Solutions to some sign change problems on the functions involving sums of divisors
本文针对 Pongsriiam 近期提出的涉及除数和函数的符号变化问题给出解答，填补了相关数论问题的研究空白。
2024-01-18 math.NT
On fractional sums of the divisor functions
本文研究了除数函数的分数和问题。我们改进了Bordellés \cite{Bo}和Liu-Wu-Yang \cite{LWY}的已有结果.
2023-01-15 math.NT
Combinatorial Sums and Identities Involving Generalized Sum-of-Divisors Functions with Bounded Divisors
用$L_α(q)$表示的Lambert级数生成函数类（LGF）形式上枚举了对所有整数$n \geq 1$和固定实参数$α\geq 0$的广义约数和函数$σ_α(n) = \sum_{d|n} d^α$.我们证明了新的公式扩大这些LGF的高阶导数。我们得到的结果结合起来，表示新的恒等式扩展广义因子和函数。这些新的身份的形式展开的多项式缩放倍数的一个相关类的除数和取决于$n$和$α$的总和。
2020-11-17 math.NT
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: II
这是第二部分，我们检查的第二和第四时刻和转移的时刻的黎曼ζ函数的临界线上使用长狄利克雷多项式和除数相关。
2015-06-23 math.NT
Higher correlations of divisor sums related to primes I: triple correlations
我们得到了与素数有关的截断因子和的三重相关。我们还得到了这个因子和在素数上求和时的混合相关性，并给出了它在短区间素数上的一些应用。
2001-11-19 math.NT
On sums of the small divisors of a natural number
我们考虑不超过其平方根的自然数的正因子，我们称之为自然数的{ \it小因子\/}。我们确定的算术函数的渐近行为，增加了一个自然数的小因子，我们认为它的Dirichlet生成级数。
2019-10-25 math.NT
Two explicit divisor sums
我们给出了$d(n)^2$和$d_4(n)$的和的明确界，其中$d(n)$是$n$的约数，$d_4(n)$是将$n$写成四个数的乘积的方法的数目。在这样做时，我们对四次数域的类数的上界作了一点改进。
2019-11-18 math.NT
On divisors of sums of polynomials
设$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是有限域上的$n$次数多项式的集合。我们证明了，如果$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$足够大，那么对于某些$A\in\mathcal{A}$和$B\in \mathcal{B}$，$A+B$有一个不可约的大次数因子。
2022-06-27 math.NT
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: III
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文研究了经典的除数和移位卷积问题的结构公式的精确输入，从而得到了以除数函数为系数的长度为$T^2$的Dirichlet多项式沿$[T,2T]$的均方渐近公式中的所有低阶项.
2015-06-23 math.NT
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: IV
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文开始了我们所谓的II型和的一般性研究，利用循环方法框架和卷积的移位卷积和获得所有的低阶项的渐近公式中的均方沿$[T,2T]$的狄利克雷多项式的长度达$T^3$与除数函数作为系数。
2016-08-25 math.NT
On the variance of sums of divisor functions in short intervals
给定一个正整数$n$，$k$ -倍除数函数$d_k(n)$等于正整数的有序$k$ -元组的数量，其乘积等于$n$ .在Lindelöf假设下，研究了$d_k(n)$和在短区间上的方差，并建立了$k=3$和$k \ge 4$在一定长度的短区间上的方差的渐近公式.
