Congruences modulo powers of 5 for three-colored Frobenius partitions
Xinhua Xiong
出于Lovejoy的问题\cite{lovejoy}，我们表明，三色Frobenius分拆函数$\c3$和相关的算术功能$\cc3$消失模5的某些权力，在某些等差数列。
Motivated by a question of Lovejoy \cite{lovejoy}, we show that three-colored Frobenius partition function $\c3$ and related arithmetic fuction $\cc3$ vanish modulo some powers of 5 in certain arithmetic progressions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Congruences modulo powers of $3$ for $6$-colored generalized Frobenius partitions
本文研究6色广义弗罗贝尼乌斯划分函数cϕ_6(n)的同余性质，采用Banerjee和Smoot发展的方法验证了Gu等人提出的猜想。
Congruences for an arithmetic function from 3-colored Frobenius partitions
设$a(n)$定义为$\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n := \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{3n})(1-q^n)^3}.$本文证明了对每个非负整数$n$，a（15 n +6）\equiv 0 \pmod{5}，a（15 n +12）\equiv 0 \pmod{5} .作为推论，我们得到了Ono的一些结果
Congruences Modulo Powers of 3 for 3- and 9-Colored Generalized Frobenius Partitions
令$cϕ_{k}(n)$是$n$的$k$ -着色广义Frobenius划分的数目。我们建立了$cϕ_{3}(n)$和$cϕ_{9}(n)$模3的任意幂的同余的无限族，改进了Kolitsch的结果.以$k\ge 3$和$n\ge 0$为例，我们证明了\[cϕ_{3}\Big(3^{2k}n+\frac{7\cdot 3^{2k}+1}{8}\Big) \equiv 0 \pmod{3^{4k+5}}.\].我们对$cϕ_{9}(n)$满足的同余式给出了两种不同的证明.其中一个证明使用了Kolitsch提出的$cϕ_{9}(n)$和$cϕ_{3}(n)$之间的关系，本文对此给出了一个新的证明.
Modular Forms and $k$-colored Generalized Frobenius Partitions
设$k$和$n$为正整数。设$cϕ_{k}(n)$表示$n$的$k$着色广义Frobenius划分的个数，$\mathrm{C}Φ_k(q)$表示$cϕ_{k}(n)$的生成函数.本文利用模形式理论对$\mathrm{C}Φ_k(q)$进行了研究，发现了$\mathrm{C}Φ_k(q)$新的令人惊讶的性质。
A uniform proof approach for congruences modulo 3 for partitions with $k$-colored odd parts
本文为带$k$色奇数部分的分拆函数$a_k(n)$建立模3同余的统一证明框架，从而证明无限族非嵌套同余。
Congruences modulo powers of $3$ for generalized Frobenius partitions $CΨ_{6,0}$
本文研究了$(6,0)$彩色弗罗贝尼乌斯划分函数$cψ_{6,0}(n)$，通过阿特金-勒文纳逆运算建立生成函数关系，并证明其对3的幂次的同余式。
On certain weighted 7-colored partitions
受Andrews的2色广义Frobenius划分的启发，我们考虑了一类加权7色分拆函数，建立了一些有趣的Ramanujan型恒等式和同余式.此外，我们还提供了一些模5和模7同余的组合解释。最后，我们研究了按某些划分统计量的奇偶性加权的加权7色划分的性质。
Proof of a Conjecture on 6-colored Generalized Frobenius Partitions
设$cϕ_{k}(n)$是$k$ -着色的广义Frobenius配分函数。利用Hirschhorn给出的$cϕ_{6}(3n+1)$的生成函数，证明了$cϕ_{6}(27n+16)\equiv 0$（mod 243）.这证实了E.X.W.夏我们还发现了一个同余关系$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 3 cϕ_{6}(9n+7)$（mod 243）。此外，我们还证明了$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 0$（mod 81）、$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 243）和$cϕ_{6}(729n+ 547) \equiv 0$（mod 243）。我们进一步推测，对于$n\ge 0$，$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 729）。
Theta-type congruences for colored partitions
研究了所有$n$的$p_r(\ell m n + t) \equiv 0 \pmod{\ell}$形式的同余关系，其中$p_r(n)$是$n$的$r$着色划分的个数，$m,\ell$是不同素数.
