An Improved Point-Line Incidence Bound Over Arbitrary Fields
我们证明了一个新的上界的数量之间的入射点和线在一个平面上的任意字段$\mathbb{F}$，一个问题首先考虑的Bourgain，Katz和陶。具体来说，我们表明，$\mathbb{F}$中的$m$点和$n$线，以及$m^{7/8}<n<m^{8/7}$，决定了最多的$O(m^{11/15}n^{11/15})$发生率（其中，如果$\mathbb{F}$具有阳性特征$p$，我们假设$m^{-2}n^{13}\ll p^{15}$）。这改进了以前最著名的界限，由于琼斯。为了得到我们的界，我们首先证明了一个最佳的点线的入射界的笛卡儿积，使用减少到一个点平面的入射界的Rudnev。然后我们用笛卡儿积覆盖大部分点集，并使用刚才提到的界限分别限制每个积上的关联。我们给出了几个应用，和产品型问题，扩展问题的Bourgain，不同的距离问题和贝克定理。
2017-07-18 math.CO
Incidence bounds and applications over finite fields
本文给出了处理有限域上点与簇之间关联问题的统一方法。更准确地说，我们证明了点的集合$\mathcal{P}$和某种形式的簇的集合$\mathcal{V}$之间的关联数$I(\mathcal{P}, \mathcal{V})$满足$$\left\vert I(\mathcal{P},\mathcal{V})-\frac{|\mathcal{P}||\mathcal{V}|}{q^k}\right\vert\le q^{dk/2}\sqrt{|\mathcal{P}||\mathcal{V}|}.$$这个结果是Vinh（2011），Bennett et al.（2014）和Cilleruelo et al.（2015）结果的推广。作为我们的关联界的应用，我们得到了关于点和球的钉住值问题和Beck型定理的结果。使用所介绍的方法，我们还获得了关于$\mathbb{F}_q^2$中点和线之间不同距离的数量的结果，这是Sharir等人最近结果的有限域类似。
2016-01-03 math.CO
Incidences of Cubic Curves in Finite Fields
本文证明了素域上点与三次曲线的一个关联界。这些方法概括了Mohammadi，Pham和Warren（2021）使用的方法。
2022-11-17 math.CO
Codes arising from incidence matrices of points and hyperplanes in $PG(n,q)$
本文完全刻画了由$q=p^h$的点与超平面的关联矩阵行生成的$p$元线性码中次小权字的性质，证明了它们是$PG(n,q)$的两个不同超平面的关联向量之差的标量乘.
2016-06-07 math.CO
Orthogonal projections and incidence bounds in planes over prime order fields
Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）；Vietnam Institute of Educational Sciences（越南教育科学院）
本文研究了素数阶域上平面中正交投影的交集界限，提出新的点线交集界限并改进了素数域上的相关估计。
2026-02-02 math.CO
New quantitative estimates on the incidence geometry and growth of finite sets
本文在几个关联几何和增长问题上建立了新的定量记录。在第1、2和3章的必要背景知识之后，证明了下列结果。第四章给出了由素数阶有限域确定的平面的入射几何的新结果。这些包括一个新的上界的发病率的总数确定的许多点和线，和一个新的估计的数量确定的不同的线由一个有限集的非共线点。第五章给出了扩张函数的新结果。首先，建立了素数阶有限域上二元扩张式a+ab的一个新的界。其次，在三个和四个变量的新的扩展证明了在实数和复数具有更强的增长性能比以前考虑的任何功能。最后，第6章给出了函数域上的第一个定制的和积估计，到目前为止，这类问题在很大程度上还没有探索过。这最后一章是与托马斯·布鲁姆共同完成的。
2013-01-21 math.CO
The isoperimetric number of the incidence graph of PG(n,q)
设$Γ_{n,q}$是射影空间$\operatorname{PG}(n,q)$的点-超平面关联图，其中$n \ge 2$是整数，$q$是素数幂.我们确定了$1-i_V(Γ_{n,q})$的数量级，其中$i_V(Γ_{n,q})$是$Γ_{n,q}$的顶点等周数。我们还得到了$i_V(Γ_{2,q})$的精确值和相应的$Γ_{2,q}$的无发生数为$q \le 16$。
2016-12-10 math.CO
An explicit incidence theorem in F_p
设$P = A\times A \subset \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p$，$p$为素数.假设$P= A\times A$具有$n$元素$n<p$。将$P$视为$\mathbb{F}_p$上平面中的一组点。我们表明，在$P$的点对确定$\geq c n^{1 + {1/267}}$线，其中$c$是一个绝对常数。我们由此导出一个关联定理：$n$点集和$n$线集在$\F_p$上的投影平面（$n<\sqrt{p}$）上的关联数以$C n^{{3/2}-{1/10678}}$为界，其中$C$是一个绝对常数。
2010-01-19 math.CO
