Combinatorial Sums and Identities Involving Generalized Sum-of-Divisors Functions with Bounded Divisors
用$L_α(q)$表示的Lambert级数生成函数类（LGF）形式上枚举了对所有整数$n \geq 1$和固定实参数$α\geq 0$的广义约数和函数$σ_α(n) = \sum_{d|n} d^α$.我们证明了新的公式扩大这些LGF的高阶导数。我们得到的结果结合起来，表示新的恒等式扩展广义因子和函数。这些新的身份的形式展开的多项式缩放倍数的一个相关类的除数和取决于$n$和$α$的总和。
2020-11-17 math.NT
Combinatorial proofs of q-series identities
本文给出了Andrews，Jimenez-Urroz和Ono [q]-级数恒等式和某些$L$ -函数的值的组合证明. Duke Math.J.108（2001），no.3，395- 419]。
2001-09-03 math.CO math.NT
Combinatorial proofs of several partition identities of Andrews and Merca
本文基于Fu和Tang的双射，为Andrews和Merca的若干分拆恒等式提供了组合证明，并引入两种分拆权重扩展了其中一个恒等式。
2024-11-12 math.CO math.NT
A combinatorial approach to Berkovich type identities
本研究受Berkovich的9个含勒让德符号的q-二项式恒等式启发，采用组合方法构建了这类恒等式的统一形式，既涵盖原有9个恒等式，还能推导更多同类恒等式。
2024-04-13 math.CO math.NT
Combinatorial Identities Deriving From The $N$-th Power Of A $2\Times 2$ Matrix
本文给出了$2\times2$矩阵的$n$次幂的一个新公式.更确切地说，我们证明了以下几点：让$A= \left ( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right )$是一个任意的$2\times2$矩阵，$T=a+d$其迹，$D= ad-bc$其行列式和定义\[ y_{n} :\,= \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}\binom{n-i}{i}T^{n-2 i}(-D)^{i}. \]然后，对于$n \geq 1$，\begin{equation*} A^{n}=\left ( \begin{matrix} y_{n}-d \,y_{n-1} & b \,y_{n-1} \\ c\, y_{n-1}& y_{n}-a\, y_{n-1} \end{matrix} \right ). \end{equation*}我们使用这个公式连同现有的公式为$n$ -th权力的矩阵，各种矩阵身份，公式为$n$ -th权力的特定矩阵，等等，以获得各种组合身份。
2018-12-28 math.NT
Combinatorial identities associated with new families of the numbers and polynomials and their approximation values
最近，数$Y_{n}(λ)$和多项式$Y_{n}(x,λ)$已经由第二作者引入[22]。本文的目的是构造这些数和多项式的高阶及其生成函数。利用这些生成函数及其函数方程和导数方程，我们导出了各种恒等式和关系式，包括两个递推关系式，Vandermonde型卷积公式，组合和，Bernstein基函数，以及一些著名的特殊数族及其插值函数，如Apostol-Bernoulli数，Apostol-欧拉数，第一类Stirling数，和zeta型函数。最后，利用Stirling因子逼近，研究了数$Y_{n}\left( λ\right) $的特殊情形的逼近值.
2017-10-30 math.NT
Combinatorial identities with multiple harmonic-like numbers
该研究利用生成函数方法推导多重类调和数相关二项式和的闭式，并给出多个推论、示例及与超调和数和奇调和数相关的组合恒等式。
2024-06-10 math.CO math.NT
Combinatorial approach to Andrews-Gordon and Bressoud type identities
本研究受Warnaar工作启发，通过构造整数分拆相关集合间显式保权重保长度双射，给出Andrews-Gordon与Bressoud恒等式和式侧的组合解释，还发现并证明了奇偶条件相反的Kurşungöz恒等式的q级数版本，同时证明了一批该类已知及新恒等式。
2024-03-08 math.CO math.NT
On some combinatorial identities and harmonic sums
