On the congruence ax+by = 1 modulo xy
J. Brzezinski, W. Holsztynski, P. Kurlberg
给出了当n趋于无穷大时，丢番图方程（X+1/x）（Y+1/y）= n的解的个数的界.这些界限与形式ax+by = 1 modulo xy的同余的解的数目有关。
We give bounds on the number of solutions to the Diophantine equation (X+1/x)(Y+1/y) = n as n tends to infinity. These bounds are related to the number of solutions to congruences of the form ax+by = 1 modulo xy.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Quantitative Diophantine approximation with congruence conditions
在这篇简短的论文中，我们证明了一个定量版本的欣钦-Groshev定理的同余条件。我们的论点依赖于一个经典的论点施密特计数通用格点，这反过来又依赖于一定的方差约束的空间格。
Distribution modulo one and diophantine approximation by Yann Bugeaud
书评：Distribution modulo one and丢番图逼近，Yann Bugeaud著，剑桥大学出版社，2012年。ISBN 978-0521111690，316页。
Congruences for Andrews' spt-function modulo powers of 5, 7 and 13
同余发现模幂为5，7和13安德鲁斯的最小部分分拆函数spt（n）。这些同余让人想起拉马努金的分割同余模幂为5，7和11。最近，Ono证明了作者在前面已经证明的spt（n）模p对所有素数p>3的显式Ramanujan型同余。我们推广了Ono的方法来处理5，7和13的幂同余。对于戴德金η函数，我们需要弱Maass形式的理论以及某些经典的模方程。
New Congruences Modulo 2, 4, and 8 for the Number of Tagged Parts Over the Partitions with Designated Summands
最近，Lin引入了两个新的分拆函数PD $_t(n)$和PDO $_t(n)$，它们计算在$n$的所有分区上具有指定被加数的标记部分的总数，以及在$n$的所有分区上具有指定被加数的标记部分的总数，其中所有部分都是奇数。Lin还证明了PD $_t(n)$和PDO $_t(n)$的模3和模9的一些同余，并证明了模8的一些同余.最近，Adansie，Chern和Xia发现了PD $_t(n)$的两个新的模9同余无限族。本文证明了Lin所证明的模8同余，并发现了许多新的模2的小幂同余和无穷族。
Some congruences for $(s,t)$-regular bipartitions modulo $t$
在这项工作中，我们研究的功能$B_{s,t}(n)$，它计数的$(s,t)$ -定期二分区的$n$。最近，许多作者证明了$B_{3,11}(n)$的模$11$同余、$B_{3,s}(n)$的模$3$同余和$B_{5,s}(n)$的模$5$同余的无穷族.最近，Kathiravan证明了几个无穷族的同余模$11$，$13$和$17$的$B_{5,11}(n)$，$B_{5,13}(n)$和$B_{81,17}(n)$。本文证明了$B_{2,15}(n)$的模$5$、$B_{7,11}(n)$的模$11$、$B_{27,11}(n)$的模$11$和$B_{243,17}(n)$的模$17$的同余的无穷族.
Ramanujan type of congruences modulo m for (l, m)-regular bipartitions
令$B_{l,m}(n)$表示$n$的$(l,m)$ -正则二分划的个数。近年来，许多作者证明了$B_{l,m}(n)$的模$3$，$5$和$11$同余的几个无穷族.本文利用θ函数恒等式证明了$(l,m)$ -正则二分拆的模$m$同余的无穷族，其中$m\in\{7,3,11,13,17\}$ .
