On the Dimension of Finite Point Sets I. An Improved Incidence Bound for Proper 3D sets
György Elekes
我们改进了著名的Szemerédi-Trotter关联界适当的三维点集（适当定义）
We improve the well-known Szemerédi-Trotter incidence bound for proper 3--dimensional point sets (defined appropriately)
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An improved incidence bound over fields of prime order
设P是（F_p）^2中的点集，$L$是（F_p）^2中的线集，其中|P|，|L| \leq N且N<p.我们证明了对于某个绝对常数C，P和L产生的关联不超过CN ^（3/2 - 1/806 + o（1））.这比以前最著名的C N^（3/2 - 1/10678）的界提高了数量级。
An Improved Point-Line Incidence Bound Over Arbitrary Fields
我们证明了一个新的上界的数量之间的入射点和线在一个平面上的任意字段$\mathbb{F}$，一个问题首先考虑的Bourgain，Katz和陶。具体来说，我们表明，$\mathbb{F}$中的$m$点和$n$线，以及$m^{7/8}<n<m^{8/7}$，决定了最多的$O(m^{11/15}n^{11/15})$发生率（其中，如果$\mathbb{F}$具有阳性特征$p$，我们假设$m^{-2}n^{13}\ll p^{15}$）。这改进了以前最著名的界限，由于琼斯。为了得到我们的界，我们首先证明了一个最佳的点线的入射界的笛卡儿积，使用减少到一个点平面的入射界的Rudnev。然后我们用笛卡儿积覆盖大部分点集，并使用刚才提到的界限分别限制每个积上的关联。我们给出了几个应用，和产品型问题，扩展问题的Bourgain，不同的距离问题和贝克定理。
An improved point-line incidence bound over arbitrary finite fields via the VC-dimension theory
利用VC-维数论中的工具，证明了Vinh（2011）在任意有限域上的点线关联界在一定范围内是可以改进的.作为结果，将详细讨论一些应用。
Bounds of incidences between points and algebraic curves
证明了点与高次代数曲线的关联数的新界。关键成分是一个改进的初始边界，这是有效的所有领域。然后利用多项式方法得到了$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$的全局上界。
An improved bound on the number of point-surface incidences in three dimensions
我们证明了满足适当的非退化条件的$\mathbb{R}^3$中有界度的$m$点和$n$光滑代数曲面最多有$O(m^{\frac{2k}{3k-1}}n^{\frac{3k-3}{3k-1}}+m+n)$关联，只要对某些$k\geq 3$，任何$k$点的集合最多有O（1）个曲面通过它们.在曲面为球面且没有三个球面相交于同一圆的情况下，这意味着存在$O((mn)^{3/4} + m +n)$点-球面入射。对于$β(m,n)$（显式）增长非常缓慢的函数，这比之前的$O((mn)^{3/4} β(m,n)+ m +n)$边界略有改进。我们得到这个界限使用离散多项式火腿三明治定理切割$\mathbb{R}^3$到开放的细胞适应的点集，并在每个细胞的分解，我们应用图兰型定理，以获得粗糙的控制点表面的发病率。然后，我们执行第二个多项式火腿三明治分解的不可约组件的品种所定义的第一次分解。作为应用，我们得到了$\mathbb{R}^3$中$m$点间最大单位距离个数的一个新的界.