The Szemerédi-Trotter theorem over arbitrary field of characteristic zero
本文利用Baby Lefschetz原理将问题归约到复数情形，证明了特征零任意域上的Szemerédi-Trotter关联界，并推导出Beck定理、和积估计等推广结果。
2025-10-16 math.CO
Explicit incidence bounds over general finite fields
令$\mathbb{F}_{q}$为$q=p^k$阶的有限域，其中$p$为素数。设$P$和$L$分别是带有$|P|=|L|=n$的$\mathbb{F}_{q} \times \mathbb{F}_{q}$中的点集和线集。我们建立了关联界$I(P,L) \leq γn^{3/2 - 1/12838}$，其中$γ$是一个绝对常数，只要$P$满足成为“反场”的条件。我们定义这意味着$P$在某个坐标轴上的投影与$\mathbb{F}_q$的大子场的相互作用不超过半维。此外，我们给出的例子集满足这些条件的重要情况下$q=p^2$和$q=p^4$。
2011-01-19 math.CO
Szemerédi-Trotter type results in arbitrary finite fields
设$q$是素数的幂，$\mathbb{F}_q$是由$q$元素组成的有限域.我们证明了明确的上界之间的联系线和笛卡儿积在$\mathbb{F}_q^2$。我们还使用我们的点线发生率的结果，给新的和产品类型的估计倒数的总和。
2018-08-16 math.CO
Abstract Orientable Incidence Structure and Algorithms for Finite Bounded Acyclic Categories. I. Incidence Structure
探讨了抽象多面体中关联关系的推广，并以参数化曲面为基础。定义抽象可定向关联结构为关联关系的代数模型，推广了抽象多胞形理论中的一些代数性质。讨论了抽象可定向关联结构的几何解释。研究了半正则正规CW复形中的可定向入射结构。
2023-03-08 math.AG math.CO math.CT
The invariant factors of the incidence matrices of points and subspaces in PG(n,q) and AG(n,q)
对所有n，r和任意素幂q，我们确定了PG（n，q）的点与射影（r-1）维子空间的关联矩阵和AG（n，q）的点与r维仿射子空间的关联矩阵的Smith正规形.
2003-12-30 math.CO math.RT
A new sum-product estimate in prime fields
本文在素域中得到了一个新的和积估计。特别是，我们表明，如果$A\subseteq \mathbb{F}_p$满足$|A|\le p^{64/117}$，那么$$ \max\{|A\pm A|, |AA|\} \gtrsim |A|^{39/32}. $$我们的论点建立在Shakan和Shkredov使用的特征值方法，以减少到估计的四阶矩能量和添加剂能量$E^+(P)$的一些子集$P\subseteq A+A$的一些最近的结果，并改进。我们的主要新颖性来自减少估计$E^+(P)$的Rudnev点平面发病率界，而不是一个点线发病率界史蒂文斯和德Zeeuw所做的Shakan和Shkredov。
2018-07-29 math.CO math.NT
Minimal codewords arising from the incidence of points and hyperplanes in projective spaces
近年来，由射影空间$\text{PG}(n,q)$中的点与超平面的关联而产生的码$\mathcal{C}_{n-1}(n,q)$引起了人们的广泛关注。特别地，$\mathcal{C}_{n-1}(n,q)$的小权重码字是研究的主题。这项工作的主要结果表明，如果$q$是足够大的，而不是素数，一个码字的重量小于大约$\frac{1}{2^{n-2}}q^{n-1}\sqrt{q}$可以写为一个线性组合的几个超平面。因此，我们使用这个结果提供了一个图论的充分条件，这些码字的小重量是最小的。
2021-09-17 math.CO
Spanned lines and Langer's inequality
我们收集了一些结果，在组合几何，遵循一个不等式的兰格在代数几何。Langer不等式给出了一个点集与其生成线之间关联数的下界，最近被Han用来改进弱Dirac猜想中的常数。在这里，我们观察到，这个不等式也导致贝克定理中的改进常数，该定理指出实平面或复平面中的有限点集在一条直线上有许多点或跨越许多直线。我们使用的大多数证明都不是原创的，本文的目的主要是在一个地方仔细记录定量结果。我们还包括对这些声明可能的进一步改进的一些讨论。
2018-02-22 math.CO
On the code generated by the incidence matrix of points and k-spaces in PG(n, q) and its dual
本文研究了PG（n，q）中点与k维空间的关联矩阵生成的p元线性码Ck（n，q），q = ph，p素，h >= 1.对于k >= n/2，我们将权重小于2 q ^k的Ck（n，q）\Ck（n，q）的码字链接到k-分块集合。我们首先证明这样的k-分块集可以唯一地约简为最小k-分块集，并排除从小线性k-分块集产生的所有码字。对于k < n/2，我们给出了对k >= n/2有效的引理的反例。其次，我们研究了Ck（n，q）的对偶码，给出了其码字重量的一个下界，从而将Sachar [12]的结果推广到一般维数.