Congruence modulo 4 for Andrews' integer partition with even parts below odd parts
本文发现并证明了具有某些三元二次型的Andrews分拆的一类模4同余。我们还讨论了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的分布，并进一步证明了几乎所有的$n$都有$\overline{\mathcal{EO}}(n)\equiv0\pmod4$.本研究的灵感来自于第二作者和Garvan的工作中的模4的类似同余。
Modulo 2 congruences for partitions with initial repetitions
本文针对带初始重复的分拆类，推导了相关函数的奇偶性公式，并提出了无穷多组模2拉马努金型同余式，丰富了分拆同余理论。
Metric Diophantine approximation with congruence conditions
本文证明了在同余条件下矩阵的丢番图逼近的Khinchine-Groshev定理的一个版本。证明依赖于一个扩展的达尼对应商的同余子群。这种对应关系与多重遍历定理一起被用来同时研究多个同余类中的有理逼近。这一部分的结果具有加权逼近的一般性，但仅限于简单的逼近函数。
Computing Congruences of Modular Forms and Galois Representations Modulo Prime Powers
本文开始了对模形式和模素幂的模伽罗瓦表示的同余关系的计算研究。算法描述计算最大整数模，其中两个一元互质积分多项式有一个共同的根在某种意义上说，是定义。这些技巧被应用到研究的同余的模形式和模伽罗瓦表示模素幂。最后，一些计算结果的影响（非）提升的模形式模素幂和可能的推广的水平提高。
Some Missed Congruences modulo powers of $2$ for $t$-colored overpartitions
最近，Nayaka和Naika（2022）证明了具有$t=5,7,11$和$13$的$t$着色超划分的几个模$16$和$32$同余.我们用算法技术扩展了他们的名单。
Two partition functions with congruences modulo 3, 5, 7, and 13
我们引入了两个新的整数分拆函数，这两个函数都是具有一定大小限制的$n$的分割四元组的数目。利用广义Lambert级数恒等式和$q$ -级数技巧，证明了这两个函数满足模$3$，$5$，$7$和$13$的Ramanujan型同余.
On the Congruence of Finite Generalized Harmonic Numbers Sums Modulo $p^2$
本文研究了特殊有限广义调和数和的同余关系。我们建议更透明和更简单的方法来分析这些和，并提出了一些额外的结果，某些特殊情况下。
Hecke-type congruences for Andrews' spt-function modulo 16 and 32
最近由Andersen与不同的权力，2在模的分区相关的功能的启发，我们扩展了模32760同余的第一作者的功能spt（n）。我们证明了spt（n）的生成函数的正规化形式是Hecke算子T（l^2）对素数l >= 5的模32的本征形，其中l同余于1，11，17，19（mod 24），以及对l同余于？13，23（mod 24）.
Modular congruences, Q-curves, and the diophantine equation x^4 + y^4 = z^p
本文证明了关于广义Fermat方程$x^4+y^4=z^p$的两个结果。特别地，我们证明了第一种情况是真的，如果$p \neq 7$。
Endoscopic congruences modulo adjoint $L$-values for $\mathrm{GSp}(4)$
我们建立了一个固定的内窥镜尖点自守表示$Π$的$\mathrm{GSp}(4)$的平方自由导体和稳定的尖点自守表示相同的水平和重量模的某些素因子的值在$1$的伴随$L$ -功能的$Π$规范化一个合适的时期之间的一致性。
The structure of Siegel modular forms modulo p and U(p) congruences
我们确定Siegel模形式的度g模一个素数p的环结构，延长Nagaoka的结果的情况下，度g=2。我们刻画了Jacobi形式和Siegel模形式的U（p）同余，并惊奇地发现了Siegel模形式在偶数和奇数次上的不同行为.
Congruences for Restricted Plane Overpartitions Modulo 4 and 8
2009年，Corteel、Savelief和Vuletić将超分割的概念推广到一个新的对象，称为平面超分割。在最近的工作中，作者考虑了一种被称为$k$ -rowed plane overpartition的限制形式，并证明了一种方法来获得这些和其他类型的组合生成函数的同余。本文利用其他技巧证明了几个限制和非限制的模$4$和$8$的平面过划分同余.
Infinite Families of Congruences Modulo 5 for Ramanujan's General Partition Function
对于任何非负整数$n$和非零整数$r$，令$p_r(n)$表示Ramanujan的一般分拆函数。利用$q$恒等式，证明了$p_r(n)$对$r=-(5λ+1), -(5λ+3), -(5λ+4), -(25λ+1)$，$-(25λ+2)$和任意整数$λ$的模5的Ramanujan型同余.
