Multisets with few special directions and small weight codewords in Desarguesian planes
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；HUN-REN-ELTE Geometric and Algebraic Combinatorics Research Group（匈牙利研究网络-罗兰大学几何与代数组合学研究组）；Institute of Mathematics, ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学数学研究所）；University of Primorska FAMNIT（普里莫斯卡大学FAMNIT学院）
研究多集合在德萨格平面中如何通过少数特殊方向生成小重量码字，并推广至任意数量相交直线的码字分类。
2024-12-05 math.CO
Small weight codewords of projective geometric codes II
本文研究了射影几何码的小重量码字，证明了当$q\geqslant 32$为复合素数幂时，重量至多为$\mathcal O(q^k\sqrt{q})$的码字均可表示为关联矩阵至多$\sqrt{q}$行的线性组合，并将该结果推广至$j$-空间与$k$-空间的关联码。
2023-09-01 math.CO
A projective two-weight code related to the simple group ${\rm Co}_1$ of Conway
利用 ${\rm Co}_1$ 在 ${\rm Co}_2$ 陪集上的本原作用构造二元射影二重权码，分析其对偶码、码字稳定子与 Leech 格的联系，并得到一个新的强正则图。
2018-04-01 math.CO
Even Sets and Dual Projective Geometric Codes: A Tale of Cylinders
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
本文研究了射影几何码的对偶性质，证明最小重量码字为圆柱码字，并通过三个步骤验证猜想在一般情况下的成立。
2026-01-18 math.CO
A proof of the Braun-Etzion-Vardy bound for binary subspace codes
Madras School of Economics（马德拉斯经济学院）
本文证明了Braun-Etzion-Vardy猜想：射影空间中线性子空间码至多有2^n个码字，通过自包含的特征理论论证解决。主要贡献是给出该猜想的完整证明。
2026-09-29 cs.IT math.CO math.IT
One-weight codes in the sum-rank metric
本文研究了求和-秩度量下的一重码的几何结构，探讨了常秩列表码、常秩型码以及MSRD码的分类与构造方法。
2026-10-21 cs.IT math.CO math.IT
On projective $q^r$-divisible codes
$\mathbb{F}_q$上的线性码称为$Δ$ -可除码，如果它的码字的所有权都能被$Δ$整除.特别地，$q^r$ -可分投射线性码，其中$r$是某个整数，出现在$\mathbb{F}_q^v$的子空间集合的许多应用中。部分价差基数的上界就是一个例子。本文综述了关于投射$q^r$ -可除线性码的可能长度的已知结果。
2019-12-20 math.CO
The fourth smallest Hamming weight in the code of the projective plane over $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$
设$p$是素数，$C_p$表示${\mathbb Z}/p\mathbb{Z}$上的射影平面的$p$元码.众所周知，$C_p$中非零字的最小权是$p+1$，Chouinard证明了，对于$p \geq 3$，第二和第三最小权是$2p$和$2p+1$。2007年，Fack et.对于$p\geq 5$，确定这三个权重的$C_p$的所有字。在本文中，我们恢复所有这些结果，并证明，对于$p \geq 5$，$C_p$的第四个最小重量是$3p-3$。确定权重为$3p-3$的所有单词的问题仍然是开放的。
2017-12-20 math.CO
Infinite families of linear codes supporting more $t$-designs
