素数域上的平面代数Zarankiewicz定理
A planar algebraic Zarankiewicz theorem over prime fields
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中文总结 AI 辅助
本文在素数域上证明了平面代数Zarankiewicz定理，给出二部图关联界，并推广至代数族，应用于富分量、差集多项式值与多项式展开。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了有限域 $\mathbb{F}^2\times \mathbb{F}^2$ 的有限子集上由有界次数的多项式方程的布尔组合定义的二部图的关联界。若这样的图是 $K_{k,k}$-自由的，且其顶点类的大小分别为 $m$ 和 $n$，则它有 $O_{t,k}((mn)^{2/3}+m+n+mn/p)$ 条边，其中 $t$ 限制描述复杂度，$p$ 是 $\mathbb{F}$ 的特征，且在特征零时 $1/p=0$。我们还对点与双参数多项式族的不同的几何不可约分量之间的关联证明了该界，允许奇异和非约化成员。该证明将Lewko的插值和接触重数方法从直线推广到代数族。应用包括富分量、差集上的多项式值以及多项式展开。
英文摘要
We prove an incidence bound for bipartite graphs on finite subsets of $\mathbb{F}^2\times \mathbb{F}^2$ defined by Boolean combinations of polynomial equations of bounded degree. If such a graph is $K_{k,k}$-free and its vertex classes have sizes $m$ and $n$, then it has $O_{t,k}((mn)^{2/3}+m+n+mn/p)$ edges, where $t$ bounds the description complexity, $p$ is the characteristic of $\mathbb{F}$, and $1/p=0$ in characteristic zero. We also prove this bound for incidences between points and distinct geometrically irreducible components of a two-parameter polynomial family, allowing singular and nonreduced members. The proof extends Lewko's interpolation and contact-multiplicity method from lines to algebraic families. Applications include rich components, polynomial values on difference sets, and polynomial expansion.
发表机构
- The Viet Nam National Institute of Educational Sciences（越南国家教育科学研究所）
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