Some New Congruences for $l$-Regular Partitions Modulo $l$
$n$的一个划分是$l$ -正则的，如果它的任何部分都不能被$l$整除。令$b_l(n)$表示$n$的$l$ -规则分区的数目。本文利用Ramanujan的θ函数恒等式，建立了$b_l(n)$模$l$的一些新的无穷同余族，其中$l=13,17,23$ .
A family of $q$-hypergeometric congruences modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial
本文证明了一个双参数$q$超几何同余族模分圆多项式的四次幂。在我们的证明的关键成分是乔治安德鲁斯的多系列扩展的沃森变换，和Karlsson-明顿型求和非常平衡的基本超几何级数由于乔治加斯珀。新的家庭的$q$ -同余，然后用来证明两个命题提出较早的作者。
General Congruences Modulo 5 and 7 for Colour Partitions
对于任何正整数$n$和$r$，令$p_r(n)$表示$n$的分区的数量，其中每个部分具有$r$不同的颜色。许多作者研究了分拆函数$p_r(n)$的特定值的$r$。本文利用色分拆函数$r$的一般值，证明了$p_r(n)$的模$5$和模$7$的一般同余.为了证明的同余，我们采用了一些$q$ -系列的身份，这也是在拉马努金的精神。
Families of Congruences for Fractional Partition Functions Modulo Powers of Primes
最近，Chan和Wang（Fractional powers of the generating function for the分拆函数.阿里斯学报。187（1），59- 80（2019））研究了分拆函数的生成函数的分数幂，并发现了相应系数满足的几个同余式。在本文中，我们发现了一些新的模素数幂同余族。我们也发现类似的结果的系数的分数权力的生成函数的2-色分拆函数。
Andrews-Beck type congrences modulo powers of 5
令$NT(m, k, n)$表示n的分区中秩与m模k全等的部分的总数。安德鲁斯证明了贝克猜想的同余$NT(m, k, n)$模5和7。推广Andrews的结果，陈省身得到了$NT(m, k, n)$模11和模13的同余式.最近，第二作者利用Hecke算子理论建立了素数$\ell \ge 7$模幂的这种划分统计的同余式。本文得到了模5的幂的Andrews-Beck型同余。
Congruences modulo powers of 11 for some eta-quotients
本文证明了分拆函数$c$模\[\sum_{n=0}^{\infty}p_{[1^c{11}^d]}(n)q^n=\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(1-q^n)^c(1-q^{11 n})^d}.\]的幂的同余的无限族，推广了Atkin和Gordon关于分拆函数的幂的同余.证明使用一个明确的基础上的向量空间的模函数的同余子群$Γ_0(11)$。
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
New Ramanujan-type congruences for overpartitions modulo $11$ and $13$
本文通过模形式理论推导出11和13模下的新分拆恒等式，并推测其他模数的可能恒等式。
Some congruences for $(\ell, k)$ and $(\ell, k, r)$-regular partitions
令$b_{\ell, k}(n), b_{\ell, k, r}(n)$分别计数$(\ell, k)$、$(\ell, k, r)$ -规则分区的数目。本文给出了当$ (\ell, k) = (3,8), (4, 7)$为$b_{\ell, k}(n)$模$2$时，$b_{\ell, k}(n)$模$8$，模$9$和模$12$当$(\ell, k) = (4, 9)$时，$b_{\ell, k, r}(n)$模$2$当$(\ell, k, r) = (3, 5, 8)$时的无穷族同余式.
