On the minimum number of minimal codewords
Romar dela Cruz, Michael Kiermaier, Sascha Kurz, Alfred Wassermann
从射影几何的角度研究了线性码中最小码字的最小个数问题。我们得到的界限，并在某些情况下确定的确切值。我们还提出了一个扩展到最小的子代码支持。
We study the minimum number of minimal codewords in linear codes from the point of view of projective geometry. We derive bounds and in some cases determine the exact values. We also present an extension to minimal subcode supports.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the number of minimal codewords in codes generated by the adjacency matrix of a graph
最小码字在线性码的译码和密码学中有应用。本文研究了在图的邻接矩阵上附加一个单位矩阵所产生的二元线性码的最小码字数。
Towards the characterization of minimum weight codewords of Schubert codes
本文验证了Schubert码最小重量码字猜想，证明了Schubert分解可码字在有限多个例外情况下成立。
Minimal codewords arising from the incidence of points and hyperplanes in projective spaces
近年来，由射影空间$\text{PG}(n,q)$中的点与超平面的关联而产生的码$\mathcal{C}_{n-1}(n,q)$引起了人们的广泛关注。特别地，$\mathcal{C}_{n-1}(n,q)$的小权重码字是研究的主题。这项工作的主要结果表明，如果$q$是足够大的，而不是素数，一个码字的重量小于大约$\frac{1}{2^{n-2}}q^{n-1}\sqrt{q}$可以写为一个线性组合的几个超平面。因此，我们使用这个结果提供了一个图论的充分条件，这些码字的小重量是最小的。
Minimum weight codewords in dual Algebraic-Geometric codes from the Giulietti-Korchmáros curve
本文通过计算Giulietti-Kámáros曲线与直线、平面二次曲线和平面三次曲线的最大交数，研究了与Giulietti-Kámáros曲线相关的一些对偶代数-几何码的最小重量码字数.
On the Minimum Distance, Minimum Weight Codewords, and the Dimension of Projective Reed-Muller Codes
本文通过另一种证明刻画任意阶射影 Reed-Muller 码的最小距离与最小重量码字，给出其数量并讨论维数公式的等价性。
Enumeration of minimum weight codewords of affine Cartesian codes
本文利用嵌套子域设定下的最小重量码字刻画，给出了Affine Cartesian codes最小重量码字数量的显式公式，统一了Reed-Solomon码和Reed-Muller码的已知公式。
On the maximum number of minimal codewords
最小码字在线性码的译码和密码学中有应用。研究了给定长度和维数的二元线性码中最小码字的最大个数。改进的最大数的上下界。我们确定的情况下，尺寸$k$和长度$k+2$的线性代码和小值的长度和尺寸的精确值。我们还给出了维数为$k$、长度为$k+3$的线性码的最小码字数的一个公式。
Neural Codes With Three Maximal Codewords: Convexity and Minimal Embedding Dimension
神经代码，表示为称为码字的二进制字符串的集合，用于编码神经活动。如果一个码的码字被表示为欧几里得空间中的凸开集的排列，则该码被称为凸的。以前的工作集中在解决这个问题：我们如何判断神经代码何时是凸的？Giusti和Itskov发现了一个局部障碍，并证明了凸神经代码没有局部障碍。相反的情况对于最多四个神经元上的编码是正确的，但一般来说是错误的。然而，我们证明了这一逆持有代码最多三个最大的码字，而且这种代码的最小嵌入维数是最多两个。
Minimal Codes From Characteristic Functions Not Satisfying The Ashikhmin-Barg Condition
最小码是线性码，其中码字的支持包含在另一码字的支持中的唯一实例是当码字是彼此的标量倍数时。Ashikhmin和Barg给出了码为极小码的一个充分条件，这引起了人们对构造不满足条件的极小码的兴趣。考虑一类特殊的码族$\mathcal C_f$，当$f$是点集的指示函数时，利用$f$的支撑的几何性质，证明了$\mathcal C_f$是极小的且不满足Ashikhmin和Barg条件的充分条件.我们给出了满足这些几何性质的点集的大小的一个下界，并证明了该界是紧的。
Even Sets and Dual Projective Geometric Codes: A Tale of Cylinders
本文研究了射影几何码的对偶性质，证明最小重量码字为圆柱码字，并通过三个步骤验证猜想在一般情况下的成立。
The maximum number of minimal codewords in an $[n,k]-$code
本文导出了标题中的量的上、下界，并对$n$和$k.$的适度值进行了列表。
The minimum weight of the code of intersecting lines in ${\rm PG}(3,q)$