Tang和Ding [IEEE IT 67（2021）244-254]研究了狭义BCH码类$\mathcal{C}_{(q,q+1,4,1)}$及其与$q=2^m$的对偶码，并建立了这些码中最小（或第二小）权重的码字支持4-设计或3-设计的无限族。受此启发，我们进一步研究了这类码中下一个相邻权的码字，发现了更多的具有$t=3,4$的$t$ -设计的无限类。特别是，我们证明了当$m \geqslant 5$为奇数时，$\mathcal{C}_{(q,q+1,4,1)}$中的权重$7$的码字支持$4$ -设计，而当$m \geqslant 4$为偶数时，$3$ -设计，这提供了无限类具有新参数的简单$t$ -设计。本文给出的另一类重要的$t$ -设计是参数为4- $(2^{2s+1}+ 1,5,5)$的补充设计，在所有已知的简单4- $(q+1,5,λ)$设计中，这些设计的指数是最小的，它们是由素数幂$q$的码导出的;并进一步证明了它们同构于4-设计承认射影一般线性群PGL $(2,2^{2s+1})$作为Alltop在1969年构造的自同构群。
2021-07-01 cs.IT math.CO math.IT
Classification of $Δ$-divisible linear codes spanned by codewords of weight $Δ$
本文分类了由重量为 $Δ$ 的码字张成的 $q$ 元 $Δ$-可分线性码，以 simplex 码等为构建块，推广了 Pless 和 Sloane 的结果，并为 Liu 关于射影情形下二元 $Δ$-可分码的定理提供了替代证明。
2023-02-15 math.CO
A characterization of Hermitian varieties as codewords
已知厄米簇是由射影空间$PG(r,q^2)$的点和超平面定义的码中的码字。在有限几何中，也定义了拟埃尔米特簇。这些是与$PG(r,q^2)$的非奇异厄米簇大小相同的$PG(r,q^2)$的点的集合，与$PG(r,q^2)$的超平面具有相同的相交大小。在平面的情况下，这简化为单位的定义。Blokhuis、Brouwer和Wilbrink的一个著名结果指出，$PG(2,q^2)$的点和线的代码中的每一个单位都是厄米曲线。我们证明了一个类似的结果，拟厄米簇在$PG(3,q^2)$，$q=p^{h}$，以及在$PG(r,q^2)$，$q=p$素数，或$q=p^2$，$p$素数，和$r\geq 4$。
2017-06-19 math.CO
On upper bounds on the smallest size of a saturating set in a projective plane
在一个$q,$阶的射影平面$Π_{q}$（不一定是Desklessian的）中，如果$Π_{q}\setminus S$中的任何一点与$~S$中的两点共线，则点子集$S$是饱和的（或稠密的）.使用概率的方法，下面的上限上的最小尺寸$ s(2,q)$的饱和集在$Π_{q}$证明：\begin{equation*} s(2,q)\leq 2\sqrt{(q+1)\ln (q+1)}+2\thicksim 2\sqrt{q\ln q}. \end{equation*}我们还表明，对于任何常数$c\ge 1$的随机点集的大小$k$在$Π_{q}$与$ 2c\sqrt{(q+1)\ln(q+1)}+2\le k<\frac{q^{2}-1}{q+2}\thicksim q$是一个饱和集的概率大于$1-1/(q+1)^{2c^{2}-2}.$我们的概率方法也适用于多个饱和集。一个点集$S\subset Π_{q}$是$(1,μ)$ -饱和的，如果对于$Π_{q}\setminus S$的每个点$Q$，$S$到$Q$的割线数至少是$μ$，用重数计数。证明了$Π_{q}$中$(1,μ)$ -饱和集的最小尺寸$s_{μ}(2,q)$的上界：\begin{equation*} s_{μ}(2,q)\leq 2(μ+1)\sqrt{(q+1)\ln (q+1)}+2\thicksim 2(μ+1)\sq…
2016-05-17 math.CO
Linear codes arising from the point-hyperplane geometry -- Part II: the twisted embedding
本文研究了点-超平面几何在有限域上的扭曲嵌入所生成的线性码的参数、最小距离和自同构群，探讨了其最小和次低重量码字的几何特性。
2025-07-22 cs.IT math.CO math.IT
Projective divisible binary codes
对于哪些正整数$n,k,r$，存在$\mathbb{F}_q$上的线性$[n,k]$码$C$，其中所有码字权重都可被$q^r$整除，并且使得$C$的生成矩阵的列是投影不同的？研究这个问题的动机来自于部分扩展的理论，或者具有最高可能的最小距离的子空间码，因为在$\operatorname{PG}(v-1,\mathbb{F}_q)$中的$r$ -平坦部分扩展的孔的集合对应于具有$k\leq v$的$q^r$ -可除码。在本文中，我们提供了一个介绍这个问题，并报告新的结果$q=2$。
2017-03-24 math.CO
Unsatisfiability Proofs for Weight 16 Codewords in Lam's Problem
