Weighted averages of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ automorphic kernel, Part I: non-oscillatory functions
本文证明了一个计算由 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ 同余子群参数化的和的加权平均的定理，通过将谱方法直接应用于自守核以更好地保留对称性，并应用于二次多项式获得了关于最大素因子和根等分布的新结果。
2025-05-30 math.NT
Congruences involving alternating multiple harmonic sum
我们表明，对于任何素数素数$p\not=2$ $$\sum_{k=1}^{p-1} {(-1)^k\over k}{-{1\over 2} \choose k} \equiv -\sum_{k=1}^{(p-1)/2}{1\over k} \pmod{p^3}$$通过表达l.h.s.作为交替的多个谐波和的组合。
2009-12-24 math.NT
Differences of Harmonic Numbers and the $abc$-Conjecture
我们的主要灵感来源于Hendrik Lenstra关于调和数的演讲，调和数是指只有两个或三个素因子的数。Gersonides在675年前证明了一个可以用四种方式写成调和数的差：2-1，3-2，4-3和9-8。我们调查的数字以外的一个可以或不能被写入不同的谐波数，我们看看他们的连接的$abc$猜想。我们发现只有十一个小于100的数字不能写成调和数的差（我们称这些数字为$ndh$ -数字）。最小的$ndh$ -数是41，这也是欧拉最大的幸运数，是一个非常有趣的数字。然后我们证明了有无穷多个$ndh$ -数，其中一些是与$41$模$48$全等的素数。对于每一个费马或梅森素数，我们要么证明它是一个$ndh$ -数，要么找到它可以写成调和数差的所有方法。最后，正如Lenstra在他的演讲中所建议的那样，我们将Gersonides定理解释为“$abc$ -猜想在调和数集合上为真”，并且我们通过向调和数集合添加以下集合来扩展$abc$ -猜想为真的集合（一次一个）：$ndh$ -数的有限集，$48k+41$形式的素数的无限集，费马素数的集合和梅森素数的集合。
2017-08-02 math.NT
On Eswarathasan--Levine and Boyd's conjectures for harmonic numbers
该研究为三个调和数猜想提供数值证据，对p≤16843证明了其中两个猜想（至多一个例外），枚举了500万以内的调和素数验证密度猜想，大幅拓展了此前的计算范围。
2025-03-19 math.NT
$p$-adic valuation of harmonic sums and their connections with Wolstenholme primes
本研究围绕Eswarathasan-Levine关于调和数$p$进赋值的猜想展开，用模算术方法分别证明了非Wolstenholme素数与Wolstenholme素数情形下，$H(p^mn)$的$p$进赋值在$H(n)$的$p$进赋值为3时的反常渐近行为。
2023-03-27 math.NT
Prime-Weighted Interference Patterns Inspired by the Euler Product
本文提出基于欧拉乘积的素数加权振荡模型，通过分析权重指数x=1/2的平衡区域，揭示了高能与过阻尼行为之间的过渡特性。
2026-02-25 math.NT
A Curious Congruence Involving Alternating Harmonic Sums
设$p$是素数，${\mathcal{P}_{p}}$是与$p$互素的正整数的集合.我们建立了以下有趣的同余式\[\sum\limits_{\begin{smallmatrix} i+j+k={{p}^{r}} i,j,k\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{{{(-1)}^{i}}}{ijk}}\equiv \frac{{{p}^{r-1}}}{2}{{B}_{p-3}}\, (\bmod \, {{p}^{r}}).\]
2014-07-22 math.NT
Calculations relating to some special Harmonic numbers
我们报告的结果的计算机搜索素数$p$划分的调和数$H_{\lfloor p/N \rfloor}$与小$N > 1$。
2017-04-02 math.NT
A congruence involving harmonic sums modulo $p^αq^β$
在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式：对于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} Z(p^{r})\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*}，其中$ Z(n)=\sum\limits_{i+j+k=n\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{n}}}\frac{1}{ijk}$和$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文得到了不同奇素数$p,~q$与正整数$α,~β$，\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 2(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*}的一个同余关系，以及\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 0\pmod{p^αq^β}. \end{equation*}成立的充要条件。最后，我们提出了一个猜想：对于$n>1$与奇素数幂$p^α||n$，$α\geq1$，\begin{eqnarray} \nonumber Z(n)\equiv \prod\limits_{q|n\atop{q\neq p}}(1-\frac{2}{q})(1-\frac{1}{q^{3}})(-…
2016-11-28 math.NT