本文研究了${\rm PG}(3,q)$中相交线码的最小重量及偶数情况下第二小重量码的性质。
Maximal quadrics over finite fields and minimal codewords of projective Reed-Muller codes
本文基于有限域上的最大二次曲面研究二阶投影Reed-Muller码的最小码字分类，证明了除F₂特例外，任何两个绝对不可约二次曲面若包含关系成立则必相等，并给出了最小码字的精确刻画及各重量下的数量。
On the code generated by the incidence matrix of points and hyperplanes in PG(n,q) and its dual
本文研究了由点与超平面的关联矩阵生成的p元线性码C（PG（n，q）），q = p^h，p素，h >= 1及其对偶码.我们链接的码字的小重量，这个代码的阻塞集相对于PG（n，q）中的线，我们排除所有可能的码字所产生的小线性阻塞集。我们还研究了C（PG（n，q））的对偶码，证明了寻找对偶码的最小权可以归结为寻找PG（2，q）中点和线的对偶码的最小权。我们提出了一个改进的上界这个最小重量，我们表明，我们可以下降的可分性条件的重量的码字在Sachar的下界[12]。
The maximum number of minimal codewords in long codes
二进制码中最小码字的最大数目的上界遵循拟阵理论。随机编码提供了下限。在本文中，我们比较这些边界与类似的边界的循环码的图。这个问题（在图形的情况下）被认为是在1981年由恩特林格和斯莱特谁问，如果一个连通图的$p$顶点和$q$边可以只略多于$2^{q-p}$周期。本说明中的边界对所有图都是肯定的，除了可能有一些少于$2p+3\log_2(3p)$边的图。我们还得出结论，一个欧拉（偶）图最多有$2^{q-p}$圈，除非该图是一个4-正则图的一个细分，该图是两个Hamilton圈的边不交并，在这种情况下，它可能有多达$2^{q-p}+p$圈。
Maximum weight codewords of a linear rank metric code
设$\mathcal{C}\subseteq \mathbb{F}_{q^m}^n$是维数为$k$的$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性非退化秩度量码.本文研究了$\mathcal{C}$中具有最大权值的码字个数$M(\mathcal{C})$，即$\min\{m,n\}$的确定问题，并刻画了具有最大值和最小值的码字个数$M(\mathcal{C})$的特征.
Reconstructing Extended Perfect Binary One-Error-Correcting Codes from Their Minimum Distance Graphs
当两个码字之间的汉明距离等于码的最小距离时，码的最小距离图将码字作为顶点和边。本文给出了一个构造性的证明，证明了一个扩展的完美二进制一-纠错码从其最小距离图的可重构性。因此，不等价的这样的代码有非同构的最小距离图。此外，还证明了最小距离图的自同构群与相应码的自同构群是同构的。
A note on small weight codewords of projective geometric codes and on the smallest sets of even type
本文研究了射影几何码中最小权重码字的分类及最小偶类型集，提供了已知结果的简短证明。
Divisible minimal codes
本文研究极小码的最小长度问题，确定了若干小参数下的精确值并给出完整分类，同时研究了码字重量可被常数整除的极小码，并改进了部分二元线性码的最小距离下界。
Bounds for DNA codes with constant GC-content
我们推导出理论上的上限和下界上的最大尺寸的DNA代码的长度为n与恒定的GC含量w和最小汉明距离d，无论有和没有额外的约束，任何码字和任何码字的反向互补之间的最小汉明距离至少是d。我们还显式地构造了比先前发表的最佳代码更大的代码，对于参数n，d和w的许多选择。
The structure of dual Schubert union codes
本文证明了Schubert并码是由Schubert簇从Grassmannian簇继承的点-线关联几何构造的Tanner码。我们这样做，首先找到一个延长算法坦纳码。该算法从Tanner码的位置的给定子集中的条目中找到Tanner码的码字的条目。我们发现充分条件的初始集和初始位置，使得码字是确定的分量码。本文给出了线性复杂度Schubert并码的一种迭代系统编码算法。利用该编码器，我们还确定了舒伯特联合码的最小距离。
Locally repairable codes with high availability based on generalised quadrangles
Pamies-Juarez，Hollmann和Oggier在\cite{PaHoOg2013}中引入了基于广义四边形的局部可修码，并给出了可修性和可用性的界.在本文中，我们确定的可修性和可用性的LRC的目前已知的广义四边形的一大部分的值。为此，我们确定了平移广义四边形码的最小权，并求出了最小权的码字。
On the code generated by the incidence matrix of points and k-spaces in PG(n, q) and its dual
本文研究了PG（n，q）中点与k维空间的关联矩阵生成的p元线性码Ck（n，q），q = ph，p素，h >= 1.对于k >= n/2，我们将权重小于2 q ^k的Ck（n，q）\Ck（n，q）的码字链接到k-分块集合。我们首先证明这样的k-分块集可以唯一地约简为最小k-分块集，并排除从小线性k-分块集产生的所有码字。对于k < n/2，我们给出了对k >= n/2有效的引理的反例。其次，我们研究了Ck（n，q）的对偶码，给出了其码字重量的一个下界，从而将Sachar [12]的结果推广到一般维数.