在20世纪70年代和80年代，L.卡特角拉姆湖Thiel和S. Swiercz表明，投影平面的顺序10重量16码字不存在。这些搜索需要高度专业化和优化的计算机程序，需要在大型机和超小型计算机上进行大约2，000小时的计算。2011年，这些搜索得到了D。Roy使用了一个优化的C程序和16，000小时的桌面计算机集群。我们通过将问题简化为布尔可满足性问题（SAT）来验证这些搜索。我们的验证使用立方体和征服SAT解决范式，对称性破缺技术，使用计算机代数系统Maple，和卡特的结果，有十个非同构的情况下检查。我们的搜索在台式机上完成了大约30个小时，并产生了大约1 TB的DRAT（删除决议不对称重言式）格式的不存在证明。
2020-05-01 cs.DM cs.LO cs.SC
Resolving sets and semi-resolving sets in finite projective planes
我们证明了$q\geq 23$阶的有限射影平面的度量维数是$4q-4$，并描述了该大小的所有解析集。令$τ_2$表示$\mathrm{PG}(2,q)$（$q$阶的狄氏射影平面）中的最小双重阻塞集的大小。证明了对于$\mathrm{PG}(2,q)$的关联图中的半可分解集$S$，$|S|\geq \min \{2q+q/4-3, τ_2-2\}$成立.特别地，如果$q\geq9$是正方形，则$\mathrm{PG}(2,q)$中的最小半解析集的大小为$2q+2\sqrt{q}$。
2017-01-30 math.CO
The minimum weight of the code of intersecting lines in ${\rm PG}(3,q)$
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Ghent University（根特大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了${\rm PG}(3,q)$中相交线码的最小重量及偶数情况下第二小重量码的性质。
2024-03-12 math.CO
A note on tight projective 2-designs
我们研究了紧投射2-设计在三个不同的设置。在复杂的情况下，Zauner猜想预言了在每个维度上都存在紧投射2-设计。Pandey，Paulsen，Prakash和Rahaman最近提出了一种方法，根据某个量子信道的纠缠破秩来对这个猜想进行定量研究。我们证明了这个量等于最小加权2-射影设计的大小。接下来，在有限域的设置，我们引入了一个概念的射影2-设计，我们刻画了当这样的射影2-设计是紧的，我们提供了这样的对象的建设。最后，在四元数的情况下，我们证明了H^d的每一个紧投射2-设计确定了R^d（2d+1）的3维d（2d-1）个子空间的等倾紧融合标架。
2021-02-11 cs.IT math.CO math.IT
On the code generated by the incidence matrix of points and hyperplanes in PG(n,q) and its dual
本文研究了由点与超平面的关联矩阵生成的p元线性码C（PG（n，q）），q = p^h，p素，h >= 1及其对偶码.我们链接的码字的小重量，这个代码的阻塞集相对于PG（n，q）中的线，我们排除所有可能的码字所产生的小线性阻塞集。我们还研究了C（PG（n，q））的对偶码，证明了寻找对偶码的最小权可以归结为寻找PG（2，q）中点和线的对偶码的最小权。我们提出了一个改进的上界这个最小重量，我们表明，我们可以下降的可分性条件的重量的码字在Sachar的下界[12]。
2012-01-16 math.CO
Saturating sets in projective planes and hypergraph covers
设$Π_q$是任意有限的$q$级射影平面。如果$S$之外的任何点与来自$S$的一对点共线，则其点的子集$S$被称为饱和。应用概率工具，我们提高了上界的最小可能的大小的饱和集$\lceil\sqrt{3q\ln{q}}\rceil+ \lceil(\sqrt{q}+1)/2\rceil$。同样的结果，提出了使用算法的方法，以及，它指出了连接的横向数的一致多重相交超图。
2017-11-25 math.CO
Small flag complexes with torsion
我们对第一个同调群中最多12个顶点上有挠的旗复形进行了分类。结果是适度的计算机辅助。因此，我们证实了一个民间传说的猜想，最小的偏序集，其序复是同伦等价于真正的射影平面（也是第一个同调群中的最小偏序集与挠）正好有13个元素。
2012-08-19 math.AT math.CO
Further results on binary linear covering codes and saturating sets in projective spaces
Kharkevich Institute for Information Transmission Problems Russian Academy of Sciences（信息传输问题哈尔维奇研究所 俄罗斯科学院）；Department of Mathematics and Computer Science, University of Perugia（佩鲁贾大学数学与计算机科学系）；Independent（独立研究者）
