双色划分伴随序列中的符号模式
Sign Patterns in a Two Colored Partition Companion series
AI总结：
研究与双色划分序列相关的两个问题，一是证明eta归一化伴随序列的Andrews - El Bachraoui符号猜想强形式，二是用富兰克林型对合构造对合组合解释\(s_1(n)\)模4的同余。
AI中文摘要：
我们研究了与Andrews和El Bachraoui关于双色划分序列\[ S_1(q)=\sum_{n\ge0}s_1(n)q^n=\sum_{a\ge0}q^a(-q^{a+1};q)_\infty^2 \]及其奇数伴随序列\(T_o(q)\)的近期工作相关的两个紧密问题。首先，对于eta归一化伴随序列\[ C(q)=(q;q)_\infty T_o(q)=\sum_{n\ge0}c(n)q^n \]，我们证明了Andrews - El Bachraoui符号猜想的一种强形式，即\(\limsup c(n)=+\infty\)且\(\liminf c(n)=-\infty\)。其次，我们使用Chen和Liu的富兰克林型对合构造一个对合来组合解释\(s_1(n)\)模4的Andrews - El Bachraoui同余。
英文摘要：
We study two closely related questions arising from the recent work of Andrews and El Bachraoui on the two-color partition series \[ S_1(q)=\sum_{n\ge0}s_1(n)q^n=\sum_{a\ge0}q^a(-q^{a+1};q)_\infty^2 \] and its odd companion, denoted by $T_o(q)$. First, for the eta-normalized companion \[ C(q)=(q;q)_\infty T_o(q)=\sum_{n\ge0}c(n)q^n, \] we prove a strong form of the Andrews--El Bachraoui sign conjecture that $\limsup c(n)=+\infty$ and $\liminf c(n)=-\infty$. Second, we construct an involution using the Franklin-type involution of Chen and Liu to combinatorially explain Andrews--El Bachraoui congruence for $s_1(n)$ modulo 4.
