An Improved Point-Line Incidence Bound Over Arbitrary Fields
我们证明了一个新的上界的数量之间的入射点和线在一个平面上的任意字段$\mathbb{F}$，一个问题首先考虑的Bourgain，Katz和陶。具体来说，我们表明，$\mathbb{F}$中的$m$点和$n$线，以及$m^{7/8}<n<m^{8/7}$，决定了最多的$O(m^{11/15}n^{11/15})$发生率（其中，如果$\mathbb{F}$具有阳性特征$p$，我们假设$m^{-2}n^{13}\ll p^{15}$）。这改进了以前最著名的界限，由于琼斯。为了得到我们的界，我们首先证明了一个最佳的点线的入射界的笛卡儿积，使用减少到一个点平面的入射界的Rudnev。然后我们用笛卡儿积覆盖大部分点集，并使用刚才提到的界限分别限制每个积上的关联。我们给出了几个应用，和产品型问题，扩展问题的Bourgain，不同的距离问题和贝克定理。
2017-07-18 math.CO
New quantitative estimates on the incidence geometry and growth of finite sets
本文在几个关联几何和增长问题上建立了新的定量记录。在第1、2和3章的必要背景知识之后，证明了下列结果。第四章给出了由素数阶有限域确定的平面的入射几何的新结果。这些包括一个新的上界的发病率的总数确定的许多点和线，和一个新的估计的数量确定的不同的线由一个有限集的非共线点。第五章给出了扩张函数的新结果。首先，建立了素数阶有限域上二元扩张式a+ab的一个新的界。其次，在三个和四个变量的新的扩展证明了在实数和复数具有更强的增长性能比以前考虑的任何功能。最后，第6章给出了函数域上的第一个定制的和积估计，到目前为止，这类问题在很大程度上还没有探索过。这最后一章是与托马斯·布鲁姆共同完成的。
2013-01-21 math.CO
The isoperimetric number of the incidence graph of PG(n,q)
设$Γ_{n,q}$是射影空间$\operatorname{PG}(n,q)$的点-超平面关联图，其中$n \ge 2$是整数，$q$是素数幂.我们确定了$1-i_V(Γ_{n,q})$的数量级，其中$i_V(Γ_{n,q})$是$Γ_{n,q}$的顶点等周数。我们还得到了$i_V(Γ_{2,q})$的精确值和相应的$Γ_{2,q}$的无发生数为$q \le 16$。
2016-12-10 math.CO
An improved point-line incidence bound over arbitrary finite fields via the VC-dimension theory
利用VC-维数论中的工具，证明了Vinh（2011）在任意有限域上的点线关联界在一定范围内是可以改进的.作为结果，将详细讨论一些应用。
2023-03-01 math.CO math.NT
An explicit incidence theorem in F_p
设$P = A\times A \subset \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p$，$p$为素数.假设$P= A\times A$具有$n$元素$n<p$。将$P$视为$\mathbb{F}_p$上平面中的一组点。我们表明，在$P$的点对确定$\geq c n^{1 + {1/267}}$线，其中$c$是一个绝对常数。我们由此导出一个关联定理：$n$点集和$n$线集在$\F_p$上的投影平面（$n<\sqrt{p}$）上的关联数以$C n^{{3/2}-{1/10678}}$为界，其中$C$是一个绝对常数。
2010-01-19 math.CO
Bounds of incidences between points and algebraic curves
证明了点与高次代数曲线的关联数的新界。关键成分是一个改进的初始边界，这是有效的所有领域。然后利用多项式方法得到了$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$的全局上界。
2015-03-30 math.CO
A Point-Conic Incidence Bound and Applications over $\mathbb F_p$
本文证明了素域上点与二次曲线的第一关联界。作为应用，我们证明了新的结果，扩大二元多项式图像和不同的距离问题的某些变化。其中包括固定代数距离数的新下界，以及Koh和Sun（2014）和Shparlinski（2006）关于由有限域上的两个大的有限维向量空间子集形成的距离集的大小的结果的改进。我们还证明了贝克定理的一个变种。
2022-07-25 math.CO
Explicit incidence bounds over general finite fields
令$\mathbb{F}_{q}$为$q=p^k$阶的有限域，其中$p$为素数。设$P$和$L$分别是带有$|P|=|L|=n$的$\mathbb{F}_{q} \times \mathbb{F}_{q}$中的点集和线集。我们建立了关联界$I(P,L) \leq γn^{3/2 - 1/12838}$，其中$γ$是一个绝对常数，只要$P$满足成为“反场”的条件。我们定义这意味着$P$在某个坐标轴上的投影与$\mathbb{F}_q$的大子场的相互作用不超过半维。此外，我们给出的例子集满足这些条件的重要情况下$q=p^2$和$q=p^4$。
2011-01-19 math.CO
The invariant factors of the incidence matrices of points and subspaces in PG(n,q) and AG(n,q)
对所有n，r和任意素幂q，我们确定了PG（n，q）的点与射影（r-1）维子空间的关联矩阵和AG（n，q）的点与r维仿射子空间的关联矩阵的Smith正规形.
