有色分拆函数的高效计算与同余式
Efficient Computation and Congruences for Colored Partition Functions
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中文总结 AI 辅助
本文针对整数 $\alpha$ 证明了有色分拆计数中指数和的乘性与约化公式，结合截断精度界提出高效精确算法，并验证了新的 Ramanujan 型同余式。
中文摘要 AI 辅助
对于正整数 $\alpha$，令 $p_\alpha(n)$ 表示 $n$ 的 $\alpha$-有色分拆的个数。Iskander、Jain 和 Talvola 的 Rademacher 型展开式对所有实数 $\alpha>0$ 均成立，但当 $\alpha>24$ 时，它涉及若干极项以及一个双参数指数和族 $A_k^{(\alpha)}(n,m)$。对于整数 $\alpha$，我们证明了这些和的乘性及素数幂约化公式，将其局部因子表示为经典或二次扭曲的 Kloosterman 和。结合显式的截断和精度界，这些公式给出了精确计算 $p_\alpha(n)$ 的高效算法。我们的 SageMath 实现在不到一小时内计算出了 $p_{100}(10^{10})$ 的 1,113,767 位整数。作为应用，我们利用该算法验证了新的 Ramanujan 型同余式。
英文摘要
For a positive integer $α$, let $p_α(n)$ denote the number of $α$-colored partitions of $n$. The Rademacher-type expansion of Iskander, Jain, and Talvola is valid for every real $α>0$, but when $α>24$ it involves several polar terms and a two-parameter family of exponential sums $A_k^{(α)}(n,m)$. For integral $α$, we prove multiplicativity and prime-power reduction formulas for these sums, expressing their local factors as classical or quadratically twisted Kloosterman sums. Together with explicit truncation and precision bounds, these formulas yield an efficient algorithm for computing $p_α(n)$ exactly. Our SageMath implementation computes the 1,113,767-digit integer $p_{100}(10^{10})$ in less than one hour. As an application, we use the algorithm to certify new Ramanujan-type congruences.
发表机构
- Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