Lower bounds for incidences with hypersurfaces
我们提出了一种技术，用于推导$d\ge 4$与${\mathbb R}^d$中超曲面的发生率的下界。这些界限适用于各种各样的超曲面，如超平面、超球面、抛物面和任何次数的超曲面。除了是第一个非平凡的下界的各种发病率问题，我们的界限表明，一些已知的上界发病率问题的${\mathbb R}^d$是紧到一个额外的$\varepsilon$的指数。具体来说，对于每个$m$、$d\ge 4$和$\varepsilon>0$，在${\mathbb R}^d$中存在$m$点和$n$超曲面（其中$n$依赖于$m$），在发生率图中没有$K_{2,\frac{d-1}{\varepsilon}}$，并且发生率为$Ω\left(m^{(2d-2)/(2d-1)}n^{d/(2d-1)-\varepsilon} \right)$。此外，我们提供了改进的下界的情况下，没有$K_{s,s}$的发病率图，大常数$s$。我们的分析是建立在最近的工作的布尔甘和德米特离散傅立叶限制的四维和五维领域的想法。具体地说，它是基于研究整数点的加性能量截断抛物面。
A combinatorial approach to point-flat incidences over finite fields
本文提出一种组合方法，为有限域射影空间中点与平面关联建立新的偏差界，改进经典估计并应用于丰富平面、正交投影及Furstenberg集的下界。
Threshold functions for incidence properties in finite vector spaces
本文的主要目的是为有限向量空间中的点的随机子集具有与点平入射有关的某些性质的事件提供门限函数。具体地说，我们考虑了关于$\mathbb{F}_q^n$中的随机点集存在$\ell$ -丰富$m$ -平坦的事件，随机点集是$m$ -阻塞集的事件，以及随机点集和随机$m$ -平坦集之间存在关联的事件.我们的关键成分之一是Chen和Greenhill（2021）最近获得的结果的更强版本。
Improved bounds for incidences between points and circles
我们建立了一个改进的上界之间的关联数m点和n个圆在三维空间。先前最著名的界限，最初建立的平面的情况下，后来扩展到任何维$\ge 2$，是$O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}+m+n)$，其中$O*(\cdot)$符号隐藏子多项式因子。因为所有的点和圆都可能位于一个公共平面（或球面）上，所以如果不先在平面上改进它，就不可能改进R^3中的界。然而，我们表明，如果一组圆需要是“真正三维的”，在这个意义上，没有球体或平面包含超过$q$的圆，对于一些$q << n$，那么界限可以改进为\[O*(m^{3/7}n^{6/7} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m^{6/11}n^{15/22}q^{3/22} + m + n). \]。当$m=Θ(n)$和$q = o(n^{7/9})$）时，该界限小于下限$Ω*(m^{2/3}n^{2/3}+m+n)$，该下限在二维中成立。我们给出了新界的几个推广和应用：（i）对于所有圆具有相同半径的特殊情况，我们得到了改进的界$O*(m^{5/11}n^{9/11} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m + n$。(ii)我们提出了一种改进的分析，删除了子多项式的因素，从绑定时，$m=O(n^{3/2-\eps})$的任何固定的$\varepsilon >0$。(iii)我们利用我们…
On forbidden configurations in point-line incidence graphs
本文否证了关于点线关联图中禁止构型的两个猜想，并引入新方法证明避免特定子构型时关联数的改进上界。
On the code generated by the incidence matrix of points and hyperplanes in PG(n,q) and its dual
本文研究了由点与超平面的关联矩阵生成的p元线性码C（PG（n，q）），q = p^h，p素，h >= 1及其对偶码.我们链接的码字的小重量，这个代码的阻塞集相对于PG（n，q）中的线，我们排除所有可能的码字所产生的小线性阻塞集。我们还研究了C（PG（n，q））的对偶码，证明了寻找对偶码的最小权可以归结为寻找PG（2，q）中点和线的对偶码的最小权。我们提出了一个改进的上界这个最小重量，我们表明，我们可以下降的可分性条件的重量的码字在Sachar的下界[12]。
Hypergraph incidence coloring
超图$\mathcal{H}=(X,S)$的发生率是一对$(x,s)$与$x\in X$、$s\in S$和$x\in s$。如果（i）$x=x'$，或（ii）$\{x,x'\}\subseteq s$或$\{x,x'\}\subseteq s'$，则$(x,s)$和$(x',s')$的两个事件相邻。一个超图$\mathcal{H}$的恰当关联$k$ -着色是从$\mathcal{H}$的关联集到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射$φ$，使得对于$\mathcal{H}$的任意两个相邻关联$(x,s)$和$(x',s')$，$φ(x,s)\neq φ(x',s')$. $\mathcal{H}$的关联色数$χ_I(\mathcal{H})$是使$\mathcal{H}$有恰当关联$k$ -着色的最小整数$k$.本文证明了对每一个具有$t<<r(\mathcal{H})$和充分大的$Δ(\mathcal{H})$的$t$ -拟线性超图，都有$χ_I(\mathcal{H})\leq (4/3+o(1))r(\mathcal{H})Δ(\mathcal{H})$，其中$r(\mathcal{H})$是$\mathcal{H}$中边的基数的最大值.证明了当$\mathcal{H}$是$α$ -无圈线性超图时，$χ_I(\mathcal{H})\leq Δ(\mathcal{H})…