2003-12-30 math.CO math.RT
Szemerédi-Trotter type results in arbitrary finite fields
设$q$是素数的幂，$\mathbb{F}_q$是由$q$元素组成的有限域.我们证明了明确的上界之间的联系线和笛卡儿积在$\mathbb{F}_q^2$。我们还使用我们的点线发生率的结果，给新的和产品类型的估计倒数的总和。
2018-08-16 math.CO
A new sum-product estimate in prime fields
本文在素域中得到了一个新的和积估计。特别是，我们表明，如果$A\subseteq \mathbb{F}_p$满足$|A|\le p^{64/117}$，那么$$ \max\{|A\pm A|, |AA|\} \gtrsim |A|^{39/32}. $$我们的论点建立在Shakan和Shkredov使用的特征值方法，以减少到估计的四阶矩能量和添加剂能量$E^+(P)$的一些子集$P\subseteq A+A$的一些最近的结果，并改进。我们的主要新颖性来自减少估计$E^+(P)$的Rudnev点平面发病率界，而不是一个点线发病率界史蒂文斯和德Zeeuw所做的Shakan和Shkredov。
2018-07-29 math.CO math.NT
Construction of infinite families of non-Schurian association schemes of order $2p^2$, $p$ an odd prime, based on biaffine planes and Heisenberg groups: research report and beyond
设$p$为奇素数。在本文中，我们提供了一个结构，它给出了四个非Schurian的结合方案，每个$p\geq 5$和两个$p=3$。这种结构的解释使用双仿射平面的点和线之间的关联，我们还提供了一个纯代数模型，它的帮助下，有限海森堡群。所获得的结果进行了讨论，在一个更广泛的框架。
2015-07-14 math.CO
Minimal codewords arising from the incidence of points and hyperplanes in projective spaces
近年来，由射影空间$\text{PG}(n,q)$中的点与超平面的关联而产生的码$\mathcal{C}_{n-1}(n,q)$引起了人们的广泛关注。特别地，$\mathcal{C}_{n-1}(n,q)$的小权重码字是研究的主题。这项工作的主要结果表明，如果$q$是足够大的，而不是素数，一个码字的重量小于大约$\frac{1}{2^{n-2}}q^{n-1}\sqrt{q}$可以写为一个线性组合的几个超平面。因此，我们使用这个结果提供了一个图论的充分条件，这些码字的小重量是最小的。
2021-09-17 math.CO
On the code generated by the incidence matrix of points and k-spaces in PG(n, q) and its dual
本文研究了PG（n，q）中点与k维空间的关联矩阵生成的p元线性码Ck（n，q），q = ph，p素，h >= 1.对于k >= n/2，我们将权重小于2 q ^k的Ck（n，q）\Ck（n，q）的码字链接到k-分块集合。我们首先证明这样的k-分块集可以唯一地约简为最小k-分块集，并排除从小线性k-分块集产生的所有码字。对于k < n/2，我们给出了对k >= n/2有效的引理的反例。其次，我们研究了Ck（n，q）的对偶码，给出了其码字重量的一个下界，从而将Sachar [12]的结果推广到一般维数.