A projective two-weight code related to the simple group ${\rm Co}_1$ of Conway
利用 ${\rm Co}_1$ 在 ${\rm Co}_2$ 陪集上的本原作用构造二元射影二重权码，分析其对偶码、码字稳定子与 Leech 格的联系，并得到一个新的强正则图。
Linear Codes Associated to Skew-symmetric Determinantal Varieties
在这篇文章中，我们考虑来自反对称行列式簇的线性码，这是由反对称矩阵空间中某个固定大小的子式的消失定义的。在奇特征下，确定了这类码的最小距离，并给出了这类码中一般码字的权值的递推公式。
Linear representations of finite geometries and associated LDPC codes
有限射影空间的子集的{ \it线性表示}是由该子集确定的仿射点和线的关联系。本文利用特征标理论证明了关联矩阵的秩在某些超平面上有直接的几何解释。我们考虑了以关联矩阵及其转置矩阵作为校验矩阵定义的LDPC码，并在前一种情况下证明了Vandendriessche的一个猜想，即该码是由称为平面字的最小权字生成的.在后一种情况下，我们计算的最小重量在几种情况下，并提供明确的最小重量码字的建设。
Geometric representations of linear codes
我们说域F上的线性码C是三角可表示的，如果存在二维单纯复形$Δ$，使得C是F上的$Δ$的关联矩阵的核ker $Δ$的删余码，并且在C和ker $Δ$之间存在线性映射，该线性映射是双射并且将最小码字映射到最小码字。证明了有理数域上和GF（p）上的线性码（其中p是素数）是三角可表示的.在有限域的情况下，我们证明了这个表示决定了C的权枚举数。我们将这个结果应用到Potts模型的分拆函数上。另一方面，我们证明了在任何不同于有理数和GF（p），p素数的域上都存在非三角可表示的线性码。我们表明，三角表示的每一个建设失败的一个非常弱的条件下，一个线性码和它的三角表示必须有相同的尺寸。
Minimum degrees and codegrees of minimal Ramsey 3-uniform hypergraphs
一个均匀超图$H$称之为$k$ -Ramsey，对于一个超图$F$，如果无论如何用$k$给$H$的边着色，总有一个$F$的单色副本.如果$H$是$k$ -Ramsey for $F$，但$H$的每个真子超图不是，则称$H$是极小$k$ -Ramsey for $F$. Burr，Erdensys和Lovasz研究了极小Ramsey图的各种参数。本文主要研究极小Ramsey $3$ -一致超图的极小度和余度。证明了$K_t^{(3)}$的所有极小$k$ -Ramsey $3$ -一致超图的最小顶点度在$k$和$t$的某些多项式中是指数的.我们还研究了极小$2$ -Ramsey $3$ -一致超图上的最小可能最小余度.
