Two theorems on point-flat incidences
本文改进了Beck关于实空间中点集所张成的$k$ -平坦数的下界定理，改进了Elekes和Tóth关于实空间中点与$k$ -平坦的关联数的界.
2020-06-26 math.CO
Rank of incidence matrices over integers modulo a prime power
Princeton University（普林斯顿大学）
本文改进了Laba和Trainer关于整数模素数幂上点与超平面 incidence 矩阵的$\mathbb F_p$秩的上界结果，特别当k较大时。
2026-04-28 math.CO
Incidence bounds for complex algebraic curves on Cartesian products
证明了$\mathbb{C}^2$中的一组代数曲线与有限集$A,B\subset \mathbb{C}$的笛卡儿积$A\times B$之间的关联数的界。类似的界限是已知的各种条件下，但我们表明，笛卡儿积假设导致一个更简单的证明。这个假设在许多有趣的应用中成立，并且通过我们的边界，这些应用可以从$\mathbb{R}$扩展到$\mathbb{C}$。证明是一个新的应用多项式分区技术介绍了古斯和卡茨。
2015-10-31 math.CO
Bounds of incidences between points and algebraic curves
证明了点与高次代数曲线的关联数的新界。关键成分是一个改进的初始边界，这是有效的所有领域。然后利用多项式方法得到了$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$的全局上界。
2015-03-30 math.CO
A Point-Conic Incidence Bound and Applications over $\mathbb F_p$
本文证明了素域上点与二次曲线的第一关联界。作为应用，我们证明了新的结果，扩大二元多项式图像和不同的距离问题的某些变化。其中包括固定代数距离数的新下界，以及Koh和Sun（2014）和Shparlinski（2006）关于由有限域上的两个大的有限维向量空间子集形成的距离集的大小的结果的改进。我们还证明了贝克定理的一个变种。
2022-07-25 math.CO
Explicit incidence bounds over general finite fields
令$\mathbb{F}_{q}$为$q=p^k$阶的有限域，其中$p$为素数。设$P$和$L$分别是带有$|P|=|L|=n$的$\mathbb{F}_{q} \times \mathbb{F}_{q}$中的点集和线集。我们建立了关联界$I(P,L) \leq γn^{3/2 - 1/12838}$，其中$γ$是一个绝对常数，只要$P$满足成为“反场”的条件。我们定义这意味着$P$在某个坐标轴上的投影与$\mathbb{F}_q$的大子场的相互作用不超过半维。此外，我们给出的例子集满足这些条件的重要情况下$q=p^2$和$q=p^4$。
2011-01-19 math.CO
Lower bounds for incidences with hypersurfaces
我们提出了一种技术，用于推导$d\ge 4$与${\mathbb R}^d$中超曲面的发生率的下界。这些界限适用于各种各样的超曲面，如超平面、超球面、抛物面和任何次数的超曲面。除了是第一个非平凡的下界的各种发病率问题，我们的界限表明，一些已知的上界发病率问题的${\mathbb R}^d$是紧到一个额外的$\varepsilon$的指数。具体来说，对于每个$m$、$d\ge 4$和$\varepsilon>0$，在${\mathbb R}^d$中存在$m$点和$n$超曲面（其中$n$依赖于$m$），在发生率图中没有$K_{2,\frac{d-1}{\varepsilon}}$，并且发生率为$Ω\left(m^{(2d-2)/(2d-1)}n^{d/(2d-1)-\varepsilon} \right)$。此外，我们提供了改进的下界的情况下，没有$K_{s,s}$的发病率图，大常数$s$。我们的分析是建立在最近的工作的布尔甘和德米特离散傅立叶限制的四维和五维领域的想法。具体地说，它是基于研究整数点的加性能量截断抛物面。
2016-10-04 math.CO
Incidences and pairs of dot products
设$\mathbb{F}$是一个域，$P \subseteq \mathbb{F}^d$是一个有限点集，$α,β\in \mathbb{F} \setminus \{0\}$。我们研究的数量\[|Π_{α, β}| = \{(p,q,r) \in P \times P \times P \mid p \cdot q = α, p \cdot r = β\}.\]我们观察到的问题之间的连接，把一个上限$|Π_{α,β}|$和一个很好的研究问题之间的发病率点和超平面，并使用这种连接证明新的和加强的上界$|Π_{α,β}|$在各种设置。