On a Double Series Representation of the Natural Logarithm, the Asymptotic Behavior of Hölder Means, and an Elementary Estimate for the Prime Counting Function
我们在数论中提出了许多新的结果，包括自然对数的二重级数公式和基于黎曼ζ函数的函数方程的Hölder平均的证明。我们找到了一个调和平均模拟切比雪夫不等式的主要计数函数涉及的欧拉-Mascheroni常数。此外，我们定义了一个函数的所有正整数的Hölder平均到一个给定的数字，并研究其渐近行为，发现两个不同的模式是由调和平均分开。此外，还讨论了该函数在零点处的性质，发现了一个涉及黎曼ζ函数的公式，并利用黎曼函数方程证明了该函数的连续性.受交替调和级数的启发，我们找到了自然对数的二重级数公式，从而得到了涉及黎曼ζ函数、二项式系数和多项式的恒等式。
2022-11-19 math.NT
Super congruences involving alternating harmonic sums modulo prime powers
在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式，用于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} \sum\limits_{i+j+k=p^{r}\atop{i,j,k\in \mathcal{P}_{p}}}\frac{1}{ijk}\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} (\bmod p^{r}), \end{equation*}其中$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文对任意奇素数$p$与正整数$r$，\begin{equation*} \sum\limits_{i+j+k=p^{r}\atop{i,j,k\in \mathcal{P}_{p}}}\frac{(-1)^{i}}{ijk} \equiv \frac{1}{2}p^{r-1}B_{p-3} (\bmod p^{r}). \end{equation*}建立了交错调和和的组合同余式。对任意奇素数$p\geq 5$与正整数$r$，我们有\begin{align} &4\sum\limits_{i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}=2p^{r}\atop{i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}\in \mathcal{P}_{p}}}\frac{(-1)^{i_{1}}}{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}+3\sum\lim…
2015-03-11 math.NT
A proof of a simple conjecture about harmonic numbers
证明了对任意素数$p\geq 5$，使得$p\mid H_n$是有限的自然数集合$n$.
2017-08-09 math.NT
Congruences Involving Multiple Harmonic Sums and Finite Multiple Zeta Values
设$p$是素数，${\mathfrak P}_p$是与$p$互素的正整数的集合.最近，Wang和Cai证明了：对每一个正整数$r$和素数$p>2$ $$ \sum_{\substack{i+j+k=p^r\\ i,j,k\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{ijk} \equiv -2p^{r-1} B_{p-3} \pmod{p^r}, $$，其中$B_{p-3}$是$(p-3)$ -rd Bernoulli数.本文证明了下列类似结果：设$n=2$或$4$ .然后，对每一个正整数$r\ge n/2$和素数$p>4$ $$ \sum_{\substack{i_1+\cdots+i_n=p^r\\ i_1,\dots,i_n\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{i_1i_2\cdots i_n} \equiv -\frac{n!}{n+1} p^{r} B_{p-n-1} \pmod{p^{r+1}}. $$，利用整数关系检测工具PSLQ，我们证明了对大整数$n$的推广应该包含由Bernoulli数生成的有限重zeta值.
2016-01-08 math.NT
The rational torsion subgroups of Drinfeld modular Jacobians and Eisenstein pseudo-harmonic cochains
设$\frak{n}$是$\mathbb{F}_q[T]$的无平方理想。研究了Drinfeld模曲线$X_0(\frak{n})$的雅可比簇$J_0(\frak{n})$的有理扭子群.证明了对任何不整除$q(q-1)$的素数$\ell$，此群的$\ell$ -准素部分与尖除子类群的准素部分重合.我们进一步确定的结构的$\ell$ -主要部分的尖形除子类群的任何素数$\ell$不划分$q-1$。
2015-12-04 math.NT
A New Super Congruence Involving Multiple Harmonic Sums
令${\mathcal{P}_{n}}$表示与$n$互素的正整数的集合。令$B_{n}$为第$n$个伯努利数。对任意的素数$p\ge 5$和$r\ge 2$，我们证明了\begin{equation} \sum\limits_{\begin{smallmatrix} {{l}_{1}}+{{l}_{2}}+\cdots +{{l}_{5}}={{p}^{r}} {{l}_{1}},\cdots ,{{l}_{5}}\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{1}{{{l}_{1}}{{l}_{2}}{{l}_{3}}{{l}_{4}}{{l}_{5}}}}\equiv -\frac{5!}{6}{{B}_{p-5}}{{p}^{r-1}} \pmod{{{p}^{r}}}. \end{equation}这给出了Wang，Cai和Zhao发现的一族超同余的推广.