2015-02-04 math.NT
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: V
在这一系列的文件中，我们检查的$2k$次时刻和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文完成了我们称之为II型和的一般性研究，它利用循环方法框架和移位卷积和的卷积来获得以除数函数为系数的任意长度的Dirichlet多项式的均方沿$[T,2T]$的渐近公式中的所有低阶项。
2018-09-03 math.NT
On Ramanujan Sums of a Real Variable and a New Ramanujan Expansion for the Divisor Function
我们证明了Ramanujan展开的绝对收敛性并不保证其实变量推广的收敛性，该推广是通过用一个实数替换Ramanujan和中的整数自变量而得到的。我们还构造了一个新的Ramanujan展开式的除数函数。虽然我们的扩展是服从一个连续的和绝对收敛的实变量推广，它只内插局部$\mathbb{R}$上的除数函数。
2020-10-21 math.NT
Evaluating convolutions of divisor sums with quasimodular forms
我们提供了一个系统的方法来计算算术和，包括一些以前计算的Alaca，Alaca，Besge，程，Glaucine，Huard，Lahiri，Lemire，Melfi，Ou，Ramanujan，Spearman和Williams。我们的方法是基于准模形式。这种模形式的推广是由Kaneko和Zagier构造的。
2006-04-11 math.NT
Rational exponential sums over the divisor function
我们考虑了Shparlinski提出的一个问题，给出了算术函数$τ(n)$上有理指数和的非平凡界，计算了$n$的因子数。这是使用一些想法萨特有关的分布在剩余类的功能$ω(n)$，计数的数量素因子的$n$，使问题的形式，在那里，一般的模，我们可以应用一个界布尔增益有关指数和子群的有限阿贝尔群和素模的一些结果Korobov和Shkredov。
2013-09-24 math.NT
The variance of divisor sums in arithmetic progressions
我们研究了稀疏等差数列上$k$ -倍除数函数$d_k(n)$的和的方差，并对剩余类和模进行了平均。在一个有限的范围内，我们证实了最近的一个猜想，这个方差的渐近平均版本。这个结果与Dirichlet $L$ -函数的矩密切相关，并且我们的证明依赖于渐近大筛.
2017-04-30 math.NT
A Proof of Merca's Conjectures on Sums of Odd Divisor Functions
在最近的一篇论文中，Merca提出了三个关于广义$m$ -实数的奇除数函数和与生成函数的特定卷积的同余的定理。扩展Merca的工作，我们完成了这些命题的证明。
2021-07-21 math.NT
Powerfree sums of proper divisors
令$s(n):= \sum_{d\mid n,~d<n} d$表示$n$的真因子之和。很自然地推测，对于每个整数$k\ge 2$，等价性\[ \text{$n$ is $k$th powerfree} \Longleftrightarrow \text{$s(n)$ is $k$th powerfree} \]几乎总是成立（这意味着，在一组渐近密度$1$上）。我们证明了这一点的$k\ge 4$。
2021-06-28 math.NT
Sums of divisor functions and von Mangoldt convolutions in $\mathbb F_q[T]$ leading to symplectic distributions
在[arXiv：1504.07804]中，Keating、Rodgers、Roditty-Gershon和Rudnick建立了除数函数$d_k(f)$在短间隔上和函数域$\mathbb F_q[T]$的等差数列上的和的均方与酉矩阵系综上的某些积分的关系。我们考虑类似的问题，导致分布在合奏辛矩阵。我们也考虑类似的问题，涉及卷积的冯Mangoldt功能。
2021-07-03 math.NT
Trigonometric analogue of the identities associated with twisted sums of divisor functions
本文受 Ramanujan 丢失笔记启发，推导出与除数函数扭曲和相关恒等式的三角函数等价版本，并给出了 $r_6(n)$ 的模拟恒等式。
2024-01-06 math.NT
The divisor function along sums of two biquadrates
Rutgers University（罗格斯大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究了二平方四次幂上除数函数的渐进行为，采用二维delta方法和GL₂自守形式分析，改进了Daniel的成果。
2026-01-16 math.NT
The asymptotic formulae of sums of two smooth squares for divisor function
一个自然数$n$是$y$ -光滑的，如果$n$的最大素因子不超过$y$。设$s_{1}$和$s_{2}$是$y$ -光滑数.考虑二元Titchmarsh除数问题的光滑平方和，给出了$(\log x)^{K}\le y<x^{\frac{1}{2}}$的$\sum_{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\le x}τ(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+1)$的渐近公式，其中$K$足够大.