2012-01-16 math.CO
Incidences between quadratic subspaces over finite fields
设$\mathbb{F}_{q}$是$q$阶的有限域，其中$q$是奇素数幂.如果$Q$与$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}$等距同构，则称$(\mathbb{F}_{q}^{n},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})$的二次子空间$(W,Q)$为点$_{k}$ -子空间.在本文中，我们得到了点$_{k}$ -子空间的集合$\mathcal{K}$和点$_{h}$ -子空间的集合$\mathcal{H}$之间的关联数$I(\mathcal{K},\mathcal{H})$的界，当$h \geq 4k-4$，这是由\[\left | I(\mathcal{K},\mathcal{H})-\frac{|\mathcal{K}||\mathcal{H}|}{q^{k(n-h)}}\right | \lesssim q^{\frac{k(2h-n-2k+4)+h(n-h-1)-2}{2}}\sqrt{|\mathcal{K}||\mathcal{H}|}. \]给出的。特别地，我们在我们的附加条件存在的情况下，改进了由Dongong，Thang和Vinh（2019）获得的一般仿射子空间集合的误差项。
2020-05-25 math.CO
On the code generated by the incidence matrix of points and hyperplanes in PG(n,q) and its dual
本文研究了由点与超平面的关联矩阵生成的p元线性码C（PG（n，q）），q = p^h，p素，h >= 1及其对偶码.我们链接的码字的小重量，这个代码的阻塞集相对于PG（n，q）中的线，我们排除所有可能的码字所产生的小线性阻塞集。我们还研究了C（PG（n，q））的对偶码，证明了寻找对偶码的最小权可以归结为寻找PG（2，q）中点和线的对偶码的最小权。我们提出了一个改进的上界这个最小重量，我们表明，我们可以下降的可分性条件的重量的码字在Sachar的下界[12]。
2012-01-16 math.CO
Breaking the 6/5 threshold for sums and products modulo a prime
设$A \subset \mathbb{F}_p$的大小至多为$p^{3/5}$。我们显示了$c = 4/305$的$$|A+A| + |AA| \gtrsim |A|^{6/5 + c},$$。我们的主要工具是Stevens和deZeeuw的笛卡儿积点线关联定理和第二作者发展的高能理论。
2018-06-19 math.CO math.NT
Lower bounds for incidences with hypersurfaces
我们提出了一种技术，用于推导$d\ge 4$与${\mathbb R}^d$中超曲面的发生率的下界。这些界限适用于各种各样的超曲面，如超平面、超球面、抛物面和任何次数的超曲面。除了是第一个非平凡的下界的各种发病率问题，我们的界限表明，一些已知的上界发病率问题的${\mathbb R}^d$是紧到一个额外的$\varepsilon$的指数。具体来说，对于每个$m$、$d\ge 4$和$\varepsilon>0$，在${\mathbb R}^d$中存在$m$点和$n$超曲面（其中$n$依赖于$m$），在发生率图中没有$K_{2,\frac{d-1}{\varepsilon}}$，并且发生率为$Ω\left(m^{(2d-2)/(2d-1)}n^{d/(2d-1)-\varepsilon} \right)$。此外，我们提供了改进的下界的情况下，没有$K_{s,s}$的发病率图，大常数$s$。我们的分析是建立在最近的工作的布尔甘和德米特离散傅立叶限制的四维和五维领域的想法。具体地说，它是基于研究整数点的加性能量截断抛物面。
2016-10-04 math.CO
An improved bound on the number of point-surface incidences in three dimensions
我们证明了满足适当的非退化条件的$\mathbb{R}^3$中有界度的$m$点和$n$光滑代数曲面最多有$O(m^{\frac{2k}{3k-1}}n^{\frac{3k-3}{3k-1}}+m+n)$关联，只要对某些$k\geq 3$，任何$k$点的集合最多有O（1）个曲面通过它们.在曲面为球面且没有三个球面相交于同一圆的情况下，这意味着存在$O((mn)^{3/4} + m +n)$点-球面入射。对于$β(m,n)$（显式）增长非常缓慢的函数，这比之前的$O((mn)^{3/4} β(m,n)+ m +n)$边界略有改进。我们得到这个界限使用离散多项式火腿三明治定理切割$\mathbb{R}^3$到开放的细胞适应的点集，并在每个细胞的分解，我们应用图兰型定理，以获得粗糙的控制点表面的发病率。然后，我们执行第二个多项式火腿三明治分解的不可约组件的品种所定义的第一次分解。作为应用，我们得到了$\mathbb{R}^3$中$m$点间最大单位距离个数的一个新的界.
2012-09-03 cs.CG math.CO
Mapping Incidences
我们证明了特征零整环中的任何有限集S都可以映射到p阶有限域上，对无穷多个素数p，保持S中的所有代数关联。这可以被看作是一个推广的著名的Freiman同构引理，我们给出了几个组合应用（如和产品估计）。
2011-04-15 math.CO math.NT
Factorial residues modulo a prime: beyond the square-root bound
本研究针对素数模阶乘剩余集的大小下界问题，利用有限域阶乘恒等式、分式线性映射交点性质与Stevens-de Zeeuw点线相交定理，将下界从平方根级改进至\\(p^{8/15}\\)量级。