2012-01-16 math.CO
Incidences between quadratic subspaces over finite fields
设$\mathbb{F}_{q}$是$q$阶的有限域，其中$q$是奇素数幂.如果$Q$与$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}$等距同构，则称$(\mathbb{F}_{q}^{n},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})$的二次子空间$(W,Q)$为点$_{k}$ -子空间.在本文中，我们得到了点$_{k}$ -子空间的集合$\mathcal{K}$和点$_{h}$ -子空间的集合$\mathcal{H}$之间的关联数$I(\mathcal{K},\mathcal{H})$的界，当$h \geq 4k-4$，这是由\[\left | I(\mathcal{K},\mathcal{H})-\frac{|\mathcal{K}||\mathcal{H}|}{q^{k(n-h)}}\right | \lesssim q^{\frac{k(2h-n-2k+4)+h(n-h-1)-2}{2}}\sqrt{|\mathcal{K}||\mathcal{H}|}. \]给出的。特别地，我们在我们的附加条件存在的情况下，改进了由Dongong，Thang和Vinh（2019）获得的一般仿射子空间集合的误差项。
2020-05-25 math.CO
On the code generated by the incidence matrix of points and hyperplanes in PG(n,q) and its dual
本文研究了由点与超平面的关联矩阵生成的p元线性码C（PG（n，q）），q = p^h，p素，h >= 1及其对偶码.我们链接的码字的小重量，这个代码的阻塞集相对于PG（n，q）中的线，我们排除所有可能的码字所产生的小线性阻塞集。我们还研究了C（PG（n，q））的对偶码，证明了寻找对偶码的最小权可以归结为寻找PG（2，q）中点和线的对偶码的最小权。我们提出了一个改进的上界这个最小重量，我们表明，我们可以下降的可分性条件的重量的码字在Sachar的下界[12]。
2012-01-16 math.CO
Mapping Incidences
我们证明了特征零整环中的任何有限集S都可以映射到p阶有限域上，对无穷多个素数p，保持S中的所有代数关联。这可以被看作是一个推广的著名的Freiman同构引理，我们给出了几个组合应用（如和产品估计）。
2011-04-15 math.CO math.NT
Factorial residues modulo a prime: beyond the square-root bound
本研究针对素数模阶乘剩余集的大小下界问题，利用有限域阶乘恒等式、分式线性映射交点性质与Stevens-de Zeeuw点线相交定理，将下界从平方根级改进至\\(p^{8/15}\\)量级。
2026-08-04 math.CO math.NT
Construction of directed strongly regular graphs using finite incidence structures
我们利用有限关联结构构造了新的具有参数\[(l(q-1)q^l,\ l(q-1)q^{l-1},\ (lq-l+1)q^{l-2},\ (l-1)(q-1)q^{l-2},\ (lq-l+1)q^{l-2})\]的有向强正则图无限族，其中$q$和$l$（$q, l\ge 2$）是整数，而\[(lq^2(q-1),\ lq(q-1),\ lq-l+1,\ (l-1)(q-1),\ lq-l+1)\]是所有素数幂$q$和$l\in \{1, 2,..., q\}$ .由这些构造给出的新图具有参数$(36, 12, 5, 2, 5)$、$(54, 18, 7, 4, 7)$、$(72, 24, 10, 4, 10)$、$(96, 24, 7, 3, 7)$、$(108, 36, 14, 8, 14)$和$(108, 36, 15, 6, 15)$，这些参数在S. Hobart和A. E.布劳威尔我们回顾这些建设，并展示我们的方法可以用来构建其他无限家庭的有向强正则图。
2011-02-08 math.CO
Incidences between points and generalized spheres over finite fields and related problems