对于任何$m,n\in\mathbb{N}$，我们首先给出以下著名的组合恒等式\begin{equation*} S_n(m)=\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{(-1)^{k-1}}{k^m}=\sum\limits_{n\geq r_1\geq r_2\geq...\geq r_m\geq 1}\frac{1}{r_1r_2\cdots r_m} \end{equation*}和$$ \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^n = n!, $$的新证明，然后我们产生的生成函数和整表示$S_n(m)$。使用它们，我们评估了许多有趣的有限和无限的谐波和封闭形式。例如，我们证明了$$ ζ(3)=\frac{1}{9}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{H_n^3+3H_nH_n^{(2)}+2H_n^{(3)}}{2^n}, $$和$$ ζ(5)=\frac{2}{45}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^4+6H_n^2H_n^{(2)}+8H_nH_n^{(3)}+3\left(H_n^{(2)}\right)^2+6H_n^{(4)}}{n2^n}, $$，其中$H_n^{(i)}$是下面定义的广义调和数。
2017-03-19 math.NT
On the Bernoulli Numbers via the Newton-Girard Identities
利用Newton-Girard恒等式，证明了在正偶数下计算黎曼ζ函数的Bernoulli数公式.为此，我们在函数空间上定义一列正整数、一列多项式和一列线性算子。我们证明了这些多项式的性质，如其系数的正性，并提出了一个组合公式的伯努利数作为一个积极的和平面树，可以推广为一个变换的序列。利用对称群组合证明了Newton-Girard恒等式。
2019-12-12 math.NT
The new combinatorial identities of symmetric functions
本文利用指数生成函数等初等方法，研究了与对称函数相关的二项式卷积及Bernoulli、Euler和Genocchi数与多项式的卷积和，推导并建立了二元多项式及相关特殊多项式的多个新组合恒等式。
2025-04-28 math.CO math.NT
Theta Series of Unimodular Lattices, Combinatorial Identities and Weighted Symmetric Polynomials
我们找到了两个组合恒等式的根格的θ系列的有限维单李代数的$D_{4n}$型和陪集在其积分型，在著名的Essenstein系列$E_4(z)$和Ramanujan系列$\Dlt_{24}(z)$。利用这两个恒等式，我们确定了某些正定偶幺模格的无限族的θ级数，这些无穷族是由$D_{2n}$型有限维单李代数的根格的有限个拷贝胶合而成的.证明了这些θ级数是$E_4(z)$和$\Dlt_{24}(z)$两个固定多项式族的加权对称多项式。
2000-03-29 math.NT math.QA
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
2025-05-14 math.CO math.NT
Identities involving the number of missing integers in partitions - combinatorial proofs
St. Mary’s University（圣玛丽大学）；College of the Holy Cross（圣十字学院）
针对Bhoria等人关于分拆中缺失整数个数的相关结果，本文提供了组合证明，丰富了分拆组合学领域的研究内容。
2026-08-04 math.CO math.NT
$p^\ell$-Torsion Points In Finite Abelian Groups And Combinatorial Identities
本文的主要目的是计算某类有限阿贝尔群中$p^\ell$ -扭元个数的全部矩。这些矩中的平均值是为类组的Cohen-Lenstra估计和它们对Tate-Shafarevich组的适应而定义的。特别地，我们证明了Tate-Shafarevich群的启发式模型与Poonen和Rains最近关于椭圆曲线的$p$ -Selmer群阶矩的猜想是相容的.为了我们的目的，我们被引导到定义某些多项式索引的整数分区，并研究它们的组合方式。此外，从我们的概率模型中，我们得到组合身份，其中一些似乎是新的，其他有关的对称函数的理论。因此，在某种意义上，我们的方法为这些恒等式提供了某种自然的代数背景。
2013-03-31 math.CO math.NT
Combinatorial identities associated with a bivariate generating function for overpartition pairs
我们得到了一个三参数$q$ -级数恒等式，推广了Chan和Mao的两个结果.通过专门化我们的身份，我们得出新的结果，组合的意义与$N(r, s, m, n)$，功能计数某些overpartition对最近推出的布林曼，洛夫乔伊和奥斯本。例如，我们的一个恒等式给出了二重级数在第二类切比雪夫多项式中的封闭形式的估值，从而导致了欧拉五边形数定理的模拟。我们的另一个结果表达了一个涉及$N(r, s, m, n)$的多重和，仅用分拆函数$p(n)$表示。利用Shimura的一个结果，我们还将某个二重级数与一个权7/2 θ级数联系起来。
2022-01-18 math.CO math.NT
Combinatorial identities from an inhomogeneous Ising chain
该研究通过非均匀Ising链与最近邻粒子系统的对应关系，证明了与整数分拆、Frobenius分拆相关的组合恒等式，得到特定Ising链配分函数的乘积形式，并发现粒子系统的长程可逆动力学。