2026-08-04 math.CO math.NT
A combinatorial approach to point-flat incidences over finite fields
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences（数学与交叉科学研究院）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文提出一种组合方法，为有限域射影空间中点与平面关联建立新的偏差界，改进经典估计并应用于丰富平面、正交投影及Furstenberg集的下界。
2026-09-29 math.CO
New Restriction Estimates for the 3-d Paraboloid over Finite Fields
本文改进了有限域上三维抛物面约束问题的指数范围。关键的新成分是一个变种的Bourgain-Katz-Tao有限域关联定理来自和产品的估计。在素数阶域中，我们给出了这个关联定理中的指数与抛物面的限制估计之间的显式关系。
2016-05-30 math.CA math.CO
On forbidden configurations in point-line incidence graphs
本文否证了关于点线关联图中禁止构型的两个猜想，并引入新方法证明避免特定子构型时关联数的改进上界。
2025-09-26 math.CO
Improved bounds for incidences between points and circles
我们建立了一个改进的上界之间的关联数m点和n个圆在三维空间。先前最著名的界限，最初建立的平面的情况下，后来扩展到任何维$\ge 2$，是$O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}+m+n)$，其中$O*(\cdot)$符号隐藏子多项式因子。因为所有的点和圆都可能位于一个公共平面（或球面）上，所以如果不先在平面上改进它，就不可能改进R^3中的界。然而，我们表明，如果一组圆需要是“真正三维的”，在这个意义上，没有球体或平面包含超过$q$的圆，对于一些$q << n$，那么界限可以改进为\[O*(m^{3/7}n^{6/7} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m^{6/11}n^{15/22}q^{3/22} + m + n). \]。当$m=Θ(n)$和$q = o(n^{7/9})$）时，该界限小于下限$Ω*(m^{2/3}n^{2/3}+m+n)$，该下限在二维中成立。我们给出了新界的几个推广和应用：（i）对于所有圆具有相同半径的特殊情况，我们得到了改进的界$O*(m^{5/11}n^{9/11} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m + n$。(ii)我们提出了一种改进的分析，删除了子多项式的因素，从绑定时，$m=O(n^{3/2-\eps})$的任何固定的$\varepsilon >0$。(iii)我们利用我们…
2014-06-16 cs.CG math.CO
Incidences between points and generalized spheres over finite fields and related problems
设$\mathbb{F}_q$是$q$元素的有限域，其中$q$是一个大的奇素数幂，而$Q =a_1 x_1^{c_1}+...+a_dx_d^{c_d}\in \mathbb{F}_q[x_1,...,x_d]$，其中$2\le c_i\le N$，$\gcd(c_i,q)=1$和$a_i\in \mathbb{F}_q$对所有的$1\le i\le d$。一个$Q$球面是一个形式为$\lbrace x\in \mathbb{F}_q^d | Q(x-b)=r\rbrace$的集合，其中$b\in \mathbb{F}_q^d, r\in \mathbb{F}_q$。我们证明了一个点集$\mathcal{P}$和一个$Q$ -球面集$\mathcal{S}$（用$I(\mathcal{P},\mathcal{S})$表示）之间的关联数的界，如下所示。$$| I(\mathcal{P},\mathcal{S})-\frac{|\mathcal{P}||\mathcal{S}|}{q}|\le q^{d/2}\sqrt{|\mathcal{P}||\mathcal{S}|}.$$我们通过研究有向图的谱证明了这个估计。我们也给出了这个估计的一个版本在有限环$\mathbb{Z}_q$ $q$是一个奇数。作为上述界限的结果，我们给出了钉扎距离问题的估计。在$4$节和$5$节中，我们证明了$…
2016-08-17 math.CO
Families of small regular graphs of girth 7
第一个已知的笼族是由$q$阶广义多边形的关联图产生的，$q$是素数幂。特别是，$(q+1,6)$ -笼已获得从顺序$q$的射影平面。此外，还构造了围长为5的小正则图的无限族，并对$\mathbb{F}_q$进行了代数运算。本文通过引入一些组合运算，从$(q+1,8)$ --由$q$，$q$为素幂的广义四边形产生的笼中构造围长为7的新的小正则图无限族.
2012-11-12 math.CO
A planar algebraic Zarankiewicz theorem over prime fields
The Viet Nam National Institute of Educational Sciences（越南国家教育科学研究所）
本文在素数域上证明了平面代数Zarankiewicz定理，给出二部图关联界，并推广至代数族，应用于富分量、差集多项式值与多项式展开。
2026-09-29 math.CO math.NT