本文构造新的无限二元码族，改进覆盖半径为2的码长上界，并降低渐近覆盖密度至1.27002，从而改进Green问题40的常数上界。
2026-10-14 cs.IT math.CO math.IT
On 4-general sets in finite projective spaces
本文研究了有限射影空间 ${\rm PG}(n,q)$ 中完全 $4$-一般集大小的上下界，给出了 $q \in \{3,4\}$ 时接近理论上界的集合，并构造了特定条件下大小为 $3(q+1)$ 的传递 $4$-一般集。
2023-05-23 cs.IT math.CO math.IT
Beating Fredman-Komlós for perfect $k$-hashing
我们说子集$C \subseteq \{1,2,\dots,k\}^n$是$k$散列码（也称为$k$分离的），如果对于来自$C$的每个$k$码字子集，存在一个坐标，其中所有这些码字具有不同的值。理解$k$ -散列码的最大可能速率（以比特为单位）（定义为$(\log_2 |C|)/n$）是一个经典问题。它出现在两个等价的上下文中：（i）将$N$元素的全域映射到$\{1,2,\dots,k\}$中的完美散列族的可能的最小大小，以及（ii）对于特定组合信道，利用大小小于$k$的列表进行解码的零错误容量。对于任何$k \geq 4$，Fredman和Komlós在1984年得到了一个关于$k$ -散列码的速率的$k!/k^{k-1}$的一般上界（在大$n$的限制下）。虽然已经获得了$k=4$的更好的界限，但它们的原始界限仍然是每个$k \ge 5$的最佳界限。在这项工作中，我们得到了第一个改进的Fredman-Komlós界的每$k \ge 5$。虽然我们得到明确的（数值）界为$k=5,6$，对于较大的$k$，我们只表明，FK界可以提高一个积极的，但未指定的，量。在单纯形上某个多项式优化问题的最优值的猜想下，我们的方法允许对每个$k$计算有效界。
2018-05-10 cs.DM cs.DS cs.IT
(l,s)-Extension of Linear Codes
我们构造了新的具有高最小距离d的线性码。在至少12种情况下，这些码改进了对于固定参数n，k的先前已知的最佳线性码的最小距离。在这些新的码中，有一个最佳三元[88，8，54]码。我们开发了一种算法，它开始于已经很好的代码C，即代码具有高的最小距离d为给定的长度n和维度k在域GF（q）。该算法基于新定义的（l，s）-扩张。这是在奇数最小权重的二进制线性码的情况下添加奇偶校验位的公知方法的推广。（l，s）-扩展试图通过添加l列来扩展C的生成矩阵，其中添加到C中的最小权重的码字中的每一个的l个字母中的至少s不同于0。如果找到这样的列，则扩展码的最小距离是d + s，前提是C中第二小的权重至少是d + s。这种柱子是否存在的问题可以用丢番图方程组来解决。
2007-01-17 cs.IT math.CO math.IT
Ring geometries, Two-Weight Codes and Strongly Regular Graphs
已知有限域$\F_q$上的线性二权码$C$既对应于$\F_q$上的射影空间中的满足$a$或$b$点中的每个超平面的多集，对于某些整数$a<b$，又对应于强正则图，其顶点可以用$C$的码字标识。在这里，我们将这个经典的结果的情况下，一个环线性码正好有两个非零齐次重量和多个点集在一个相关的射影环几何。我们将证明有限弗罗贝尼乌斯环上的二权码产生强正则图，并利用环几何给出二权码的一些构造。这些例子都产生了具有非平凡参数的强正则图的无限族。
2007-09-06 math.CO math.GM math.RA
On the minimum blocking semioval in PG(2,11)
本文针对阶数小于11的有限射影平面最小阻塞半椭圆尺寸已知的背景，开展PG(2,11)中的最小阻塞半椭圆研究。
2023-05-08 math.CO
Linear representations of finite geometries and associated LDPC codes
有限射影空间的子集的{ \it线性表示}是由该子集确定的仿射点和线的关联系。本文利用特征标理论证明了关联矩阵的秩在某些超平面上有直接的几何解释。我们考虑了以关联矩阵及其转置矩阵作为校验矩阵定义的LDPC码，并在前一种情况下证明了Vandendriessche的一个猜想，即该码是由称为平面字的最小权字生成的.在后一种情况下，我们计算的最小重量在几种情况下，并提供明确的最小重量码字的建设。
2020-01-29 math.CO
Higgledy-piggledy sets in projective spaces of small dimension
