arXiv 1503.027982015-03math.NT

模$p^αq^β$调和和的一个同余

A congruence involving harmonic sums modulo $p^αq^β$

Tianxin Cai, Zhongyan Shen, Lirui Jia

DOI：: 10.1142/S1793042117500580

摘要：

在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式：对于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} Z(p^{r})\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*}，其中$ Z(n)=\sum\limits_{i+j+k=n\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{n}}}\frac{1}{ijk}$和$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文得到了不同奇素数$p,~q$与正整数$α,~β$，\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 2(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*}的一个同余关系，以及\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 0\pmod{p^αq^β}. \end{equation*}成立的充要条件。最后，我们提出了一个猜想：对于$n>1$与奇素数幂$p^α||n$，$α\geq1$，\begin{eqnarray} \nonumber Z(n)\equiv \prod\limits_{q|n\atop{q\neq p}}(1-\frac{2}{q})(1-\frac{1}{q^{3}})(-\frac{2n}{p})B_{p-3}\pmod{p^α}. \end{eqnarray}，

英文摘要：

In 2014, Wang and Cai established the following harmonic congruence for any odd prime $p$ and positive integer $r$, \begin{equation*} Z(p^{r})\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*} where $ Z(n)=\sum\limits_{i+j+k=n\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{n}}}\frac{1}{ijk}$ and $\mathcal{P}_{n}$ denote the set of positive integers which are prime to $n$. In this note, we obtain a congruence for distinct odd primes $p,~q$ and positive integers $α,~β$, \begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 2(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*} and the necessary and sufficient condition for \begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 0\pmod{p^αq^β}. \end{equation*} Finally, we raise a conjecture that for $n>1$ and odd prime power $p^α||n$, $α\geq1$, \begin{eqnarray} \nonumber Z(n)\equiv \prod\limits_{q|n\atop{q\neq p}}(1-\frac{2}{q})(1-\frac{1}{q^{3}})(-\frac{2n}{p})B_{p-3}\pmod{p^α}. \end{eqnarray}

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摘要：

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