设$\mathbb{F}_q$是$q$元素的有限域，其中$q$是一个大的奇素数幂，而$Q =a_1 x_1^{c_1}+...+a_dx_d^{c_d}\in \mathbb{F}_q[x_1,...,x_d]$，其中$2\le c_i\le N$，$\gcd(c_i,q)=1$和$a_i\in \mathbb{F}_q$对所有的$1\le i\le d$。一个$Q$球面是一个形式为$\lbrace x\in \mathbb{F}_q^d | Q(x-b)=r\rbrace$的集合，其中$b\in \mathbb{F}_q^d, r\in \mathbb{F}_q$。我们证明了一个点集$\mathcal{P}$和一个$Q$ -球面集$\mathcal{S}$（用$I(\mathcal{P},\mathcal{S})$表示）之间的关联数的界，如下所示。$$| I(\mathcal{P},\mathcal{S})-\frac{|\mathcal{P}||\mathcal{S}|}{q}|\le q^{d/2}\sqrt{|\mathcal{P}||\mathcal{S}|}.$$我们通过研究有向图的谱证明了这个估计。我们也给出了这个估计的一个版本在有限环$\mathbb{Z}_q$ $q$是一个奇数。作为上述界限的结果，我们给出了钉扎距离问题的估计。在$4$节和$5$节中，我们证明了$…
2016-08-17 math.CO
New Restriction Estimates for the 3-d Paraboloid over Finite Fields
本文改进了有限域上三维抛物面约束问题的指数范围。关键的新成分是一个变种的Bourgain-Katz-Tao有限域关联定理来自和产品的估计。在素数阶域中，我们给出了这个关联定理中的指数与抛物面的限制估计之间的显式关系。
2016-05-30 math.CA math.CO
A planar algebraic Zarankiewicz theorem over prime fields
The Viet Nam National Institute of Educational Sciences（越南国家教育科学研究所）
本文在素数域上证明了平面代数Zarankiewicz定理，给出二部图关联界，并推广至代数族，应用于富分量、差集多项式值与多项式展开。
2026-09-29 math.CO math.NT
Kaufman and Falconer estimates for radial projections and a continuum version of Beck's Theorem
该研究针对径向投影对平面集合维数的扭曲问题，给出新的维数下界估计，解决了多个相关猜想，推导了高维对应结果，并得到连续版本的Beck定理。
2022-09-01 math.CA math.CO math.MG
Incidence Homology of Finite Projective Spaces
设F* 是q元有限域，P（n，q）是F* 上n-1维的射影空间.在特征p_{0} >0与q互素的系数域F上构造了与P（n，q）相关联的组合同调模族H^{n}_{k，i}.作为FGL（n，q）-表示，模由GL（n，q）在F*^n的子空间上的置换作用得到。我们证明了H^{n}_{k，i}的一个分支规则，并利用这个分支规则完全确定了这些同调表示.主要结果是一个对偶定理和H^{n}_{k，i}用F上GL（n，q）的标准不可约性的完全刻画及其应用。
2012-02-20 math.CO math.GR
Exploration on Incidence Geometry and Sum-Product Phenomena
本论文研究Erdős-Szemerédi猜想与关联几何的关系，将实数域上的和积估计技术推广到有限域，并在环Z/p^3Z上获得平分线数量的估计结果。
2023-10-12 math.CO math.NT
Quadratic Expansion over Prime Fields via Centered Collisions and Popular-Sum Amplification
本文针对素域上非退化二次多项式相关的和集与像集，通过中心碰撞估计等技术证明了二者的权衡关系，得到了相关指数界的结果。
2026-08-12 math.CO
Linearly Embeddable Designs
如果${\cal{D}}_B$和$\cal{D}$的关联矩阵的$p$秩相差1，则关于给定设计$\cal{D}$的块$B$的残差设计${\cal{D}}_B$被定义为在$GF(p)$上可线性嵌入.利用关联矩阵所张成的线性码的最小距离证明了剩余设计线性可嵌入的一个充分条件，并利用这个条件证明了几类已知的无穷设计的剩余设计是线性可嵌入的.证明了仿射可分解设计及其剩余设计线性可嵌入的一个必要条件。作为一个应用程序，它表明，剩余设计的经典仿射设计的平面在$AG(3,2^2)$承认两个非同构的嵌入在$GF(2)$，产生了唯一已知的反例Hamada的猜想在一个领域的非素数秩序。