2014-10-12 math.NT
New Congruences on Multiple Harmonic Sums and Bernoulli Numbers
令${\mathcal{P}_{n}}$表示与$n$互素的正整数的集合。令$B_{n}$为第$n$个伯努利数。对任意素数$p \ge 11$和整数$r\ge 2$，证明了$$ \sum\limits_{\begin{smallmatrix} {{l}_{1}}+{{l}_{2}}+\cdots +{{l}_{6}}={{p}^{r}} {{l}_{1}},\cdots ,{{l}_{6}}\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{1}{{{l}_{1}}{{l}_{2}}{{l}_{3}}{{l}_{4}}{{l}_{5}}{l}_{6}}}\equiv - \frac{5!}{18}p^{r-1}B_{p-3}^{2} \pmod{{{p}^{r}}}. $$这推广了一类奇异同余.我们还得到了其他有趣的同余涉及多重调和伯努利数。
2016-01-27 math.NT
New harmonic number identities with applications
当$\sum_{j=1}^r λ_j\leq 5$满足时，我们确定了齐次多重调和和$\sum_{k=1}^n \prod_{j=1}^r H_k(\{1\}^{λ_j})$乘积和的显式公式.我们应用这些身份的研究两个同余模幂的一个素数。
2009-12-13 math.NT
On a congruence involving harmonic series and Bernoulli numbers
在2003年，Zhao发现了一个涉及调和级数和Bernoulli数的奇怪的同余式：对于任何奇素数$p$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,p)=1\ı+j+k=p}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3} \pmod{p},$$其中$B_n$是第$n$个Bernoulli数。Wang和Cai在2014年推广了这个同余式，Cai，Shen和Jia在2017年分别用奇素数幂和两个奇素数幂的乘积替换了求和和模中的奇素数$p$。特别地，蔡、沈和贾提出了一个代数同余：对任意正整数$n$，有一个奇素因子$p$，使得$p^r \parallel n$，其中$r\ge 1$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,n)=1\ı+j+k=n}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3}\cdot \frac{n}{p}\cdot \prod_{\substack{\text{prime $q\mid n$}\\q\ne p}}\left(1-\frac{2}{q}\right)\left(1-\frac{1}{q^3}\right) \pmod{p^r}.$$本文建立了他们猜想的如下推广：对于具有奇素数因子$p$的任何正整数$n$，使得$p^r \parallel n$，其中$r\g…
2021-10-18 math.NT
An explicit theory of $π_{1}^\mathrm{un,crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,μ_{N},\infty\})$ - II-3 : Sequences of multiple harmonic sums viewed as periods
设$X=\text{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup μ_{N})\text{ }/\text{ }W(\mathbb{F}_{q})$，其中$N \in \mathbb{N}^{\ast}$和$\mathbb{F}_{q}$的特征$p$与$N$互素，且包含一个本原$N$的单位根.我们建立了$X$的亲幂幺基本广群的结晶Frobenius的显式理论。在第一部分中，我们已经明确计算了弗罗贝纽斯作用量。在第二部分中，我们使用这种计算来理解明确的代数关系分圆$p$ -进多个zeta值。我们使用了伽罗瓦周期理论的思想和词汇，在我们的框架中，某些素数加权多重调和和序列被当作周期来处理。在本II-3中，我们定义了三个概念，分别使我们的三种类型的计算本质化：一个“连续的”广群$π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})^{\hat{\text{cont}}}$，一个$π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})$的“局部化”$π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})^{\loc}$，以及一个$π_{1}^{\un,\DR}(X_{K})$的“在零处的有理对应物”$π_{1}^{\un,\RT,0}(X_{K})$。作为第二部分的一个应用和结论，我们证明和澄清了我们的伽罗瓦理论观点，特别是，我们构造了素加权多重调和和序列的周期映射和状态周期图。
2016-08-25 math.NT
Sums of Kloosterman sums over primes in an arithmetic progression