2024-01-29 math.CO math.NT math.PR
Combinatorial identities and Titchmarsh's divisor problem for multiplicative functions
给定素数上周期的乘法函数$f$，得到了移位卷积和$\sum_{|h|<n\leq x} f(n) τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$τ$表示除数函数，$h\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$表示移位卷积和.我们特别考虑$f$是广义除数函数$τ_z$与$z\in\mathbb{C}$的特殊情况，和两个平方和的特征函数（或更一般地说，理想规范的阿贝尔扩展）。作为另一个应用，我们推导出了广义Titchmarsh除数问题$\sum_{|h|<n\leq x,\,ω(n)=k} τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$ω(n)$计算$n$的不同素除数的个数，从而推广了Fouvry和Baugeri-Friedlander-Iwaniec的一个结果.我们提出了两种不同的证明：第一依赖于一个有效的组合公式的希斯-布朗的类型的除数函数$τ_α$与$α\in\mathbb{Q}$，和插值参数的$z$ -变量的加权平均值的$τ_z$。第二个是基于$τ_z$的Linnik型恒等式和易碎数的良好可因子分解性。
2018-12-18 math.NT
The Method of Combinatorial Telescoping
我们提出了一种方法，证明q-系列身份组合伸缩，在这个意义上说，一个可以转换成一个双射或分类的组合对象的伸缩关系。我们将说明这种方法给出一个组合证明沃森的身份，这意味着罗杰斯-拉马努金身份。
2010-09-05 math.CO math.NT
Combinatorial Properties of Rogers-Ramanujan-Type Identities Arising from Hall-Littlewood Polynomials
在这里，我们考虑$q$ -系列来自霍尔-利特尔伍德多项式，\begin{equation*} R_ν(a,b;q)=\sum_{\substack{λ\\[1pt] λ_1\leq a}} q^{c|λ|} P_{2λ}\big(1,q,q^2,\dots;q^{2b+d}\big). \end{equation*}这些系列是由格里芬，小野，和Warnaar在他们的工作框架的罗杰斯-拉马努金身份。我们设计了一个递归的方法来计算这些系列的系数时，他们出现在罗杰斯-拉马努金框架。此外，我们还研究了这些级数的某些同余式和乘积的同余性质，推广了著名的Ramanujan同余式\begin{equation*} p(5n+4)\equiv0\pmod{5}. \end{equation*}
2014-07-16 math.CO math.NT
Several generalizations and variations of Chu-Vandermonde identity
本文证明了几个组合恒等式，它们可以看作是显着的Chu-Vandermonde恒等式的推广和变化。本文用初等组合概率方法证明了最近研究的离散随机变量的某些特殊情形的$k$阶矩（$k=1,2,3$）的表达式。利用其中一个Chu-Vandermonde型恒等式，建立了两个组合同余式。
2018-07-23 math.CO math.NT
Combinatorial identities related to degenerate Stirling numbers of the second kind
本文研究退化第二类 Stirling 数的性质、恒等式、递推关系与显式表达式，并结合退化 Euler 公式探讨相关多项式和幂级数。
2025-01-10 math.CO math.NT
A Combinatorial Proof of Partition Identities for the Number of Distinct Part Sizes
National Institute of Science Education Research（印度国家科学教育研究所）；Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文对Bressoud等提出的加权分拆恒等式给出组合证明，并将结果扩展到p⁽ᵏ⁾(n)，即n恰好拆分为k个不同分拆大小的分拆数。
2026-10-14 math.CO math.NT
Some New and Old Gibonacci Identities
本文给出了Lucas数和Gibonacci数的不同组合解释。利用这些解释，我们证明了几个新的身份，并简化了几个已知的身份证明。一些开放的问题进行了讨论接近文件的结尾。
2020-08-07 math.CO math.NT
Combinatorial Extensions on Andrews and El Bachraoui's Almost-Distinct Partitions
针对Andrews和El Bachraoui提出的最小部分重复、其他部分不同的整数分拆相关恒等式，本文给出其无限族的组合证明，还研究仅最大部分可重复的类似分拆，得到不同部分分拆数的无限族不等式。
2025-08-24 math.CO math.NT
Combinatorial identities derived from explicit formulas of Gauss hypergeometric functions