Some Missed Congruences modulo powers of $2$ for $t$-colored overpartitions
最近，Nayaka和Naika（2022）证明了具有$t=5,7,11$和$13$的$t$着色超划分的几个模$16$和$32$同余.我们用算法技术扩展了他们的名单。
N-colored generalized Frobenius partitions: Generalized Kolitsch identities
设$N\geq 1$与$(N,6)=1$无平方。设$cϕ_N(n)$表示Andrews在1984年引入的$n$的$N$ -着色广义Frobenius划分的个数.证明了$$ cϕ_N(n)= \sum_{d \mid N} N/d \cdot P\left( \frac{ N}{d^2}n - \frac{N^2-d^2}{24d^2} \right) + b(n)$$，其中$C(z) := (q;q)^N_\infty\sum_{n=1}^{\infty} b(n) q^n$是$S_{(N-1)/2} (Γ_0(N),χ_N)$的尖点形式.这推广和加强了Kolitsch和Chan-Wang-Yan处理$N$是素数时的结果。作为直接应用，我们得到了$cϕ_N(n)$在经典分拆函数下的一个渐近公式.
Proof of a Conjecture of Cui, Gu and Tang on 18-Colored Generalized Frobenius Partitions
本文研究k着色广义Frobenius分拆数的同余性质，证明了Cui等人关于cφ₁₈(3n+2)模2187为0的猜想，同时得到cφ₁₆(n)和cφ₁₈(n)的其他同余结果。
Congruences for modular forms and generalized Frobenius partitions
已知分拆函数具有美丽的同余，这些同余经常使用模形式理论来证明。在本文中，我们研究在何种程度上这些同余结果适用于广义Frobenius划分定义的安德鲁斯。特别是，我们证明了有无穷多个同余$cϕ_k(n)$模$\ell,$的$\gcd(\ell,6k)=1,$，我们也证明了结果的奇偶性$cϕ_k(n).$沿着这条路，我们证明了结果的奇偶性系数的弱全纯模形式推广工作的小野。
Families of Congruences for Partitions with $k$-colored odd parts
本文研究了具有k种颜色奇数部分的划分的同余性质，发现其能产生无限多个模3的同余族，并提出进一步研究的问题。
Correspondence among congruence families for generalized Frobenius partitions via modular permutations
本文通过构造向量值模形式，揭示了广义弗罗贝尼乌斯划分同余族之间的对应关系，并利用模变换证明了3色弗罗贝尼乌斯划分的同余关系。
Cranks for Ramanujan-type congruences of $k$-colored partitions
本文为分拆函数同余族的不变量提供研究框架，利用θ块理论找到一族曲柄函数，可解释多数已知k着色分拆函数同余，具理论价值。
A Family of Congruences Modulo 7 for Partitions with Monochromatic Even Parts and Multi--Colored Odd Parts
本文推广了Amdeberhan和Merca的整数划分函数a(n)，定义了一个无限族，并通过生成函数和q级数恒等式证明了该族函数满足无穷多个模7同余式。
Congruence relations for r-colored partitions
设$\ell \geq 5$是素数。对于配分函数$p(n)$和$5 \leq \ell \leq 31$，Atkin发现了一些素数$Q \geq 5$的例子，使得存在形式为$p(\ell Q^{3} n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}.$的同余。最近，Ahlgren，Allen和Tang证明了对于每个$\ell$都有无穷多个这样的同余。在本文中，对于广泛的$c \in \mathbb{F}_{\ell}$，我们证明了形式$p(\ell Q^{3} n+β_{0}) \equiv c \cdot p(\ell Q n+β_{1}) \pmod{\ell}$的同余无穷多个素数$Q$。对于正整数$r$，令$p_{r}(n)$为$r$着色配分函数.我们的方法产生类似的同余$p_{r}(n)$。特别地，如果$r$是一个奇正整数，其中$\ell > 5r+19$和$2^{r+2} \not \equiv 2^{\pm 1} \pmod{\ell}$，那么我们表明，有无穷多个同余式的形式$p_{r}(\ell Q^{3}n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}$。我们的方法涉及模块化伽罗瓦表示理论。