2016-07-22 math.CO
A Szemerédi-Trotter Theorem in Arbitrary Fields
本文在任意特征域上证明Szemerédi-Trotter定理，给出点线关联数的上界，并应用于抛物面延拓估计、Bourgain提取器及sum-product估计的改进。
2026-10-08 math.CA math.CO math.NT
An explicit formula for obtaining $(q+1,8)$-cages and others small regular graphs of girth 8
设$q$是素幂，在射影四维空间$P(4, q)$中构造了非退化二次曲面的关联图的$(q+1,8)$ -笼.本文的第一个贡献是这些图的建设，在另一种方式通过一个明确的公式，使用图形术语。此外，通过从$(q+1,8)$笼中移除某些特定的完美控制集，我们得到了围长为8的$k$ -正则图（对于$k= q-1$和$k=q$），它具有迄今为止已知的最少的顶点数.
2011-11-14 math.CO
An empty interval in the spectrum of small weight codewords in the code from points and k-spaces of PG(n, q)
设Ck（n，q）是由PG（n，q）中的点与k-空间的关联矩阵定义的p元线性码，q = p^h，p素，h ≥ 1.本文证明了在Ck（n，q）\ Cn-k（n，q）的开区间中不存在具有该权的码字，这意味着当k >= n/2时，Ck（n，q）\ Ck（n，q）中不存在具有该权的码字.特别地，对于PG（n，q）的点和超平面的码Cn-1（n，q），我们排除了Cn-1（n，q）中所有权在开区间] q^n-1/q-1，2 q ^n-1[.后一个结果暗示了Cn-1（n，q）的小重量码字的重量的严格界限，该结果先前仅对于q素数和q = p2的一般维数是已知的，其中p素数，p > 11，并且在n = 2的情况下，对于q = p^3，p >= 7（[4]，[5]，[7]，[8]）。
2012-01-16 math.CO
A new bound on Erdős distinct distances problem in the plane over prime fields
本文给出了素域上平面上Erdom不同距离问题的一个新的下界。更精确地说，我们证明了任何集合$A\subset \mathbb{F}_p^2$与$|A|\le p^{7/6}$，$A$中的点对所确定的不同距离的数目满足$$ |Δ(A)| \gg |A|^{\frac{1}{2}+\frac{149}{4214}}.$$我们的结果给出了一个新的下界范围内的$|Δ{(A)}|$ $|A|\le p^{1+\frac{149}{4065}}$。我们采用的主要工具是能量的一组抛物面由于Rudnev和Shkredov，一个点线的发病率由史蒂文斯和德Zeeuw的界限，和一个下界的数量不同的距离之间的线和一组$\mathbb{F}_p^2$。后者是新的功能，使我们能够改善以前的约束由于史蒂文斯和德Zeeuw。
2019-03-22 math.CO math.NT
Minimal multiple blocking sets
证明了$n$阶的有限射影平面上的极小$t$ -fold阻塞集的基数至多为\[\frac{1}{2} n\sqrt{4tn - (3t + 1)(t - 1)} + \frac{1}{2} (t - 1)n + t.\].这是有限射影平面上极小$t$ -fold阻塞集的大小的第一个一般上界，推广了Bruen和Thas关于极小阻塞集的经典结果.从证明可以直接得出，如果在这个界限中出现相等，则每条线都在$t$点或$\frac{1}{2}(\sqrt{4tn - (3t + 1)(t - 1)} + t - 1) + 1$点中与阻塞集$S$相交。我们用它来表明，对于$n$一个素数幂，等式可以在以下三种情况中的一种情况下发生在我们的界中：（a）$t = 1$，$n$是一个正方形，$S$是一个单位;（b）$t = n - \sqrt{n}$，$n$是一个正方形，$S$是一个Baer子平面的补;（c）$t = n$和$S$等于除一个点之外的所有点的集合。对于平方素数幂$q$和$t \leq \sqrt{q} + 1$，我们给出了在$\mathrm{PG}(2,q)$中用$|S| = q\sqrt{q} + 1 + (t - 1)(q - \sqrt{q} + 1)$构造极小$t$ -重阻塞集$S$.此外，我们还得到了对称$2$ -设计中最小阻塞集大小的一个上界，并利用它对高维有限射影空间中的切集…