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
On the number of incidences between points and planes in three dimensions
本文证明了域$\mathbb F$上射影空间$\mathbb P^3$中点与平面的一个关联定理，其特征是$p\neq 2.$。克莱因二次曲面可以被一个一般的超平面遍历，在三次曲面中产生一个线-线关联问题，即正则线复形的克莱因像。可以选择该超平面，使得至多两条线相交。因此，可以应用Guth和Katz的代数定理，并带有涉及$p$（如果$p>0$）的约束。这产生了$\mathbb P^3$中$m$点和$n$平面之间的关联数的界限，其中$m\geq n$为$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线平面的最大数，前提是如果$p>0$为$n=O(p^2)$。实例表明，如果没有额外的假设，这个界限不能得到改善。这给了一个工具，建立几何发病率估计时，$p>0$。对于非共线点集$S\subseteq \mathbb F^2$和非退化对称或反对称双线性形式$ω$，$S$的点对上的$ω$的不同值的数目是$Ω\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是$\mathbb R$上最著名的界，它由Szemerédi-Trotter定理得出。此外，在单个半各向同性平面中不支持的集合$S\subseteq \mathbb F^3$包含一个点，从该点获得到$S$的其他点的$Ω\left[\min\left(|S|…
Incidence properties of cosets in loops
我们研究有限循环陪集之间的关联性质，重点是结构良好的品种，如反自守循环和波尔循环。当群中的陪集是不相交的或相同的时，我们发现一般循环中的关联结构可以更丰富。例如，每个对称设计都可以实现为有限循环的陪集的规范集合。证明了在反自守环簇中，左陪集交集包含所形成的偏序集与右陪集所形成的偏序集同构。我们提出了一个算法，给定一个有限的Bol循环$S$，在某些情况下，可以确定是否$|S|$除$|Q|$为所有有限的Bol循环$Q$与$S \le Q$，甚至是否有一个选择的左陪集的$S$的分区$Q$。这种方法的结果在一个积极的确认拉格朗日定理的波尔循环的几个新的情况下的子循环。最后，我们表明，在一个左自守的Moufang循环$Q$（特别是，在交换Moufang循环$Q$），两个左陪集的$S\le Q$是不相交的，或者他们相交的集合的基数等于一些子循环的$S$。
Incidences with curves and surfaces in three dimensions, with applications to distinct and repeated distances
我们研究了广泛的关联问题，涉及点和曲线或点和曲面在$\mathbb R^3$。Guth和Katz [2010，2015]开创的当前（实际上是唯一可行的）解决此类问题的方法需要代数几何中的各种工具，最值得注意的是（i）多项式分割技术，以及（ii）研究由直线或在最近的研究中[Guth-Zahl 2016]，由一定次数的代数曲线控制的代数曲面。通过利用和完善这些工具，我们获得了新的和改进的界限众多的发病率问题$\mathbb R^3$。在广义上，我们考虑两类问题，那些涉及点和常数度代数\emph{curves}，和那些涉及点和常数度代数\emph{surfaces}。在某些变体中，我们假设点位于某个固定的常次数代数簇上，而在另一些变体中，我们考虑3-空间中的任意点集。我们的结果提供了一个“大推广”的大多数以前的研究（特殊情况）以前的作品曲线和曲面。作为点曲线关联界的应用，我们考虑了$\mathbb R^3$中$n$点集所跨越的相似三角形个数的界问题，得到了该界$O(n^{15/7}),$，从而改进了Agarwal等人[2007]的界.作为我们的点-面关联界的应用，我们考虑了组合几何中两个最著名的公开问题$\mathbb R^3$中由$n$点集确定的不同重复距离问题.我们得到了两种特殊情况下，一个是点躺在一些代数簇的常度，和一个涉及之间的发生率在$P_1\times P_2$，其中$P_1…
Some improved bounds on two energy-like invariants of some derived graphs
给定一个单图$G$，它的类拉普拉斯能量不变量$LEL(G)$和入射能量$IE(G)$分别是它的所有拉普拉斯特征值和无符号拉普拉斯特征值的平方根之和.利用柯西-施瓦茨不等式和Ozeki不等式及其改进形式，得到了正则图的$\mathcal {R}$ -图和$\mathcal{Q}$ -图的$LEL$和$IE$的一些改进的界.理论分析表明，这些结果改进了一些已知的结果。此外，还给出了半正则图的线图的$LEL$和$IE$的一些新的下界.