2015-09-07 math.CO
An Improved Point-Line Incidence Bound Over Arbitrary Fields
我们证明了一个新的上界的数量之间的入射点和线在一个平面上的任意字段$\mathbb{F}$，一个问题首先考虑的Bourgain，Katz和陶。具体来说，我们表明，$\mathbb{F}$中的$m$点和$n$线，以及$m^{7/8}<n<m^{8/7}$，决定了最多的$O(m^{11/15}n^{11/15})$发生率（其中，如果$\mathbb{F}$具有阳性特征$p$，我们假设$m^{-2}n^{13}\ll p^{15}$）。这改进了以前最著名的界限，由于琼斯。为了得到我们的界，我们首先证明了一个最佳的点线的入射界的笛卡儿积，使用减少到一个点平面的入射界的Rudnev。然后我们用笛卡儿积覆盖大部分点集，并使用刚才提到的界限分别限制每个积上的关联。我们给出了几个应用，和产品型问题，扩展问题的Bourgain，不同的距离问题和贝克定理。
2017-07-18 math.CO
A point-line incidence identity in finite fields, and applications
设$E \subseteq \mathbb{F}_q^2$是具有$q$元素的有限域上的二维向量空间中的集合。我们证明了其关联函数的二阶矩的一个恒等式，并从文献中推导出各种现有的结果，而不是所有的自然与线在$\mathbb{F}_q^2$，在一个统一的和基本的方式。
2016-02-20 math.CO
A point-plane incidence theorem in matrix rings
本文研究了矩阵环上的点-超平面关联定理，推广了这方面的文献。
2022-08-19 math.CO math.NT
Incidence matrices and line graphs of mixed graphs
在无向图的线图理论中，存在一个将根图的关联矩阵与其线图的邻接矩阵联系起来的重要定理。然而，对于有向图或混合图，不存在类似的结果。本文的目的是给出混合图的邻接矩阵、关联矩阵和线图的统一定义，从而使上述定理对混合图成立。
2022-05-11 math.CO
Point-curve incidences in the complex plane
证明了复平面上点与曲线的一个关联定理。给定${\mathbb R}^2$中的一组$m$点和一组具有$k$自由度的$n$曲线，Pach和Sharir证明了点-曲线关联的个数为$O\big(m^{\frac{k}{2k-1}}n^{\frac{2k-2}{2k-1}}+m+n\big)$。我们建立了$k$自由度为${\mathbb C}^2$中$m$点与$n$（复）代数曲线之间关联数的弱界$O_\varepsilon\big(m^{\frac{k}{2k-1}+\varepsilon}n^{\frac{2k-2}{2k-1}}+m+n\big)$。我们结合了代数几何和微分几何的工具来证明一个关键的技术引理，该引理控制了可以包含在一个真实超曲面内的复杂曲线的数量。这个引理可能是独立的兴趣，其他研究人员证明关联定理在${\mathbb C}$。
2017-02-07 math.CO
A point-variety incidence theorem over finite fields, and its applications
本文通过群代数刻画关联矩阵的奇异值与奇异向量，证明了有限域上点与簇的关联数新界，改进了有限几何中点与平坦的先前结果，并在较弱条件下扩展了钉住距离问题的已有结论。
2025-04-30 math.CO
On the number of incidences between points and planes in three dimensions
本文证明了域$\mathbb F$上射影空间$\mathbb P^3$中点与平面的一个关联定理，其特征是$p\neq 2.$。克莱因二次曲面可以被一个一般的超平面遍历，在三次曲面中产生一个线-线关联问题，即正则线复形的克莱因像。可以选择该超平面，使得至多两条线相交。因此，可以应用Guth和Katz的代数定理，并带有涉及$p$（如果$p>0$）的约束。这产生了$\mathbb P^3$中$m$点和$n$平面之间的关联数的界限，其中$m\geq n$为$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线平面的最大数，前提是如果$p>0$为$n=O(p^2)$。实例表明，如果没有额外的假设，这个界限不能得到改善。这给了一个工具，建立几何发病率估计时，$p>0$。对于非共线点集$S\subseteq \mathbb F^2$和非退化对称或反对称双线性形式$ω$，$S$的点对上的$ω$的不同值的数目是$Ω\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是$\mathbb R$上最著名的界，它由Szemerédi-Trotter定理得出。此外，在单个半各向同性平面中不支持的集合$S\subseteq \mathbb F^3$包含一个点，从该点获得到$S$的其他点的$Ω\left[\min\left(|S|…