Old Meets New: Connecting Two Infinite Families of Congruences Modulo Powers of 5 for Generalized Frobenius Partition Functions
本文在与层级 20 模曲线相关的两类广义 Frobenius 分拆函数同余族之间建立模函数环同构，并借助 Atkin–Lehner 对合提出研究复合层级同余的新策略。
Congruences for Generalized Frobenius Partitions with an Arbitrarily Large Number of Colors
在1984年的AMS Memoir中，George Andrews定义了$k$ --着色广义Frobenius分拆函数。这些由$cϕ_k(n)$表示，其中$k\geq 1$是所讨论的颜色的数量。在这本回忆录中，安德鲁斯证明了（除其他事项外），对于所有的$n\geq 0,$ $cϕ_2(5n+3) \equiv 0\pmod{5}.$不久之后，许多作者证明了各种$k$ -有色广义Frobenius分拆函数的同余性质，通常具有少量的颜色。工作拉马努金-一样的同余属性满足的职能$cϕ_k(n)$继续进行，最近的作品完成巴鲁阿和Sarmah以及作者。不幸的是，在所有情况下，作者限制他们的注意力小值的$k.$这往往是由于难以找到一个“好”的表示生成函数的$cϕ_k(n)$为大$k.$因为这一点，没有拉马努金-一样的同余式是已知的地方$k$大。本文证明了$cϕ_k(n)$的几个无穷族同余，其中允许$k$任意增长，从而纠正了这种情况.证明是真正的小学，依赖于生成函数表示出现在安德鲁斯的回忆录，但已经相对忽视。
An Unexpected Congruence Modulo 5 for 4--Colored Generalized Frobenius Partitions
本文基于前人结果与Ramanujan的工作，用初等方法证明了4色广义Frobenius分拆函数$cϕ_4$满足一个模5的意外同余性质，补充了该函数的同余结论。
Some identities on Lin-Peng-Toh's partition statistic of $k$-colored partitions
本文针对Lin-Peng-Toh引入的k-着色分拆统计量$NB_k(r,m,n)$，证明了若干类似于Ramanujan“最美恒等式”的恒等式，并由此重新推出Lin、Peng和Toh先前证明的若干同余式。
Arithmetic properties of generalized Frobenius partitions
本文研究了广义m色Frobenius分拆函数cϕ_m在m为5、7、11时的同余性质，结合模形式理论与计算证明了仅有六个类似Ramanujan的同余式存在。
An Elementary Proof of a Conjecture of Saikia on Congruences for $t$--Colored Overpartitions
本文用初等生成函数操作、剖分和归纳法，证明了 Saikia 关于 $t$ 色超分拆函数 $\overline{p}_{-t}(n)$ 模 2 幂同余的猜想对所有奇数 $t$ 成立。
Efficient Computation and Congruences for Colored Partition Functions
本文针对整数 $\alpha$ 证明了有色分拆计数中指数和的乘性与约化公式，结合截断精度界提出高效精确算法，并验证了新的 Ramanujan 型同余式。
Congruences like Atkin's for generalized Frobenius partitions
本文研究了$m$色广义Frobenius分拆函数$cϕ_m(n)$，证明了对于所有不依赖于$m$的显式有限集合中的素数$\ell$，存在类似Atkin的同余，核心方法是构造半整权尖点形式并结合Shimura提升与模Galois表示理论。
Some inequalities for Garvan's bicrank function of 2-colored partitions
为了给2色分拆函数的模$5$同余提供一个统一的组合解释，Garvan引入了一个加权向量划分的双秩统计量.本文利用$q$ -级数技巧和渐近公式，得到了$m=2$，$3$和$4$的双秩计数$M^{*}(r,m,n)$之间的一些不等式.这些不等式与Andrews和Lewis关于普通分拆的秩和曲柄数的结果是平行的。
Strong Frobenius structures associated with q-difference operators