2023-06-12 math.NT
The algebra of generating functions for multiple divisor sums and applications to multiple zeta values
研究了多重因子和的生成函数代数MD及其与多重zeta值的关系。多重因子和的母函数是形式的q中的幂级数，其系数由多重Eisenstein级数的Fourier展开式计算而得。证明了代数MD是一个带有导子的滤过代数，并利用这个导子证明了MD中的线性关系。满模群S1_2（Z）的（拟）模形式构成MD的一个子代数，这也产生MD中的线性关系。多个除数和的生成函数可以看作是多个zeta值的q模拟。研究从这个代数到实数的某个映射，我们将从模形式中推导出多个zeta值之间关系的新解释，包括长度为2的zeta值。
2014-07-25 math.NT
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: I
我们研究的第二和第四的时刻和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。以前，这种方法已经被证明是不成功的计算时刻超过八分之一，即使是经验主义。对二阶矩和四阶矩的仔细分析说明了问题的本质，并使我们能够识别在这些方法的标准应用中遗漏的项。
2015-06-23 math.NT
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
2015-12-01 math.NT
Two-parameter Identities for Divisor Sums in Algebraic Number Fields
在与他丢失的笔记本一起发表的一页纸的片段中，拉马努金陈述了两个二重级数恒等式，分别与著名的高斯圆和狄利克雷除数问题相关。这些恒等式包含一个“额外”的参数，拉马努金可能是为了攻击这些著名的问题而推导出这些恒等式的。类似的著名未解决的问题与$f_K(n)$有关，$f_K(n)$是代数数域$K$中范数$n$的整理想的个数。本文建立了包含一个“额外”参数的涉及$f_K(n)$或与$K$相关的除数函数的Riesz和恒等式.当上指数趋于无穷大时，也建立了上界。
2021-04-13 math.NT
Restricted divisor functions and half Appell sums in higher-level
本文研究高阶半Appell和相关q-级数系数的值分布，证明其等于限制除数函数且可取任意非负整数，并证实了两个相关猜想。
2025-09-07 math.NT
Bilinear sums of Kloosterman sums, multiplicative congruences and average values of the divisor function over families of arithmetic progressions
本文从模$q$的约化剩余集和任意集上的平均得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$在$a$上的除数函数函数$τ(n)$与$n \le x$之和的几个渐近公式.主要目标是通过对$a$进行少量的平均来获得$q \ge x^{2/3}$的非平凡结果。我们记得，对于$a$的个别值，我们目前的方法的极限是对于任意固定的$\varepsilon> 0$的$q \le x^{2/3-\varepsilon}$。我们的方法基于Blomer（2008）基于Voronoi求和公式的方法，我们将其与Kowalski，Michel和Sawin（2017）和Shparlinski（2017）的Kloosterman和的双线性和的一些最新结果相结合。我们还利用额外的应用程序的Voronoi求和公式后，扩大到Kloosterman和，这减少了问题估计的解决方案的数量乘性同余。
2018-11-22 math.NT
Averages of ratios of the Riemann zeta-function and correlations of divisor sums
建立了黎曼ζ函数的比值猜想与莫比乌斯卷积和除数函数的相关性猜想之间的联系。具体地说，我们证明了比率猜想和算术相关性猜想意味着相同的结果。这为比率猜想提供了新的支持，该猜想以前是由随机矩阵理论中的公式和启发式配方的类比激发的。我们的主要定理推广了最近的计算有关的特殊情况下，两个比。
2016-11-28 math.NT
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: stratification and Vandermonde integrals
我们完善了基廷和第二作者最近开发的启发式。我们的改进导致了一个新的整式的黎曼ζ函数的移动的时刻的固定渐近公式。这个表达式类似于最近由Brad Rodgers和Kannan Soundararajan发现的一个公式，用于计算来自酉群的随机矩阵的特征多项式的矩。
2022-06-15 math.NT
Sums of proper divisors follow the Erdős--Kac law
令$s(n)=\sum_{d\mid n,~d<n} d$表示$n$的真因子之和。第二个作者证明了$ω(s(n))$有正规序$\log\log{n}$，它是Hardy和Ramanujan的一个经典结果的$s$ -值的类似物。我们建立了相应的Erdens-Kac定理：$ω(s(n))$服从均值和方差渐近正态分布$\log\log{n}$ .同样的方法也适用于用其他几个非常规算术函数中的任何一个来替换$s(n)$，例如$β(n):=\sum_{p\mid n} p$、$n-ϕ(n)$和$n+τ(n)$（$τ$是除数函数）。
2021-06-20 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
Sums of divisor functions in $F_{q}[t]$ and matrix integrals
研究了有限$q$元域上有理函数域的$k$次除数函数$d_k(n)$在短区间上的和的均方以及等差数列.在极限为$q\rightarrow\infty$的情况下，我们建立了与酉群上矩阵积分的关系.计算该积分使我们能够计算格点计数方面的$d_k(n)$的总和的均方。这个晶格点计数可以反过来用我们分析的某些多项式来计算。我们的结果为整数上相应的经典问题提供了一般性的证明，这与已知答案的少数情况一致。