School of Mathematics and Physics, Hulunbuir University（呼伦贝尔大学数学与计算机学院）
该研究借助法阿·迪·布鲁诺公式等建立高斯超几何函数显式公式，进而导出两个组合恒等式，推广了已有组合恒等式，核心方法是公式推导，主要贡献为新的组合恒等式及其推广。
2026-11-02 math.CO math.NT
A bijective proof of a false theta function identity from Ramanujan's lost notebook
Ramanujan在他丢失的笔记本中列出了5个与假θ函数$$f(q)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nq^{n(n+1)/2}.$$有关的恒等式，并对其中一个恒等式给出了新的组合解释和证明.的方法的证明允许新的多元推广这个身份。此外，相同的技术可以用于获得另一个恒等式的组合解释。
2018-10-29 math.CO math.NT
Combinatorial proofs of two Euler type identities due to Andrews
我们证明组合的一些身份有关欧拉的分区身份（$n$的分区成不同的部分的数量等于$n$的分区成奇数部分的数量）。它们由Beck提出并由Andrews通过生成函数证明。令$a(n)$是$n$的分区的数目，使得偶数部分的集合恰好具有一个元素，$b(n)$是$n$的所有奇数分区中的部分的数目与$n$的所有不同分区中的部分的数目之间的差，并且$c(n)$是$n$的其中恰好一个部分被重复的分区的数目。然后是$a(n)=b(n)=c(n)$。等式$a(n)=c(n)$由Fu和Tang组合地（更一般地）证明。我们组合地证明了$a(n)=b(n)$和$b(n)=c(n)$ .我们的证明依赖于一个集和一个多集之间的双射，其中多集中的分区用位串装饰。令$c_1(n)$为$n$的分区数，使得恰好有一个部分出现三次，而所有其他部分仅出现一次，并令$b_1(n)$为$n$划分为不同部分的分区中的部分总数与$n$划分为奇数部分的分区中的不同部分总数之差。我们组合地证明了$c_1(n)=b_1(n)$ .除了Andrews的这些结果外，我们还组合地证明了$b_1(n)=a_1(n)$，其中$a_1(n)$对$n$的划分进行计数，使得偶数部分的集合恰好有一个元素并满足一些附加条件.我们还处理的情况下，正好一个部分出现两次，而所有其他部分只出现一次。
2018-06-29 math.CO math.NT
Warnaar's bijection and colored partition identities, II
在我们的前一篇文章中，我们确定了一个统一的组合框架来看待大量的有色划分恒等式，并研究了对应于Schroeter，Russell和Ramanujan型素数阶例外模方程的五个恒等式。本文的目标是使用我们以前的工作的主双射组合显示几个新的和高度非平凡的有色划分身份。最后，我们列出了一些与证明相同类型的进一步有趣的恒等式。
2013-01-17 math.AC math.CO math.NT
Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, I: coloured Frobenius partitions and combinatorial proofs
在这两个同伴文件中，我们给无限家庭的分区身份推广Primc的和Capparelli的身份，并研究其后果的理论上的晶体基地的仿射李代数$A_{n-1}^{(1)}.$在这第一篇论文中，我们专注于组合方面。通过构造一个$n^2 \times n^2$矩阵的差分条件，我们给出了Primc恒等式的$n^2$ -着色推广，Primc的原恒等式对应于$n=2$和$n=3$ .虽然在文献中大多数有色分区身份连接分区与不同的条件，以分区与同余条件，在我们的情况下，自然的方式来推广这些身份是分区与不同的条件，以有色弗罗贝纽斯分区。这给出了生成函数的一个非常简单的表达式。随着一个特殊的专业化的颜色变量，我们的推广也产生了一个分区身份与同余条件。然后，使用双射从我们的新概括Primc的身份，我们推导出一个多参数的家庭身份的$(n^2-1)$ -彩色分区概括Capparelli的身份，也在有色Frobenius分区。特殊情况$n=2$是Capparelli的恒等式，而情况$n=3$恢复了Meurman和Primc的恒等式。在第二篇论文中，我们将集中在晶体理论方面。我们将表明，我们在我们的$n^2$ -彩色概括Primc的身份，实际上是某些$A_{n-1}^{(1)}$晶体的能量函数定义的差异条件。然后，我们将使用这个结果来检索Kac-Peterson特征标公式，并导出一个新的特征标公式作为所有不可约的最高…
2020-07-09 math.CO math.NT math.QA
Some Weighted Generalized Fibonacci Number Summation Identities, Part 1
斐波那契数是一个有理函数的余数，由此可以用整表示方法导出斐波那契数求和恒等式，该方法也用于导出组合恒等式。用这种方法导出了若干加权广义Fibonacci数求和恒等式。由这些恒等式得到了一些无穷级数、生成函数和卷积恒等式。此外，还得到了几个带二项式系数的加权广义Fibonacci数求和恒等式。提供了这两种类型的求和恒等式的许多例子。
2019-12-09 math.CO math.NT
Bressoud-Subbarao type weighted partition identities for a generalized divisor function