2015-12-04 math.CO
Line-Plane Incidence Bound in $\mathbb{R}^4$
该研究针对 $\mathbb{R}^4$ 中一般位置的直线与平面，在特定维数配置和规模条件下，证明了线-平面关联数的非平凡上界 $L^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\epsilon}S + LS^{\frac{1}{2}+\epsilon}$，并给出辅助引理。
2023-12-22 math.CO
A short proof of Rudnev's point-plane incidence bound
本文给出了Rudnev定理的一个简化证明，该定理限定了任意域上点与平面之间的关联数。鲁德涅夫的证明使用了一个通过四维克莱因二次曲面到三维空间的映射，在三维空间中，它将Guth和Katz的边界应用于线的交点。我们描述了一个简单的几何地图，直接发送点平面的发病率在空间中的线线相交，使我们能够重新证明鲁德涅夫定理与较少的技术细节。
2016-12-08 math.CO
Incidence geometry and universality in the tropical plane
我们研究了回归平面上直线的关联几何。我们证明热带类似物的西尔维斯特-Gallai和Motzkin-拉宾定理在经典的关联几何。这项研究自然会导致讨论的发病率数据的热带线的实现。从von Staudt结构和Mnëv的普适性定理中得到启发，我们证明了确定给定的热带线性入射数据是否可由热带线排列实现需要求解整数上的任意线性规划问题。
2018-05-13 math.CO
Evasive sets, covering by subspaces, and point-hyperplane incidences
给定正整数$k\leq d$和有限域$\mathbb{F}$，一个集合$S\subset\mathbb{F}^{d}$是$(k,c)$ -子空间回避的，如果每个$k$ -维仿射子空间至多包含$S$的$c$元素.通过一个简单的平均参数，$(k,c)$ -子空间回避集的最大大小至多为$c |\mathbb{F}|^{d-k}$ .当$k$和$d$固定，且$c$足够大时，Dvir和Lovett证明了匹配下界$Ω(|\mathbb{F}|^{d-k})$.我们提供了一个替代证明这一结果使用随机代数方法。我们还证明了尖锐的上界$(k,c)$规避集的大小的情况下$d$是大的，本Aroya和Shinkar的扩展结果。最优规避集的存在性在组合几何中有几个有趣的结果。我们证明了覆盖网格$[n]^{d}\subset \mathbb{R}^{d}$所需的$k$ -维线性超平面的最小数目是$Ω_{d}\big(n^{\frac{d(d-k)}{d-1}}\big)$，这与由Cibulka和Valtr证明的上界相匹配，并解决了Brass，Moser和Pach提出的一个问题。此外，我们改进了最好的已知的下界之间的关联点和超平面在$\mathbb{R}^{d}$假设他们的关联图避免完全二部图$K_{c,c}$的一些大常数$c=c(d)$的最大数目。
2022-07-28 math.CO
Elementary methods for incidence problems in finite fields
本文用初等方法证明了$\mathbb{F}_q^n$中点与球面的一个关联定理。作为一个应用，我们证明了$P\subset \mathbb{F}_q^2$的任何点集与$|P|\geq 5q$确定所有圆的正比例.后者的结果是一个类似的贝克定理的圆圈是最佳的乘法常数。
2014-08-17 math.CO
Incidences between points and generalized spheres over finite fields and related problems