强Frobenius结构的概念在$p$ -adic微分算子理论中得到了经典的研究.本文对$q$ -差分算子引入了强Frobenius结构的新定义。这一定义的相关性得到两个主要结果的支持。第一个是关于\emph{confluence}的。我们证明了如果$q$ -差分算子$L_q$对于周期为$h$的素数$p$具有强Frobenius结构，并且如果$L$是通过使$q$趋于1而从$L_q$得到的$p$ -adic微分算子，则$L$对于周期为$h$的$p$具有强Frobenius结构.第二类是关于同余模分圆多项式。证明了如果$f(q,z)\in\mathbb{Z}[q][[z]]$是$p$的具有强Frobenius结构的$q$ -差分算子的解，则$f(q,z)$满足模$p$ -次分圆多项式的某些同余. André和Di Vizio提出了与$q$ -差分算子相关的强Frobenius结构的另一种定义，我们也指出了为什么它们的定义不适合我们的应用：模分圆多项式的汇合和同余.最后，我们证明了某些1阶$q$ -超几何算子对无穷多个素数具有强Frobenius强。
A $p$-adic cohomological approach to congruences of meromorphic modular forms
本文提出了一种基于p进上同调的方法，用于研究解析模形式的同余关系，通过刚性上同调与晶格结构的相互作用，建立了弗罗贝尼乌斯作用与U_p算子之间的联系。
Formulas for Jacobi forms and generalized Frobenius partitions
自从安德鲁斯提出广义弗罗贝纽斯分拆以来，引起了许多作者的兴趣，其中许多人已经推导出了特定情况下其母函数的显式公式。这揭示了有趣的组合结构，并导致证明了一些同余。在本文中，我们展示了如何安德鲁斯的生成函数可以在Eichler和Zagier的雅可比形式的框架内铸造。这种重新表述使我们能够计算广义Frobenius分区生成函数的显式公式（实际上提供了潜在的组合感兴趣的进一步功能的公式），它导致了一个递推公式来计算它们的无限$q$ -产品。
Arithmetic properties of $(\ell,m)$-regular colored partitions
该研究针对不含$\ell$或$m$倍数部分的$k$着色分拆数$b^{k}_{\ell,m}(n)$，建立了若干同余关系，并给出了如$b^{2}_{4,5}(8n+7)\equiv0\pmod{40}$的具体实例，丰富了分拆函数的算术性质研究。
Generalized Frobenius Partitions Modulo Powers of $2$
本文证明广义Frobenius分拆数模$2$的幂的同余式，完全确定$c\phi_{18}(2n+1)$模$16$和$c\phi_{10}(2n+1)$模$8$的值，并证明Das等人猜想。
A proposed crank for $(k+j)$-colored partitions, with $j$ colors having distinct parts
本文推广了着色分拆的crank理论，借鉴已有研究的生成函数技术，定义了j色为互异分拆的(k+j)着色分拆的crank生成函数，给出三类无穷族并猜想通用形式，丰富了分拆同余相关研究。
Generalized Frobenius partitions, Motzkin paths, and Jacobi forms
我们展示了如何安德鲁斯的生成函数的广义Frobenius分区可以理解的理论Eichler和Zagier作为特定系数的某些Jacobi形式。这种重新导致一个递归的过程，产生明确的公式广义Frobenius分区生成函数的无限$q$产品。特别是，我们表明，我们的结果的具体例子很容易重新建立以前已知的公式，我们描述了新的同余式，无论是authorical和证明，在其他情况下。Jacobi形式的模结构表明，形式的系数的\emph{all}是感兴趣的。我们给出了这些“同伴系列”的组合定义，并通过Motzkin路径的计数来探索它们的组合学。
Non-existence of Ramanujan congruences in modular forms of level four
拉马努金著名的发现同余的分拆函数一样p（5 n +4）= 0模5。本文给出了一种方法，求出在上半平面上非零的Gamma_{1}（4）上模形式的逆的系数中的所有这类单同余.这适用于回答有关过分区、曲柄差和2色F-分区的生成函数中（不）存在全等的开放问题。
Congruences for modular forms and applications to crank functions
本文受Mahlburg工作的启发，找到了一类模形式的同余。此外，我们推广了Andrews-Garvan-Dyson曲柄在剖分上的生成函数，并建立了几个新的无穷同余族。在此框架下，我们证明了Hammond和Lewis引入的有序划分对的birank和Fu和Tang引入的$k$ -着色划分的$k$ -crank与分拆函数和crank的过程相同.