Certain Diophantine equations and new parity results for $21$-regular partitions
对于正整数$t\geq 2$，令$b_{t}(n)$表示非负整数$n$的$t$ -正则分区的数量。在最近的一篇论文中，Keith和Zanello研究了$t\leq 28$时$b_{t}(n)$的奇偶性。他们发现了新的无限家庭拉马努金型同余模2 $b_{21}(n)$涉及每一个总理$p$与$p\equiv 13, 17, 19, 23 \pmod{24}$。本文研究了素数$p$与$p\equiv 1, 5, 7, 11 \pmod{24}$的$b_{21}(n)$的奇偶性.证明了包含奇素数$p$的$b_{21}(n)$的Ramanujan型模2同余的新的无限族，其中丢番图方程$8x^2+27y^2=jp$对某些$j\in\left\lbrace1,4,8\right\rbrace$有本原解，并且证明了这类素数的Dirichlet密度等于$1/6$ .最近，Yao在Newman结果的基础上给出了$b_{3}(n)$的模$2$同余的新的无穷族，并且这些同余涉及每一个素数$p\geq 5$.按照类似的方法，我们证明了新的无穷族的同余模$2$为$b_{21}(n)$，这些同余意味着，$b_{21}(n)$是奇数无限经常。
Some New Congruences Modulo Powers of 2 For $(j,k)$-Regular Overpartition
令$\overline{p}_{j,k}(n)$表示$(j,k)$的数目-正整数$n$的规则过划分，使得没有部分与$j$模$k$全等。Naika et.等人（2021）证明了$\overline{p}_{3,6}(n)$、$\overline{p}_{5,10}(n)$和$\overline{p}_{9,18}(n)$的模2幂同余的无限族。本文得到了$\overline{p}_{4,8}(n)$，$\overline{p}_{6,12}(n)$和$\overline{p}_{8,16}(n)$的模2幂同余的无穷族.例如，我们证明，对于所有整数$n\geq 0$和$α\geq 0$，$$ \overline{p}_{4,8}\left( 5^{2α+1}\left( 16(5n+j)+14\right) \right) q^n\equiv 0\pmod{64}; \qquad j=1,2,3,4.$$
Another proof of two modulo 3 congruences and another SPT crank for the number of smallest parts in overpartitions with even smallest part
通过考虑过划分和剩余曲柄的$M_2$ -秩，我们给出了同余$\overline{\mbox{spt}}_2(3n)\equiv \overline{\mbox{spt}}_2(3n+1)\equiv 0\pmod{3}$的另一种组合加细.这里，$\overline{\mbox{spt}}_2(n)$是$n$的超分区中最小部分的出现总数，其中最小部分是偶数并且没有上划线。我们的证明依赖于Bailey引理和Lovejoy和Osburn关于过划分的$M_2$ -秩的秩差公式。这个同余，以及一个模$5$同余，以前已经使用过分区的秩进行了细化。
Congruences for Andrews' spt-function modulo 32760 and extension of Atkin's Hecke-type partition congruences
对Andrews的最小部分分拆函数spt（n）找到了新的同余式. spt（n）的生成函数与某个权为3/2的弱马斯形式M（z）的全纯部分α（24 z）有关。我们证明了对于素数p > 3，spt（n）的生成函数的正规化形式是Hecke算子T（p^2）模72的本征形，如果（t，6p）= 1，则对于t = 5，7或13，本征形模t。模3的结果是作者早些时候观察到的，并由Ono和Folsom考虑。对于t的更高次幂（即5^6、7^4和13^2），函数alpha（z）的系数也会出现类似的同余。类似的结果分拆函数发现阿特金在1966年。我们的结果依赖于Ono最近的结果：M[p]（z/24）是满模群的权为3/2的弱全纯模形式，其中M[p]（z）= M（z）|T（p^2）- chi（p）（1 + p）M（z）.
Congruences modulo primes of the Romik sequence related to the Taylor expansion of the Jacobi theta constant θ_3
最近，Romik在[9]中确定了Jacobi θ常数θ_3在点x = 1附近的泰勒展开式。他发现了一个新的整数序列，（d（n））_0^ \infty =1，1，-1，51，849，-26199，\dots，泰勒系数就是从这个序列中建立的，并且证明了数d（n）满足模各种素数的某些同余。本文证明了其中的一些性质，例如对所有n个\geq 1，d（n）\equiv（-1）^{n+1}（mod 5）;对任意素数p \equiv 3（mod 4），d（n）对所有足够大的n模p为零.