设$\mathbb{F}_q$是$q$元素的有限域，其中$q$是一个大的奇素数幂，而$Q =a_1 x_1^{c_1}+...+a_dx_d^{c_d}\in \mathbb{F}_q[x_1,...,x_d]$，其中$2\le c_i\le N$，$\gcd(c_i,q)=1$和$a_i\in \mathbb{F}_q$对所有的$1\le i\le d$。一个$Q$球面是一个形式为$\lbrace x\in \mathbb{F}_q^d | Q(x-b)=r\rbrace$的集合，其中$b\in \mathbb{F}_q^d, r\in \mathbb{F}_q$。我们证明了一个点集$\mathcal{P}$和一个$Q$ -球面集$\mathcal{S}$（用$I(\mathcal{P},\mathcal{S})$表示）之间的关联数的界，如下所示。$$| I(\mathcal{P},\mathcal{S})-\frac{|\mathcal{P}||\mathcal{S}|}{q}|\le q^{d/2}\sqrt{|\mathcal{P}||\mathcal{S}|}.$$我们通过研究有向图的谱证明了这个估计。我们也给出了这个估计的一个版本在有限环$\mathbb{Z}_q$ $q$是一个奇数。作为上述界限的结果，我们给出了钉扎距离问题的估计。在$4$节和$5$节中，我们证明了$…
2016-08-17 math.CO
An incidence estimate and a Furstenberg type estimate for tubes in $\mathbb{R}^2$
研究了$δ$ -离散化的Szemerédi-Trotter定理和Furstenberg集问题。我们证明尖锐的估计，假设管满足一定的间距条件的两个问题。对于这两个问题，我们构建了具有许多共同特征的尖锐示例。
2022-07-02 math.CA math.CO
An incidence theorem in higher dimensions
证明了$\R^d$中点与有界度的$k$维簇的关联的几乎紧界.我们的主要工具是多项式火腿三明治定理和归纳的维数和点数。
2017-03-16 math.AG math.CO
Incidence bounds on multijoints and generic joints
如果在$\mathfrak{L}$到$x$中至少存在跨越$\mathbb{F}^n$的$n$线，则点$x \in \mathbb{F}^n$是由$\mathbb{F}^n$中的线的有限集合$\mathfrak{L}$形成的接合点。已知存在由$\mathfrak{L}$形成的$\lesssim_n |\mathfrak{L}|^{\frac{n}{n-1}}$关节。我们说点$x \in \mathbb{F}^n$是由$\mathbb{F}^n$中的线的有限集合$\mathfrak{L}_1,\ldots,\mathfrak{L}_n$形成的多关节，如果至少存在通过$x$的$n$线，每个集合中有一个，跨越$\mathbb{F}^n$。我们证明了对于任何域$\mathbb{F}$和$n=3$，以及对于$\mathbb{F}=\mathbb{R}$和任何$n \geq 3$，都存在$\lesssim_n (|\mathfrak{L}_1|\cdots |\mathfrak{L}_n|)^{\frac{1}{n-1}}$这样的点。此外，我们说点$x \in \mathbb{F}^n$是由$\mathbb{F}^n$中的线的有限集合$\mathfrak{L}$形成的通用联合，如果$\mathfrak{L}$到$x$的每个$n$线在那里形成联合。我们表明，对于$\mathbb{F}=\mathb…
2015-07-06 math.CO
On incidences of lines in regular complexes
正则线性线复形是空间中的三参数线集合，其Plücker向量位于超平面中，该超平面不与克莱因二次曲面相切。我们的主要结果是一个绑定$O(n^{1/2}m^{3/4} + m+n)$之间的发生数$n$线在一个复杂的$\mathbb F^3$和$m$点，其中$\mathbb F$是一个字段，和$n\leq char(\mathbb F)^{4/3}$的积极特征。Zahl最近观察到来自两个不同线复合体的线的双色成对发生率解释了$\mathbb F^3$中一组$n$点的非零单距离问题。这意味着新的约束$O(n^{3/2})$的实现的距离，这是一个平方，为$\mathbb F$，其中$-1$不是一个平方的$\mathbb F$ -模拟的Erd \H os单距离问题$\mathbb R^3$。在自然约束下，我们的关联界产生了一个较弱的界$O(n^{1.6})$，它对任何$\mathbb F$上的任何距离都成立，包括零。
2021-06-30 math.CO math.MG
A note on the largest bipartite subgraph in point-hyperplane incidence graphs
给定$\mathbb{R}^d$中的$m$点和$n$超平面，如果有很多关联，我们期望在它们的关联图中找到一个大簇$K_{r,s}$。Apfelbaum和Sharir发现了$rs$最大尺寸的上下上界，它们只在三维中匹配。在本文中，我们关闭的差距，在四个和五个方面，一些对数因子。