Appendix to "Congruences for rational points on varieties over finite fields" by N. Fakhruddin and C. S. Rajan
本文对文中关于Hodge型的问题4.4和关于Frobenius特征值被N整除的问题4.2给出了肯定的回答。Fakhruddin和C. S. Rajan（NT/0402230）。
Arithmetic Properties of Partitions with 1-colored Even Parts and r-colored Odd Parts
针对Hirschhorn与Sellers定义的偶数部分1色、奇数部分r色的分拆函数$a_r(n)$，本文借助Newman的结论和模形式理论，证明了其若干模3、模5的无限同余族。
Sign Patterns in a Two Colored Partition Companion series
研究与双色划分序列相关的两个问题，一是证明eta归一化伴随序列的Andrews - El Bachraoui符号猜想强形式，二是用富兰克林型对合构造对合组合解释\(s_1(n)\)模4的同余。
Congruences between word length statistics for the finitary alternating and symmetric groups
在最近的一篇论文中，Bacher和de la Harpe研究了无限置换群的共轭增长级数及其与配分函数$p(n)$和广义分拆函数$p(n)_{\textbf{e}}$的关系。证明了有限对称群和有限交错群的共轭增长级数的恒等式。群论也激发了对有限对称群和有限交错群之间的同余关系的研究。利用分拆函数$p(n)$的Ramanujan同余和Atkin推广到$k$着色分拆函数$p_{k}(n)$的方法，证明了这两个级数模5和7的任意幂之间存在同余关系，并对它们进行了系统的描述.进一步证明了这种关系存在于所有素数$\ell\geq 5$的模幂中.
Bell Transforms of Arithmetic Functions: Euler Products, Congruences, and Polynomial Sequences
本文提出一个统一的代数框架，利用形式贝尔变换将算术函数的狄利克雷卷积与无限欧拉型乘积的组合结构联系起来，通过分析指数生成函数的对数导数，建立了贝尔指数与莫比乌斯逆运算之间的显式映射，并应用于推导经典序列的精确消失性质和同余继承性质，包括拉马努金的tau函数和素数着色分区。此外，证明了逆贝尔变换能够无缝恢复经典分区递推关系，并提供了一个离散的组合引擎来生成特殊多项式族，包括经典的Appell和Sheffer序列。
Congruences for a class of eta-quotients and their applications
配分函数$ p_{[1^c\ell^d]}(n)$可以用生成函数\[\sum_{n=0}^{\infty}p_{[1^c{\ell}^d]}(n)q^n=\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(1-q^n)^c(1-q^{\ell n})^d}.\]来定义。在\cite{P}中，我们证明了$\ell=11$的配分函数的无穷族同余。在本文中，我们扩展的想法，我们已经使用的\cite{P}证明无穷族的同余的配分函数$p_{[1^c\ell^d]}(n)$模幂的$\ell$的任何整数$c$和$d$，素数$5\leq \ell\leq 17$。这推广了Atkin，Gordon和Hughes关于配分函数幂的同余式。证明使用一个明确的基础上的同余子群$Γ_0(\ell)$的模函数的向量空间。最后利用这些同余证明了$\ell=5,7,11,13$和$17$的广义Frobenius $\ell$ -色划分、$\ell-$正则划分和$\ell-$核划分的同余和不同余.