Further improvements to incidence and Beck-type bounds over prime finite fields
建立了改进的有限域Szemeredi-Trotter和Beck型定理。首先证明了如果P和L分别是平面F_p^2上的点集和直线集，且|P|，|L| \leq N和N<p，则P中的点与L中的直线之间至多有C_1 N^{3/2-1/662+o（1）}个关联。这里C_1是大于1的某个绝对常数。这改进了以前最著名的C_1 N^{3/2-1/806+o（1）}的界。其次，证明了如果P是\mathbb{F}_p^2中的点集，且|P| <p，则P中至少有C_2 |P| ^{1-o（1）}个点包含在一条直线中，或者P确定至少C_2 |P| ^{1+1/109-o（1）}条不同的直线。这里C_2是一个小于1的绝对常数。这在两个方面改进了以前的结果。从数量上来说，1+1/109-o（1）的指数比以前最著名的1+1/267指数更强。定性地说，这个结果适用于满足基数条件的F_p^2的所有子集;以前最著名的结果只适用于当P的形式为P=A*A时，A \subseteq F_p。
Proper Lie automorphisms of incidence algebras
设$X$是有限连通偏序集，$K$是域.研究了关联代数$I(X,K)$的所有李自同构何时是真的问题.在对$X$的长度没有任何限制的情况下，我们只找到了一个关于$X$的极大链集上存在某种等价关系的充分条件.对于某些长度为1的偏序集类，例如有限连通无冠偏序集（即，在没有弱冠子集的情况下），冠与序和的问题给出了一个完整的答案.
The constant of point-line incidence constructions
研究了Szemerédi-Trotter定理常数的一个下界.特别是，我们表明，最近的无限家庭的点线配置满足$I({\mathcal P},{\mathcal L})\ge (c+o(1)) |{\mathcal P}|^{2/3}|{\mathcal L}|^{2/3}$，与$c\approx 1.27$。我们的技术是基于研究欧拉函数的各种性质。我们还提高了目前最好的常数为Elekes的建设从1到约1.27。本文是对Erd \H os结构中的常数进行的第一次全面的分析。
Abstract Orientable Incidence Structure and Algorithms for Finite Bounded Acyclic Categories. I. Incidence Structure
探讨了抽象多面体中关联关系的推广，并以参数化曲面为基础。定义抽象可定向关联结构为关联关系的代数模型，推广了抽象多胞形理论中的一些代数性质。讨论了抽象可定向关联结构的几何解释。研究了半正则正规CW复形中的可定向入射结构。
New quantitative estimates on the incidence geometry and growth of finite sets
本文在几个关联几何和增长问题上建立了新的定量记录。在第1、2和3章的必要背景知识之后，证明了下列结果。第四章给出了由素数阶有限域确定的平面的入射几何的新结果。这些包括一个新的上界的发病率的总数确定的许多点和线，和一个新的估计的数量确定的不同的线由一个有限集的非共线点。第五章给出了扩张函数的新结果。首先，建立了素数阶有限域上二元扩张式a+ab的一个新的界。其次，在三个和四个变量的新的扩展证明了在实数和复数具有更强的增长性能比以前考虑的任何功能。最后，第6章给出了函数域上的第一个定制的和积估计，到目前为止，这类问题在很大程度上还没有探索过。这最后一章是与托马斯·布鲁姆共同完成的。
Lorentzian polynomials and the incidence geometry of tropical linear spaces
本文通过洛伦兹正位置概念，研究热带线性空间的incidences几何，揭示经典线性几何性质在热带线性空间中的失效与保留
Incidences between points on a variety and planes in R^3