2018-12-13 math.CO
Embedded antipodal planes and the minimum weight of the dual code of points and lines in projective planes of order $p^2$
由投影平面中点与线的关联矩阵生成的代码的最小权重已经知道了50多年。令人惊讶的是，寻找非素数阶射影平面的对偶码的最小权仍然是一个开放的问题，即使在Desklesian的情况下。在本文中，我们专注于$p^2$阶的射影平面的情况下，其中$p$是素数，我们链接的存在性，在对偶码的嵌入子平面和{ \em对映平面}的小重量码字。在德塞苔丝的情况下，我们可以排除这样的代码字显示一个更一般的结果，没有反足平面的顺序至少3可以嵌入在德塞苔丝投影平面。此外，我们使用组合参数，以排除存在的代码字的对偶代码的点和线的任意射影平面的顺序$p^2$，$p$素数，重量最多$2p^2-2p+4$使用两个以上的符号。特别地，这导致了这样的结果，即Desklesian投影平面$\mathrm{PG}(2,p^2)$的对偶码$p\geq 5$具有至少$2p^2-2p+5$的最小权重。
2022-10-24 math.CO
Geometric representations of linear codes
我们说域F上的线性码C是三角可表示的，如果存在二维单纯复形$Δ$，使得C是F上的$Δ$的关联矩阵的核ker $Δ$的删余码，并且在C和ker $Δ$之间存在线性映射，该线性映射是双射并且将最小码字映射到最小码字。证明了有理数域上和GF（p）上的线性码（其中p是素数）是三角可表示的.在有限域的情况下，我们证明了这个表示决定了C的权枚举数。我们将这个结果应用到Potts模型的分拆函数上。另一方面，我们证明了在任何不同于有理数和GF（p），p素数的域上都存在非三角可表示的线性码。我们表明，三角表示的每一个建设失败的一个非常弱的条件下，一个线性码和它的三角表示必须有相同的尺寸。
2011-05-05 math.CO
The permutation action of finite symplectic groups of odd characteristic on their standard modules
受辛极空间中点与面的关联问题的启发，研究了奇特征有限辛群的标准模上函数空间的一大子模。这类子模的结构结果使我们能够确定辛极空间的点与平面之间的关联矩阵的$p$ -秩。特别地，我们给出了广义四边形${\rm W}(3,q)$的$p$ -秩的一个显式公式，其中$q$是奇素数幂.结合Sastry和Sin关于${\rm W}(3,2^t)$的2-秩的早期结果，完成了${\rm W}(3,q)$的$p$ -秩的确定.
2006-03-03 math.CO math.RT
Packing sets under finite groups via algebraic incidence structures
Eötvös University（厄特沃什大学）；Alfréd Rényi Institute（阿尔弗雷德·雷尼研究所）；Hanoi University of Science and Technology（河内科技大学）；Department of Mathematics, University of Rochester（罗切斯特大学数学系）；Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
本文研究了有限群作用下集合打包问题，通过代数关联结构方法，建立了轨道并集的下界，并在非集中条件下改进了结果。
2026-02-07 math.CO math.GR math.NT
Dimensions of Some Binary Codes Arising From A Conic in $PG(2,q)$
设$\mathcal{O}$是经典射影平面$PG(2,q)$中的二次曲线，其中$q$是奇素数幂.关于$\mathcal{O}$，$PG(2,q)$的线被分类为传递线、切线和割线，并且$PG(2,q)$的点被分类为内部点、绝对点和外部点。在\cite{keith1}中利用正割/传递线与外点/内点之间的关联矩阵生成了几类结构化低密度奇偶校验二进制码。特别地，\cite{keith1}的作者给出了二进制码$\mathcal{L}$的维数公式，该二进制码$\mathcal{L}$产生于正割线与$\mathcal{O}$的外部点之间的关联矩阵的$\Ff_2$ -零空间。本文利用有限几何和模表示理论相结合的技巧证明了关于$\mathcal{L}$维数的猜想.