2018-10-03 math.CO
An Incidence Result for Well-Spaced Atoms in all Dimensions
我们证明了由一组间隔良好的$δ$ -原子诱导的富含$δ$ -管的$k$的发生率结果。我们的结果与Szemerédi-Trotter定理所预言的界相一致，并且在所有维$d \geq 2$中成立。
2020-09-24 math.CO
Incidence estimates for well spaced tubes
我们证明类似的Szemerédi-Trotter定理和其他的关联定理使用$δ$ -管代替直线，假设$δ$ -管是良好的间隔在一个强的意义。
2019-04-10 math.CA math.CO
Oriented Hypergraphic Matrix-tree Type Theorems and Bidirected Minors via Boolean Order Ideals
保关联路径映射的约束条件给出了Laplacian矩阵和邻接矩阵的有向超图全次矩阵树定理。这些地图的图像产生一个本地签署的图形，发病率概括，周期覆盖和基本数字，对应于发病率-k-森林。当仅限于双向图时，映射的自然偏序导致不相交的符号布尔格，其次要计算对应于主阶理想。作为应用，（1）恢复了符号图Laplacian的行列式公式，并证明其由极大正无圈元决定;（2）生成树等价于单元阶理想.
2017-10-03 math.CO
A point-sphere incidence bound in odd dimensions and applications
本文证明了有限域上向量空间中一个新的点球关联界。更准确地说，让$P$是一组点，$S$是$\mathbb{F}_q^d$中的一组球。假设$|P|, |S|\le N$，证明了在$d, q$和半径满足一定条件下，$P$与$S$的关联数满足\[I(P, S)\le N^2q^{-1}+q^{\frac{d-1}{2}}N,\]。这改进了文献中已知的上限$N^2q^{-1}+q^{\frac{d}{2}}N$。作为一个应用，我们表明，$A\subset \mathbb{F}_q$与$q^{1/2}\ll |A|\ll q^{\frac{d^2+1}{2d^2}}$，一个有\[\max \left\lbrace |A+A|,~ |dA^2|\right\rbrace \gg \frac{|A|^d}{q^{\frac{d-1}{2}}}.\]这改善了早期的结果在任意有限域上的这种和产品类型的问题。
2021-09-17 math.CO
Incidences and tilings
本文将 Pappus、Desargues 等实/复线性关联几何经典定理统一为涉及闭定向曲面四边形铺砌的单一主定理特例，为生成和推广关联定理提供通用机制。
2023-08-03 math.CO math.MG
Defect Spaces and Gram Operators for Tensor-Valued Incidence Maps
Ibaraki University（茨城大学）
通过线性观测自由顶点空间，研究向量值关联映射，推导缺陷不变量的维数公式，并应用于张量标记超图，证明标准构造的缺陷为零，且实域上Gram算子的秩与缺陷过滤相关。
2026-05-27 math.CO
Incidence Hypergraphs: Injectivity, Uniformity, and Matrix-tree Theorems
定向超图是一种定向关联结构，它允许通过其局部符号图子结构将图论概念推广到整数矩阵。在关联超图的子对象分类器中形式化了局部图行为。此外，内射包络计算和显示包含类的一致超图-提供一个组合框架的条目的关联矩阵。对于由任意整数关联矩阵产生的有向超图Laplacian和邻接矩阵的行列式和积和式，得到了一个多元全子式特征多项式.每个多项式的系数被示出为从相同的家庭到由子对象分类器限制的内射包络的子monic映射。这些结果为有向超图矩阵树型定理和Sachs系数型定理提供了一个统一的定理。最后，通过专门的双向图，平凡子类的程度- $k$单项式的拉普拉斯被证明是在一对一的对应关系与$k$ -树形图。
2020-08-03 math.CO math.CT
The Szemeredi-Trotter Theorem in the Complex Plane
证明了复欧氏平面${\mathbb C}^2$中的$n$点和$e$线决定了$O(n^{2/3}e^{2/3}+n+e)$点-线关联。这个界是可能的最佳界，它推广了Szemerédi和Trotter关于实欧几里德平面${\mathbb R}^2$中点-线关联的著名定理。
2014-05-16 math.CO