本文建立了$\mathbb R^3$中$m$点的集合$P$与$n$平面的集合$H$之间关联数的改进界，条件是点位于二维常次非线性不可约代数簇$V$上.具体地，该界限是$$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}\log^β(m^3/n) + m + n + \sum_\ell |P_\ell|\cdot |H_\ell| \right) , $$，其中比例常数和常数指数$β$取决于$V$的程度，并且其中总和的范围遍及完全包含在$V$中并且包含$P$的至少一个点的所有线$\ell$，使得对于每个这样的$\ell$，$P_\ell = P\cap\ell$和$H_\ell$是包含$\ell$的H的平面的集合。此外，还有$\sum_\ell |P_\ell| = O(m)$和$\sum_\ell |H_\ell| = O(n)$。这改善了，对于这种特殊情况下，较早的更普遍的约束Apfelbaum和Sharir（也见黄铜和Knauer以及Elekes和Tóth）。这是平面上的点和圆的关联界的推广（参见图1）。Aronov等人，Aronov和Sharir，Marcus和Tardos），并且基于Sharir和Zahl关于将代数曲线集合变成伪段的切割次数的最近结果。$V$是二次曲面的情况分析起来更简单，不需要Sharir和Zahl的结果，并且使用$β=…
Sphere tangencies, line incidences, and Lie's line-sphere correspondence
该研究利用Lie的直线-球面对应建立域上球面与Heisenberg群内直线的同构，将直线关联几何结论转化为球面接触几何结论，得到Erdős重复距离问题新界与三维点-球面关联改进界。
Constructions of point-line arrangements in the plane with large girth
一个经典的结果由Erdens，后来由Bondy和Simonivits，指出每个$n$ -顶点图没有长度为$2k$的圈，最多有$O(n^{1+1 /k})$边。这个界限是已知的紧时，$k \in \{2,3,5\},$，但它是一个主要的开放问题，在极值图论，以确定这个界限是紧的所有$k$。本文研究了平面上点线排列关联图中禁止偶短圈的效果。目前还不知道，如果Erdales的上限上述可以提高到$o(n^{1+1/k})$在这个几何设置，并在本说明中，我们建立了非平凡的下限，这个问题通过修改已知的结构中产生的有限几何。特别地，通过修改由于Labeznik和Ustimenko的构造，我们构造了平面中的$n$点和$n$线的布置，使得它们的关联图具有至少$k + 5$的围长，并且确定至少$Ω({n^{1+\frac{4}{k^2+6k-3}}})$关联。我们还将同样的技术应用到Wenger图上，这给出了$k=5.$的更好的下界
The Szemerédi-Trotter theorem over arbitrary field of characteristic zero
本文利用Baby Lefschetz原理将问题归约到复数情形，证明了特征零任意域上的Szemerédi-Trotter关联界，并推导出Beck定理、和积估计等推广结果。
Incidences with curves in three dimensions
研究了$R^3$中涉及点和曲线的关联问题。目前（事实上只有可行的）办法，这样的问题，开创了古斯和卡茨，需要各种工具，从代数几何，最显着的是（一）多项式分割技术，以及（二）研究代数曲面的规定线，或在最近的研究，由代数曲线的一些恒定的程度。通过利用和完善这些工具，我们得到了新的和改进的边界点曲线的关联问题的$R^3$。这类事件在以前的几项研究中已经被考虑过，从Guth和Katz关于点和线的工作开始。我们的结果，这是基于工作的Guth和Zahl关于曲面的双重规则的曲线，提供了一个大的推广，以前的结果。我们重建的点和线的界限，并改善，在某些重要的方式，最近的界限涉及点和圆（在Sharir，谢弗和Zahl），点和任意常数度代数曲线（在Sharir，谢弗和所罗门）。虽然在后一种情况下，我们并不知道（也强烈怀疑）边界是紧的，但在某种意义上，我们的边界是用这种方法可以得到的最好的，考虑到目前的知识状态。作为点-曲线关联界的应用，我们证明了$R^3$中$n$点集所跨越的与给定三角形相似的三角形的个数为$O(n^{15/7})$，改进了Agarwal等人的界，我们的结果也与Guth等人的研究有关。(work正在进行中），并已在Sharir，Solomon和Zlydenko最近应用于三维相关的发病率问题。