Generalized Legendre polynomials and related congruences modulo $p^2$
对于任意正整数$n$和变量$a$和$x$，我们定义广义勒让德多项式$P_n(a,x)=\sum_{k=0}^n\b ak\b{-1-a}k(\frac{1-x}2)^k$。设$p$是一个奇素数。本文证明了许多与$P_{p-1}(a,x)$有关的模$p^2$同余.例如，我们证明了$P_{p-1}(a,x)\e (-1)^{<a>_p}P_{p-1}(a,-x)\mod {p^2}$，其中$<a>_p$是$a$模$p$的最小非负残基。推广了孙志伟的一些同余式，确定了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\binom{3k}k{54^{-k}}$和$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{b-a}k\mod {p^2}$，其中$[x]$是最大整数函数.最后给出了二元二次型模$p^2$的超同余.
New congruences for 4,6-regular partitions modulo primes
本文证明了 b_4(n) 和 b_6(n) 分别对素数 m≥2 和 m≥5 存在无穷多 Ramanujan 型同余式族，并给出新例子及两个 b_4(n) 模 3 的无穷显式同余式族。
Congruences for the number of partitions and bipartitions with distinct even parts
令$ped(n)$表示$n$的分区的数目，其中偶数部分是不同的（并且奇数部分是不受限制的）。我们证明了$ped(n)$模$8$的无穷族同余。我们还详细研究了$ped_{-2}(n)$模$8$的行为，其中$ped_{-2}(n)$表示$n$的偶数部分不同的二分区的数量。其结果是，我们找到了无穷族的同余$ped_{2}(n)$模$8$。
Diophantine problems over $\mathbb{Z}^{ab}$ modulo prime numbers
设$\mathbb{Z}^{ab}$是$\mathbb{Q}$的极大阿贝尔扩张$\mathbb{Q}^{ab}$的整数环.我们表明，存在一个算法来决定是否方程组和不等式，与整数系数，有一个解决方案，在$\mathbb{Z}^{ab}$模每个有理素数。
Some congruences modulo 5 and 25 for overpartition
我们提出了两个新的Ramanujan型同余模5的过度划分。我们还肯定地回答了Dou和Lin的一个猜想，该猜想包含四个模25同余。
Congruences for the partition function $\text{PDO}_t(n)$ modulo powers of $2$ and $3$
本文针对 Lin 关于 $\text{PDO}_t(n)$ 的猜想，提出新方法研究其关于 $3$ 的幂和 $2$ 的幂的同余式，建立了无穷多个模 $8$、$32$ 的同余式并证明若干小幂次同余式。
Gessel-Lucas congruences for sporadic sequences
对于每一个$15$已知的零星Apéry样序列，我们证明了同余模$p^2$是自然扩张卢卡斯同余模$p$。这扩展了结果Gessel的数字所使用的Apéry在他的证明的非理性的$ζ(3)$。此外，我们证明了这些序列满足模$p^{2r}$的两项超同余。使用特殊的常数项表示最近发现的Gorodetsky，我们证明了这些超同余在两种情况下，以前保持开放。
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
On a symmetric congruence and its applications
对于大整数$m,$，我们得到了某个模$m$的四元同余的解的个数的一个渐近公式，这里的变量属于模$m.$的剩余类的特殊集合。这个公式被应用于模$m$的剩余环中的乘法表问题的例外集的新信息和一个关于指数函数的双三角和的新界。
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
Congruences modulo prime powers of Hecke eigenvalues in level $1$
我们继续研究强，弱，和$dc$ -弱本征形介绍陈，基明，和Wiese。完全确定了$1$模$128$的Hecke本征值的所有系统，表明有许多。这扩展了Hatada的结果，可以被认为是更一般的猜想的证据，由作者与Kiming和Wiese一起制定的有限性系统的Hecke特征值模素数权力在任何固定的水平。我们还讨论了系统的Hecke本征值的水平$1$模$9$，减少问题的有限性的一个单一的本征值。此外，我们回答了比较弱和$dc$ -弱本征形的问题，并提供了第一个已知的非弱$dc$ -弱本征形的例子。
Ramanujan-type Congruences for Partition $k$-Tuples with $5$-Cores
我们证明了几个Ramanujan型同余模幂的$5$分区$k$ -元组的$5$ -核心，$k=2, 3, 4$。我们还证明了具有$p$ -核的$k$ -元组的模素数幂同余的一些新的无穷族，其中$p$是素数.