2009-11-10 math.CO math.RT
Affine groups as flag-transitive and point-primitive automorphism groups of symmetric designs
本文研究了容许旗传递且点本原仿射自同构群的对称设计，证明了当λ为素数时自同构群的结构，并给出了此类对称设计的完整分类。
2024-10-13 math.CO math.GR
On Binary Codes from Conics in PG(2,q)
设A是PG（2，q）中二次曲线的通直线与内点的关联矩阵，q是奇素数方幂。本文研究了二元有限域上A的列零空间L的几何和代数性质。特别地，我们利用有限几何和模表示理论的方法计算了L的维数，从而证明了L生成的二进制码的维数猜想.
2011-04-02 math.CO math.RT
On regular induced subgraphs of generalized polygons
笼问题要求$k$中顶点的最小数目$c(k,g)$-围长$g$的正则图和满足此界限的图被称为笼。虽然笼是已知存在的所有整数$k \ge 2$和$g \ge 3$，$c(k, g)$的确切值是已知的，只有一些小值的$k, g$和三个无限的家庭，其中$g \in \{6, 8, 12\}$和$k - 1$是一个素数的权力。这些无限族来自广义多边形的关联图。通过构造这些笼的小正则诱导子图，得到了$g \in \{6, 8, 12\}$的一些最著名的上界。本文首先利用Expander混合引理给出了正则二部图的导出PDMATHAMN-正则子图的大小的一个一般下界，该下界是关于主图的第二大特征值的.我们使用这个界限表明，已知的建设$(k,6)$ -图使用Baer子平面的Deskwesian投影平面是最好的可能。对于广义四边形和六边形，我们的边界是新的。特别是，我们改进了经典广义四边形$\mathsf{Q}(4,q)$的$q$ -正则诱导子图大小的已知下界，并证明了已知构造是渐进尖锐的。对于素数幂$q$，我们还分别给出了辛广义四边形$\mathsf{W}(3,q)$和分裂Cayley六边形$\mathsf{H}(q)$中$q$正则诱导子图的几何构造，从而改进了已知的$c(q,8)$和$c(q,12)$的上界.我们的结构表明，\[c(q,8) \le 2(q^3 - q\sqrt{q} - q)\]…
2018-03-30 math.CO
On some applications of GCD sums to Arithmetic Combinatorics
利用GCD和，我们证明了素数集与任意指数大整数集$S$具有小的公共乘法能量，特别是$S$中任意以零为起点的等差数列的大小至多为$O(\log |S| \cdot \log \log |S|)$ .这个结果可以被认为是Vinogradov关于最小二次非剩余问题的一个整数模拟。证明依赖于函数$f(x)=\log x$的某种排斥性质。此外，我们考虑的情况下，一般的$k$ -凸函数$f$和曲线$y=f(x)+c$的集合得到一个新的关联结果。
2020-10-24 math.CO math.NT
Game Conductors of Finite Groups: Determinantal Torsion from Structured Payoff Probes
Farmingdale State College, State University of New York（纽约州立大学法明戴尔分校）
研究有限群\(G\)与结构化收益探测\(\phi\)相关的收益差格及导体，通过精确计算得出CA - 群交换导体公式，利用伽罗瓦轨道迹特征探测补充结果，经详尽计算和分析支持对压缩中心化子型关联矩阵\(\BG\)的史密斯挠率进行分类。
2026-07-14 cs.GT math.CO math.GR
Proof of the Kakeya set conjecture over rings of integers modulo square-free $N$
挂谷集合$S \subset (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^n$是在每个方向上包含一条线的集合。我们表明，当$N$是任何平方自由整数，在$(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^n$的最小Kakeya集的大小至少是$C_{n,ε} N^{n - ε}$的任何$ε$-解决一个特殊情况下的猜想希克曼和赖特。以前，这样的界限只在素数$N$的情况下才知道。我们还表明，一般$N$的情况可以简化为$(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^n$上的点和超平面的关联矩阵的$\mathbb{F}_p$秩的下界。
2021-04-21 math.CA math.CO
Generalized polynomials and hyperplane functions in $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^n$
该研究针对素数$p$下$(\u2124/p^k\u2124)^n$中超平面特征函数的线性张成空间$\u210b^n$，利用基于二项式系数的广义多项式方法，得到其在$\u2124/p\u2124$上维数的新上界，并给出函数属于$\u210b^n$的额外必要条件。