Generalizations of the Szemerédi-Trotter Theorem
我们推广了Szemerédi-Trotter关联定理，在高维空间中定义了完备\emph{flags}的个数.具体地，对于每个$i=0,1,\ldots,d-1$，我们在$\R^d$或$\C^d$中给出$i$ -平坦的有限集合$S_i$，并且（完整）标志是元组$(f_0,f_1,\ldots,f_{d-1})$，其中$f_i\in S_i$用于每个$i$，而$f_i\subset f_{i+1}$用于每个$i=0,1,\ldots,d-2$。我们的主要结果是在最坏的情况下是紧的标志的数量上界。我们还研究了其他几种关联问题，包括（i）$\R^3$中的点与线之间的关联，使得在关联到一个点的线中，最多$O(1)$可以是共面的，（ii）$\R^3$中Legendrian线的关联，这是考虑根据其他组定义的标志时出现的一类特殊的线，以及（iii）$\R^3$中的标志（涉及点、线和平面），其中给定的线不能包含太多的点或位于太多的平面上。我们在（iii）中得到的界在最坏情况下几乎是紧的。最后，我们探讨了一组理论解释的旗帜，一个广义的版本，使我们新的发病率问题。
2015-12-30 math.CO
Szemerédi-Trotter type results in arbitrary finite fields
设$q$是素数的幂，$\mathbb{F}_q$是由$q$元素组成的有限域.我们证明了明确的上界之间的联系线和笛卡儿积在$\mathbb{F}_q^2$。我们还使用我们的点线发生率的结果，给新的和产品类型的估计倒数的总和。
2018-08-16 math.CO
Multi-parameter Szemerédi-Trotter-type theorems and applications in finite fields
本文在有限域向量空间中建立了优于一般高维结果的多参数点-线关联估计，并展示了其在几何与数论组合问题中的多种应用。
2023-08-07 math.CO
The dimer model and dynamical incidence geometry
University of Glasgow（格拉斯哥大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文提出了一种双键模型的几何对应物，通过研究一致双回路配置，揭示了动力学接触几何中的新定理类，并探讨了参数化问题。
2025-12-17 math.CO
A structural Szemerédi-Trotter Theorem for Cartesian Products
研究了当点集为笛卡儿积时，构成$Θ(n^{4/3})$关联的$n$点和$n$线的构型。我们证明了这样的配置的结构性质，使得存在许多家庭的平行线或许多家庭的并发线。我们证明了直线斜率具有乘法结构，或者多组$y$ -截距具有加法结构。我们引入了第一个具有$Θ(n^{4/3})$关联的无限组态族。我们还推导出一个新的变体的不同结构的点线结果的Elekes。我们的技术是基于线能量的概念。最近，Rudnev和Shkredov介绍了这种能量，并展示了它是如何与点-线发生率联系起来的。我们还证明了他们的界是紧的子多项式因子。
2022-10-08 math.CO
Incidences between quadratic subspaces over finite fields
设$\mathbb{F}_{q}$是$q$阶的有限域，其中$q$是奇素数幂.如果$Q$与$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}$等距同构，则称$(\mathbb{F}_{q}^{n},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})$的二次子空间$(W,Q)$为点$_{k}$ -子空间.在本文中，我们得到了点$_{k}$ -子空间的集合$\mathcal{K}$和点$_{h}$ -子空间的集合$\mathcal{H}$之间的关联数$I(\mathcal{K},\mathcal{H})$的界，当$h \geq 4k-4$，这是由\[\left | I(\mathcal{K},\mathcal{H})-\frac{|\mathcal{K}||\mathcal{H}|}{q^{k(n-h)}}\right | \lesssim q^{\frac{k(2h-n-2k+4)+h(n-h-1)-2}{2}}\sqrt{|\mathcal{K}||\mathcal{H}|}. \]给出的。特别地，我们在我们的附加条件存在的情况下，改进了由Dongong，Thang和Vinh（2019）获得的一般仿射子空间集合的误差项。
2020-05-25 math.CO