Incidence Homology of Finite Projective Spaces
设F* 是q元有限域，P（n，q）是F* 上n-1维的射影空间.在特征p_{0} >0与q互素的系数域F上构造了与P（n，q）相关联的组合同调模族H^{n}_{k，i}.作为FGL（n，q）-表示，模由GL（n，q）在F*^n的子空间上的置换作用得到。我们证明了H^{n}_{k，i}的一个分支规则，并利用这个分支规则完全确定了这些同调表示.主要结果是一个对偶定理和H^{n}_{k，i}用F上GL（n，q）的标准不可约性的完全刻画及其应用。
2012-02-20 math.CO math.GR
An improved sum-product inequality in fields of prime order
本文将素域和积不等式中最著名的指数1/12（对于小集合）改进为1/11，模为一个对数因子。
2011-04-20 math.CO math.GR
An improved sum-product estimate over finite fields
本文给出了阶为非素数的有限域的子集的一个改进的和积估计。它示出，在一定的条件下，$$\max\{|A+A|,|A\cdot{A}|\}\gg{\frac{|A|^{12/11}}{(\log_2|A|)^{5/11}}}.$$这个新的估计匹配，直到一个对数因子，目前最好的已知的界限上获得的素域域Rudnev（\cite{mishaSP}）。
2011-05-31 math.CO
Exploration on Incidence Geometry and Sum-Product Phenomena
本论文研究Erdős-Szemerédi猜想与关联几何的关系，将实数域上的和积估计技术推广到有限域，并在环Z/p^3Z上获得平分线数量的估计结果。
2023-10-12 math.CO math.NT
On the number of incidences between points and planes in three dimensions
本文证明了域$\mathbb F$上射影空间$\mathbb P^3$中点与平面的一个关联定理，其特征是$p\neq 2.$。克莱因二次曲面可以被一个一般的超平面遍历，在三次曲面中产生一个线-线关联问题，即正则线复形的克莱因像。可以选择该超平面，使得至多两条线相交。因此，可以应用Guth和Katz的代数定理，并带有涉及$p$（如果$p>0$）的约束。这产生了$\mathbb P^3$中$m$点和$n$平面之间的关联数的界限，其中$m\geq n$为$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线平面的最大数，前提是如果$p>0$为$n=O(p^2)$。实例表明，如果没有额外的假设，这个界限不能得到改善。这给了一个工具，建立几何发病率估计时，$p>0$。对于非共线点集$S\subseteq \mathbb F^2$和非退化对称或反对称双线性形式$ω$，$S$的点对上的$ω$的不同值的数目是$Ω\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是$\mathbb R$上最著名的界，它由Szemerédi-Trotter定理得出。此外，在单个半各向同性平面中不支持的集合$S\subseteq \mathbb F^3$包含一个点，从该点获得到$S$的其他点的$Ω\left[\min\left(|S|…
2015-12-04 math.CO
Quadratic Expansion over Prime Fields via Centered Collisions and Popular-Sum Amplification
本文针对素域上非退化二次多项式相关的和集与像集，通过中心碰撞估计等技术证明了二者的权衡关系，得到了相关指数界的结果。
2026-08-12 math.CO
Some improved bounds on two energy-like invariants of some derived graphs
给定一个单图$G$，它的类拉普拉斯能量不变量$LEL(G)$和入射能量$IE(G)$分别是它的所有拉普拉斯特征值和无符号拉普拉斯特征值的平方根之和.利用柯西-施瓦茨不等式和Ozeki不等式及其改进形式，得到了正则图的$\mathcal {R}$ -图和$\mathcal{Q}$ -图的$LEL$和$IE$的一些改进的界.理论分析表明，这些结果改进了一些已知的结果。此外，还给出了半正则图的线图的$LEL$和$IE$的一些新的下界.
2017-09-16 math.CO
Incidences with curves and surfaces in three dimensions, with applications to distinct and repeated distances
我们研究了广泛的关联问题，涉及点和曲线或点和曲面在$\mathbb R^3$。Guth和Katz [2010，2015]开创的当前（实际上是唯一可行的）解决此类问题的方法需要代数几何中的各种工具，最值得注意的是（i）多项式分割技术，以及（ii）研究由直线或在最近的研究中[Guth-Zahl 2016]，由一定次数的代数曲线控制的代数曲面。通过利用和完善这些工具，我们获得了新的和改进的界限众多的发病率问题$\mathbb R^3$。在广义上，我们考虑两类问题，那些涉及点和常数度代数\emph{curves}，和那些涉及点和常数度代数\emph{surfaces}。在某些变体中，我们假设点位于某个固定的常次数代数簇上，而在另一些变体中，我们考虑3-空间中的任意点集。我们的结果提供了一个“大推广”的大多数以前的研究（特殊情况）以前的作品曲线和曲面。作为点曲线关联界的应用，我们考虑了$\mathbb R^3$中$n$点集所跨越的相似三角形个数的界问题，得到了该界$O(n^{15/7}),$，从而改进了Agarwal等人[2007]的界.作为我们的点-面关联界的应用，我们考虑了组合几何中两个最著名的公开问题$\mathbb R^3$中由$n$点集确定的不同重复距离问题.我们得到了两种特殊情况下，一个是点躺在一些代数簇的常度，和一个涉及之间的发生率在$P_1\times P_2$，其中$P_1…