2015-06-10 math.NT
On the Common Prime Divisors of Polynomials
具有整数系数的多项式$P$的素因子是$P(x) \equiv 0 \pmod{p}$可解的那些素数$p$。主要结果是：任意几个多项式的公共素除子恰是某个多项式的素除子。将这个结果与Ax的一个定理相结合，我们得到：对于任意整数系数多元多项式方程组$F$，$F$模$p$可解的素数集$p$是某个一元多项式的素因子集.此外，我们证明了多项式的素除子的密度的结果。本文是对代数数论和伽罗瓦论的一个简单介绍。
2020-06-01 math.NT
On sums of arithmetic functions involving the greatest common divisor
令$\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$是正整数$d_{1},\ldots,d_{k}$的最大公因数，对任意整数$k\geq 2$，并令$τ$和$μ$分别表示除数函数和莫比乌斯函数。对任意算术函数$g$，对任意实数$x>5$和任意整数$k\geq 3$，定义了和$$ S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})) $$.本文给出了$k\geq 3$的和$S_{τ,k}(x)$和$S_{μ,k}(x)$的渐近公式.
2021-02-07 math.NT
Sums of the triple divisor function over values of a ternary quadratic form
设$τ_3(n)$是三重除数函数，它是方程$d_1d_2d_3=n$在自然数中的解的个数。证明了对于某些常数$c_1$，$c_2$和$c_3$，$$ \sum_{1\leq n_1,n_2,n_3\leq \sqrt{x}}τ_3(n_1^2+n_2^2+n_3^2)=c_1x^{\frac{3}{2}}(\log x)^2+ c_2x^{\frac{3}{2}}\log x +c_3x^{\frac{3}{2}} +O_{\varepsilon}(x^{\frac{11}{8}+\varepsilon}) $$是有界的.
2015-10-21 math.NT
Divisors of Bernoulli sums
研究了整数服从Bernoulli随机游动模型时因子和的渐近性态，初步研究了相应系统的相关性质。
2008-02-22 math.NT math.PR
Exponential sums over integers without large prime divisors
本文通过更精确地利用无大素因子整数的因数分解并结合Type I和Type II界，改进了此类整数及其 $ν$ 次幂上的指数和的现有界限。
2025-05-05 math.NT
Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
2017-11-06 math.NT
On odd prime divisors of binary perfect polynomials
给出了二元完全多项式的奇素除子集所满足的必要条件。这使我们能够得到一个新的特征的所有已知的完美的二元多项式。
2020-08-16 math.NT
Residue races of the number of prime divisors function
我们调查的分布功能$ω(n)$，不同的素除子的$n$，在剩余类模$q$自然数$q$大于2。特别是我们问“素数种族”风格的问题，建议由库恩和Dahmen在他们的论文“剩余类分布的数量素除子的整数”。
2018-06-05 math.NT
Variance of sums in arithmetic progressions of divisor functions associated with higher degree l-functions in $\mathbb{F}_q(t)$
在极限为$q\to\infty$的情况下，计算了与$\mathbb{F}_q(t)$中的某些L函数相关的广义k-除数函数的等差数列和的方差.这是通过利用最近建立的等分布结果相关联的Frobenius共轭类。因此，当$q\to\infty$时，方差用矩阵积分表示，可以对其进行评估。我们的结果推广了以前在对应于通常的$k$ -除数函数的特殊情况下所得到的结果，当所讨论的L-函数具有一次时。它们说明了L函数的度所起的作用;特别是，当度超过1时，我们发现了定性的新行为。我们的计算适用于，例如，椭圆曲线定义的$\mathbb{F}_q(t)$，我们说明他们通过检查在一些细节的广义$k$ -除数函数与勒让德曲线。
2018-06-27 math.NT
A unified approach to Rohrlich-type divisor sums
提出分析任意同余子群Rohrlich型除数和的系统方法，通过主定理统一文献结果，并给出阶数公式、Rohrlich公式推广及CM值扭曲迹分解等五个应用。
2024-10-16 math.NT
Triple convolution sums of the generalised divisor functions and related sums over primes
Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院数学系）
本文研究广义除数函数的三重卷积和及其在素数上的应用，通过多变量Dirichlet级数理论和概率论方法推导出渐进行为及下界。
2026-02-16 math.NT
Prime divisors in polynomial orbits over function fields
给定一个整体函数域$K$上的多项式$ϕ$和一个游荡基点$b\in K$，给出了一个关于$ϕ$的几何条件，保证了轨道$\mathcal{O}_ϕ(b):=\{ϕ^n(b)\}_{n\geq0}$上几乎所有点都存在本原素除子
2015-04-30 math.NT
On odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors
对于正整数$n$，令$σ(n)$表示$n$的正约数之和。设$d$是$n$的真因子。如果$σ(n)=2n-d$是亏完全数，则称$n$为亏完满数.本文证明了唯一具有四个不同素除子的奇亏完满数是$3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}$ .