Sharpness of Falconer's estimate in continuous and arithmetic settings, geometric incidence theorems and distribution of lattice points in convex domains
在本文中，我们证明了，对于所有的$d \ge 2$，没有$s<\frac{d+1}{2}$没有$I_s(μ)<\infty$意味着典型的Falconer距离问题的关联界，或类似的估计，其中的欧几里德范数被替换为特定的凸体产生的范数$B$具有光滑的边界和处处非零曲率。我们的建设，由于Pavel Valtr组合建设的基础上，自然导致我们考虑的问题，几何关联定理在离散设置和分布的格点在凸区域之间的一些有趣的连接。我们还证明了Mattila的一个例子可以离散化产生一组点和圆环，其发生次数大于的情况下的晶格。特别是，我们使用已知的结果高斯圆问题和马蒂拉的例子的离散化版本，以产生一个非格点集和annuli的发病率是大于的情况下，标准格。最后，我们将Valtr的例子扩展到有限域上的向量空间的设置，并表明，一个有限域模拟的关键发病率界也是尖锐的。
2010-06-07 math.CA math.CO
Point-variety incidences, unit distances and Zarankiewicz's problem for algebraic graphs
本文研究任意域上点与簇关联数、单位距离数及代数图的Zarankiewicz问题，在无$K_{s,s}$条件下给出紧界，并推广了零点模式结果。
2024-03-13 math.CO
Incidence structures near configurations of type $(n_3)$
一个$(n_3)$构形是一个关联结构，等价于一个在$n$顶点上的线性超图，它既是3-正则的又是3-一致的。我们调查的一个变种，其中一个约束，说3-正则性，是目前，我们只允许一条线的大小为4，只允许一条线的大小为2，所有其他线的大小为3。特别是，我们研究平面（欧几里德或投影）表示，解决存在性问题，并适应斯坦尼茨定理为这种设置。
2018-04-24 math.CO
Incidences, tilings, and fields
本文研究了通过铺砌证明射影几何相交定理的可能性，探讨了复数域和实数域上哪些定理可被主定理证明，引入了铺砌证明的概念，并基于拓扑空间分类了定理的层次。
2026-03-27 math.CO math.GT math.MG
Orthogonal projections and incidence bounds in planes over prime order fields
Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）；Vietnam Institute of Educational Sciences（越南教育科学院）
本文研究了素数阶域上平面中正交投影的交集界限，提出新的点线交集界限并改进了素数域上的相关估计。
2026-02-02 math.CO
On the number of hinges defined by a point set in $\mathbb R^2$
它示出了不同类型的三点铰链的数量，定义由一个真正的平面集的$n$点是$\gg n^2\log^{-3} n$，其中一个铰链是通过固定两个成对的距离在一个点三元组。这是通过加强（模$\log n$因子）的Guth-Katz估计的数量成对交叉的线在$\mathbb R^3$，产生的上下文中的平面Erd \H os不同的距离问题，二阶矩的发病率估计。这依赖于，特别是，对Guth-Katz发病率的所罗门和Sharir约束的概括。
2020-03-11 math.CO
Surface topology and incidence theorems over division rings
University of Glasgow（格拉斯哥大学）
本文探讨了曲面拓扑与除环上 incidences 定理的区别，通过扩展表面图方法，证明某些定理在除环上成立，而另一些则仅在域上成立。
2026-03-19 math.CO math.GT math.MG
Incidences between planes over finite fields
我们使用谱图论的方法来获得$\mathbb{F}_q^d$中$k$ -平面和$h$ -平面之间的关联数的界，这推广了Bennett，Iosevich和Pakianathan（2014）给出的最近结果。更精确地说，我们证明了$k$ -平面的集合$\mathcal{P}$和$h$ -平面的集合$\mathcal{H}$与$h\ge 2k+1$的关联数（记为$I(\mathcal{P},\mathcal{H})$）满足\[\left\vert I(\mathcal{P},\mathcal{H})-\frac{|\mathcal{P}||\mathcal{H}|}{q^{(d-h)(k+1)}}\right\vert \lesssim q^{\frac{(d-h)h+k(2h-d-k+1)}{2}}\sqrt{|\mathcal{P}||\mathcal{H}|}. \]