本文主要研究$\text{PG}(N,q)$中$k$ -子空间的higgledy-piggledy集，即“良好展开”的射影子空间集。更准确地说，这些$k$ -子空间与$\text{PG}(N,q)$的任何$(N-k)$ -子空间$κ$的交点集跨越$κ$本身。我们强调三种方法来构建小的$k$ -子空间的higgledy-piggledy集和讨论，为$k\in\{1,N-2\}$，“最佳”集，覆盖尽可能少的点。此外，我们还研究了$\text{PG}(N,q)$，$N\leqslant5$中的小的非平凡的higgledy-piggledy集。我们的主要结果是存在六条杂乱排列的$\text{PG}(4,q)$线，其中两条相交。利用上述构造方法，我们还证明了$\text{PG}(4,q)$中存在六个平面，其中两个平面最大相交，以及$\text{PG}(5,q)$中存在两个分别由八个平面和七个立体组成的higgledy-piggledy集合.最后，我们把这些几何结果的编码和图形理论的背景下。
2022-06-07 math.CO
Classification of minimal 1-saturating sets in $PG(2,q)$, $q\leq 23$
考虑了射影平面$PG(2,q)$中的极小1-饱和集.它们对应于可以应用于组合学和信息论的许多分支的覆盖码，如数据压缩、失真压缩、互连网络中的广播、一次写入存储器或隐写术（参见\cite{Coh}和\cite{BF2008}）。给出了PG（2，9）和PG（2，11）中所有极小1-饱和集的完全分类以及PG（2，q），$16\leq q\leq 23$中最小尺寸极小1-饱和集的分类.这些结果是利用射影等价性质的基于计算机的穷举搜索发现的。
2012-03-06 math.CO
Tables, bounds and graphics of the smallest known sizes of complete caps in the spaces $\mathrm{PG}(3,q)$ and $\mathrm{PG}(4,q)$
本文给出并分析了$q$阶有限域上的维数为$N=3$和$N=4$的射影空间$\mathrm{PG}(N,q)$中小完备帽的计算结果.结果已经得到使用随机贪婪算法和算法与固定顺序的点（FOP）。计算是在$q$值的相对宽的区域中进行的;在$N=3,4$的文献中没有考虑这样宽的区域。新的完整的瓶盖是已知的最小的。在此基础上，我们得到了$t_2(N,q)$的新的上界，即$\mathrm{PG}(N,q)$，特别是\begin{align*} &t_{2}(N,q)<\sqrt{N+2}\cdot q^{\frac{N-1}{2^{\vphantom{H}}}}\sqrt{\ln q},\quad q\in L_{N},\quad N=3,4,\\ &t_{2}(N,q)<\left(\sqrt{N+1}+\frac{1.3}{\ln (2q)}\right)q^{\frac{N-1}{2^{\vphantom{H}}}}\sqrt{\ln q},\quad q\in L_{N},\quad N=3,4, \end{align*}，其中\begin{align*} &L_{3}:=\{q\le 4673, ~q\ \textrm{prime}\} \cup \{5003,6007,7001,8009\},\\ &L_{4}:=\{q\le 1361, ~q\ \textrm{prime}\} …
2016-10-30 math.CO
New covering codes of radius $R$, codimension $tR$ and $tR+\frac{R}{2}$, and saturating sets in projective spaces
长度函数$\ell_q(r,R)$是余维$r$和覆盖半径$R$的$ q $元线性码的最小长度。在这项工作中，我们得到了新的建设性的上界$\ell_q(r,R)$所有$R\ge4$，$r=tR$，$t\ge2$，也为所有甚至$R\ge2$，$r=tR+\frac{R}{2}$，$t\ge1$。新的界限提供了无限家庭的新的覆盖码固定$R$和增加余维。新的界限改进了已知的界限。我们提出了一个在射影空间$\mathrm{PG}(2ρ+1,q)$中对于所有$ρ\ge0$的极小$ρ$ -饱和$((ρ+1)q+1)$ -集的一般正则构造（称为"线+椭圆“）.这样的集合对应于覆盖半径$R=ρ+1$的$[Rq+1,Rq+1-2R,3]_qR$局部最优$^1$码。基于这些码关于球形胶囊$^1$的组合性质，我们给出了码余维提升的构造，得到了具有余维$r=tR$，$t\ge2$的新的表面覆盖$^1$码的无限族。此外，我们还得到了射影平面$\mathrm{PG}(2,q^2)$上新的1-饱和集，并在此基础上构造了具有固定偶半径$R\ge2$和余维数$r=tR+\frac{R}{2}$，$t\ge1$的无限码族.（$^1$参见第1节中的定义）
2019-03-16 math.CO
Projective and external saturation problem for posets
本文提出偏序集饱和问题的射影与外饱和两个变体，研究其饱和数性质，并猜想所有有限偏序集的外饱和数有界，且在特殊情形下给出证明。
