的无不动点对合所索引。这些轨道的闭包的上同调类具有类似于舒伯特多项式的多项式代表$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt{FPF}}_z$。证明了无不动点的对合Stanley对称函数$\hat{F}^{\tt{FPF}}_z$是Schur $P$ -正的，它是多项式$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt{FPF}}_z$的稳定极限.为此，我们构建了一个类似于Lascoux-Schützenberger树的模型，这是一种计算舒伯特多项式的代数递归。作为我们的证明的副产品，我们得到了一个Pfiran公式的几何兴趣$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt{FPF}}_z$时，$z$是一个不动点自由版本的格拉斯曼置换。我们还对无不动点的对合Stanley对称函数进行了分类，证明了在严格划分上，$\hat{F}^{\tt{FPF}}_z$分解为Schur $P$ -函数是关于优势阶的单三角函数.这些结果和证明反映了作者以前的工作有关的正交群作用的A型旗簇。
2018-07-30 math.CO math.RT
Cells in Coxeter groups I
本文的目的是对无限Coxeter群$W$中Kazhdan-Lusztig胞腔的组合结构有新的认识.我们的主要重点是一套$\D$杰出的对合在$W$，这是介绍了Lusztig在他的第一篇论文细胞仿射外尔群。我们猜想集合$\D$有一个简单的递归结构，并且可以从有限Coxeter群的特殊对合开始算法枚举。此外，每个元素的$\D$，我们分配一个显式定义的等价关系的集合上的$W$，共同决定分区的$W$到左（右）细胞。我们只能在特殊情况下证明这些推论，但即使从这些部分结果中，我们也可以推出一些有趣的推论。
2014-06-13 math.CO math.GR math.RT
Subword complexes in Coxeter groups
设（，）是一个Coxeter系统.一个有序的列表中的元素和一个元素中确定一个{ \em子字复杂}，在我们的文章介绍了格勒布纳几何的舒伯特多项式（数学AG/0110058）。子字复合物在这里被证明是同胚的球或领域，和他们的希尔伯特级数所示，以反映组合性能的减少表现在考克斯特群。本文在子字复形的单纯拓扑的背景下，得到了二重Grothendieck多项式的两个公式，其中一个是由Fomin和Kirillov提出的。提出了与子词复合体有关的一些开放性问题。
2003-09-16 math.AC math.CO math.GR
A Robinson-Schensted Correspondence for Partial Permutations
我们研究了与矩阵Schubert簇相关的Steinberg簇，并建立了Robinson-Schensted型对应关系$τ\leftrightarrow(Λ,\mathsf Q,\mathsf P)$ .这里，$τ$是大小为$p\times q$的部分置换，$Λ$是大小为$p+q$的可容许的带符号杨氏图，而$\mathsf P$（分别为$\mathsf Q$）大小为$p$的标准Young工作表（分别$q$），其形状由$Λ$确定。通过将矩阵Schubert簇嵌入到Schubert簇中，我们发现了经典Robinson-Schensted-Knuth对应的组合数学与我们的双射之间的密切关系。我们还证明了对合$(Λ,\mathsf Q,\mathsf P)\mapsto(Λ^\vee,\mathsf P,\mathsf Q)$对应于矩阵Schubert簇上的投影对偶。
2020-10-26 math.AG math.CO
Toric Schubert Varieties in Partial Flag Varieties
Tulane University（杜兰大学）；Jaypee Institute of Information Technology（贾伊皮信息理工学院）；Indian Institute of Technology Delhi（德里印度理工学院）
本文研究半单代数群G的偏旗形varieties G/P中的托里克Schubert变种，通过Deodhar分解和Pasquier工作给出其fan的显式描述，获得光滑性条件及晶格性质，并应用于球形和horospherical Schubert变种的光滑性检查。
2026-05-02 math.AG math.CO
Coxeter-Catalan combinatorics and Temperley-Lieb algebras
我们引入广义型$A_n$非交叉分区（即，与任意标准Coxeter元素）和完全交换元素的相同类型之间的双射。后者索引了经典Temperley-Lieb代数的图基，而对于每一个标准Coxeter元素的选择，相应的非交叉划分也索引了一个基，由$n+1$链上的Artin辫群的对偶Garside结构（与标准Coxeter元素的选择相关）的简单元素在Temperley-Lieb代数中的图像给出。然后，我们表明，我们的双射来自三角基地之间的变化图的基础和各种基地索引的非交叉分区，明确描述的订单给三角。这些订单介绍了在一份联合文件与威廉姆斯和提供异国情调的晶格结构的非交叉分区。几个组合对象介绍了沿途，包括一个对合的集合上的非交叉分区。
2016-08-16 math.CO math.RA
Brion atoms for classical types
HKUST（香港科技大学）
本文统一描述了经典群作用下旗簇轨道闭包的Brion公式中出现的Weyl群元素集（Brion原子），重点处理了D型情况，并引入了对合Schubert多项式。
2026-10-20 math.CO math.RT