2015-10-12 math.CO
Subword counting and the incidence algebra
帕斯卡矩阵$P$是一个上对角矩阵，其元素是二项式系数。1993年，Call和Velleman证明了它满足一个美丽的关系式$P=\exp(H)$，其中$H$在其超对角线上有1、2、3等，在其他地方有0。我们将这个恒等式推广到关联代数$I(A^*)$和$I(\mathcal{S})$的功能字和排列，分别。在$I(A^*)$中，$P$和$H$的条目计数子字;在$I(\mathcal{S})$中，它们计数排列模式。受vincular排列模式的启发，我们定义了一个子字被一个辅助索引集$R$限制的含义;这个定义包含了因子和（分散的）子字。我们推导出一个定理的字对应的互惠定理的模式排列：直到符号，系数在马勒展开的功能计数子字限制的集合$R$是由一个功能计数子字限制的补集$R^c$。
2015-03-11 math.CO
Threshold functions for incidence properties in finite vector spaces
本文的主要目的是为有限向量空间中的点的随机子集具有与点平入射有关的某些性质的事件提供门限函数。具体地说，我们考虑了关于$\mathbb{F}_q^n$中的随机点集存在$\ell$ -丰富$m$ -平坦的事件，随机点集是$m$ -阻塞集的事件，以及随机点集和随机$m$ -平坦集之间存在关联的事件.我们的关键成分之一是Chen和Greenhill（2021）最近获得的结果的更强版本。
2022-12-23 math.CO
Projective Rectangles: A New Kind of Incidence Structure
本文提出并系统研究了投影矩形这一新型关联结构，涵盖其基本性质、构造方法及部分德萨格定理，为后续调和共轭与图论研究奠定基础。
2024-07-15 math.CO
A sharp point-sphere incidence bound for $(u, s)$-Salem sets
Missouri State University（密苏里州立大学）；VNU University of Science（越南国立大学自然科学大学）
本文研究了(u, s)-Salem集在有限域中的点球 incidences 限制，通过结合加性能量估计和提升论证，改进了经典点球 incidences 限制，并应用于单位距离和求和-乘积现象。
2026-06-06 math.CO
Incidences between points and lines in R^4
我们发现，$m$不同的点和$n$不同的线在${\mathbb R}^4$之间的关联数是$O\left(2^{c\sqrt{\log m}} (m^{2/5}n^{4/5}+m) + m^{1/2}n^{1/2}q^{1/4} + m^{2/3}n^{1/3}s^{1/3} + n\right)$，对于一个合适的绝对常数$c$，提供没有2-平面包含超过$s$输入线，并没有超平面或二次曲面包含超过$q$线。当为$m \le n^{6/7}$或$m \ge n^{5/3}$时，在没有因子$2^{c\sqrt{\log m}}$的情况下，界限成立。除了这个因素，在最坏的情况下，界限是紧的。
2015-03-25 math.CO
Determinants of incidence and Hessian matrices arising from the vector space lattice
设$\mathcal{V}=\bigsqcup_{i=0}^n\mathcal{V}_i$是有限域$\mathbb{F}_q$上$n$维向量空间的子空间格，$\mathcal{A}$是定义在$\mathbb{Q}$上的分次Gorenstein代数，它以$\mathcal{V}$作为$\mathbb{Q}$基.设$F$是$\mathcal{A}$的Macaulay对偶生成元.我们显式地计算在点$X_1 = X_2 = \cdots = X_N=1$处求值的Hessian行列式$|\frac{\partial ^2F}{\partial X_i \partial X_j}|$，并将其与$\mathcal{V}_1$和$\mathcal{V}_{n-1}$之间的关联矩阵的行列式相关联。我们的探索是出于这样一个事实，即这两个矩阵自然出现在研究的Sperner属性的格和Lefschetz属性的分级Artinian Gorenstein代数与之相关。
2016-09-14 math.AC math.CO