2017-04-28 math.AG math.CO
An improved sum-product estimate for general finite fields
本文改进了Katz和Shen关于阶为非素数的有限域的子集的和积估计。
2011-01-27 math.CO
Linearly Embeddable Designs
如果${\cal{D}}_B$和$\cal{D}$的关联矩阵的$p$秩相差1，则关于给定设计$\cal{D}$的块$B$的残差设计${\cal{D}}_B$被定义为在$GF(p)$上可线性嵌入.利用关联矩阵所张成的线性码的最小距离证明了剩余设计线性可嵌入的一个充分条件，并利用这个条件证明了几类已知的无穷设计的剩余设计是线性可嵌入的.证明了仿射可分解设计及其剩余设计线性可嵌入的一个必要条件。作为一个应用程序，它表明，剩余设计的经典仿射设计的平面在$AG(3,2^2)$承认两个非同构的嵌入在$GF(2)$，产生了唯一已知的反例Hamada的猜想在一个领域的非素数秩序。
2016-07-22 math.CO
Slightly improved sum-product estimates in fields of prime order
设$\mathbb{F}_p$是剩余类模素数$p$的域，$A$是$\mathbb{F}_p$的非空子集.在本文中，我们表明，如果$|A|\preceq p^{0.5}$，那么\[ \max\{|A\pm A|,|AA|\}\succeq|A|^{13/12};\]，如果$|A|\succeq p^{0.5}$，那么\[ \max\{|A\pm A|,|AA|\}\succapprox \min\{|A|^{13/12}(\frac{|A|}{p^{0.5}})^{1/12},|A|(\frac{p}{|A|})^{1/11}\}.\]这些结果略有改善Bourgain-Garaev和沈的估计。还考虑了不同集合上的和积估计。
2009-07-12 math.CO math.NT
A Szemerédi-Trotter Theorem in Arbitrary Fields
本文在任意特征域上证明Szemerédi-Trotter定理，给出点线关联数的上界，并应用于抛物面延拓估计、Bourgain提取器及sum-product估计的改进。
2026-10-08 math.CA math.CO math.NT
Incidences between points on a variety and planes in R^3
本文建立了$\mathbb R^3$中$m$点的集合$P$与$n$平面的集合$H$之间关联数的改进界，条件是点位于二维常次非线性不可约代数簇$V$上.具体地，该界限是$$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}\log^β(m^3/n) + m + n + \sum_\ell |P_\ell|\cdot |H_\ell| \right) , $$，其中比例常数和常数指数$β$取决于$V$的程度，并且其中总和的范围遍及完全包含在$V$中并且包含$P$的至少一个点的所有线$\ell$，使得对于每个这样的$\ell$，$P_\ell = P\cap\ell$和$H_\ell$是包含$\ell$的H的平面的集合。此外，还有$\sum_\ell |P_\ell| = O(m)$和$\sum_\ell |H_\ell| = O(n)$。这改善了，对于这种特殊情况下，较早的更普遍的约束Apfelbaum和Sharir（也见黄铜和Knauer以及Elekes和Tóth）。这是平面上的点和圆的关联界的推广（参见图1）。Aronov等人，Aronov和Sharir，Marcus和Tardos），并且基于Sharir和Zahl关于将代数曲线集合变成伪段的切割次数的最近结果。$V$是二次曲面的情况分析起来更简单，不需要Sharir和Zahl的结果，并且使用$β=…
2017-05-30 math.CO
A new bound on Erdős distinct distances problem in the plane over prime fields
本文给出了素域上平面上Erdom不同距离问题的一个新的下界。更精确地说，我们证明了任何集合$A\subset \mathbb{F}_p^2$与$|A|\le p^{7/6}$，$A$中的点对所确定的不同距离的数目满足$$ |Δ(A)| \gg |A|^{\frac{1}{2}+\frac{149}{4214}}.$$我们的结果给出了一个新的下界范围内的$|Δ{(A)}|$ $|A|\le p^{1+\frac{149}{4065}}$。我们采用的主要工具是能量的一组抛物面由于Rudnev和Shkredov，一个点线的发病率由史蒂文斯和德Zeeuw的界限，和一个下界的数量不同的距离之间的线和一组$\mathbb{F}_p^2$。后者是新的功能，使我们能够改善以前的约束由于史蒂文斯和德Zeeuw。
2019-03-22 math.CO math.NT
An explicit formula for obtaining $(q+1,8)$-cages and others small regular graphs of girth 8
设$q$是素幂，在射影四维空间$P(4, q)$中构造了非退化二次曲面的关联图的$(q+1,8)$ -笼.本文的第一个贡献是这些图的建设，在另一种方式通过一个明确的公式，使用图形术语。此外，通过从$(q+1,8)$笼中移除某些特定的完美控制集，我们得到了围长为8的$k$ -正则图（对于$k= q-1$和$k=q$），它具有迄今为止已知的最少的顶点数.