1984年，Bressoud和Subbarao利用组合论元得到了广义除数函数的一个有趣的加权分拆恒等式.最近，最后三个命名的作者发现了一个分析证明上述身份的Bressoud和Subbarao开始从$q$系列身份的拉马努金。在本文中，我们重新组合参数Bressoud和Subbarao，并得出一个更一般的加权划分的身份。此外，从Andrews，Garvan和Liang的一个恒等式出发，借助一个分数阶微分算子，我们建立了更多的Bressoud-Subbarao型加权分拆恒等式.我们还发现了一个单一的变量推广的身份内村相关的贝尔多项式。
2022-10-07 math.CO math.NT
Beck-type identities: new combinatorial proofs and a theorem for parts congruent to $t$ mod $r$
令$\mathcal O_r(n)$是$n$的$r$ -常规分区的集合，$\mathcal D_r(n)$是$n$的分区的集合，其中部分重复最多$r-1$次，$\mathcal O_{1,r}(n)$是恰好一个部分（可能重复）可被$r$整除的分区的集合，并且令$\mathcal D_{1,r}(n)$是其中恰好一个部分出现至少$r$次的分区的集合。如果$E_{r, t}(n)$是$\mathcal O_r(n)$中所有分区中与$t \pmod r$一致的部分的数量超过$\mathcal D_r(n)$中所有分区中至少出现$t$次的不同部分的数量，则为$E_{r, t}(n) = |\mathcal O_{1,r}(n)| = |\mathcal D_{1,r}(n)|$。我们证明了这一点分析和组合使用双射由于熊和基思。作为推论，我们得到第一个贝克型恒等式，即，$\mathcal{O}_r(n)$中的所有分区中的部件数量超过$\mathcal{D}_r(n)$中的所有分区中的部件数量的部分等于$(r - 1)|\mathcal{O}_{1,r}(n)|$，也等于$(r - 1)|\mathcal{D}_{1,r}(n)|$。我们的工作提供了一个新的组合证明，这一结果，不使用Glaucet的双射。我们还给出了一个新的组合证明的Xiong-Keith双射的基础上的第二贝克型身份，已被证明…
2020-11-16 math.CO math.NT
Multiple Bracket Function, Stirling Number, and Lah Number Identities
作者在最近的一篇文章中构造了几个组合数族的多个类似物，包括括号符号，以及第一类和第二类斯特林数。本文提出了另一个序列--Lah数的多重模拟，并构造了所有这些序列的某些相关恒等式和重要性质。
2015-06-17 math.CO math.NT
Weighted Forms of Euler's Theorem
在回答安德鲁斯的一个问题，寻找组合证明两个身份在拉马努金的“丢失”笔记本电脑，我们得到加权形式的欧拉定理分区与奇数部分和不同的部分。这项工作的灵感来自安德鲁斯的洞察力之间的联系拉马努金的身份和欧拉定理。我们的组合配方的拉马努金的身份依赖于有根分区的概念。迭代Dyson映射和Sylvester双射是欧拉定理加权形式的主要组成部分。
2005-10-06 math.CO math.NT
Polynomial Identities Implying Capparelli's Partition Theorems
我们提出并递归证明多项式的身份，这意味着Capparelli的分割定理。我们还找到完美的同伴安德鲁斯的结果，和Alladi，安德鲁斯和戈登涉及$q$ -三项式系数。我们遵循Kurhungöz的想法，提供我们的一些表达式的直接组合解释。我们使用的三项式类似贝利引理，以获得新的身份。这些恒等式涉及三重和和乘积。一对夫妇的新斯莱特类型的身份也注意到。
2019-02-15 math.CO math.NT
Partition Identities for Ramanujan's Third Order Mock Theta Functions
我们发现两个对合分区，导致分区身份Ramanujan的三阶模拟θ函数$ϕ(-q)$和$ψ(-q)$。我们还给出了Fine的分拆恒等式在模拟θ函数f（q）上的对合. Ramanujan关于三阶模拟θ函数的两个经典恒等式就是这些分拆恒等式的结果。我们的组合结构也适用于安德鲁斯的推广拉马努金的身份。
2010-06-16 math.CO math.NT
Warnaar's bijection and colored partition identities, I
我们提供了一个一般的和统一的组合框架，一些有色划分的身份，其中包括五个，最近证明的分析B。Berndt，它们对应于H.施罗特河Russell和S.拉马努金我们的方法推广了S。Kim给出了这五个恒等式中两个的双射证明，即模7恒等式（也称为Farkas-Kra恒等式）和模3恒等式。作为我们的方法的结果，我们确定双射证明也为两个高度非平凡的身份模5和11，从而留下开放的组合只有一个模23。
2012-06-28 math.AC math.CO math.NT
New companions to the Andrews--Gordon identities motivated by commutative algebra
本文证明了第一作者在交换代数框架下提出的一个组合猜想。这个结果产生了著名的Andrews-Gordon恒等式的新的同伴。我们的工具包括分次商环，杜菲广场和矩形的整数分区，和$q$系列身份。
2023-02-23 math.AC math.AG math.CO