A sharp point-sphere incidence bound for $(u, s)$-Salem sets
本文研究了(u, s)-Salem集在有限域中的点球 incidences 限制，通过结合加性能量估计和提升论证，改进了经典点球 incidences 限制，并应用于单位距离和求和-乘积现象。
Distinct and repeated distances on a surface and incidences between points and spheres
在本文中，我们证明了由一组$n$点确定的常数度二维代数簇$V$（即，表面）至少为$\mathbb R^3$。对于$\mathbb R^3$中的一般点集，该界显著大于约束界$Ω(n^{2/3})$。我们还表明，由表面$V$上的$n$点确定的单位距离的数量如上所述是$O(n^{4/3})$，这是一个与已知的最佳平面边界相匹配的边界，并且在3-空间中是最差情况紧的。这是在鲜明的对比与最有名的一般界$O(n^{3/2})$的点在三维空间。为了证明这些结果，我们建立了一个改进的上限之间的一组$P$的$m$点和一组$S$的$n$球，任意半径，在$\mathbb R^3$，假设点躺在一个代数表面$V$的常度，它不具有线性或球形组件的发病率。具体地，界限是$$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^β(m^4/n) + m + n + \sum_{c} |P_{c}|\cdot |S_{c}| \right) , $$，其中比例常数和常数指数$β$取决于$V$的度数，并且其中总和的范围覆盖完全包含在$V$中的所有圆$c$，使得对于每个这样的$c$，$P_c = P\cap c$和$S_c$是包含$c$的$S$的球面的集合。此外，还有$\sum_{c} |P_{c}| = O(m)$和$\sum_{c} |S_{c}| = O(n)$。这个界限也比以…
A structural Szemerédi-Trotter Theorem for Cartesian Products
研究了当点集为笛卡儿积时，构成$Θ(n^{4/3})$关联的$n$点和$n$线的构型。我们证明了这样的配置的结构性质，使得存在许多家庭的平行线或许多家庭的并发线。我们证明了直线斜率具有乘法结构，或者多组$y$ -截距具有加法结构。我们引入了第一个具有$Θ(n^{4/3})$关联的无限组态族。我们还推导出一个新的变体的不同结构的点线结果的Elekes。我们的技术是基于线能量的概念。最近，Rudnev和Shkredov介绍了这种能量，并展示了它是如何与点-线发生率联系起来的。我们还证明了他们的界是紧的子多项式因子。
A Characterization of Lines in Finite Lie Incidence Geometries of Classical Type
本文对有限经典格拉斯曼几何中基数为 s+1 且不被任何相反类型对象完全相反的点集进行分类，证明其必为直线、辛剩余中的双曲直线或特征 2 下大辛子四边形中的卵形体，从而深远推广了 Bose–Burton 定理。
Incidences between points and lines on a two-dimensional variety
我们提出了一个直接的和相当简单的证明以下的关联界：让$P$是一组$m$点和$L$一组$n$线在${\mathbb R}^d$，$d\ge 3$，这是在一个共同的代数二维曲面的程度$D$不包含任何2-平坦，使没有2-平坦包含超过$L$的$s \le D$线。则$P$和$L$之间的关联数为$$ I(P,L)=O\left(m^{1/2}n^{1/2}D^{1/2} + m^{2/3}\min\{n,D^{2}\}^{1/3}s^{1/3} + m + n\right). $$。当$d=3$时，这改进了Guth和Katz在$D$不太大时针对这种特殊情况的~ \cite{GK2}的界。这项工作的一个补充功能是审查，详细的证据，几个基本的（和民间传说）性质的直纹曲面在三维空间。