对于$q$素数、$X \geq 1$和互质$u,v \in \mathbb{N}$，我们估计和\begin{equation*} \sum_{\substack{p \leq X \substack p \equiv u \hspace{-0.25cm} \mod{v} p \text{ prime}}} \text{Kl}_2(p;q), \end{equation*}，其中$\text{Kl}_2(p;q)$表示模为$q$的归一化Kloosterman和。这是一个稀疏的模拟最近的定理由于Blomer，Fouvry，Kowalski，Michel和Miliević显示取消之间的总和Kloosterman和素数在短时间间隔。我们使用的优化参数的启发Fouvry，Kowalski和米歇尔。我们的论证比较了涉及Kloosterman和的双线性型的三个不同的界。在这种方法中的第一个输入是一个双线性界，我们证明使用一致渐近的振荡积分由于Kiral，Petrow和杨。在对比的情况下，当和运行在所有素数，我们利用消除的总和固定相位积分，从Voronoi型求和的结果。第二个和第三个输入是由于Fouvry-Kowalski-Michel和Kowalski-Michel-Sawin的Kloosterman和的深双线性界。
2018-06-06 math.NT
The Biharmonic mean
我们简要介绍了一些著名的手段和他们的性质，重点是与整数序列的关系。特别地，从调和平均导出的调和数激发了一种新的平均的定义，我们称之为双调和平均。双调和平均允许引入双调和数，为素数提供了一个新的刻画。此外，我们突出了一些有趣的整除性质，我们的半素双调和数的特征，显示他们的关系与线性递归序列，解决某些丢番图方程。
2016-01-12 math.NT
Wolstenholme primes and group determinants of cyclic groups
本文给出了 Wolstenholme 素数的一个新等价定义，将其与循环群群行列式的项数以及特定受限分拆集合的基数联系起来。
2023-10-31 math.NT
Some heuristics on the gaps between consecutive primes
我们提出了由间隙$d=p_{n+1}-p_n$分隔的连续素数对$p_n, p_{n+1}<x$的数目的公式，该公式直接由所有素数$<x$的数目表示，即由$π(x)$表示。作为这个公式的应用，我们给出了7个公式，其中包括两个小于$x$的连续素数之间的最大间隔，广义Brun常数和给定间隔$d$的第一次出现.并正确地再现了素调和和中的首项$\log \log(x)$。这些结果得到了计算机数据的支持。
2018-04-22 math.NT
Density-based structural frameworks for prime numbers, prime gaps, and Euler products
本文提出基于密度的结构框架，用于分析素数、素数间隙和欧拉乘积，揭示了Hardy-Littlewood、Cramer和PNT预测之间的张力，并通过截断欧拉乘积分析ζ函数的临界线与零点分布。
2026-01-22 math.CV math.NT
The least prime ideal in the Chebotarev Density Theorem
本文证明了Chebotarev密度定理中最小素理想的一个新的界，改进了Zaman [Funct.约置评. Math.57（2017），no.1，115-142]的系数，乘以$5/2$。我们的主要改进来自一个新版本的图兰的权力和方法。关键的新思想是使用Harnack不等式的调和函数推导出一个优越的下界的广义费耶核。
2019-02-22 math.NT
An Extension of a Congruence by Tauraso
对于正整数$n$，令$H_n=\sum_{k=1}^{n}1/n$为$n$次谐波数。本文证明了对任何素数$p\ge 7$，$$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k^2}\equiv \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k^2}{k} \equiv\frac{3}{2p}\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\pmod{p^2}. $$注意这个同余的第一部分是最近由R.陶拉索是美国数学月刊上的一个问题。在我们的初等证明的第二部分，上述同余，我们使用某些经典的同余模一个素数和平方的一个素数，一些同余涉及调和数和一个组合的身份，由于V.埃尔南德斯。
2011-09-14 math.NT
Schneider-Siegel theorem for a family of values of a harmonic weak Maass form at Hecke orbits
设$j(z)$是模$j$不变函数。设$τ$是复上半平面$\mathbb{H}$中的代数数。Schneider和Siegel证明，如果$τ$不是CM点，即，$[\mathbb{Q}(τ):\mathbb{Q}]\neq2$，则$j(τ)$是超越的。设$f$是权$0$在$Γ_0(N)$上的调和弱Maass形式.本文考虑Schneider和Siegel的结果推广到$τ$的Hecke轨道上的$f$值族.对于正整数$m$，令$T_m$表示第$m$个Hecke算子。假设$f$在尖点$i \infty$处的主部系数是代数的，并且$f$仅在与$i \infty$等价的尖点处具有极点。我们证明了，在一个温和的假设下，对任何固定的$τ$，如果$N$是一个素数，使$ N\geq 23 \text{ and } N \not \in \{23, 29, 31, 41, 47, 59, 71\},$，然后$f(T_m.τ)$是超越的无穷多个正整数$m$素数$N$。
2018-12-05 math.NT
The One Dimensional Approachissimo Quantum Harmonic Oscillator: The Hilbert-Polya Hamiltonian for the Primes and the Zeros of the Riemann Function