A congruence modulo $n^3$ involving two consecutive sums of powers and its applications
对于各种正整数$k$，第一个$k$正整数的$k$次幂的和，$S_k(n+1)=1^k+2^k+...+n^k$，必须是所有数学中最流行的一些和。本文证明了对于每个$k\ge 2 $ $ 2S_{2k+1}(n)- (2k+1)nS_{2k}(n)\equiv \{{array}{ll} 0\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\,even\,\,or}\,\, n\,\, {\rm is\,\, odd} & {\rm or} \,\, n\equiv 0\,(\bmod{\,4}) \frac{n^3}{2}\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\, odd} &,\,{\rm and}\,\, n\equiv 2\,(\bmod{\,4}). {array}.$ $ The above congruence allows us to state an equivalent formulation of Giuga's conjecture. Moreover, we prove that the first above congruence is satisfied modulo $ n ^4 $ whenever $ n \ge 5 $ is a prime number …
Lucas congruences for the Apéry numbers modulo $p^2$
本文给出 Apéry 数整函数插值的泰勒系数公式，并证明对特定基 $p$ 数字的整数 $n$，$A(n)$ 满足模 $p^2$ 的 Lucas 同余式。
Infinite families of Diophantine quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ in the remaining exceptional congruence classes
研究$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$中剩余例外同余类的丢番图四元组，通过结合正则扩展方法与新族构造明确的$D(z)$-四元组，证明每个例外类含无穷多$z$值可形成两次半正则的$D(z)$-四元组。
Congruences between modular forms modulo prime powers
给定一个素数$p \ge 5$和一个系数模为$p^n$（对于某些$n \ge 1$）和大图像的抽象奇表示$ρ_n$，我们证明了当局部提升存在时（在某些技术条件下），$ρ_n$提升到特征$0$的存在性.此外，我们可以在除了素数之外的所有素数上选择升力的惯性类型（其中升力是斯坦伯格型）。我们把这个结果应用到模形式的领域，证明了模素幂的一个降阶定理，并给出了升阶的例子。特别地，我们的方法表明，给定一个没有复数乘法或内部扭曲的模本征形$f$，对于所有的素数$p$，但不超过1000，并为所有的正整数$n$，存在另一个本征形$g\neq f$，这是全等的$f$模$p^n$。
Hecke Relations for Eta Multipliers and Congruences of Higher-Order Smallest Parts Functions
本研究通过作用于Eisenstein-eta商族的Hecke算子推导恒等式，得到系数素数幂模同余式，应用于解决Garvan提出的高阶最小分部函数同余问题，还建立曲柄矩、秩矩与分拆函数的素数幂模联系，强化推广了已有结果。
Modified Congruence Modulo $n$ with Half The Amount of Residues
我们定义了一个新的同余关系的集合上的整数，导致一组类似的乘法群的整数模$n$。它利用了模乘中几乎无处不在的对称性，并将剩余类的数量减半。使用它，我们能够给出一个优雅的描述，由于卡尔Schick的一些结果，其他人减少到著名的定理，从代数和数论。数论中的许多概念，如二次剩余和原根，都是同样适用的。它在研究奇素数的幂，特别是在研究由一对相关素数组成的半素数，例如一对孪生素数时，带来了显著的优势。Artin的原根猜想可以在新的上下文中表述。基于弦的三角多项式与新的同余关系的联系，使人们对$2\cos(2π/n)$的极小多项式及其与分圆多项式的关系有了新的认识.