2023-06-17 math.CO
Tables, bounds and graphics of the smallest known sizes of complete arcs in the plane $\mathrm{PG}(2,q)$ for all $q\le160001$ and sporadic $q$ in the interval $[160801\ldots 430007]$
在投影平面$\mathrm{PG}(2,q)$中，我们收集区域\begin{align*} &\mbox{all } q\le160001,~~ q \mbox{ prime power};\\ &Q_{4}=\{34 \mbox{ sporadic }q'\mbox{s in the interval }[160801\ldots430007], \mbox{ see Table 3}\}. \end{align*}的完整弧的最小已知尺寸。对于$q\le160001$，弧尺寸的收集在考虑所有素数幂的弧的意义上是完整的。这证明了$\mathrm{PG}(2,q)$，特别是\begin{align*} t_{2}(2,q)&<0.998\sqrt{3q\ln q}<1.729\sqrt{q\ln q}&\mbox{ for }&&7&\le q\le160001;~~(1) \\ t_{2}(2,q)&<\sqrt{q}\ln^{0.7295}q&\mbox{ for }&&109&\le q\le160001;~~(2)\\ t_{2}(2,q)&<\sqrt{q}\ln^{c_{up}(q)}q,~~c_{up}(q)=\frac{0.27}{\ln q}+0.7,&\mbox{ for }&&19&\le q\le160001;~~(3)\\ t_{2}(2,q)&<0.6\s…
2015-06-28 math.CO
Embedding Dimension Phenomena in Intersection Complete Codes
组合码$\mathcal C\subseteq 2^{[n]}$的两个诱人的不变量是cdim $(\mathcal C)$和odim $(\mathcal C)$，分别是$\mathcal C$可以由凸闭集或凸开集实现的最小维数。Cruz、Giusti、Itskov和Kronholm证明了对于具有$m+1$最大码字的交集完全码$\mathcal C$，odim $(\mathcal C)$和cdim $(\mathcal C)$都是由$\max\{2,m\}$上界的。Lienkaemper、Shiu和Woodstock的结果表明，即使对于交集完全码，odim和cdim也可能不同。我们增加了关于交集完全码的开嵌入维数和闭嵌入维数的文献，得到了以下结果：（*）如果$\mathcal C$是单纯复形，则cdim $(\mathcal{C}) = \mbox{odim}(\mathcal C)$，（*）如果$\mathcal C$是交完备的，则cdim $(\mathcal C)\le \mbox{odim}(\mathcal C)$，（*）如果$\mathcal C\subseteq 2^{[n]}$与$n\ge 2$是交完备的，则cdim $(\mathcal C) \le \min \{2d+1, n-1\}$，其中$d$是$\mathcal C$的单纯复形的维数，以及（*）对于具有…
2021-11-16 math.CO
Constructing saturating sets in projective spaces using subgeometries
$\text{PG}(N,q)$的$\varrho$饱和集是一个点集$\mathcal{S}$，使得$\text{PG}(N,q)$的任何点位于由$\mathcal{S}$的点所张成的维数至多为$\varrho$的子空间中。通常已知$\text{PG}(N,q)$的$\varrho$饱和集具有至少$c\cdot\varrho\,q^\frac{N-\varrho}{\varrho+1}$的大小，其中$c>\frac{1}{3}$是常数。我们的主要结果是发现一个$\varrho$饱和集的大小大致为$\frac{(\varrho+1)(\varrho+2)}{2}q^\frac{N-\varrho}{\varrho+1}$，如果$q=(q')^{\varrho+1}$，与$q'$任意素数权力。这样一个集合的存在改善了大多数已知的$\varrho$饱和集的最小可能大小的上界，如果$\varrho<\frac{2N-1}{3}$。由于饱和集与线性覆盖码具有一一对应的关系，这一结果改进了现有的关于此类码的长度和覆盖密度的上界。为了证明这个结构是$\varrho$饱和集，我们观察到$q'$的仿射部分-$\text{PG}(N,q)$的子几何具有共同的超平面，表现为$\text{AG}\big(\varrho+1,(q')^N\big)$的某些线。更准确地说，这些仿射线是嵌入在$\text{PG…
2021-06-25 math.CO