Minimum distance of Line Orthogonal Grassmann Codes in even characteristic
本文确定了$q$偶数正交线格拉斯曼码的最小距离。病例$q$ odd在“I.卡迪纳利湖Giuzzi，K. Kaipa，A.张文，正交型线极格拉斯曼码，纯应用代数。“我们还表明，对于$q$，甚至所有最小重量码字都是等价的，辛线格拉斯曼码是正交码的余维$2n$的适当子码。
On the Maximum Size of Block Codes Subject to a Distance Criterion
建立了最小成对距离不小于$d$的有限长分组码的最大码长的一般公式。可实现性论点涉及一组半径- $d$球的迭代构造，每个球以一个码字为中心。我们证明，这样的球，覆盖整个代码字母表的数量不能超过这个最大尺寸。我们的方法可以适用于代码$i)$的元素在任意代码字母表，和$ii)$下的一个广泛的类的距离措施，从而确保我们的公式的通用性。我们的公式表明，最大的代码大小可以完全由两个独立和相同分布的随机码字的距离测度的累积分布函数来表征。当两个随机码字假设在整个代码字母表上均匀分布时，我们的公式恢复并获得Gilbert-Varshamov（GV）下界的自然推广。我们还建立了一个通用的公式的任何序列的信道的零错误容量。最后，我们将我们的研究扩展到渐近设置，在那里我们建立了一阶和二阶的渐近码率上界的归一化最小距离约束。
Infinite families of linear codes supporting more $t$-designs
Tang和Ding [IEEE IT 67（2021）244-254]研究了狭义BCH码类$\mathcal{C}_{(q,q+1,4,1)}$及其与$q=2^m$的对偶码，并建立了这些码中最小（或第二小）权重的码字支持4-设计或3-设计的无限族。受此启发，我们进一步研究了这类码中下一个相邻权的码字，发现了更多的具有$t=3,4$的$t$ -设计的无限类。特别是，我们证明了当$m \geqslant 5$为奇数时，$\mathcal{C}_{(q,q+1,4,1)}$中的权重$7$的码字支持$4$ -设计，而当$m \geqslant 4$为偶数时，$3$ -设计，这提供了无限类具有新参数的简单$t$ -设计。本文给出的另一类重要的$t$ -设计是参数为4- $(2^{2s+1}+ 1,5,5)$的补充设计，在所有已知的简单4- $(q+1,5,λ)$设计中，这些设计的指数是最小的，它们是由素数幂$q$的码导出的;并进一步证明了它们同构于4-设计承认射影一般线性群PGL $(2,2^{2s+1})$作为Alltop在1969年构造的自同构群。
On the Number of Circuits in Regular Matroids (with Connections to Lattices and Codes)
该研究推广Karger的图割结果，证明正则拟阵的α-最小回路数量界，并推导全幺模格、正则码的对应数量界。
Remark on a result of Constantine
在这个简短的说明中，我们构造代码的长度$4n$与$8n+8$码字和最小距离$2n-2$时，$4n+4$是阿达玛矩阵的顺序。这推广了Constantine在$n$是素数幂的特殊情况下得到的类似结果。
A New Lower Bound for A(17,6,6)
我们构造了一个长度为17，最小距离为6，常重为6，包含113个码字的破纪录的二进制码。
Groebner bases and combinatorics for binary codes
本文引入了由二进制线性码导出的二项理想。我们提出了这个理想的Gröbner基的一些应用，关于全次数序。在第一个应用中，我们给出了一个解码方法的代码。通过将代码与图中的循环集合相关联，我们可以解决找到最小长度的所有码字（图中的最小循环）的问题，并展示如何找到最小循环基。最后讨论了Gröbner基计算的一些结果。
Construction of Large Constant Dimension Codes With a Prescribed Minimum Distance
本文构造了具有指定最小距离的常维空间码。自从Koetter和Kschischang的论文给出了网络编码的应用以来，对空间码的兴趣越来越大。这也与有限域上的设计理论有关。我们将修改一种方法的布劳恩，克尔伯和劳厄，他们用于建设的设计有限域做建设的空间代码。使用这种方法，我们发现了许多新的常维空间的代码与更多的码字比以前已知的代码。最后，我们将给出一个最好的常维空间码的表。
Linear Codes Of 2-Designs As Subcodes Of The Extended Generalized Reed-Muller Codes
本文研究了由厄米特函数定义的仿射不变三进制码。我们计算的关联矩阵的2-设计，支持这些三元码的最小重量码字。由这些关联矩阵的行生成的线性码是4阶广义Reed-Muller码的扩展码的子码，它们也是2-设计。最后，我们给出了这类线性码的维数和最小重量的下界。
Type IV-II codes over Z4 constructed from generalized bent functions