2011-11-14 math.CO
Constructions of point-line arrangements in the plane with large girth
一个经典的结果由Erdens，后来由Bondy和Simonivits，指出每个$n$ -顶点图没有长度为$2k$的圈，最多有$O(n^{1+1 /k})$边。这个界限是已知的紧时，$k \in \{2,3,5\},$，但它是一个主要的开放问题，在极值图论，以确定这个界限是紧的所有$k$。本文研究了平面上点线排列关联图中禁止偶短圈的效果。目前还不知道，如果Erdales的上限上述可以提高到$o(n^{1+1/k})$在这个几何设置，并在本说明中，我们建立了非平凡的下限，这个问题通过修改已知的结构中产生的有限几何。特别地，通过修改由于Labeznik和Ustimenko的构造，我们构造了平面中的$n$点和$n$线的布置，使得它们的关联图具有至少$k + 5$的围长，并且确定至少$Ω({n^{1+\frac{4}{k^2+6k-3}}})$关联。我们还将同样的技术应用到Wenger图上，这给出了$k=5.$的更好的下界
2019-11-26 math.CO
An empty interval in the spectrum of small weight codewords in the code from points and k-spaces of PG(n, q)
设Ck（n，q）是由PG（n，q）中的点与k-空间的关联矩阵定义的p元线性码，q = p^h，p素，h ≥ 1.本文证明了在Ck（n，q）\ Cn-k（n，q）的开区间中不存在具有该权的码字，这意味着当k >= n/2时，Ck（n，q）\ Ck（n，q）中不存在具有该权的码字.特别地，对于PG（n，q）的点和超平面的码Cn-1（n，q），我们排除了Cn-1（n，q）中所有权在开区间] q^n-1/q-1，2 q ^n-1[.后一个结果暗示了Cn-1（n，q）的小重量码字的重量的严格界限，该结果先前仅对于q素数和q = p2的一般维数是已知的，其中p素数，p > 11，并且在n = 2的情况下，对于q = p^3，p >= 7（[4]，[5]，[7]，[8]）。
2012-01-16 math.CO
The Szemerédi-Trotter theorem over arbitrary field of characteristic zero
本文利用Baby Lefschetz原理将问题归约到复数情形，证明了特征零任意域上的Szemerédi-Trotter关联界，并推导出Beck定理、和积估计等推广结果。
2025-10-16 math.CO
Distinct and repeated distances on a surface and incidences between points and spheres
在本文中，我们证明了由一组$n$点确定的常数度二维代数簇$V$（即，表面）至少为$\mathbb R^3$。对于$\mathbb R^3$中的一般点集，该界显著大于约束界$Ω(n^{2/3})$。我们还表明，由表面$V$上的$n$点确定的单位距离的数量如上所述是$O(n^{4/3})$，这是一个与已知的最佳平面边界相匹配的边界，并且在3-空间中是最差情况紧的。这是在鲜明的对比与最有名的一般界$O(n^{3/2})$的点在三维空间。为了证明这些结果，我们建立了一个改进的上限之间的一组$P$的$m$点和一组$S$的$n$球，任意半径，在$\mathbb R^3$，假设点躺在一个代数表面$V$的常度，它不具有线性或球形组件的发病率。具体地，界限是$$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^β(m^4/n) + m + n + \sum_{c} |P_{c}|\cdot |S_{c}| \right) , $$，其中比例常数和常数指数$β$取决于$V$的度数，并且其中总和的范围覆盖完全包含在$V$中的所有圆$c$，使得对于每个这样的$c$，$P_c = P\cap c$和$S_c$是包含$c$的$S$的球面的集合。此外，还有$\sum_{c} |P_{c}| = O(m)$和$\sum_{c} |S_{c}| = O(n)$。这个界限也比以…
2016-04-06 math.CO
Exact Second-Order Zarankiewicz Numbers for Complete-Graph Incidence Families
South China Normal University（华南师范大学）；Linköping University（林雪平大学）；Jiangsu Provincial Scientific Research Center of Applied Mathematics（江苏省应用数学省级科研中心）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文精确确定了完全图关联族的二阶Zarankiewicz数，证明Löfberg-Qi上界在特定奇偶条件下可达，并给出多个小阶数的精确值及猜想。
2026-09-28 math.CO
Sphere tangencies, line incidences, and Lie's line-sphere correspondence
该研究利用Lie的直线-球面对应建立域上球面与Heisenberg群内直线的同构，将直线关联几何结论转化为球面接触几何结论，得到Erdős重复距离问题新界与三维点-球面关联改进界。
2020-12-31 cs.CG math.CO math.MG