Asymptotic formulas for general colored partition functions
1917年，Hardy和Ramanujan得到了经典配分函数$p(n)$的渐近公式。经典配分函数$p(n)$已被广泛研究。最近，Luca和Ralaivaosaona得到了平方根函数的渐近公式。一些特殊的有色分拆函数上的同余关系一直受到数学家的关注。本文研究了一般有色分拆函数。给定正整数$1=s_1<s_2<\dots <s_k$和$\ell_1, \ell_2,\dots , \ell_k$。令$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$为$n$的$\ell$着色分区的数量，其中颜色的$\ell_i$仅出现在$s_i\ (1\le i\le k)$的乘法中，其中$\ell = \ell_1+\cdots +\ell_k$。通过使用初等方法，我们获得了带有显式误差项的配分函数$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$的渐进公式。
Additional Congruences for generalized Color Partitions of Hirschhorn and Sellers
本文研究了广义颜色划分数$a_k(n)$的同余性质，通过生成函数和θ函数等方法，发现了一些模2的幂和模11的同余关系。
Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, I: coloured Frobenius partitions and combinatorial proofs
在这两个同伴文件中，我们给无限家庭的分区身份推广Primc的和Capparelli的身份，并研究其后果的理论上的晶体基地的仿射李代数$A_{n-1}^{(1)}.$在这第一篇论文中，我们专注于组合方面。通过构造一个$n^2 \times n^2$矩阵的差分条件，我们给出了Primc恒等式的$n^2$ -着色推广，Primc的原恒等式对应于$n=2$和$n=3$ .虽然在文献中大多数有色分区身份连接分区与不同的条件，以分区与同余条件，在我们的情况下，自然的方式来推广这些身份是分区与不同的条件，以有色弗罗贝纽斯分区。这给出了生成函数的一个非常简单的表达式。随着一个特殊的专业化的颜色变量，我们的推广也产生了一个分区身份与同余条件。然后，使用双射从我们的新概括Primc的身份，我们推导出一个多参数的家庭身份的$(n^2-1)$ -彩色分区概括Capparelli的身份，也在有色Frobenius分区。特殊情况$n=2$是Capparelli的恒等式，而情况$n=3$恢复了Meurman和Primc的恒等式。在第二篇论文中，我们将集中在晶体理论方面。我们将表明，我们在我们的$n^2$ -彩色概括Primc的身份，实际上是某些$A_{n-1}^{(1)}$晶体的能量函数定义的差异条件。然后，我们将使用这个结果来检索Kac-Peterson特征标公式，并导出一个新的特征标公式作为所有不可约的最高…
Some Observations on Modulo 5 Congruences for 2-Color Partitions
2色分区可以被认为是自然数$n$的常规分区的扩展，其中$p_{k}(n)$被定义为$n$的2色分区的数量，其中2种颜色中的一种仅出现在是$k$的倍数的部分中。在本文中，我们记录的模5同余关系$p_{k}(25n + 24 - k) \equiv 0 \pmod{5}$的$k \in \{1, 2, \ldots, 24\}$的完整的特征，与2色配分函数$p_k(n)$，提供参考现有的结果$k \in \{1, 2, 3, 4, 7, 8, 17\}$，简单的证明$k \in \{5, 10, 15, 20\}$为了完整性，并在所有剩余的情况下反例。我们还在$k = 4$的情况下提出了另一种证明，不使用Rogers-Ramanujan比率，从而使证明与Ahmed，Baruah和Ghosh Dastidar的证明相比简单得多（JNT 2015）。
Congruences for Overcolored Partition $k$-tuples Restricted by Parity of the Parts
本文提出统一框架研究过度着色分拆 $k$-元组 $\bar{b}^k_{r,s}(n)$ 模奇素数的同余性质，并证明特定情形下 $\bar{b}_{4,2}^4(5n)$ 模 5 同余为零。
Square-free discriminants of Frobenius rings
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线。众所周知，$E_p$的自同态环，$E$模普通约化的素数$p$的约化，是由Frobenius元素$π_p$生成的二次虚域$Q(π_p)$的阶。当曲线有复数乘法（CM）时，这总是一个固定的字段，因为素数变化。然而，当曲线没有CM时，我们所知甚少，不仅关于阶，而且关于可能出现为改变素数的自同态代数的域。自同态环与Frobenius元的特征多项式的判别式$a_p^2-4p$的运算密切相关。在本文中，我们感兴趣的功能$π_{E,r,h}(x)$计数的素数$p$的数量$x$，使$a_p^2-4p$是无平方和在同余类$r$模$h$。本文给出了在有理数上定义的椭圆曲线上求平均时$π_{E,r,h}(x)$的精确渐近性，并讨论了这个结果与Lang-Trotter猜想以及与曲线模$p$有关的其它问题的关系.