A family of diophantine equations of the form x^4 +2nx^2y^2+my^4=z^2 with no solutions in (Z+)^3
本文证明了如下结果（定理1）：设n是正整数，p是奇素数，且n与0模4全等，p与3模8全等，或者n与2模4全等，p与7模8全等。除此之外，假设下列之一成立：（i）n^2-p>0且正整数是素数，或者（ii）n^2-p<0且正整数N=-m=-（n^2-p）是素数。则丢番图方程x^4 + 2nx^2y^2 + my^4 =z^2无正整数解。证明方法是基本的，因为它只使用了同余式的论点，费马最初应用的（无限）下降法，以及三元丢番图方程x^2+ly^2=z^2，l是正整数的正整数通解。我们在第9页和第10页以两个表格的形式提供了53个数字例子;在第10-12页提供了历史评论。
Congruences modulo arbitrary powers of $5$ and $7$ for Andrews and Paule's partition diamonds with $(n+1)$ copies of $n$
本文证明了 Andrews 和 Paule 提出的分拆函数 PDN1(n) 关于 5 和 7 的任意幂的同余式，解决了他们提出的开放问题，并类比了 Ramanujan 和 Watson 的经典同余式。
Congruences for a mock modular form on $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ and the smallest parts function
利用Zagier构造的一类模形式，研究了权$3/2$在$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$模素数$\ell\geq 5$上的模模形式的系数.这些系数与Andrews的最小部分函数有关。作为应用，我们重新证明了Garvan关于该函数模$\ell$的性质的一个定理.作为另一个应用程序，我们表明，同余模$\ell$的最小部分功能是罕见的，在精确的意义。
Old Meets New: Connecting Two Infinite Families of Congruences Modulo Powers of 5 for Generalized Frobenius Partition Functions
本文在与层级 20 模曲线相关的两类广义 Frobenius 分拆函数同余族之间建立模函数环同构，并借助 Atkin–Lehner 对合提出研究复合层级同余的新策略。
Intersective polynomials and Diophantine approximation, II
应用Schmidt格方法，证明了在满足一定局部条件下，单素变量多项式系统模1的同时丢番图逼近的结果.
Congruences modulo powers of 5 for the rank parity function
众所周知，Ramanujan证明了分拆函数的模5、7和11的幂同余.这一点后来被Watson（1938）和Atkin（1967）证明。在2009年，Choi，Kang和Lovejoy证明了曲柄奇偶函数的模5幂的同余。秩奇偶函数的生成函数是f（q），这是Ramanujan在给Hardy的最后一封信中提到的模拟θ函数的第一个例子。我们证明了同余模幂5的秩奇偶函数。
Distribution of the partition function modulo m
拉马努金（和其他人）证明，分拆函数满足一些惊人的同余模幂为5，7和11。阿特金、奥布莱恩和纽曼的作品进一步证明了一些一致性。本文证明了对于每一个大于3的素模，都有无穷多个这样的同余。此外，我们提供了一个简单的标准，保证真理的纽曼猜想的任何素数模超过3（回忆纽曼猜想断言，分拆函数击中每一个剩余类模一个给定的整数M无限频繁）。
Congruences modulo cyclotomic polynomials and algebraic independence for $q$-series
证明了$q$ -阶乘比的多重和的模分圆多项式的同余关系，从而推广了许多著名的$p$ -Lucas同余关系.这样的同余将各种经典生成级数与它们的$q$ -类似物联系起来。利用这一点，我们证明了一个传播现象：当这些生成系列是代数独立的，这也是他们的$q$ -类似物的情况。
Congruences modulo powers of 5 for three-colored Frobenius partitions
出于Lovejoy的问题\cite{lovejoy}，我们表明，三色Frobenius分拆函数$\c3$和相关的算术功能$\cc3$消失模5的某些权力，在某些等差数列。
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