Incidences with curves in three dimensions
研究了$R^3$中涉及点和曲线的关联问题。目前（事实上只有可行的）办法，这样的问题，开创了古斯和卡茨，需要各种工具，从代数几何，最显着的是（一）多项式分割技术，以及（二）研究代数曲面的规定线，或在最近的研究，由代数曲线的一些恒定的程度。通过利用和完善这些工具，我们得到了新的和改进的边界点曲线的关联问题的$R^3$。这类事件在以前的几项研究中已经被考虑过，从Guth和Katz关于点和线的工作开始。我们的结果，这是基于工作的Guth和Zahl关于曲面的双重规则的曲线，提供了一个大的推广，以前的结果。我们重建的点和线的界限，并改善，在某些重要的方式，最近的界限涉及点和圆（在Sharir，谢弗和Zahl），点和任意常数度代数曲线（在Sharir，谢弗和所罗门）。虽然在后一种情况下，我们并不知道（也强烈怀疑）边界是紧的，但在某种意义上，我们的边界是用这种方法可以得到的最好的，考虑到目前的知识状态。作为点-曲线关联界的应用，我们证明了$R^3$中$n$点集所跨越的与给定三角形相似的三角形的个数为$O(n^{15/7})$，改进了Agarwal等人的界，我们的结果也与Guth等人的研究有关。(work正在进行中），并已在Sharir，Solomon和Zlydenko最近应用于三维相关的发病率问题。
2020-07-07 cs.CG math.CO
Minimal multiple blocking sets
证明了$n$阶的有限射影平面上的极小$t$ -fold阻塞集的基数至多为\[\frac{1}{2} n\sqrt{4tn - (3t + 1)(t - 1)} + \frac{1}{2} (t - 1)n + t.\].这是有限射影平面上极小$t$ -fold阻塞集的大小的第一个一般上界，推广了Bruen和Thas关于极小阻塞集的经典结果.从证明可以直接得出，如果在这个界限中出现相等，则每条线都在$t$点或$\frac{1}{2}(\sqrt{4tn - (3t + 1)(t - 1)} + t - 1) + 1$点中与阻塞集$S$相交。我们用它来表明，对于$n$一个素数幂，等式可以在以下三种情况中的一种情况下发生在我们的界中：（a）$t = 1$，$n$是一个正方形，$S$是一个单位;（b）$t = n - \sqrt{n}$，$n$是一个正方形，$S$是一个Baer子平面的补;（c）$t = n$和$S$等于除一个点之外的所有点的集合。对于平方素数幂$q$和$t \leq \sqrt{q} + 1$，我们给出了在$\mathrm{PG}(2,q)$中用$|S| = q\sqrt{q} + 1 + (t - 1)(q - \sqrt{q} + 1)$构造极小$t$ -重阻塞集$S$.此外，我们还得到了对称$2$ -设计中最小阻塞集大小的一个上界，并利用它对高维有限射影空间中的切集…
2018-12-13 math.CO
Embedded antipodal planes and the minimum weight of the dual code of points and lines in projective planes of order $p^2$
由投影平面中点与线的关联矩阵生成的代码的最小权重已经知道了50多年。令人惊讶的是，寻找非素数阶射影平面的对偶码的最小权仍然是一个开放的问题，即使在Desklesian的情况下。在本文中，我们专注于$p^2$阶的射影平面的情况下，其中$p$是素数，我们链接的存在性，在对偶码的嵌入子平面和{ \em对映平面}的小重量码字。在德塞苔丝的情况下，我们可以排除这样的代码字显示一个更一般的结果，没有反足平面的顺序至少3可以嵌入在德塞苔丝投影平面。此外，我们使用组合参数，以排除存在的代码字的对偶代码的点和线的任意射影平面的顺序$p^2$，$p$素数，重量最多$2p^2-2p+4$使用两个以上的符号。特别地，这导致了这样的结果，即Desklesian投影平面$\mathrm{PG}(2,p^2)$的对偶码$p\geq 5$具有至少$2p^2-2p+5$的最小权重。
2022-10-24 math.CO
The permutation action of finite symplectic groups of odd characteristic on their standard modules
受辛极空间中点与面的关联问题的启发，研究了奇特征有限辛群的标准模上函数空间的一大子模。这类子模的结构结果使我们能够确定辛极空间的点与平面之间的关联矩阵的$p$ -秩。特别地，我们给出了广义四边形${\rm W}(3,q)$的$p$ -秩的一个显式公式，其中$q$是奇素数幂.结合Sastry和Sin关于${\rm W}(3,2^t)$的2-秩的早期结果，完成了${\rm W}(3,q)$的$p$ -秩的确定.
2006-03-03 math.CO math.RT
Geometric representations of linear codes
我们说域F上的线性码C是三角可表示的，如果存在二维单纯复形$Δ$，使得C是F上的$Δ$的关联矩阵的核ker $Δ$的删余码，并且在C和ker $Δ$之间存在线性映射，该线性映射是双射并且将最小码字映射到最小码字。证明了有理数域上和GF（p）上的线性码（其中p是素数）是三角可表示的.在有限域的情况下，我们证明了这个表示决定了C的权枚举数。我们将这个结果应用到Potts模型的分拆函数上。另一方面，我们证明了在任何不同于有理数和GF（p），p素数的域上都存在非三角可表示的线性码。我们表明，三角表示的每一个建设失败的一个非常弱的条件下，一个线性码和它的三角表示必须有相同的尺寸。
2011-05-05 math.CO