Zarankiewicz's problem via $ε$-t-nets
本文通过引入 ε-t-网这一新工具研究 Zarankiewicz 问题，证明了小尺寸 ε-t-网的存在性可导出上界，并据此对多类几何交图获得改进或精确的界。
Exploring the infinitesimal rigidity of planar configurations of points and rods
本文研究了欧氏平面上的点和线的二阶关联几何的几何实现的刚性性质;我们关心的是共线点之间的距离。本文讨论了关联几何的几何实现的刚性性质与其它已知结构（如图和超图）的几何实现的刚性的关系，并讨论了$2$ -平面拟阵。此外，我们扩展了怀特利的结果，以确定必要条件的关联几何的点和线，每一条线上正好有三个点，或3-均匀超图，有一个最小的刚性实现的点和线在平面上。我们还举例说明这些条件是不充分的。最后，我们研究了$v_k$ -组态的刚性性质。我们提供了几个例子，刚性$v_3$ -配置，和家庭的灵活的几何$v_3$ -配置。材料的说明有许多数字支持。
Exceptional projections in finite fields: Fourier analytic bounds and incidence geometry
本文研究有限域上子集例外投影数量的上界，通过傅里叶$L^p$估计改进已知结果，并给出子空间特征和恒等式及Plancherel定理推广，应用于仿射关联几何，提供尖锐性证明。
The thickness of Schubert cells as incidence structures
本文探讨了可能使用的舒伯特细胞和舒伯特品种在有限几何，特别是在关于这些对象是否可能是一个来源的理解卵形或提供新的例子的问题。主要结果提供了这些舒伯特细胞的有限Chevalley群的第一个属性（薄）的卵形体的一个特征。更重要的是，也许这篇简短的论文可以帮助弥合有限几何和表示论之间的现代语言障碍。为此目的，本文包括非常简短的调查强大的格理论的观点，从有限几何和强大的方法的索引点的标志品种的Chevalley发电机从表示论。
Two proofs and a tight Szemerédi--Trotter theorem
本文为Lewko与Miao–Xie分别提出的两个Szemerédi–Trotter定理推广证明提供几何直观并比较，利用Hasse导数改进证明，最终得到任意代数闭域上的紧关联对数量上界。
Uniform distribution and geometric incidence theory
一个著名的单位距离猜想由于Erd \H os说，单位距离不能出现超过$C_εn^{1+ε}$倍（对于任何$ε>0$）之间的$n$点在欧几里德平面（见例如\cite{SST84}和其中包含的参考文献）。在三维中，固定的结合是$Cn^{\frac{4}{3}}$（参见例如\cite{KMSS12}和\cite{Z19}）。在四维和更高维中，这个问题在其一般公式中失去了意义，因为Lens示例表明，可以在$4$和更高维中构造一组$n$点，其中单位距离出现$\approx n^2$次（例如参见\cite{B97}）。然而，透镜的例子本质上是一维的，这就提出了一种可能性，即单位距离猜想在点集上附加结构假设的情况下，在高维中仍然很有趣。\cite{I19}、\cite{IS16}、\cite{IMT12}、\cite{IRU14}、\cite{OO15}中探讨了这一观点，并在单位距离问题与其连续对应问题之间建立了一些有趣的联系，特别是法尔科纳距离猜想（\cite{Falc85}）。本文在点集族是均匀分布的假设下，研究了单位距离问题及其变形。我们证明了几个发病率界在此设置和澄清的背景下，在组合几何中的发病率问题的均匀分布序列的一些关键属性。
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