2019-08-14 math.NT
Divisor sums representable as the sum of two squares
令$s(n)$表示自然数$n$的真约数之和。证明了使$s(n)$是两个平方和的$n \leq x$的个数具有数量级$x/\sqrt{\log x}$，这与两个平方和的$n \leq x$的个数一致.我们的结果证实了Erd{ \H o}s，Granville，Pomerance和Spiro猜想的一个特例，他们在1990年的一篇论文中断言，如果$\mathcal{A} \subset \mathbb{N}$具有渐近密度零（例如，如果$\mathcal{A}$是两个平方和的$n \leq x$的集合），则$s^{-1}(\mathcal{A})$也具有渐近密度零。
2019-02-28 math.NT
A generalization on the average ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$
1982年，Erdös和van Lint给出了$n$的最小和最大素除子之比的平均值的估计。在本说明中，我们应用C. H。贾氏方法给出了比率的正整数次幂的平均值的一个估计。
2019-07-15 math.NT
Greatest Prime Divisors of Polynomial Values over Function Fields
对于函数域$K$、固定多项式$F\in K[x]$和变化多项式$f\in F$（在一定的限制下），我们给出了$F(f)$的最大素除子的次数关于$f$的高度的下界，为数论中一个经典问题的函数域模拟建立了一个强有力的结果.
2013-08-14 math.NT
Symplectic conjectures for sums of divisor functions and explorations of an orthogonal regime
本文提出了产生正交矩阵积分的类比问题，深入研究了辛和正交矩阵积分并将其与对称函数理论联系，进而导出了数域上的相关猜想。
2024-02-19 math.NT
Prime divisors of sequences associated to elliptic curves
我们考虑了除椭圆曲线上的一列有理点的x坐标的分母的素数。期望对于指数的每一个足够大的值，每一项都应该被一个原始的素除子整除，该因子在任何早期的项中都没有出现。这方面的证据只在少数情况下才为人所知。弱的结果，在一般的方向，使用强形式的西格尔定理和一些同余参数。我们的主要结果被应用于Somos序列的素除子的研究。
2004-04-06 math.NT
The divisor function in arithmetic progressions modulo prime powers
我们研究了用$n \equiv a \bmod q$表示的$n\le x$的除数函数$τ(n)$的平均值。已知除数函数均匀分布在所有略小于$x^{2/3}$的$q$的等差数列上。我们将展示如何去过去这个障碍时，$q=p^k$奇素数$p$和任何固定的整数$k\ge 7$。
2016-02-12 math.NT
Popular values of the largest prime divisor function
我们考虑整数的最大素除子在区间$[2,x]$中的分布，并特别研究了这种分布的模式，即最常出现在这个列表中的素数。除了给这种模式的渐近公式$x$趋于无穷大，我们看看这些素数的集合，对于一些值的$x$，最经常出现的整数的最大素除子的间隔$[2,x]$。我们发现许多素数从来没有这个性质。我们比较了一组“流行的素数”，这些素数在某些时候的模式，其他有趣的子集的素数。最后，我们将开发的技术应用到一个类似的问题，这是在分析的因式分解算法。
2015-04-22 math.NT
An integral representation of divisor function. An equation for prime numbers
本文提出了除数函数$τ(n)\equiv σ_{0}(n)$用复变数函数的对数留数表示的方法。该表示法为进一步研究自然数的性质提供了有用的理论工具。
2011-09-16 math.NT