Incongruences for modular forms and applications to partition functions
模形式$f(τ) = \sum a(n)q^n$的系数的算术性质的研究有着丰富的历史，包括关于等差数列中同余的深入结果。最近，C. S. Radu，S.阿尔格伦湾金，N. Andersen和S. Löbrich使用了P. Deligne和M. Rapoport，以确定更多关于这些一致性可能发生的地方。在这里，我们扩展的方法，给额外的结果为一大类的模形式。对于广义Frobenius分拆和两个模拟θ函数$f(q)$和$ω(q).$，我们也给出了类似的结果
On the Parity of the Generalized Frobenius Partition Functions $ϕ_k(n)$
本文证明了对所有正整数 $\ell$、素数 $p\geq 5$ 及满足 $24r+1$ 为模 $p$ 二次非剩余的 $r$，广义 Frobenius 分拆函数 $\phi_{p\ell-1}(pn+r)$ 恒为偶数，给出无限族 $k$ 的奇偶性结果，证明基于初等生成函数操作。
A congruence family modulo powers of 5 for generalized cubic partitions via the localization method
本文利用 Banerjee-Smoot 局部化方法，在模曲线 X_0(10) 上证明了广义三次分拆函数 a_3(n) 模 5 幂的同余族，推广了 Watson-Atkin 方法。
Generating functions for power moments of elliptic curves over $\mathbb{F}_p$
Birch和Ihara的著作给出了$p \geq 5$上$\mathbb{F}_{p}$的椭圆曲线的Frobenius自同态的迹的$m$次幂矩的公式。Kaplan和Petrow最近的工作将这些结果推广到了包含一个同构于固定有限交换群$A$的子群的椭圆曲线的情形。我们重新审视这些公式，并确定一个简单的表达式为zeta函数$Z_p(A; t)$，这些$m$次幂矩的生成函数。特别是，我们发现，\[ Z_p(A;t) = \frac{\widehat{Z}_p(A; t)}{\displaystyle \prod_{a \in \textrm{Frob}_p(A)}(1 - at)},\]其中$\textrm{Frob}_p(A) := \{ a \, \colon -2\sqrt{p} \leq a \leq 2\sqrt{p}\, \text{ and } a \equiv p+1 \pmod{|A|}\}$，和$\widehat{Z}_p(A;t)$是一个容易计算的多项式，是由第一$\Big\lceil\frac{2\lfloor 2\sqrt{p}\rfloor}{|A|}\Big\rceil$权力时刻。这些有理zeta函数有两个自然的应用。我们发现合理的生成函数的重量方面的Hecke运营商的轨迹$S_k(Γ)$的各种同余子群$Γ$。利用已知的Hecke算子迹的同余关系，我们还证明…
Overcolored Partition $k$-tuples Restricted by Parity of the Parts
本文研究超着色分拆k元组的计数函数$\bar{b}^k_{r,s}(n)$，扩展Chacon与Sellers的相关结果，建立其模素数的可除性性质及模2幂的新同余式，所用技术基于theta函数恒等式和模形式。
Berkovich-Uncu type Partition Inequalities Concerning Impermissible Sets and Perfect Power Frequencies
最近，Rynn和第一作者（Ann.Comb.25（2021）697-728）证明了Berkovich和Uncu（Ann.Comb.23（2019）263-284）关于具有不允许部分的划分的一个严格不等式。在本文中，我们推广了这个不等式，考虑到t个不允许部分。我们将这些与分区进行比较，分区的某些部分出现的频率是完美的t^{th}幂。我们的不等式在一定的范围后成立，对于给定的t是s中的多项式，这是对先前已知的t=1情况下的范围的重大改进。为了证明这些不等式，我们的方法涉及到在相关的分区集之间构造内射映射。这些映射的构造关键涉及分析和微积分中的概念，例如用于证明N^t可数性的显式映射，以及凸函数的詹森不等式，然后将它们与数论中的技术融合，例如Frobenius数，同余类，二进制数和二次剩余。我们还显示了我们的结果的连接到彩色分区。最后，我们提出了一个开放的问题，这似乎是有关的幂剩余和几乎普遍性的对角三元二次型。
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