我已经对一维量子振荡器做了充分的研究，范围从对数势到指数势。我发现，具有极限（接近最小）谐振势（~ p（x）2）的谐振子的哈密顿量的本征值将黎曼函数高度的零点映射到黎曼线上。这是由J（x）的场产生的势，J（x）是素数计数函数p（x）的黎曼生成元，而p（x）又可以通过黎曼zeta函数的积分变换来定义。这起着量子限幅谐振子的弹簧强度的作用。这个结果的数论意义是zeta函数的根的高度是哈密顿量的特征值，其势是素数的平方到给定x的数量。因此这可能证明从未发表过的希尔伯特-波利亚猜想。该猜想是正确的，但并不意味着黎曼假设的真理。我们可以有复共轭零点的黎曼线和映射到另一个厄米算子，并给出了一般表达式。线外零点影响特征值的波动，但不影响其均值。
2006-11-13 math-ph math.MP math.NT
Proof of a congruence for harmonic numbers conjectured by Z.-W. Sun
对于正整数$n$，令$H_n=\sum_{k=1}^{n}1/k$为$n$次谐波数。本文证明了对任何素数$p\ge 7$，$$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k^2}{k^2} \equiv4/5pB_{p-5}\pmod{p^2}, $$都是一个素数，从而证实了Z. W.太阳此外，我们还证明了两个模$p^2$的相似同余。
2012-03-25 math.NT
Some Families of Super Congruences Involving Alternating Multiple Harmonic Sums
设$p$为素数。在这篇短文中，我们研究了涉及以下交替和\begin{equation*} \sum_{\substack{j_1+j_2+\cdots+j_n=2 p^r p\nmid j_1 j_2 \cdots j_n}} \frac{(-1)^{j_1+\cdots+j_b}}{j_1\cdots j_n} \pmod{p^r}, \end{equation*}的超同余族，它们推广了沈和蔡证明的类似陈述，他们处理了$n=4,5$的情况。
2018-05-13 math.NT
Quasi-symmetric functions and mod p multiple harmonic sums
我们提出了一些关于（有限）多个调和和模一个素数的结果，这些结果与已知的关于多个zeta值的结果（即，无穷多个调和级数）。特别是，我们证明了一个“对偶”的结果，模p多个谐波和类似（但不同），多个zeta值。我们还利用拟对称函数的霍普夫代数结构对模p重调和和进行了计算，并对每个到9的权，得到了模p重调和和空间的一组生成元。结合最近的工作，这篇文章的结果提供了重要的证据，即产生权n重调和级数mod p所需的量的数目是n-Padovan数（OEIS序列A000931）。
2015-05-26 math.NT
On a kind of generalized multi-harmonic sums
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文推广了Jianqiang Zhao关于多谐和式的同余式，证明了模素数幂的类似同余关系。
2025-12-02 math.CO math.NT
Roth's theorem in the primes
我们证明了任何含有正比例素数的集合都含有一个3项等差数列。一个重要的因素是证明素数享有所谓的Hardy-Littlewood优数性质。我们得出这一点给予一个新的证明，而更一般的结果布尔甘，因为一个密切的类比与经典的论点托马斯和斯坦从欧几里德调和分析，可能被称为限制定理的素数。
2004-09-07 math.CA math.NT
Prime Spectrum of the Ring of Adeles of a Number Field
从调和分析和类域理论的角度出发，对代数数域的adele环有了较多的了解。然而，它的环理论方面往往被忽视。在这里，我们提出了一个描述这个环的素谱，并研究这些素理想的代数和拓扑性质。我们还研究了它们在基域的可分扩张下的行为，并给出了一个说明，说明这项研究如何应用于非数域的adele环。
2021-10-29 math.AC math.NT
On harmonic numbers and Lucas sequences
调和数$H_k=\sum_{0<j\le k}1/j (k=0,1,2,...)$在许多数学领域中自然出现。本文研究了调和数与Lucas序列的同余关系。我们的三个定理之一如下：设u_0=0，u_1=1，且u_{n+1} =u_n-4 u_{n-1}，其中n= 1，2，3，.然后，对于任何素数p>5，我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}u_{k+δ}H_k/2^k=0 (mod p),$$，其中如果p= 1，2，4，8（mod 15），则为$δ=0$，否则为$δ=1$。
2011-05-23 math.CO math.NT
On the supercongruences involving harmonic numbers of order 2
我们证明了几个涉及二阶调和数$H_n^{(2)}:=\sum_{k=1}^n1/k^2$的超同余。例如，如果$p>5$是素数，$α$是$p$ -整数，那么我们可以完全确定$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{H_k^{(2)}}{k}\cdot\binomα{k}\binom{-1-α}{k}\quad\text{and}\quad \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}\frac{H_k^{(2)}}{k}\cdot\binomα{k}\binom{-1-α}{k} $$模$p^3$。特别地，通过设置$α=-1/2$，我们确定了Z.- W.太阳
2022-01-17 math.CO math.NT