类型IV-II Z4-码是Z4上的自对偶码，具有所有欧几里德权重可被8整除且所有码字具有偶数汉明权重的性质。本文利用广义Bent函数构造了Z ~ 4上长度为$2^m$的自正交码，对于$m$为奇数的，构造了$m \geq 3$，并证明了对于$m \geq 5$，这些码可推广到Ⅳ-Ⅱ型Z ~ 4-码.从这类Ⅳ-Ⅱ型Z4-码出发，利用Gray映射得到了一类自对偶Ⅱ型二元码。我们还考虑了所得到的码的重量分布和最小重量码字的支撑结构。
Covering Codes using Insertions or Deletions
覆盖码是一组码字，其性质是围绕这些码字的球的并集（适当定义）覆盖整个空间。通常，目标是找到具有最小尺寸码本的覆盖码。虽然大多数以前的工作覆盖码集中在汉明度量，我们考虑的问题，设计覆盖码定义的插入或删除。首先，我们提供了新的球覆盖下界的最小可能的大小，这样的代码。然后，我们提供了新的最佳覆盖码的大小的存在性上界的一个单一的插入或一个单一的删除是紧到一个常数因子。最后，我们得到了改进的上限覆盖码使用$R\geq 2$插入或删除。我们证明了码的密度是唯一的一个因素$O(R \log R)$大于所有固定的~ $R$的下界。特别是，我们的上界有一个最佳的依赖于字长，我们实现了渐近密度匹配的最佳已知的汉明距离覆盖码的界限。
Distance Distributions of Cyclic Orbit Codes
码的距离分布是其$i^\text{th}$条目是具有距离$i$的码字对的数目的向量。我们研究了循环轨道码的距离分布的结构，循环轨道码是由$\mathbb{F}_{q^n}^*$作用于$\mathbb{F}_{q^n}$的$\mathbb{F}_q$ -子空间$U$生成的子空间码。我们发现，对于最佳的全长轨道码的距离分布只取决于$q,\,n$，和$U$的维数。对于较低的最小距离的全长轨道代码，我们提供了部分结果的距离分布的特征，特别是在任何两个码字相交的空间中的尺寸最多为2的情况下。最后，我们简要地讨论了一个联盟的最佳全长轨道码的距离分布。
Generalized weights of codes over rings and invariants of monomial ideals
本文发展了$R$ -定长线性码的支撑的代数理论，其中$R$是有限交换酉环。一个支持自然会导致广义权重的概念，并允许一个关联的单项式理想的代码。我们的主要结果表明，在适当的假设下，码的广义权可以从它的相关单项理想的分次Betti数得到。在$\mathbb{F}_q$ -具有汉明度量的线性码的情况下，理想与通过其奇偶校验矩阵与码相关联的拟阵的Stanley-Reisner理想一致。在这种特殊的设置，我们恢复已知的结果，广义的重量$\mathbb{F}_q$ -线性码可以得到的分次Betti数的理想的拟阵相关联的代码。我们还研究了码中的最小支集的子码和码字，证明了一大类$R$ -线性码是由其最小支集的码字生成的。
An Exponential Lower Bound on the Sub-Packetization of MSR Codes
$(n,k,\ell)$ -矢量MDS码是维度为$k\ell$的$(\mathbb{F}^\ell)^n$（对于某个字段$\mathbb{F}$）的$\mathbb{F}$ -线性子空间，使得码字的任何$k$（矢量）符号足以确定剩余的$r=n-k$（矢量）符号.每个码字符号的长度$\ell$被称为代码的子分组化。如果码字的任何单个符号可以通过从每个其它符号下载$\ell/r$字段元素（已知是最小可能的）来恢复，则这种代码被称为最小存储再生（MSR）。MSR码在分布式存储系统中的应用是很有吸引力的，到目前为止，已经有各种巧妙的MSR码结构。然而，它们都遭受指数大的子分组化$\ell \gtrsim r^{k/r}$。我们的主要结果是一个几乎紧的下界表明，对于一个MSR码，必须有$\ell \ge \exp(Ω(k/r))$。这解决了一个中心的开放问题，有关MSR码，已受到广泛关注。以前，已知$\approx \exp(\sqrt{k/r})$的下限和“最优访问”MSR码的受限类的紧下限。
(l,s)-Extension of Linear Codes
我们构造了新的具有高最小距离d的线性码。在至少12种情况下，这些码改进了对于固定参数n，k的先前已知的最佳线性码的最小距离。在这些新的码中，有一个最佳三元[88，8，54]码。我们开发了一种算法，它开始于已经很好的代码C，即代码具有高的最小距离d为给定的长度n和维度k在域GF（q）。该算法基于新定义的（l，s）-扩张。这是在奇数最小权重的二进制线性码的情况下添加奇偶校验位的公知方法的推广。（l，s）-扩展试图通过添加l列来扩展C的生成矩阵，其中添加到C中的最小权重的码字中的每一个的l个字母中的至少s不同于0。如果找到这样的列，则扩展码的最小距离是d + s，前提是C中第二小的权重至少是d + s。这种柱子是否存在的问题可以用丢番图方程组来解决。
Decoding Desarguesian spread codes beyond half minimum distance
研究德萨格展布码最近邻解码器在超过半最小距离时的解码能力，开发新算法可在有插入和删除情况下唯一解码，当删除维数至多为\(k - 2\)时能成功解码，还提出两种改进方法。
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