Variations of the Poincaré series for affine Weyl groups and q-analogues of Chebyshev polynomials
设$(W,S)$是一个Coxeter系统，并将其Poincaré级数记为$P_W(q)$。Lusztig证明了商$P_W(q^2)/P_W(q)$等于某个幂级数$L_{W}(q)$，该幂级数通过在记录$W$中对合的长度和绝对长度的生成函数中专门化一个变量来定义。证明有限Coxeter群的这个结果的最简单的归纳方法建议一个自然的二元推广$L^J_W(s,q) \in \mathbb{Z}[[s,q]]$取决于一个子集$J\subset S$。这个新的幂级数专门用于$L_W(q)$时$s=-1$和明确给出的有理函数的总和对合是最小长度代表的双陪集的抛物子群$W_J$在$W$。当$ W$是仿射Weyl群时，我们考虑了重整化幂级数$T_{ W}(s,q) = L^J_W(s,q) / L_W(q)$，其中$J$由相应的有限Weyl群的生成集给出.我们表明，当$W$是一个仿射Weyl群的类型$A$，幂级数$T_W(s,q)$实际上是一个多项式在$s$和$q$与非负系数，这原来是一个$q$ -模拟最近研究的切比雪夫多项式的第一类，出现在一个完全不同的背景下。
2016-08-17 math.CO
Hall-Littlewood polynomials, affine Schubert series, and lattice enumeration
本文引入Hall-Littlewood-Schubert级数，通过变量替换解决p-adic格枚举等问题，提供Hecke级数新公式，并作为Stanley-Reisner环Hilbert级数的q-模拟，推广Littlewood恒等式。
2025-04-25 math.CO math.GR math.NT
Gröbner geometry of Schubert polynomials
我们的主要定理提供了一个单一的几何设置，其中多项式代表的Schubert类的标志流形的积分上同调环是唯一确定的，并有积极的几何原因的系数。这导致舒伯特多项式及其相关组合学的自然性的几何解释。给定S_n中的一个置换w，我们考虑一个行列式理想I_w，它的生成元是一般n × n矩阵（充满自变量）中的某些子式.利用“多重度”作为向量空间上环面等变上同调类的简单代数替代，我们的主要定理对每个理想I_w描述了：-用普通和双重Schubert和Grothendieck多项式表示的各种分次多重度和Hilbert级数; -由一般n × n矩阵中的子式组成的Gröbner基;- S_n中初始理想的Stanley-Reisner复形;和-一个程序归纳弱Bruhat秩序列出这一复杂的方面，从而通过组合图上的正递归生成舒伯特多项式的系数。我们证明了初始理想是Cohen-Macaulay，通过将Stanley-Reisner复形确定为一种特殊的“Sn中的子字复形”，我们对任意Coxeter群定义了它，并通过给出一个显式的顶点分解证明了它是可壳的.我们还几何地证明了一个一般的积极性声明的多程度的子计划。
2003-09-17 math.AC math.AG math.CO
The "Young" and "reverse" dichotomy of polynomials
在拟对称舒尔函数的研究中出现的“翻转和反转”对合提供了一个我们称之为多项式或拟对称函数的基的“Young”和“反转”变体之间的通道。基于这一观点，这已经发现最近的应用研究的$q$ -类似物的组合霍普夫代数和推广的双重完美的功能，我们开发和探索杨类似物的著名基地多项式。我们证明了几个组合公式的杨模拟的关键多项式，表明它们形成的生成函数的左键，并提供了一个代表性理论的解释，杨关键多项式的轨迹上的某些模块。我们还给出了舒伯特多项式的Young类似物的组合公式，包括它们的晶体图结构。此外，我们确定（反向）基地和他们的年轻同行的交叉点，进一步澄清他们彼此之间的关系。
2021-05-09 math.CO
Key and Lascoux polynomials for symmetric orbit closures
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Hokkaido University（北海道大学）
本文引入了与辛和正交轨道闭包相关的位移键多项式，展示了其作为Schubert多项式的位移类的线性组合，并探讨了K理论扩展及与Schur P-和Q-多项式的关系。
2026-06-27 math.CO math.RT
Combinatorial Proof of the Inversion Formula on the Kazhdan-Lusztig R-Polynomials
令$W$是Coxeter群，对于$u,v\in W$，令$R_{u,v}(q)$是由$u$和$v$索引的Kazhdan-Lusztig $R$-多项式。本文给出了Kazhdan和Lusztig关于$R$-多项式的反演公式的一个组合证明。这个问题是Brenti提出的。基于Dyer关于$R$-多项式的增长Bruhat路径的组合解释，我们重新构造了关于$V$-路径的反演公式.从$u$到$v$的具有底部$w$的$V$-路径是指一对$(Δ_1,Δ_2)$布鲁哈特路径，使得$Δ_1$是从$u$到$w$的递减路径，而$Δ_2$是从$w$到$v$的递增路径。我们发现$V$-路径上的反射原理，从而导致反演公式的组合证明。此外，我们给出了反射原理的两个应用。首先，我们限制这个对合的$V$-路径从$u$ $v$具有最大长度。这为等分布性质提供了一个直接的解释，即任何非平凡区间$[u,v]$的偶数长度元素与奇数长度元素一样多。这个属性是由维尔马在他的推导莫比乌斯函数的Bruhat秩序。其次，利用对称群的反射原理，我们通过将求和限制在以给定元素结尾的置换上，得到了反演公式的一个改进。
2013-03-30 math.CO