2024-03-08 math.CO
Formalizing Singer Sidon Constructions and Sidon Set Infrastructure in Lean 4
Microsoft（微软）；Centro de Informática, Universidade Federal de Pernambuco（巴西联邦伯南布哥大学信息学中心）
本文形式化了Singer构造及Sidon集基础设施，证明了素数幂下Sidon集的存在性，并开发了可重用的Sidon集库，包含极值函数、不等式和界。
2026-05-12 math.CO
Distribution of distances in positive characteristic
设$\mathbb{F}_q$是任意有限域，$\mathcal{E}$是$\mathbb{F}_q^d$中的点集.令$Δ(\mathcal{E})$是由$\mathcal{E}$中的点对确定的距离的集合。利用Kloosterman和，Iosevich和Rudnev证明了：如果$|\mathcal{E}|\ge 4q^{\frac{d+1}{2}}$，则$Δ(\mathcal{E})=\mathbb{F}_q$ .一般来说，这个结果在任意有限域上的奇维空间中是尖锐的。本文利用Rudnev最近提出的点-平面关联界证明了：如果$\mathcal{E}$在素域上的向量空间中具有笛卡儿积结构，则可以突破指数$(d+1)/2$，并且仍然覆盖所有距离.我们还表明，在$\mathcal{E}$的任何给定的距离的点对的数量接近其期望值。
2020-07-30 math.CO math.NT
On asymptotic formulae in some sum-product questions
本文给出了素域$\mathbf{F}_p$上和-积现象的一系列渐近公式。在证明中，我们使用$\mathbf{F}_p$中常见的关联定理，以及Helfgott在${\rm SL}_2 (\mathbf{F}_p)$中的增长结果。以下是我们的一些应用：$\bullet~$是方程$(a_1-a_2) (a_3-a_4) = (a'_1-a'_2) (a'_3-a'_4)$的解的个数的一个新的界，$\,a_i, a'_i\in A$，$A$是$\mathbf{F}_p$的一个任意子集，$\bullet~$是Bourgain的多线性指数和的一个新的有效界，$\bullet~$是B-Wooley分解定理的一个渐近模拟，$p_1(b) + 1/(a+p_2 (b))$的$\bullet~$增长，其中$a,b$在$\mathbf{F}_p$的两个子集上运行，$p_1,p_2 \in \mathbf{F}_p [x]$是两个非常数多项式，某些具有乘性和加性特征的指数和的$\bullet~$新界。
2018-03-02 math.CO math.NT
Upper bounds on the Turán density of projective hypergraphs over a finite field
School of Mathematical Sciences National Institute of Science Education and Research (NISER)（国家科学教育与研究所数学科学学院）；Homi Bhabha National Institute (HBNI) Training School Complex（霍米·巴巴国立学院培训学院综合体）
本文利用 L^p 方法和射影平面的关联结构，得到了有限域射影平面相关超图的书状结构的 Turán 密度上界，并改进了已知结果。
2026-11-03 math.CO
Large point-line matchings and small Nikodym sets
Emory University（埃默里大学）；Stanford University（斯坦福大学）
该研究通过构建点-线 incidence 图中的大匹配，改进了尼科迪姆集和最小距离问题的构造，同时解决了有限几何中的长期问题。
2026-01-27 math.CO math.NT
Intersection patterns and connections to distance problems
University of Science, Vietnam National University（越南国立大学科学大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science（基础科学研究院离散数学组）
本文研究了有限域中交集现象与距离问题之间的联系，证明了在正交变换下交集大小的下界及距离问题的指数增长特性。
2025-11-26 math.CA math.CO math.NT
A note on small weight codewords of projective geometric codes and on the smallest sets of even type
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
本文研究了射影几何码中最小权重码字的分类及最小偶类型集，提供了已知结果的简短证明。
2023-02-09 cs.IT math.CO math.IT
